Кватернионные уравнения динамики твердого тела (§4 гл. 1) могут быть записаны на скобке Пуассона, определяемой алгеброй $e(4)$. Точнее, речь идет об одной сингулярной орбите $e(4)$, имеющей также важное значение в многомерной динамике твердого тела. В последнем случае необходимо рассматривать сингулярные орбиты $e(n)$. В частности, большинство результатов об аналогии между динамикой материальной точки на $n$-мерных сферах $S^{n}$ или эллипсоидах $E^{n}(n \geqslant 2)$ в потенциальных полях и движении твердого тела (вообще говоря, $n_{n}$-мерного тела в потенциальном поле) получаются именно при ограничении динамики твердого тела на эту орбиту. Отметим, что к классу задач, связанных с движением материальных точек на $S^{n}$, относится небесная механика в пространствах постоянной кривизны [31].

О сингулярных орбитах $O(n), e(n), U(n)$, тоже имеющих большое значение в динамике, можно прочитать в нашей книге [31]. Здесь мы останавливаемся только на сингулярной орбите $e(4)$, имея в виду приложения к движению реального трехмерного тела.

Алгебра Ли $e(4)$ группы движений четырехмерного евклидова $E(4)$ пространства является полупрямой суммой $s o(4) \oplus_{s} R^{4}$ и может быть реализована матрицами вида
\[
\mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & L_{3} & -L_{2} & \pi_{1} & \lambda_{1} \\
-L_{3} & 0 & L_{1} & \pi_{2} & \lambda_{2} \\
L_{2} & -L_{1} & 0 & \pi_{3} & \lambda_{3} \\
-\pi_{1} & -\pi_{2} & -\pi_{3} & 0 & \lambda_{0} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]

Для десяти ее образующих $\boldsymbol{\pi}=\left(\pi_{1}, \pi_{2}, \pi_{3}\right), \boldsymbol{L}=\left(L_{1}, L_{2}, L_{3}\right), \boldsymbol{\lambda}=$ $=\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right), \lambda_{0}$ справедливы коммутационные соотношения (см. [75])
\[
\begin{array}{lll}
\left\{L_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k}, & \left\{L_{i}, \pi_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \pi_{k}, & \left\{\pi_{i}, \pi_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k}, \\
\left\{L_{i}, \lambda_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \lambda_{k}, & \left\{L_{i}, \lambda_{0}\right\}=0, & \left\{\pi_{i}, \lambda_{j}\right\}=-\delta_{i j} \lambda_{0}, \\
\left\{\pi_{i}, \lambda_{0}\right\}=\lambda_{i}, & \left\{\lambda_{i}, \lambda_{j}\right\}=\left\{\lambda_{i}, \lambda_{0}\right\}=0 &
\end{array}
\]

при всех $i, j, k$, принимающих значения $1,2,3$.

Скобка (3.1) является вырожденной и имеет две функции Казимира
\[
F_{1}=\sum_{\mu=0}^{3} \lambda_{\mu}^{2}, \quad F_{2}=\sum_{\mu=0}^{3} W_{\mu}^{2},
\]

где $W$ — четырехмерный вектор Паули — Любанского (точнее его евклидов аналог для е(4) — в классическом случае он определен для группы Пуанкаре)
\[
W_{0}=(\boldsymbol{\lambda}, \boldsymbol{L}), \boldsymbol{W}=\boldsymbol{L} \lambda_{0}+\boldsymbol{\pi} \times \boldsymbol{\lambda} .
\]

Его коммутационные соотношения с образующими аналогичны коммутационным соотношениям для четырехмерного вектора $\lambda$ :
\[
\begin{array}{l}
\left\{L_{i}, W_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} W_{k}, \quad\left\{L_{i}, W_{0}\right\}=0, \quad\left\{\pi_{i}, W_{j}\right\}=\delta_{i j} W_{0}, \\
\left\{\pi_{i}, W_{0}\right\}=-W_{i}, \quad\left\{\lambda_{\mu}, W_{
u}\right\}=0, \quad\left\{W_{\mu}, W_{
u}\right\}=0 . \\
\end{array}
\]

Общие уровни функций Казимира $F_{1}=c_{1}, F_{2}=c_{2}, c_{i}=$ const представляют собой симплектические листы, расслаивающие фазовое пространство $\left(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{\pi}, \boldsymbol{\lambda}, \lambda_{0}\right)$ на орбиты коприсоединенного представления группы $E(4)$.

В невырожденном (регулярном) случае размерность симплектического листа равна восьми. Однако при $c_{1}=0$ или при $c_{2}=0$ размерность листа падает на две единицы. При $c_{1}
eq 0, c_{2}=0$ особый симплектический лист (сингулярная орбита) гомеоморфна (ко)касательному расслоению трехмерной сферы $T S^{3}\left(T^{*} S^{3}\right)$, и для векторов $\boldsymbol{L}, \boldsymbol{\pi}$ выполняются соотношения
\[
(\boldsymbol{\lambda}, \boldsymbol{L})=0, \quad \boldsymbol{L} \lambda_{0}+\boldsymbol{\pi} \times \boldsymbol{\lambda}=0 .
\]

Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой, приведенные в § 4 гл. 1, записаны для иного представления $e(4)$, соответствующего каноническому разложению подалгебры $s o(4) \simeq s o(3) \oplus s o(3)$. Для перехода к нему следует ввести новые переменные $M, N$ по формулам
\[
\boldsymbol{M}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\pi}-\boldsymbol{L}), \quad \boldsymbol{N}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\pi}+\boldsymbol{L}) .
\]

В этом случае алгебра (3.1) разлагается на две семимерные изоморфные пересекающиеся подалгебры.
Коммутационные соотношения д.я подалгебры $(\boldsymbol{M}, \lambda)$ :
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k},\left\{M_{i}, \lambda_{0}\right\}=\frac{1}{2} \lambda_{i},\left\{M_{i}, \lambda_{j}\right\}=-\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{i j k} \lambda_{k}+\delta_{i j} \lambda_{0}\right),
\]

и подалгебры $(N, \lambda)$ :
\[
\left\{N_{i}, N_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} N_{k},\left\{N_{i}, \lambda_{0}\right\}=\frac{1}{2} \lambda_{i},\left\{N_{i}, \lambda_{j}\right\}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{i j k} \lambda_{k}-\delta_{i j} \lambda_{0}\right) .
\]

Ранг пуассоновой структуры каждой подалгебры равен шести, и они имеют один и тот же аннулятор $F_{1}=\sum_{\mu=0}^{3} \lambda_{\mu}^{2}$. В этих переменных инвариантные соотношения (3.5) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
(\boldsymbol{N}-\boldsymbol{M}) \lambda_{0}+(\boldsymbol{N}+\boldsymbol{M}) \times \boldsymbol{\lambda}=0 \\
(\boldsymbol{N}-\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\lambda})=0 .
\end{array}
\]

С помощью кватернионного умножения они записываются еще короче: $M=\lambda^{-1} \boldsymbol{N} \lambda$ (механический смысл этих соотношений проясняется в $\S 4$ гл. 1). На орбите $T^{*} S^{3}$ справедливы также выражения
\[
\begin{array}{l}
\pi=2\left(\lambda_{0} \boldsymbol{\lambda} \times \boldsymbol{M}+\boldsymbol{\lambda}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\lambda})+\lambda_{0}^{2} \boldsymbol{M}\right), \\
\boldsymbol{L}=2\left(\lambda_{0} \boldsymbol{\lambda} \times \boldsymbol{M}+\boldsymbol{\lambda}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\lambda})-\boldsymbol{\lambda}^{2} \boldsymbol{M}\right) .
\end{array}
\]

Скобка Ли-Пуассона (3.1) определяет гамильтонову систему в фазовом пространстве переменных $x=\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{N}, \boldsymbol{\lambda}, \lambda_{0}\right)$
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\lambda}}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda} \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\lambda}_{0}}-\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda}_{0} \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\lambda}}, \\
\dot{\boldsymbol{N}}=-\boldsymbol{N} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{N}}-\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\lambda}}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda} \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\lambda}_{0}}-\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda}_{0} \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\lambda}}, \\
\dot{\lambda_{0}}=-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\lambda}, \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}\right)-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\lambda}, \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{N}}\right), \\
\dot{\boldsymbol{\lambda}_{0}}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}-\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{N}}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda}_{0} \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda}_{0} \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{N}} .
\end{array}
\]

Здесь $H=H\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{N}, \boldsymbol{\lambda}, \lambda_{0}\right)$ — функция Гамильтона. Уравнения (3.10) на каждой орбите (регулярной или сингулярной) могут быть записаны (по теореме Дарбу) в обычной канонической форме.

С точки зрения механики они представляют собой наиболее общую и компактную гамильтонову форму уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, содержащую компоненты кинетического момента как в подвижной, так и в неподвижной системах координат.