1. Решение Гесса [228]

Случай Гесса является в некотором смысле еще более частным. В отличие от предыдущих случаев (см. §§2-5), он определяет лишь однопараметрическое семейство частных решений, задаваемых инвариантным соотношением (см. таблицу 2.1)
\[
r_{1} M_{1}+r_{3} M_{3}=0,
\]
т. е. изо.ированное инвариантное многообразие в фазовом пространстве (см. рис. 58).

Физический смысл ограничений на параметры в случае Гесса
\[
\begin{array}{c}
r_{1} \sqrt{a_{3}-a_{2}} \pm r_{3} \sqrt{a_{2}-a_{1}}=0, \\
r_{2}=0
\end{array}
\]

заключается в следующем. Рассмотрим гирационный эллипсоид – поверхность уровня кинетической энергии в пространстве момента $M$ (см. рис. 57)
\[
\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})=\text { const. }
\]

Поскольку все собственные значения матрицы А различны, гирационный эллипсоид обладает двумя круговыми сечениями, проходящими через

Рис. 58. Фазовый портрет (сечение плоскостью $g=\pi / 2$ ) для случая Гесса при условиях $\mathbf{I}=\operatorname{diag}(1,0.625,0.375), \boldsymbol{r}=(3,0,4), \mu=1.995$ при постоянных интегралов $h=50.0, c=5.0$. Хорошо видны два стохастических слоя, разделенные сдвоенной сепаратрисой Гесса – точки из одного слоя не проникают в другой. На рис. b) виден также возникающий при этих условиях меандровый тор (см. рис. 59).

Рис. 59. Меандровые торы, возникающие на фазовом портрете в случае Гесса (параметры см. на рис. 58).

среднюю ось. Условия (6.2) означают, что центр масс тела лежит на оси, перпендикулярной одному из круговых сечений эллипсоида (6.3). Линейный интеграл Гесса (точнее, инвариантное соотношение) (6.1) означает, что проекция момента на эту ось равна нулю.

Подробно анализ этого случая приведен в главе $4, \S 3$, здесь мы отметим лишь то, что соотношение Гесса на фазовом портрете может определять пару сдвоенных сепаратрис (см. рис. 58). Интересно отметить, что в фазовом пространстве для случая Гесса возникает меандровый тор (см. рис. 59), хотя последний, видимо, и не является специфической особенность этого случая.

2. Перманентные вращения Штауде

Рассмотрим положения относительного равновесия (т.е. положения равновесия приведенной системы на сфере Пуассона) для уравнений Гамильтона на алгебре $e(3)$ с произвольным потенциалом, зависящем от $\gamma$ :
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+V(\gamma)
\]

Из условия относительного равновесия $\dot{M}=\dot{\gamma}=0$ и интеграла площадей $(\boldsymbol{M}, \gamma)=c$ находим $\mathbf{A} \boldsymbol{M}=\lambda \gamma, \lambda=\frac{c}{\left(\mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma}\right)}$, а уравнения движения приводят к соотношению
\[
\begin{array}{c}
c^{2}\left(\mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{\gamma} \times \gamma\right)+\left(\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial V}{\partial \gamma}\right)\left(\mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma}\right)^{2}=0, \\
\gamma^{2}=1 .
\end{array}
\]

Этот результат получен О.Штауде в 1894 г. [271]. В подвижной системе первое уравнение (6.5) определяет некоторый конус, называемый конусом Штауде. Относительно каждой образующей конуса тело равномерно вращается вокруг оси симметрии силового поля (для поля тяжести вокруг вертикальной оси) с угловой скоростью $|\boldsymbol{\omega}|=\frac{|c|}{\left(\mathbf{A}^{-1} \gamma, \gamma\right)}$.

Уравнения (6.5) могут быть также получены, если рассмотреть критические точки приведенного потенциала
\[
V_{c}(\gamma)=V(\gamma)+\frac{c^{2}}{\left(\mathbf{A}^{-1} \gamma, \gamma\right)} .
\]

В современной терминологии, принадлежащей С. Смейлу, вращения Штауде, определяемые экстремумами приведенного потенциала, задают на плоскости значений первых интегралов $H=h, c^{2}$ бифуркационную диаграмму (диаграмма Смейла), разделяющую области с различным топологическим типом слоения на трехмерные инвариантные многообразия и соответствующих им видов областей возможного движения (ОВД).

Смейл на примере плоской задачи трех тел предложил общий метод исследования перестроек интегральных многообразий при переходе через бифуркационные кривые. Применительно к уравнениям Эйлера-Пуассона (линейный потенциал) перестройки бифуркационных кривых качественно изучены С. Б. Каток, Я. В. Татариновым и Р.П.Кузьминой $[84,164,109]$.

Приведем более точные численные построения бифуркационных кривых диаграммы Смейла в ситуации динамической несимметрии и при различных положениях радиус-вектора центра масс (рис. 60).

По сравнению со случаем Эйлера, бифуркационные кривые (перманентные вращения) которого отмечены пунктиром, при наличии поля тяжести ветви перманентных вращений расщепляются, причем расщепление наблюдается у тех ветвей, которые соответствуют вращениям вокруг осей, вдоль которых имеется ненулевая составляющая смещения радиус-вектора центра масс.

Рис. 60. Диаграммы Смейла для различных положений центра масс $r$ (I $=\operatorname{diag}(2,1.5,1))$.

Заметим, что анализ устойчивости вращений Штауде имеется в обширной литературе, которая, к сожалению, трудно обозрима. Эти исследования, тем не менее, не решают проблему до конца. Элементарное исследование содержится в книгах Р. Граммеля [66] и К. Магнуса [119].

Отметим, что изучение вращений Штауде особенно важно для исследования стохастичности в общей неинтегрируемой ситуации, в некотором смысле они задают опорные периодические решения, продолжение которых по параметру (как устойчивых, так и неустойчивых) определяет общий сценарий перехода к хаосу.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В случае однородного поля тяжести конус Штауде представляет обычный конус второго порядка. При частных предположениях относительно параметров $a_{i}, r_{i}$ этот конус может выродиться в пару плоскостей (различных или совпадающих) или сделаться неопределенным. Очевидно, что следующие пять прямых полностью определяют весь конус:
1) три главные оси инерции относительно точки закрепления,
2) прямая, соединяющая точку закрепления с центром масс,
3) прямая, задаваемая вектором $\mathbf{A} \boldsymbol{r}$, по которой направлен $\boldsymbol{\omega}$, если вектор $\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}$ направлен по прямой, задаваемой вектором $\boldsymbol{r}$.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как заметил Ван-дер-Воуде (W. van der Woude) [284], конус Штауде (именно для однородного поля тяжести) представляет собой конус прямых в теле, выходящих из точки закрепления и являющихся главными осями эллипсоида инерции хотя бы для одной из своих точек. Именно такой конус рассматривал А. М. Ампер [189], анализируя геометрию масс в твердом теле без какого-либо учета силы тяжести. Для других потенциалов в (6.4) этот результат, очевидно, уже не является справедливым.

3. Регулярные прецессии Гриоли

Решения Штауде представляют собой регулярные прецессии вокруг вертикальной оси. Эти решения реализуются при любом распределении масс в теле.

Более общее определение регулярных прецессий предполагает, что при таких движениях существуют две выделенные оси, одна неподвижная в пространстве, а другая – в теле, угол между которыми остается неизменным. Например, для волчка Лагранжа возможны прецессии апекса оси динамической симметрии вокруг вертикали (см. §3). Оказывается, как показал итальянский механик Д.Гриоли в 1947 г. [221], для уравнений ЭйлераПуассона возможны «невертикальные» прецессии, которые, однако, имеются при дополнительных ограничениях на моменты инерции и положение центра масс.

Для этих прецессий центр масс лежит на перпендикуляре, проведенном из неподвижной точки к круговому сечению эллипсоида инерции, и в этом смысле случай Гриоли взаимен случаю Гесса, в котором центр масс лежит на перпендикуляре, проведенном из неподвижной точки к круговому сечению гирационного эллипсоида. Такая связь с эллипсоидом инерции обуславливает также то, что все рассуждения для решения Гриоли удобней проводить для угловых скоростей $\omega$, а не для кинетического момента $M$.

Наиболее просто явные аналитические выражения для случая Гриоли, которые нигде не изложены достаточно корректно [221, 61, 72] (сам Гриоли использует несколько запутанные рассуждения с углами Эйлера), можно получить, используя неглавную подвижную систему с осью $O z$, проходящей через центр масс тела.
В выбранной системе гамильтониан $H$ имеет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})-x \gamma_{3}=\frac{1}{2}(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega})-x \gamma_{3}, \\
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \quad \mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1},
\end{array}
\]

где тензор инерции
\[
\mathbf{I}=\left(\begin{array}{ccc}
I_{1} & 0 & I_{13} \\
0 & I_{1} & 0 \\
I_{13} & 0 & I_{3}
\end{array}\right), \quad x=\text { const. }
\]

Будем искать условия, при которых проекция угловой скорости на радиус-вектор центра масс постоянна: $\omega_{3}=$ const. Дифференцируя это соотношение вдоль системы (6.7), получим четыре независимых дополнительных инвариантных соотношения, которые и определяют искомые периодические решения в приведенном фазовом пространстве
\[
\begin{array}{c}
\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}=\omega_{3}^{2} \\
x \gamma_{1}+I_{13}\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{3}^{2}\right)+I_{3} \omega_{1} \omega_{3}=0, \\
x \gamma_{2}+\omega_{2}\left(I_{13} \omega_{1}+I_{3} \omega_{3}\right)=0, \\
x \gamma_{3}-I_{13} \omega_{1} \omega_{3}=0 .
\end{array}
\]

Из соотношений (6.8) следует, что $\omega^{2}=2 \omega_{3}^{2}=$ const и, кроме того, $\omega_{2}=$ $=\omega_{3} \sin \tau, \omega_{2}=\omega_{3} \cos \tau, \tau=\omega_{3}\left(t-t_{0}\right)$. Выражения для констант первых интегралов можно также получить через $\omega_{3}$, используя (6.8)
\[
H=\frac{1}{2}\left(I_{1}+I_{3}\right) \omega_{3}^{2}=h, \quad(\boldsymbol{M}, \gamma)=\frac{I_{13}^{2}-I_{1} I_{3}}{x} \omega_{3}^{2}=c,
\]

причем само $\omega_{3}$ находится из уравнения
\[
\gamma^{2}=\frac{I_{3}^{2}+I_{13}^{2}}{x^{2}} \omega_{3}^{4}=1
\]

Таким образом, для заданных параметров тела $\left(I_{1}, I_{3}, I_{13}, x\right)$ существует лииь одно ( т точностью до знака) значение $\omega_{3}$ и остальных констант интегралов, определяющих решение Гриоли.

После нахождения явных зависимостей $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ от времени получение всех направляющих косинусов $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ не представляет труда – тем самым мы определим движение твердого тела в абсолютном пространстве. Из кинематических уравнений Пуассона для центра масс, имеющего координаты $\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right.$ ) легко получить $\alpha_{3}^{\prime \prime}=-\alpha_{3}, \beta_{3}^{\prime \prime}=-\beta_{3}$ (где два штриха означают двойное дифференцирование по $\tau$ ), интегрируя которые, найдем $\alpha_{3}=\cos \tau, \beta_{3}=\frac{I_{3}}{\sqrt{I_{3}^{2}+I_{13}^{2}}} \sin \tau$. Из соотношений (6.8) получим также $\gamma_{2}=\frac{I_{13}}{\sqrt{I_{3}^{2}+I_{13}^{2}}} \sin \tau$.

Таким образом, общее решение Гриоли является периодическим (в абсолютном пространстве и по отношению ко всем апексам – в этом смысле такая регулярная прецессия является сильно вырожденной), а центр масс равномерно движется по окружности большого круга, перпендикулярного оси, наклоненной к вертикали под углом $\theta_{0}$, определенным из равенства $\operatorname{tg} \theta_{0}=\frac{\gamma_{3}}{\beta_{3}}=\frac{I_{13}}{I_{3}}$ (рис. 61). В этом смысле решение Гриоли ближе не к регулярным прецессиям, а к вращательным движениям маятникового типа.

Рис. 61. Движение главных осей тела и центра масс для решения Гриоли при $I_{1}=1$, $I_{3}=\frac{1}{2}, I_{13}=0,4, r=(0,0,-1)$ (центр масс движется по большому кругу).

На фазовом портрете (рис. 62), который при условиях (6.9), вообще говоря, является хаотическим, решение Гриоли определяется неподвижной точкой устойчивого типа (нам неизвестно, исследована ли устойчивость этих решений аналитически). Визуализация нескольких (замкнутых) характерных траекторий апексов приведена на рис. 61.

Рис. 62. Фазовый портрет (сечение плоскостью $g=\pi$ ) при условиях существования решения Гриоли (см. подпись к рис. 61). На этом сечении решение Гриоли представляется неподвижной точкой (периода 2).

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Некоторые авторы (см., например, [66]) под прецессией понимают такое движение тела, при котором для некоторой фиксированной оси в теле ее линия узлов вращается равномерно.

4. Решение Бобылева-Стеклова (1896 г.) [15, 161]

Приведем еще одно частное решение, которое получается в эллиптических квадратурах и при дополнительном условии совпадает с особым решением волчка Ковалевской, определенным четвертым классом Аппельрота. Для него гамильтониан $H$ имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+a M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+r \gamma_{1}, \quad a=\text { const }, \quad r=\text { const },
\]
т. е. в отличие от случая Ковалевской, не требуется условий вращательной симметрии эллипсоида инерции ( $a
eq 1$ ). Полагая $M_{2}=0, M_{1}=m=$ $=$ const, несложно получить $M_{3}=-\frac{r}{m} \gamma_{3}$, и используя интеграл площадей и геометрический – эллиптическую квадратуру для $\gamma_{3}$ :
\[
\dot{\gamma}_{3}=-m \sqrt{1-\gamma_{3}^{2}-\left(\frac{c m+r \gamma_{3}^{2}}{m^{2}}\right)^{2}},
\]

где $c=(M, \gamma)=$ const.

Рис. 63. Неустойчивость интегрируемого случая Ковалевской. Фазовый портрет (сечения плоскостью $g=\pi / 2$ ) возмущения случая Ковалевской при небольшом отклонении от динамической симметрии $\mathbf{A}=\operatorname{diag}(1, a, 2)$. Периодическое решение Бобылева-Стеклова сохраняется при любом значении $a$, на фазовом портрете ему соответствует неподвижная точка $l=\pi / 2, L / G=0$. Значения интегралов энергии и площадей: $h=4, c=1$. (Видна бифуркация удвоения периода.)

Как показано на рис. 63, при увеличении $a$ это решение теряет устойчивость и бифурцирует – из одного устойчивого периодического решения рождается два устойчивых и одно неустойчивое. Вблизи неустойчивого решения, сохраняющего общие черты динамики, приведенной на рис. 43, образуется стохастический слой, который, расширяясь при увеличении $a$, определяет общую хаотизацию фазового потока. Более полные компьютерные исследования остаются за рамками этой книги. Любопытно, что очень незначительное отклонение от динамический симметрии (т. е. от случая Ковалевской) порядка процента, приводит к ощутимой хаотизации портрета. Это иллюстрирует своего рода «неустойчивость» интегрируемости этого случая, т. к. соблюсти условия точной динамической симметрии технологически очень сложно. Кстати, Н.И.Мерцалов в своих натурных экспериментах имел лишь очень небольшую точность как в изготовлении самого волчка, так и в задании начальных данных. Поэтому, естественно, его фотографии ничего не были способны прояснить [69].

Устойчивость частных решений. Относительно исследования устойчивости различных частных решений в динамике твердого тела (как в интегрируемых, так и общем случаях) можно рекомендовать книги $[82,152]$. Устойчивость плоских колебаний и вращений в случаях Ковалевской с помощью нормальных форм Биркгофа исследовалась недавно А. П. Маркеевым $[122,123]$.