Недавно В. В. Соколов указал новый случай интегрируемости уравнений Кирхгофа (§1 гл. 3) с дополнительным интегралом четвертой степени. В этом параграфе мы в наиболее естественной форме указываем его обобщение на пучок скобок Пуассона вида
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \\
\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=x \varepsilon_{i j k} M_{k},
\end{array}
\]
с функциями Казимира
\[
F_{1}=x(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\gamma, \gamma), \quad F_{2}=(\boldsymbol{M}, \gamma) .
\]
На этом пучке мы рассматриваем систему с квадратичным гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\mathrm{B} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})+\frac{1}{2}(\mathbf{C} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma}),
\]
где матрица А всегда может быть выбрана диагональной $\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$, $\mathbf{C}=\left\|c_{i j}\right\|$ – симметричной, а матрица $\mathbf{B}=\left\|b_{i j}\right\|$, вообще говоря, является произвольной (с помощью линейных преобразований, сохраняющих скобку (12.1), В можно привести к симметричной, что иногда не совсем удобно).
При $x=0$ получаются классические уравнения Кирхгофа, при $x=1-$ уравнения Пуанкаре на $s o(4)$, описывающие движение тела с полостями, заполненными вихревой несжимаемой жидкостью.
Гамильтониан и дополнительный интеграл нового интегрируемого случая на пучке скобок (12.1) имеют вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+M_{3}\left(\alpha \gamma_{1}+\beta \gamma_{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right) \gamma_{3}^{2}, \alpha, \beta=\mathrm{const}
\]
\[
\begin{array}{c}
F=k_{1} k_{2}, \quad k_{1}=M_{3}, \\
k_{2}=M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}+x\left(\beta M_{1}-\alpha M_{2}\right)^{2}\right)+ \\
2\left(\alpha M_{1}+\beta M_{2}\right)\left(M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}\right)+2 \alpha M_{3}^{2}\left(\alpha \gamma_{1}+\beta \gamma_{2}\right)+ \\
M_{3}\left(\alpha \gamma_{1}+\beta \gamma_{2}\right)^{2}-\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)\left(2 M_{1} \gamma_{1}+2 M_{2} \gamma_{2}+M_{3} \gamma_{3}\right) .
\end{array}
\]
Любопытно отметить, что для функций $k_{1}, k_{2}$ выполнены равенства
\[
\dot{k}_{1}=-2\left(\beta \gamma_{1}-\alpha \gamma_{2}\right) k_{1}, \quad \dot{k}_{2}=2\left(\beta \gamma_{1}-\alpha \gamma_{2}\right) k_{2},
\]
т. е. $k_{1}=0$ и $k_{2}=0$ являются инвариантными соотношениями. Отметим, что если линейные соотношения типа $k_{1}=M_{3}=0$ существуют, например, для случаев типа Лагранжа и Гесса (имеются в виду уравнения Эйлера-Пуассона), то кубичные инвариантные соотношения в динамике твердого тела, видимо, совсем не рассматривались.
Приведем еще одну форму для дополнительного интеграла (12.4), проясняющую некоторую выделенность нулевого значения интеграла площадей
\[
\begin{aligned}
F= & M_{3}^{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}+x\left(\alpha m_{2}-\beta M_{1}\right)^{2}+2 \alpha\left(M_{3} \gamma_{1}-M_{1} \gamma_{3}\right)+\right. \\
& \left.+2 \beta\left(M_{3} \gamma_{2}-M_{2} \gamma_{3}\right)+\left(\alpha \gamma_{1}+\beta \gamma_{2}\right)^{2}+\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right) \gamma_{3}^{2}\right)+ \\
& +2 M_{3}\left(\alpha M_{1}+\beta M_{2}-\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right) \gamma_{3}\right)(\boldsymbol{M}, \gamma) .
\end{aligned}
\]
Остановимся вкратце на явном вычислении показателей Ковалевской. Нетрудно проверить, что динамическая система с гамильтонианом (12.3) и скобками (12.1) имеет ровно два однопараметрических семейства решений вида $M_{i}=X_{i} t^{-1}, \gamma_{i}=Y_{i} t^{-1}$. Первое из них задается формулами
\[
X_{3}=Y_{3}=0, \quad Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}=0, \quad 2 \alpha Y_{2}-2 \beta Y_{1}=1, \quad x_{1}=2 X_{2}\left(\alpha Y_{1}+\beta Y_{2}\right) .
\]
Для второго семейства решений
\[
\begin{array}{c}
X_{1}=\alpha Y_{3}, \quad X_{2}=\beta Y_{3}, \quad X_{3}=-\alpha Y_{1}-\beta Y_{2} \\
\left(1+x\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)\right)\left(Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2}\right)=\frac{x}{4}, \quad 2 \alpha Y_{2}-2 \beta Y_{1}=-1 .
\end{array}
\]
Для обоих семейств показатели Ковалевской одинаковы и равны $\{-1,0,1$, $2,2,2\}$, что вполне согласуется с тестом на отсутствие других особенностей на комплексной плоскости времени, кроме полюсов.
Исторический комментарий.
Интегралы четвертой степени для уравнений Кирхгофа были найдены С. А. Чаплыгиным (на $e(3)$ ) при дополнительном условии $(M, \gamma)=0$ [175]. На $s o(4)$ соответствующее (частное) семейство было указано О.И.Богоявленским [21], случай общей интегрируемости с интегралом четвертой степени был указан М. Адлером и П. ван Мёрбеке [185]. Случай (12.3) на пучке скобок не связан ни с одним из этих случаев и является существенно новым. Прежде всего это связано с природой дополнительного интеграла, который является произведением двух инвариантных соотношений.
Отметим также, что для случаев Ковалевской и Богоявленского $[175,21]$ дополнительный интеграл представим в виде $F=k_{1}^{2}+k_{2}^{2}$, где $k_{1}, k_{2}$ являются квадратичными функциями, их совместный уровень определяет некоторое инвариантное многообразие. Для случая Ковалевской оно соответствует решению Делоне.
Условия существования алгебраических интегралов уравнений Кирхгофа изучал $\rho$. Лиувилль, который опубликовал в докладах Парижской Академии наук некоторые необходимые условия [245] (кстати, как и в гамильтониане (12.3) при $b_{i j}
eq 0, i
eq j$ ), пообещав в последующих работах привести соответствующие интегралы степени более второй. Однако этих публикаций не последовало. В недавних исследованиях алгебраической интегрируемости заранее предполагалось, что все матрицы $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ являются диагональными [155]. В работах $[98,27]$ относительно аналогичной интегрируемости уравнений Кирхгофа предполагается, что матрица $\mathbf{A}$ определяется матрицей инерции I реального твердого тела $\mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}$, а все моменты инерции являются различными. Только в этом случае существуют неустойчивые периодические решения (перманентные вращения) и сепаратрисы к ним, играющие ключевую роль в соответствующих доказательствах.
