1. Уравнения движения и физические интерпретации

Пуассонова структура и уравнения движения.
Рассмотрим сначала формально гамильтонову систему на алгебре $s o(4)$ и предпошлем динамическому описанию ряд следствий из теории алгебр Ли. В зависимости от динамического происхождения рассматриваемых уравнений удобнее пользоваться различными системами переменных, которые мы обозначаем $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p})$ или $(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{S})$, связанных между собой простыми соотношениями
\[
\boldsymbol{M}=\frac{\boldsymbol{K}+\boldsymbol{S}}{2}, \quad \boldsymbol{p}=\frac{\boldsymbol{K}-\boldsymbol{S}}{2} .
\]

Переменные ( $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}$ ) соответствуют «стандартному» (матричному) представлению $s o(4)$, а коммутационные соотношения имеют вид
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, p_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} p_{k}, \quad\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k} .
\]

Функции Казимира структуры (2.1) следующие
\[
F_{1}=\boldsymbol{M}^{2}+\boldsymbol{p}^{2}, \quad F_{2}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}) .
\]

Поверхности уровня этих интегралов диффеоморфны $S^{2} \times S^{2}$, что очевидно, если записать интегралы в переменных $(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{S}$ ) (см. (2.6)).
Уравнения движения можно представить в векторной форме
\[
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\boldsymbol{p} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}, \quad \dot{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{p} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}} .
\]

Эта система переменных удобна также для описания линейного пучка пуассоновых структур $\mathscr{L}_{x}$ (см. §§3, 4 гл. 4, §§ 7, 8 гл. 5), включающего алгебры $s o(4), e(3), s o(3,1)$. Коммутационные соотношения для него имеют вид
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, p_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} p_{k}, \quad\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=-x \varepsilon_{i j k} M_{k},
\]

где $x=$ const – произвольная постоянная. При $x>0$ коммутационные соотношения (2.4) задают алгебру $s o(4)$, при $x=0-e(3)$, а при $x<0-$ $s o(3,1)$. Действительно, преобразование $\boldsymbol{M} \rightarrow \boldsymbol{M}, \boldsymbol{p} \rightarrow|x|^{1 / 2} \boldsymbol{p}$ при $|x|
eq 1$, $x
eq 0$, приводит к виду (2.1) или аналогичному виду для $s o(3,1)$.

При предельном переходе $x \rightarrow 0$ в коммутационных соотношениях (2.4) получается алгебра $e(3)$. Эта процедура носит название ретракции (контракции, стягивания) алгебр Ли и в некоторых случаях позволяет установить взаимосвязь между интегрируемыми случаями, имеющимися для уравнений на различных представителях пучка $\mathscr{L}_{x}$ (см. также [133]).

Переменные $(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{S})$ соответствуют «каноническому» разложению алгебры $s o(4)$ в прямую сумму $s o(3) \oplus s o(3)$, что является хорошо известным алгебраическим фактом
\[
\left\{K_{i}, K_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} K_{k}, \quad\left\{K_{i}, S_{j}\right\}=0, \quad\left\{S_{i}, S_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} S_{k} .
\]

В новых переменных функции Казимира принимают форму
\[
F_{1}=(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{K}), \quad F_{2}=(\boldsymbol{S}, \boldsymbol{S}) .
\]

Уравнения движения имеют вид
\[
\dot{\boldsymbol{K}}=\boldsymbol{K} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{K}}, \quad \dot{\boldsymbol{S}}=\boldsymbol{S} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{S}}
\]

и в случае квадратичного гамильтониана $H$ могут интерпретироваться как уравнения двух связанных трехмерных волчков Эйлера (на $s o(3)$ ).

Уравнения Пуанкаре-Жуковского.
Под этими уравнениями понимается гамильтонова система на $s o(4)$ с квадратичным гамильтонианом (уравнения Эйлера-Пуанкаре на $s o(4)$, см. § 2 гл. 1). В векторном представлении функция Гамильтона может быть представлена в двух эквивалентных формах
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \mathbf{B} \boldsymbol{p})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{p}, \mathbf{C} \boldsymbol{p})
\]

либо
\[
H=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{K}, \mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{K}\right)+\left(\boldsymbol{K}, \mathbf{B}^{\prime} \boldsymbol{S}\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{S}, \mathbf{C}^{\prime} \boldsymbol{S}\right),
\]

где $\mathbf{A}, \mathbf{A}^{\prime}, \mathbf{C}, \mathbf{C}^{\prime}$ – некоторые симметричные, а $\mathbf{B}, \mathbf{B}^{\prime}$ – произвольные матрицы. Между ними имеется следующая очевидная зависимость
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{A}=\mathbf{A}^{\prime}+\mathbf{B}^{\prime}+\mathbf{B}^{\prime \mathrm{T}}+\mathbf{C}^{\prime}, \quad \mathbf{B}=\mathbf{A}^{\prime}-\mathbf{B}^{\prime}+\mathbf{B}^{\prime \mathrm{T}}-\mathbf{C}^{\prime}, \\
\mathbf{C}=\mathbf{A}^{\prime}-\mathbf{B}^{\prime}-\mathbf{B}^{\prime \mathrm{T}}+\mathbf{C}^{\prime} .
\end{array}
\]

Для определенности мы будем придерживаться этих обозначений в дальнейшем.

Гамильтониан (2.8), (2.9) зависит от 21 параметра. Существует три типа простейших преобразований, которые изменяют (в частности, исключают) параметры в гамильтониане без изменения уравнений движения. К первому типу относятся групповые преобразования $S O(3) \times S O(3)$. С их помощью в представлении (2.9) матрицы $\mathbf{A}^{\prime}$ и $\mathbf{C}^{\prime}$ могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Добавление к гамильтониану произвольной линейной комбинации функций Казимира $F_{1}, F_{2}$, которые являются однородными квадратичными функциями, позволяет исключить еще два параметра. Умножение гамильтониана на произвольную константу $H \rightarrow \alpha H$ с заменой времени $t \rightarrow \frac{1}{\alpha} t$, также позволяет уменьшить число параметров на единицу. Таким образом, квадратичное семейство гамильтонианов (2.8) (либо (2.9)) определяется двенадцатью параметрами.

В дальнейшем мы обычно при подсчете числа параметров в интегрируемых семействах исключаем преобразование времени, поэтому число параметров получается на единицу больше.

Исторические комментарии. 1.
Систему (2.8) связывают с А. Пуанкаре и Н.Е.Жуковским вследствие того, что они получили их, рассматривая задачу о движении тела с полостями, заполненными вихревой жидкостью. Она рассмотрена в следующем пункте, а подробный вывод уравнений движения, использующий основные гидродинамические принципы, содержится в § 2 гл. 5 (в своем известном трактате [111] Г. Ламб также приводит вывод и некоторые
результаты А. Пуанкаре по устойчивости). В дальнейшем оказалось, что те же уравнения описывают другие механические и физические системы. Мы не стали изменять название уравнений в зависимости от таких физических аналогов.

2. В своей работе [256] А. Пуанкаре привел вполне современный вывод уравнений (2.3), (2.8), опираясь на развитый им формализм общих уравнений движения на группах $\mathcal{\lambda}_{\text {и. }}$. Он также явно указал сведение к эллиптическим квадратурам для осесимметричного случая и рассмотрел устойчивость регулярных прецессий. По этому поводу интересна его полемика с В. Кельвином относительно поведения частоты и устойчивости прецессии тела при наличии жидкой полости. При этом Пуанкаре использует систему (2.7) для описания движения Земли, представляющей собой твердую оболочку (мантию) и жидкое ядро. В дальнейшем эту модель изучает также В. А. Стеклов, приводя в работе [273] открытые им случаи интегрируемости.

3. Н.Е.Жуковский получил уравнения (2.7) в своей магистерской диссертации [78] из более простых механических и гидродинамических соображений. Далее он сосредоточился на вычислении динамических характеристик для полостей различной геометрии. Рассматривая многосвязные полости, допускающие циркуляционные течения, Н. Е. Жуковский установил случай интегрируемости, который несколько позже В. Вольтерра проинтегрировал в эллиптических функциях [280] (см. §7 гл. 2, §8 гл.
5). Циркуляционные течения в полостях приводят к появлению линейных членов в гамильтониане (2.8).

Динамика твердого тела с полостью, содержащей жидкость.
Уравнения Пуанкаре-Жуковского (2.7), (2.9) описывают движение вокруг неподвижной точки твердого тела, имеющего эллипсоидальную полость, полностью заполненную однородной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей вихревое движение $[111,125,129]$, подробный вывод этих уравнений приведен в $\S 2$ гл. 5.

Выберем систему координат, жестко связанную с оболочкой, оси которой параллельны главным осям полости. В представлении $(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{S})$ вектор $\boldsymbol{S}$ пропорционален завихренности жидкости $\Omega=\frac{1}{2} \operatorname{rot} \boldsymbol{v}$ и в системе координат оболочки его компоненты имеют вид
\[
S_{1}=\frac{2}{5} m_{0} d_{2} d_{3} \Omega_{1}, \quad S_{2}=\frac{2}{5} m_{0} d_{1} d_{3} \Omega_{2}, \quad S_{1}=\frac{2}{5} m_{0} d_{1} d_{2} \Omega_{3},
\]

где $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ – полуоси полости, а $m_{0}$ – масса жидкости. Его эволюция определяется гидродинамическими уравнениями Гельмгольца [111].

Вектор $К$ имеет смысл кинетического момента системы тело+жидкость и равен
\[
\boldsymbol{K}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+\mathbf{J} \boldsymbol{\Omega}
\]

где I – тензор инерции системы тело+жидкость, а компоненты матрицы $\mathbf{J}=\operatorname{diag}\left(J_{1}, J_{2}, J_{3}\right)$ имеют вид
\[
J_{i}=\frac{4}{5} m_{0} \varepsilon_{i j k} \frac{d_{j}^{2} d_{k}^{2}}{d_{j}^{2}+d_{k}^{2}},
\]

здесь $\boldsymbol{\omega}$ – угловая скорость твердой оболочки.
Гамильтониан представляет собсй кинетическую энергию, выраженную через переменные $(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{S})[129]$
\[
H=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{K}, \mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{K}\right)+\left(\boldsymbol{K}, \mathbf{B}^{\prime} \boldsymbol{S}\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{S}, \mathbf{C}^{\prime} \boldsymbol{S}\right),
\]

где $\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{I}^{-1}, \mathbf{B}^{\prime}=-\mathbf{D} \mathbf{I}^{-1}, \mathbf{C}^{\prime}=\mathbf{D}\left(\mathbf{I}^{-1}+\mathbf{J}^{-1}\right) \mathbf{D}$ и
\[
\mathbf{D}=\operatorname{diag}\left(\frac{2 d_{2} d_{3}}{d_{2}^{2}+d_{3}^{2}}, \frac{2 d_{1} d_{3}}{d_{1}^{2}+d_{3}^{2}}, \frac{2 d_{1} d_{2}}{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}\right) .
\]

Функция (2.10) зависит от девяти параметров – шести моментов инерции оболочки, отношений главных полуосей полости, и массы жидкости.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Обобщение уравнений Пуанкаре-Жуковского на случай наличия силового поля рассматривалось в [56]. При этом получается гамильтонова система на прямой сумме $e(3) \oplus s o(3)$. В [56] приведены, без доказательства, некоторые необходимые условия существования дополнительных аналитических и полиномиальных интегралов и указан тривиальный аналог случая Лагранжа, заведомо существующий у подобных систем.

Динамика твердого тела в $\mathbb{R}^{4}$ – четырехмерный волчок Эйлера.
Аналогичную, но менее общую форму имеют уравнения движения вокруг неподвижной точки свободного четырехмерного твердого тела в системе координат, связанной с телом. С этой точки зрения задача рассматривалась в прошлом веке В. Фрамом (1875 г.) и Ф. Шоттки (1891 г.) [21, 211, 265] (см. § 2 гл. 5). Постановка задачи о движении четырехмерного твердого тела восходит к А. Кэли.

Выберем систему главных осей тела – в этой системе тензор моментов инерции $\mathbf{J}=\left\|J_{\mu
u}\right\|=\left\|\int x_{\mu} x_{
u} d m\right\|$ имеет диагональный вид $\mathbf{J}=$ $=\operatorname{diag}\left(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)$. При этом гамильтониан можно представить в форме
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{p}, \mathbf{C p}),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{\lambda_{2}+\lambda_{3}}, \frac{1}{\lambda_{1}+\lambda_{3}}, \frac{1}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}\right), \\
\mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{\lambda_{0}+\lambda_{1}}, \frac{1}{\lambda_{0}+\lambda_{2}}, \frac{1}{\lambda_{0}+\lambda_{3}}\right) .
\end{array}
\]

Матрица $\mathbf{X} \in s o^{*}(4)$ кинетического момента твердого тела связана с его угловой скоростью $\Omega \in s o(4)$ по формуле
\[
\mathbf{X}=\frac{1}{2}(\mathbf{J} \boldsymbol{\Omega}+\boldsymbol{\Omega} \mathbf{J}),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & p_{1} & p_{2} & p_{3} \\
-p_{1} & 0 & -M_{3} & M_{2} \\
-p_{2} & M_{3} & 0 & -M_{1} \\
-p_{3} & -M_{2} & M_{1} & 0
\end{array}\right), \\
\boldsymbol{\Omega}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & \frac{p_{1}}{\lambda_{0}+\lambda_{1}} & \frac{p_{2}}{\lambda_{0}+\lambda_{2}} & \frac{p_{3}}{\lambda_{0}+\lambda_{3}} \\
-\frac{p_{1}}{\lambda_{0}+\lambda_{1}} & 0 & -\frac{M_{3}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} & \frac{M_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{3}} \\
-\frac{p_{2}}{\lambda_{0}+\lambda_{2}} & \frac{M_{3}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} & 0 & -\frac{M_{1}}{\lambda_{2}+\lambda_{3}} \\
-\frac{p_{3}}{\lambda_{0}+\lambda_{3}} & -\frac{M_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{3}} & \frac{M_{1}}{\lambda_{2}+\lambda_{3}} & 0
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Как будет показано далее, эта система является интегрируемой (случай Шоттки-Манакова). Система (2.11) описывает также интегрируемый геодезический поток некоторой метрики на группе $S O(4)$ [5].

Твердое тело в искривленном пространстве.
В виде (2.3) и (2.8) могут быть также записаны уравнения свободного движения трехмерного твердого тела в пространстве постоянной положительной кривизны $-S^{3}$ [31]. Это является следствием аналогии этой задачи с движением четырехмерного твердого тела, которую проще представить себе для случая движения «плоского» твердого тела (пластинки) в $S^{2}$. Действительно, можно считать, что пластинка на сфере эквивалентна твердому телу в $\mathbb{R}^{3}$ с неподвижной точкой в центре сферы, который соединен с пластинкой «невесомыми» образующими.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Развитие кинематики, статики и динамики твердого тела (а также системы материальных точек) в искривленных пространствах восходит к В. Клиффорду (W. K. Clifford), Р. Боллу (R. S. Ball), Р. Хиту (R. S. Неаth) (см. [107]), которые развивали теорию винтов, моторов и бикватернионов. В общем эти исследования не привели к реальным результатам и сейчас представляют лишь исторический интерес.

Твердое тело в $S^{\mathbf{3}}$ в жидкости.
Если рассматривать свободное движение твердого тела в искривленном пространстве $S^{3}$ (трехмерная сфера) в однородной несжимаемой идеальной жидкости (аналог уравнений Кирхгофа (1.1) на $e(3)$ ), то гамильтониан имеет более общую форму по сравнению с (2.11)
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \mathbf{B} \boldsymbol{p})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{p}, \mathbf{C} \boldsymbol{p})
\]

с произвольными матрицами $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$, коэффициенты которых зависят от присоединенных масс и моментов инерции тела. При этом квадратичная форма (2.14) представляет собой кинетическую энергию и является положительно определенной. Аналогично можно выписать уравнения движения твердого тела в жидкости (или пустоте) в пространстве Лобачевского $L^{3}$. Эту задачу рассматривал $Г$. Биркгоф в своей книге [12], а также Н. Е. Жуковский – в двумерном случае [77]. При этом получается гамильтонова система на алгебре $s o(3,1)$ с гамильтонианом (2.14). В нашей книге [31] приводится вывод уравнений движения твердого тела с гиростатом в искривленном пространстве. При этом в гамильтониан (2.14) добавляются линейные по $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}$ ) слагаемые. Там же приведен вывод соответствующих уравнсний для движсния в пространствс Лобачсвского.

Система взаимодействующих спинов. Классическая динамика двух взаимодействующих спинов (сферических ротаторов), соответствующих векторному представлению группы вращений, также описывается гамильтоновой системой на $s o(4)[247,210,269,270]$. Переходя от операторов спина $\widehat{\boldsymbol{S}}_{1}, \widehat{\boldsymbol{S}}_{2}$ к классическим векторам $\boldsymbol{K}=\boldsymbol{S}_{1}, \boldsymbol{S}=\boldsymbol{S}_{2}$ получим динамическую систему (2.7). Различным классическим спиновым системам соответствует гамильтонианы вида (2.9). Перекрестные члены в этом случае описывают так называемое обменное взаимодействие спинов. Для спинов во внешнем магнитном поле в гамильтониан необходимо добавить линейные слагаемые.

Наиболее общая из рассматриваемых двухспиновых систем задается гамильтонианом [247]
\[
H=-\left(\mathbf{B}^{\prime} \boldsymbol{K}, \boldsymbol{S}\right)+\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{K}, \boldsymbol{K}\right)+\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{S}, \boldsymbol{S}\right),
\]

где $\mathbf{A}^{\prime}, \mathbf{B}^{\prime}$ – некоторые диагональные матрицы.
Случай $\mathbf{A}^{\prime}=0$ соответствует так называемой двухспиновой $X Y Z$ модели, случай $a_{33}^{\prime}=b_{33}^{\prime}=0$ соответствует обобщенной двухспиновой $X Y$ модели (модели Гейзенберга, см. § 6 гл. 5).

Система (2.15) описывает также динамику двух связанных классических волчков (связку двух тел, см. §8 гл. 2), энергия взаимодействия которых зависит лишь от компонент кинетических моментов и не зависит от позиционных переменных.

2. Случаи интегрируемости

Так как пуассонова структура (2.1), (2.5) имеет две центральные функции, для интегрируемости соответствующих уравнений движения не хватает еще одного первого интеграла. В общем случае он не существует, и в фазовом пространстве имеются области с хаотическим поведением.

Известные до настоящего времени интегрируемые случаи системы (2.8), (2.9) представлены в таблице 3.2.

Общий интегрируемый случай (7), обнаруженный авторами совместно с В.В.Соколовым, более подробно рассмотрен в § 12 гл. 5 .

Поскольку алгебра $s o(4)$ допускает стандартное и каноническое представления, условия на параметры в таблице 3.2 приведены лишь для того из представлений, где они выглядят наиболее просто.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Не все интегрируемые случаи, указанные в таблице 3.2, обладают физическим содержанием, так как для уравнений Пуанкаре-Жуковского коэффициенты матриц $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ не являются произвольными и имеют достаточно ограниченную область изменения.

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Случаи интегрируемости уравнений на алгебре $e(3)$, дополнительный интеграл которых зависит лишь ог переменных $\boldsymbol{M}$, типа случаев Лагранжа и Гесса для уравнений Эйлера-Пуассона или типа случаев Кирхгофа, Чаплыгина (II) для уравнений Кирхгофа, очевидным образом переносятся на системы на пучке скобок (2.4), включающих при $x=1$ алгебру $s o(4)$. Это связано с тем, что уравнения для $\dot{M}$ для всех скобок пучка совпадают (см. ниже).

ЗАМЕЧАНИЕ 5. Относительные равновесия системы (2.3), для которых $\dot{\boldsymbol{K}}=$ $=\dot{S}=\dot{M}=\dot{\gamma}=0$ могут быть интерпретированы различным образом в зависимости от физических постановок задач. Для движения тела с вихревыми полостями они определяют частные решения, для которых движение тела представляет собой равномерное вращение вокруг некоторой оси, а вектор завихренности «заморожен» в теле. Особый интерес представляет иселедование стационарных конфигураций для модели связанных волчков, определяющей динамику цепочки спинов. Такие конфигурации, задающие некоторое когерентное состояние, имеют большое значение в квантовой физике, они рассмотрены нами в гл. 5 для конечномерного и бесконечномерного случаев.

3. Случай осевой симметрии (А.Пуанкаре)

Это простейший случай интегрируемости, для которого совпадает пара собственных значений диагональных матриц $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ (либо $\mathbf{A}^{\prime}, \mathbf{B}^{\prime}, \mathbf{C}^{\prime}$ ), т. е. $a_{11}=a_{22}, b_{11}=b_{22}, c_{11}=c_{22}$. Гамильтониан (после исключения функций (2.2)) можно представить в форме
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)+b\left(M_{1} p_{1}+M_{2} p_{2}\right)+\frac{1}{2} c\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right) .
\]

Дополнительный интеграл имеет вид $M_{3}=$ const или $K_{3}+S_{3}=$ const. Этот интеграл можно отнести к типу Лагранжа. Сведение к квадратурам, приводящее к эллиптическим функциям, было выполнено А. Пуанкаре [256] (см. также § 2 гл. 4).

4. Случай Шоттки-Манакова

В 1891 г. Ф.Шоттки в работе [265] открыл первый интегрируемый случай системы (2.8) и заметил его связь со случаем Клебша в уравнениях Кирхгофа. При этом $\mathbf{B}=0$ и гамильтониан задается формулой (2.11), а коэффициенты матриц А, С удовлетворяют соотношениям (2.12) с произвольными параметрами $\lambda_{\mu}, \mu=0, \ldots, 3$. Этот случай обычно также связывают с именем С. В. Манакова, который показал интегрируемость его $n$-мерного аналога (1976, [121]).

В представлении (2.9) для случая Шоттки-Манакова справедливо равенство $\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{C}^{\prime}$. При этих ограничениях данный случай интегрируемости является единственным в классе систем с квадратичным интегралом. Действительно, справедливо следующее утверждение (см., например [50]).

Если $\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{C}^{\prime}$ и собственные значения матрицы $\mathbf{A}^{\prime}$ различны, а матрица $\mathbf{B}^{\prime}$ невырождена, то система (2.9) допускает квадратичный интеграл тогда и только тогда, когда выполнены условия
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{A}^{\prime}=\operatorname{diag}\left(a_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, a_{3}^{\prime}\right), \quad \mathbf{B}^{\prime}=\operatorname{diag}\left(b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{3}^{\prime}\right), \\
b_{1}^{\prime 2}\left(a_{2}^{\prime}-a_{3}^{\prime}\right)+b_{2}^{\prime 2}\left(a_{3}^{\prime}-a_{1}^{\prime}\right)+b_{3}^{\prime 2}\left(a_{1}^{\prime}-a_{2}^{\prime}\right)+ \\
+\left(a_{1}^{\prime}-a_{2}^{\prime}\right)\left(a_{2}^{\prime}-a_{3}^{\prime}\right)\left(a_{3}^{\prime}-a_{1}^{\prime}\right) k^{2}=0, \quad k^{2}=1 .
\end{array}
\]

Те же условия интегрируемости указаны в физических работах [247, 269], посвященных динамике двухспиновой модели (2.15). Кроме того, авторы [247] независимо открыли случай Шоттки, известный более чем за столетие до них.

ЗАМЕЧАНИЕ 6. Исследование алгебраической интегрируемости системы (2.3), (2.8) содержится в работе [226], при помощи метода Ковалевской данная система исследована М. Адлером и П. ван Мёрбеке $[187,186,185]$, где также обсуждается интегрируемость. В работе [185] найден новый интегрируемый случай. Условия мероморфности решения на комплексной плоскости времени получены в работах $[37,38]$. Они заключаются в том, что в равенстве (2.16) $k$ должно быть целым нечетным числом. Необходимые условия алгебраической интегрируемости получены также в работе [206], при этом $k$ должно быть рациональным.

Известно следующее симметричное представление инволютивных интегралов (см., например, [254]). При помощи кососимметрической матрицы $\mathbf{X}=\left\|X_{\mu
u}\right\|$ (2.13) их можно записать следующим образом
\[
G_{\mu}=\sum_{
u=0}^{3} \frac{X_{\mu
u}^{2}}{\lambda_{\mu}^{2}-\lambda_{
u}^{2}}, \quad \mu=0, \ldots, 3 .
\]

Справедливы следующие равенства
\[
\sum_{\mu=0}^{3} G_{\mu}=0, \quad \sum_{\mu=0}^{3} \lambda_{\mu} G_{\mu}=2 H, \quad \sum_{\mu=0}^{3} \lambda_{\mu}^{2} G_{\mu}=F_{1},
\]

где $F_{1}=\boldsymbol{M}^{2}+\boldsymbol{p}^{2}-$ функция Казимира, $\boldsymbol{H}$ – гамильтониан Шоттки (2.11).
Таким образом, линейная комбинация четырех интегралов (2.17) на каждой поверхности уровня функций Казимира задает пятипараметрическое семейство интегрируемых квадратичных гамильтонианов (три параметра – разности $\lambda_{\mu}^{2}-\lambda_{
u}^{2}$, два параметра – коэффициенты линейной комбинации, после исключения функций Казимира). Гамильтониан случая Шотки-Манакова входит в семейство (2.17).

В несколько иной форме, содержащей произвольный параметр, квадратичное семейство (2.17) было записано Ф. Шоттки [265]. Оно имеет вид
\[
Q(s)=\sum_{\text {цикл. } i, j, k}\left(\sqrt{\left(s-a_{i}\right)\left(s-a_{4}\right)} M_{i}+\sqrt{\left(s-a_{j}\right)\left(s-a_{k}\right)} p_{i}\right)^{2} .
\]

Это семейство было переоткрыто Л. Хайне в работе [226].
Впервые представление Лакса с рациональным спектральным параметром (для общего $n$-мерного случая) найдено в работе С. В. Манакова [121]. Уравнения движения (2.3) с гамильтонианом (2.11) допускают представление в форме Лакса на матрицах, линейно зависящих от произвольного параметра $\lambda$ :
\[
\frac{d}{d t}\left(\mathbf{X}+\lambda \mathbf{J}^{2}\right)=\left[\mathbf{X}+\lambda \mathbf{J}^{2}, \boldsymbol{\Omega}+\lambda \mathbf{J}\right],
\]

где $\mathbf{X}, \mathbf{\Omega}$ определены формулой (2.13), а $\mathbf{J}$ – тензор инериии (симметричная, положительно определенная матрица).

Инволютивные интегралы движения получаются разложением в ряд по $\lambda$ функций $P_{k}(\lambda)=\operatorname{tr}\left(\mathbf{X}+\lambda \mathbf{J}^{2}\right)$; . Это семейство является полным, т. е. интегралов достаточно для интегрируемости. Другие представления Ласка со спектральным параметром, а также их связь с бигамильтоновостью рассмотрены в $[24,31,168]$.

При помощи ретракции алгебра $s o(4)$ переходит в алгебру $e(3)$, при этом случай Шоттки-Манакова переходит в случай Клебша (С. П. Новиков, [133]). Действительно, выполним следующие замены переменных и параметров
\[
\boldsymbol{p} \rightarrow \frac{\gamma}{\sqrt{x}}, \quad \lambda_{0} \rightarrow-\frac{1}{\sqrt{c x}}
\]

где $c$ – некоторая константа. Рассмотрим предельный переход $x \rightarrow 0$ в получающихся коммутационных соотношениях и соответствующих интегралах (2.4). Интегралы (2.17) при данной параметризации принимают форму (1.12).

Исключая из гамильтониана (указанного в таблице 3.2) бесконечное (при $x \rightarrow 0$ ) слагаемое, пропорциональное функции Казимира по правилу $H \rightarrow H+\frac{\sqrt{c}}{2 \sqrt{x}}\left(\gamma^{2}+x M^{2}\right)$, получим функцию Гамильтона для случая Клебша (см. § 1 гл. 3) на $e(3)$ в виде
\[
H=\frac{1}{2}\left(\frac{M_{1}^{2}}{\lambda_{2}+\lambda_{3}}+\frac{M_{2}^{2}}{\lambda_{3}+\lambda_{1}}+\frac{M_{3}^{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}\right)+\frac{c}{2}\left(\lambda_{1} \gamma_{1}+\lambda_{2} \gamma_{2}+\lambda_{3} \gamma_{3}\right) .
\]

Интеграл Клебша в этом случае представляется в форме
\[
K=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}+c\left(\lambda_{1}^{2} \gamma_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2} \gamma_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2} \gamma_{3}^{2}\right) .
\]

ЗАмЕЧАНИЕ 7. При замене (2.19) получается семейство интегралов, зависящих от параметра $-G_{\mu}(x), \mu=0, \ldots, 3$, остающихся инволютивными при произвольном $x$, т. е. на всем пучке $\mathscr{L}_{x}$.

Оказывается, что случай Шоттки-Манакова и Клебша связаны не только ретракцией, но и являются линейно изоморфными (А.И.Бобен-

ко, [14]). Соответствующее преобразование имеет вид
\[
\begin{array}{c}
M_{1}=\sqrt{\left(\lambda_{2}^{2}-\lambda_{0}^{2}\right)\left(\lambda_{3}^{2}-\lambda_{0}^{2}\right)} L_{1}, \quad M_{2}=\sqrt{\left(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{0}^{2}\right)\left(\lambda_{3}^{2}-\lambda_{0}^{2}\right)} L_{2}, \\
M_{3}=\sqrt{\left(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{0}^{2}\right)\left(\lambda_{2}^{2}-\lambda_{0}^{2}\right)} L_{3}, \\
p_{1}=\sqrt{\lambda_{1}^{2}-\lambda_{0}^{2}} \gamma_{1}, \quad p_{2}=\sqrt{\lambda_{2}^{2}-\lambda_{0}^{2}} \gamma_{2}, \quad p_{3}=\sqrt{\lambda_{3}^{2}-\lambda_{0}^{2}} \gamma_{3} .
\end{array}
\]

Уравнения движения для переменных $(\boldsymbol{L}, \gamma)$ соответствуют случаю Клебша на алгебре $e(3)$ с гамильтонианом вида
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{L}, \mathbf{A} \boldsymbol{L})+\frac{1}{2}(\gamma, \mathbf{C} \boldsymbol{\gamma}) \\
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(-\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{0}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{0}\right)}{\lambda_{2}+\lambda_{3}},-\frac{\left(\lambda_{1}-\lambda_{0}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{0}\right)}{\lambda_{1}+\lambda_{3}},-\frac{\left(\lambda_{1}-\lambda_{0}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{0}\right)}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}\right) \\
\mathbf{C}=\left(\frac{1}{\lambda_{1}+\lambda_{0}}, \frac{1}{\lambda_{2}+\lambda_{0}}, \frac{1}{\lambda_{3}+\lambda_{0}}\right) .
\end{array}
\]

Как показано $A$. В. Болсиновым [23], линейный изоморфизм существует и для многомерных аналогов рассматриваемых задач. Хотя явное преобразование (2.20) было указано [14], на уровне сходства интегралов движения обеих систем его неявно использовал еще Ф.Шоттки (1891 г.) [265]. Топологический анализ и бифуркационные диаграммы имеются в работе А. А. Ошемкова [140] (см. также книгу [25]). В силу линейного изоморфизма со случаем Клебша результаты этого анализа эквивалентны полученным в работе [143].

5. Случай Стеклова

Другой случай интегрируемости, для которого в гамильтониане (2.8) имеются перекрестные члены (т.е. матрица $\mathbf{B}
ot \equiv 0$ ), найден в работе В. А. Стеклова [273]. Необходимые и достаточные условия квадратичной интегрируемости были анонсированы А.П.Веселовым [50].

Пусть гамильтониан $H$ задан в представлении (2.10), причем собственные значения как матрицы $\mathbf{A}^{\prime}$, пак и матрицы $\mathbf{C}^{\prime}$ различны, а матрица $\mathbf{B}^{\prime}$ невырождена ( $\operatorname{det} \mathbf{B}^{\prime}
eq 0$ ). Тогда для существования дополнительного квадратичного, независимого с $H, F_{1}, F_{2}$ интеграла движения

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{A}^{\prime}=\operatorname{diag}\left(a_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, a_{3}^{\prime}\right), \quad \mathbf{B}^{\prime}=\operatorname{diag}\left(b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{3}^{\prime}\right), \quad \mathbf{C}^{\prime}=\operatorname{diag}\left(c_{1}^{\prime}, c_{2}^{\prime}, c_{3}^{\prime}\right) \\
b_{1}^{\prime 2}\left(a_{2}^{\prime}-a_{3}^{\prime}\right)+b_{2}^{\prime 2}\left(a_{3}^{\prime}-a_{1}^{\prime}\right)+b_{3}^{\prime 2}\left(a_{1}^{\prime}-a_{2}^{\prime}\right)+ \\
+\left(a_{1}^{\prime}-a_{2}^{\prime}\right)\left(a_{2}^{\prime}-a_{3}^{\prime}\right)\left(a_{3}^{\prime}-a_{1}^{\prime}\right)=0 \\
b_{1}^{\prime 2}\left(c_{2}^{\prime}-c_{3}^{\prime}\right)+b_{2}^{\prime 2}\left(c_{3}^{\prime}-c_{1}^{\prime}\right)+b_{3}^{\prime 2}\left(c_{1}^{\prime}-c_{2}^{\prime}\right)+ \\
+\left(c_{1}^{\prime}-c_{2}^{\prime}\right)\left(c_{2}^{\prime}-c_{3}^{\prime}\right)\left(c_{3}^{\prime}-c_{1}^{\prime}\right)=0
\end{array}
\]

Для описания инволютивного семейства интегралов, аналогичного (2.17), введем кососимметричные матрицы $\mathbf{K}, \mathbf{S}, \mathbf{M}, \mathbf{P}$, соответствующие векторам $\boldsymbol{K}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{M}, \boldsymbol{P}$, компоненты которых определим по формулам
\[
\begin{array}{l}
K_{i j}=-\varepsilon_{i j k} K_{k}, \quad S_{i j}=-\varepsilon_{i j k} S_{k}, \\
M_{i j}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad P_{i j}=-\varepsilon_{i j k} p_{k} .
\end{array}
\]

Интегралы могут быть представлены через компоненты этих матриц в форме [24, 31]
\[
G_{i}=\sum_{j
eq i}^{3} \frac{\left(\lambda_{j} K_{i j}+\lambda_{i} S_{i j}\right)^{2}}{\lambda_{i}^{2}-\lambda_{j}^{2}}, \quad i=1,2,3,
\]

например, $G_{1}$ имеет вид (остальные получаются циклической перестановкой индексов)
\[
G_{1}=\frac{\left(\lambda_{2} K_{3}+\lambda_{1} S_{3}\right)^{2}}{\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}}+\frac{\left(\lambda_{3} K_{2}+\lambda_{1} S_{2}\right)^{2}}{\lambda_{1}^{2}-\lambda_{3}^{2}} .
\]

Для функций $G_{i}$ выполнено соотношение
\[
\sum_{i=1}^{3} G_{i}=-\boldsymbol{K}^{2}+\boldsymbol{S}^{2}
\]

Следовательно, набор (2.23) определяет двумерное семейство интегрируемых случаев, которое задается двумя параметрами (в случае $\lambda_{3}
eq 0$ можно использовать, например, отношения $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{3}}, \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{3}}$ ).

Случай Стеклова обычно связывают с гамильтонианом вида (по аналогии с уравнениями Кирхгофа, см. § 1 гл. 3)
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \lambda_{i}^{4} G_{i}=\frac{1}{2} \sum_{\text {цикл.пер. } i, j, k}\left(\lambda_{i} \lambda_{j} K_{k}+\left(\lambda_{i}^{2}+\lambda_{j}^{2}\right) S_{k}\right)^{2} .
\]

Он получается из семейства (2.23) суммированием и последующей заменой параметров.

Для семейства Стеклова, по аналогии со случаем Шоттки-Манакова может быть выполнена ретракция к интегрируемому семейству Стеклова-Ляпунова для уравнений Кирхгофа (1.1). Чтобы показать это, выполним следующую замену переменных, параметров и интегралов (2.23)
\[
\begin{array}{c}
p \rightarrow \frac{\gamma}{\sqrt{x}}, \\
\lambda_{i} \rightarrow 1+\sqrt{x} \lambda_{i}, \quad G_{i} \rightarrow \sqrt{x} G_{i}, \quad i=1,2,3 .
\end{array}
\]

Семейство получающихся интегралов, зависящих от параметра $G_{i}(x)$ остается инволютивным на всем пучке (2.4), и при $x \rightarrow 0$ они принимают форму (1.13), указанную в предыдущем параграфе.

ЗАМЕЧАНИЕ 8. В работе [14] ретракция интегрируемых случаев выполнена несколько иным образом. При этом используется симметричная форма параметризации случаев Стеклова на $s o(4)$ при помощи эллиптических функций.
Линейная замена переменных вида
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{M}=\mathbf{J K} \mathbf{J}+\frac{1}{2}\left(\mathbf{J}^{2} \mathbf{S}+\mathbf{S}^{2}\right), \quad \mathbf{P}=\mathbf{S}, \\
\mathbf{J}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)
\end{array}
\]

переводит семейство (2.23) в семейство Стеклова – Ляпунова (1.13) уравнений Кирхгофа [24, 31], т. е. аналогично случаям Клебша и Шоттки-Манакова, они являются линейно изоморфными.

Другое, менее симметричное представление семейства инволютивных интегралов в случае Стеклова найдено О.И.Богоявленским [21] (см. также $[19,20]$ )
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=\left(\sqrt{\frac{\alpha_{1}-\alpha_{3}}{\alpha_{1}-\alpha_{2}}} K_{1}+\sqrt{\frac{\beta_{1}-\beta_{3}}{\beta_{1}-\beta_{2}}} S_{1}\right)^{2}+\left(\sqrt{\frac{\alpha_{2}-\alpha_{3}}{\alpha_{1}-\alpha_{2}}} K_{2}+\sqrt{\frac{\beta_{2}-\beta_{3}}{\beta_{1}-\beta_{2}}} S_{2}\right)^{2}, \\
I_{2}=\left(\sqrt{\frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{\alpha_{1}-\alpha_{3}}} K_{1}+\sqrt{\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{\beta_{1}-\beta_{3}}} S_{1}\right)^{2}-\left(\sqrt{\frac{\alpha_{2}-\alpha_{3}}{\alpha_{1}-\alpha_{3}}} K_{3}+\sqrt{\frac{\beta_{2}-\beta_{3}}{\beta_{1}-\beta_{3}}} S_{3}\right)^{2}, \\
I_{3}=\left(\sqrt{\frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{\alpha_{2}-\alpha_{3}}} K_{2}+\sqrt{\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{\beta_{2}-\beta_{3}}} S_{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{\frac{\alpha_{1}-\alpha_{3}}{\alpha_{2}-\alpha_{3}}} K_{3}+\sqrt{\frac{\beta_{1}-\beta_{3}}{\beta_{2}-\beta_{3}}} S_{3}\right)^{2},
\end{array}
\]

где $\alpha_{i}, \beta_{i}$ – произвольные параметры.

6. Случай интегрируемости с интегралом четвертой степени (М. Адлер, П. ван Мёрбеке)

Общий случай интегрируемости, найденный М. Адлером и П. ван Мёрбеке [185], до сих пор является в динамике твердого тела наиболее сложным и наименее изученным. Он не имеет аналогов для уравнений Кирхгофа, а при ретракции гамильтониан вырождается в функцию Казимира алгебры $e(3)$.

В оригинальной статье [185] дополнительный интеграл, имеющий четвертую степень, был указан в очень громоздкой и несимметричной форме. А. Рейман и М. Семенов-Тян-Шанский несколько позже указали для этого случая спектральное представление Лакса, использовав для его построения особую алгебру $\mathfrak{g}_{2}$ [260]. В работе [24] аналогичная $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пара получена более естественным образом, соответствующая конструкция также связана с алгеброй $\mathfrak{g}_{2}$ и наличием согласованной пуассоновой структуры. Однако получающийся из $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары интеграл требует дополнительных и нетривиальных упрощений, проведенных нами – после которых и получается указанная в таблице 3.2 форма.

Отметим, что А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко в работе [127] имели все возможности найти этот случай с помощью развиваемого ими метода сдвига аргумента, но этому, видимо, препятствовал слишком формализованный и общий стиль рассуждений. Любопытно, что в своих последующих книгах А. Т. Фоменко (см. например, [166]), приводя этот случай, ссылается на работу [260], так и не замечая связи со своей конструкцией.

Для случая Адлера -ван Мёрбеке до сих пор неизвестны разделяющие переменные, не выполнен также топологический анализ. Его существование во многом связано с особой симметрией $s o(4)$, допускающей вещественное представление в виде прямой суммы $s o(3) \oplus s o(3)$, он отсутствует на $s o(3,1)$ и не допускает многомерных обобщений.

7. Частные случаи при $(M, p)=0$

О.И. Богоявленский указал два частных случая интегрируемости уравнений Пуанкаре-Жуковского с интегралом четвертой степени [16].

Первый случай Богоявленского при ретракции переходит в случай Чаплыгина (I) уравнений Кирхгофа, чтобы сделать эту связь более очевидной, запишем гамильтониан и интеграл на пучке скобок $\mathscr{L}_{x}(2.4)$
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(\alpha_{2} M_{1}^{2}+\alpha_{1} M_{2}^{2}+\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) M_{3}^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(p_{1}^{2}-p_{2}^{2}\right), \\
F=\left(\alpha_{1} M_{1}^{2}-\alpha_{2} M_{2}^{2}-\left(a_{1}-a_{2}\right) p_{3}^{2}\right)^{2}+4 \alpha_{1} \alpha_{2} M_{1} M_{2}, \\
\alpha_{1}=1-x a_{1}, \quad \alpha_{2}=1-x a_{2}, \quad a_{1}, a_{2}=\text { const. }
\end{array}
\]

При $x=1$ получим случай интегрируемости, указанный в таблице 3.2. Отметим, что при $x
eq 0$ гамильтониан (2.27) описывает движение динамически несимметричного тела, моменты инерции которого подчиняются соотношению $\left(I_{1}^{-1}+I_{2}^{-1}=I_{3}^{-1}\right)$.

В § 7 гл. 5 приведено более общее семейство частных интегрируемых случаев на пучке скобок $\mathscr{L}_{x}$, частными случаями которого являются: случай Ковалевской уравнений Эйлера-Пуассона, случай Чаплыгина (I) уравнений Кирхгофа и случай Богоявленского (I) уравнений Пуанкаре-Жуковского, а также различные гиростатические обобщения.

Второй случай Богоявленского задается гамильтонианом вида
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{4}\left(\left(a_{2}+a_{3}\right) p_{1}^{2}+\left(a_{1}+a_{3}\right) p_{2}^{2}+\left(a_{1}+a_{2}\right) p_{3}^{2}\right) .
\]

В этом случае система допускает три различных интеграла вида
\[
\begin{array}{c}
F_{i}=\left(\left(a_{i}-a_{j}\right) p_{k}^{2}-\left(a_{i}-a_{k}\right) p_{j}^{2}-\left(a_{j}-a_{k}\right) p_{i}^{2}\right)+4\left(a_{i}-a_{j}\right)\left(a_{i}-a_{k}\right) p_{i}^{2} p_{k}^{2}, \\
i, j, k=1,2,3, \quad i
eq j
eq k
eq i .
\end{array}
\]

Среди этих интегралов независимый тишь один; действительно, несложно показать, что они связаны линейным соотношением
\[
\alpha F_{1}+\beta F_{2}+\gamma F_{3}=0, \text { при условии } \alpha+\beta+\gamma=0 .
\]

Для проведения ретракции на $e(3)$ полагаем $p_{i} \rightarrow \frac{p_{i}}{\sqrt{x}}, H \rightarrow x H$, и при $x \rightarrow 0$ получим интегрируемый случай уравнений Кирхгофа с линейными интегралами, причем его кинетическая энергия равна нулю.

8. Обобщение случая Гесса

Как отмечено выше (см. п. 2), вследствие того, что для уравнений Пуанкаре-Жуковского тройка уравнений для вектора $\dot{M}$ совпадает с аналогичными в уравнениях Кирхгофа, существует также инвариантное соотношение типа Гесса
\[
\sqrt{a_{3}-a_{2}} M_{3} \pm \sqrt{a_{2}-a_{1}} M_{1}=0, \quad a_{1}<a_{2}<a_{3} .
\]

При этом, также как и в уравнениях Кирхгофа, слагаемые в гамильтониане (2.8), содержащие $p$, должны быть инвариантны относительно вращений вокруг перпендикуляра к круговому сечению гирационного эллипсоида.

Инвариантное соотношение (2.29) определяет выделенный тор в фазовом пространстве, на котором решение может быть получено в квадратурах. Процедура интегрирования может быть выполнена при помощи результатов $\S \S 1,3$ гл. 4. Это обобщение случая Гесса ранее, по-видимому, не указывалось, хотя и является достаточно естественным.

9. Интегрируемые обобщения с линейными слагаемыми в гамильтониане

Аналогично уравнениям Кирхгофа, можно придать механический смысл уравнениям (2.3), (2.7), если гамильтониан $H$, помимо квадратичных, содержит линейные слагаемые. В зависимости от физических постановок, описанных в первом пункте, их можно интерпретировать по-разному. Так для динамики твердого тела с жидкостью это – наличие многосвязных полостей в теле, для четырехмерного волчка Эйлера – добавление уравновешенного четырехмерного гиростата, для твердого тела в искривленном пространстве – добавление уравновешенного трехмерного гиростата (соответствующий вывод см. §2 гл. 5), для твердого тела на $S^{3}$ в жидкости многосвязность твердого тела, движущегося в жидкости, для цепочки спинов постоянное внешнее магнитное поле, в которое помещена цепочка спинов.

Аналогично уравнениям Кирхгофа здесь также можно указать интегрируемые случаи, обобщающие указанные в таблице 3.2. Случаи 1,6 , связанные с вращательной симметрией, обобщаются очень просто – добавляется гиростат вдоль оси симметрии (см. подробнее § 1 и §3 гл. 4). Для случаев Шоттки, Адлера-ван-Мёрбеке, Богоявленского (II) подобных обобщений не найдено.

Обобщение случая Стеклова приводит к интегрируемому случаю, являющемуся аналогом случая Рубановского для уравнений Кирхгофа. Впервые он был указан О.И. Богоявленским [21] в плохо обозримом виде. Мы укажем здесь наиболее симметричное выражение.

Аналог случая Рубановского на so(4).
В симметричной форме соответствующее инволютивное семейство интегралов можно представить следующим образом
\[
\begin{array}{c}
J_{s}=G_{s}+\frac{1}{\left(\lambda_{s}^{2}-\lambda_{m}^{2}\right)\left(\lambda_{s}^{2}-\lambda_{n}^{2}\right)} \sum_{\text {цикл.пер. } i j k} r_{k}\left(\lambda_{i} \lambda_{j} K_{k}+\lambda_{s}^{2} S_{k}\right), \\
s, m, n=1,2,3,
\end{array}
\]

где $r_{i}, i=1,2,3$ – три дополнительных произвольных параметра. Например, интеграл $J_{1}$ имеет следующее явное выражение (остальные получаются циклической перестановкой)
\[
J_{1}=G_{1}+\frac{r_{1}\left(\lambda_{2} \lambda_{3} K_{1}+\lambda_{1}^{2} S_{1}\right)+r_{2}\left(\lambda_{3} \lambda_{1} K_{2}+\lambda_{1}^{2} S_{2}\right)+r_{3}\left(\lambda_{1} \lambda_{2} K_{3}+\lambda_{1}^{2} S_{3}\right)}{\left(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}\right)\left(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{3}^{2}\right)} .
\]

Для этих интегралов также справедливо соотношение (2.24), с учетом замены $G_{i} \rightarrow J_{i}, i=1,2,3$. Гамильтониан и дополнительный интеграл можно представить в форме
\[
\begin{array}{c}
H=\sum_{i} \lambda_{i} J_{i}=\sum_{\text {цикл. }}\left(\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right) S_{k}^{2}-\frac{\lambda_{i} \lambda_{j}}{\lambda_{i}+\lambda_{j}}\left(S_{k}+K_{k}\right)^{2}-\right. \\
\left.-\lambda_{i} \lambda_{j} r_{k}\left(S_{k}+K_{k}\right)+\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right)^{2} r_{k} S_{k}\right), \\
F=\sum_{i} \lambda_{i}^{2} J_{i}=\sum_{\text {цикл. }}\left(\left(\lambda_{i}^{2}+\lambda_{j}^{2}\right) S_{k}^{2}+2 \lambda_{i} \lambda_{j} S_{k} K_{k}\right)+(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{S}) .
\end{array}
\]

Представление Лакса для этого случая приведено в [208].

Обобщение первого случая Богоявленского.
Интегрируемая система (2.27) также допускает обобщения, при котором добавляется постоянный гиростатический момент $\lambda$ вдоль оси $O M_{3}$, хотя в данном случае она и не является осью симметрии. Гамильтониан и интеграл имеют вид (мы также используем их представление на пучке $\mathscr{L}_{x}$ для большей ясности)
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2}\left(\alpha_{2} M_{1}^{2}+\alpha_{1} M_{2}^{2}+\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) M_{3}^{2}\right)-\lambda M_{3}-\frac{1}{2}\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(p_{1}^{2}-p_{2}^{2}\right), \\
F & =\left(\alpha_{1} M_{1}^{2}-\alpha_{2} M_{2}^{2}-\left(a_{1}-a_{2}\right) \gamma_{3}^{2}\right)^{2}+4 \alpha_{1} \alpha_{2} M_{1}^{2} M_{2}^{2}+ \\
& +4 \lambda\left(M_{3}\left(\alpha_{1} M_{1}^{2}+\alpha_{2} M_{2}^{2}\right)+\left(a_{1}-a_{2}\right) p_{3}\left(M_{1} p_{1}-M_{2} p_{2}\right)\right)-4 \lambda^{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right),
\end{aligned}
\]

где $\alpha_{1}=1-x a_{1}, \alpha_{2}=1-x a_{2}, a_{1}, a_{2}=$ const. В приведенном виде это обобщение, видимо, указано авторами [34, 197]. В § 7 гл. 5 этот случай включен в еще более богатое по числу свободных параметров семейство, определенное также на пучке $\mathscr{L}_{x}$ скобок Пуассона.