Главная > ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (А.В.Борисов, И.С.Мамаев)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Здесь мы приводим ряд сведений об ученых, получивших основные результаты, приведенные в книге. При этом мы касаемся их достижений только в динамике твердого тела, тогда как большинство из них получили также известные результаты в других областях математики и механики. Эти краткие очерки могут быть полезными для понимания эволюции основных идей и методов, а также для устранения некоторых исторических неточностей.
Все очерки даны в хронологическом порядке.

Эйлер, Леонард (15.4.1707-18.9.1783) – великий математик и механик. Родился в Швейцарии, значительную часть жизни провел в России (1727-41, 1766-83). Эйлер оставил вклад почти во всех разделах математики, его творчество трудно обозримо и включает более 865 исследований.
В динамике твердого тела Эйлер разработал тео-
Л. Эйлер рию моментов инерции и получил формулу распределения скоростей в твердом теле. В 1750 г. он получил уравнения движения в неподвижной системе координат, которые оказались малопригодными для применения. В цикле работ 1758-1765 гг. Эйлер впервые ввел подвижную систему координат, связанную с телом, и получил уравнения Эйлера Пуассона в окончательной форме (вклад Пуассона, отразившийся в названии, видимо, состоит в систематическом их изложении в своем известном курсе механики). В них также используются углы Эйле$\mathrm{pa}$, получены кинематические соотношения, носящие имя Эйлера, а также указан случай интегрируемости при отсутствии поля тяжести. Этот случай Эйлер доводит до квадратур и разбирает различные частные решения. Отметим также вклад Эйлера в прикладные науки – кораблестроение, артиллерию, теорию турбин, сопротивление материалов.

Лагранж, Жозеф Луи (25.1.1736-10.4.1813) – великий французский математик, механик, астроном. В своем знаменитом трактате «Аналитическая механика» (в 2 -х томах), наряду с общим формализмом динамики, привел уравнения движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле, используя связанную с телом систему координат, проекции кинетического момента и направляющие косинусы (том II). Там же указан случай интегрируемости, характеризующийся осевой симметрией, который был доведен им до квадратур. Следуя своему принципу избегать чертежей, Лагранж не приводит геометрического изучения движения, а рисунки поведения апекса, вошедшие ранее почти во все учебники по механике, впервые появились в работе Пуассона (1815 г.), который рассмотрел эту задачу как совершенно новую. Пуассон, тем не менее, систематизировал обозначения, усложняющие понимание трактатов Даламбера, Эйлера и Лагранжа и рассмотрел различные частные случаи движения (случай Лагранжа в некоторых учебниках называют случаем Лагранжа-Пуассона). В свою очередь Лагранж упростил решение для случая Эйлера и дал прямое доказательство существования вещественных корней уравнения третьей степени, определяющих положение главных осей. Отметим также вклад Лагранжа в теорию возмущений, позволивший Якоби рассмотреть задачу о возмущении волчка Эйлера и получить систему соответствующих «оскулирующих» переменных.

Пуансо, Луи (3.1.1777-5.12.1859) – французский инженер, механик и математик. Дал геометрическую интерпретацию случая Эйлера, ввел понятия эллипсоида инерции, мгновенной оси вращения и связанные с ней понятия – полодий и герполодий (1851 г.). Привел геометрический анализ устойчивости вращения твердого тела вокруг главных осей эллипсоида инерции. Пуансо, в противовес Лагранжу, настаивал на преимуществе геометрических методов в механике над аналитическими – «во всех этих решениях мы видим только вычисления без Л. Пуансо какой-либо ясной картины движения тела» [252]. Идеи Пуансо далее были поддержаны и развиты Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Геометрический метод Пуансо использовал также при изучении статики («Элементы статики», 1803 г.).

Кирхгоф, Густав Роберт (12.3.1824-17.10.1887) немецкий физик и механик. В своих «Лекциях по математической физике» (1874-94, т. 1-4) заложил основы современной теории упругости, гидродинамики, оптики и электродинамики. Указал аналогию между уравнениями Эйлера-Пуассона и уравнениями изгиба упругой линии. Развивая идею Томсона и Тэта, све. задачу о движении твердого тела в идеальной жидкости к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Нашел интегрируемый случай, характеризующийся осевой симметрией. Он привел его решение в эллиптических функциях и рассмотрел различные частные движения.

Клебш, Рудольф Фридрих Альфред (19.1.18337.11.1872) – немецкий математик и механик. Основал журнал Mathematishe Annalen, который на протяжении шестидесяти лет являлся ведущим математическим журналом. Был специалистом по проективной геометрии и теории инвариантов алгебраических форм. Для уравнений Кирхгофа предложил новую форму записи, эквивалентную переходу от лагранжева описания к гамильтонову. Для этих уравнений указал случай существования дополнительного квадратичного интеграла, который, как потом выяснилось, тождественен интегралам Бруна и Тиссерана.

Жуковский, Николай Егорович (17.1.1847- 17.3.1921) – русский механик, математик, инженер, по выражению В.И.Ленина – «отец русской авиации». В своей магистерской диссертации (1885 г.) заложил основы теории движения твердого тела с полостями, полностью заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Для многосвязных полостей отметил эквивалентность полученной формы уравнений с движением твердого тела с маховиком – гиростатом, ввел соответствующие динамические характеристики и провел их вычисления для полостей различной формы. Указал случай интегрируемости свободного гиростата, явное решение для которого было получено В. Вольтерра при помощи эллиптических функций (1899).

Исследовал «плоские» движения твердого тела в пространстве Лобачевского. Предложил геометрическую интерпретацию и свой метод сведения к квадратурам случая Ковалевской, при котором исследуется некоторая вспомогательная система криволинейных координат. Заметил маятниковый характер движения центра масс для случая Гесса, предложив для него интересное геометрическое исследование. В связи со своими исследованиями по гидроаэромеханике рассмотрел ряд модельных постановок задач о плоских движениях пластинок под действием подъемной силы, обусловленН. Е. Жуковский ной циркуляцией. В механике идеалом решения для Н. Е. Жуковского было геометрически наглядная и ясная картина движения, подобная интерпретации Пуансо. Отметим, однако, что полученные самим Жуковским интерпретации движения гиростата и случая Ковалевской достаточно сложны и не столь естественны.

Ковалевская, Софья Васильевна (15.1.185010.2.1891) – знаменитая русская женщина-математик. В 1874 г. защитила диссертацию в Геттингене и получила степень доктора философии, в 1884 г. – заняла кафедру математики в Стокгольмском университете, в 1889 г. была избрана членом-корреспондентом Петербургской Академии наук. Являлась членом редколлегии журнала «Acta Mathematica». Первая в мире женщина – профессор математики.

За открытие, после Эйлера и Лагранжа, третьего случая интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона ей была присуждена премия Бордена (1888 г.), а за вторую работу о вращении твердого тела – премия Шведской Королевской Академии наук. В этих работах был также предложен так называемый метод Ковалевской, являющийся широко используемым тестом на интегрируемость и связанный с поведением общего решения на комплексной плоскости времени, а также получены явные квадратуры, использующие тэта-функции двух переменных. Преобразования, проведенные Ковалевской, до сих пор являются далеко не тривиальными и не поддаются какому-либо существенному упрощению.

Ковалевская занималась также общими вопросами интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными (теорема Коши-Ковалевской), устойчивостью колец Сатурна, распространением света в кристаллах.

Обладая эпистолярным талантом, Ковалевская оставила после себя несколько романов и воспоминаний, которые до их пор находят своих читателей.

Пуанкаре, Анри Жюль (29.4.1854-17.7.1912) – знаменитый французский математик, физик, астроном и философ. В своем трехтомном трактате «Новые методы небесной механики» на при-

А. Пуанкаре мере задачи трех тел положил начало новому качественному исследованию динамических систем, указал препятствия к существованию аналитических интегралов для широкого класса динамических систем. Высказал, но не доказал соответствующие соображения относительно уравнений Эйлера-Пуассона. Установил новую форму уравнений динамики в групповых переменных, которая систематизировала частные результаты Эйлера и Лагранжа и оказалась наиболее пригодной для различных задач динамики твердого тела. Гамильтонов вариант этих уравнений был предложен Н.Г.Четаевым.
Развиваемый групповой формализм Пуанкаре применил к выводу уравнений твердого тела, содержащего полости, заполненные вихревой идеальной несжимаемой жидкостью. Для этих уравнений он указал случай интегрируемости, характеризующийся динамической симметрией. Он также получил эллиптическую квадратуру и использовал ее для объяснения различных эффектов в прецессии Земли, которую представлял себе как твердую оболочку (мантию) с жидким ядром. Указал также явные формулы для частот малых колебаний и получил необходимые условия устойчивости.

Ляпунов, Александр Михайлович (6.6.1857-3.11.1918) – знаменитый русский математик и механик, создатель теории устойчивости движения. Нашел случай интегрируемости уравнений Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости. В обширном мемуаре 1888 г. указал и исследовал на устойчивость винтовые движения твердого тела в жидкости. Внес ясность в вопрос о корректности рассуждений Ковалевской, связанных с однозначностью решений в интегрируемых случаях, предложив при этом свой метод,

основанный на введении малого параметра и исследовании уравнения в вариациях – метод Ковалевской – Ляпунова.

Стеклов, Владимир Андреевич (9.1.1864-30.5.1926) – русский математик и механик, ученик А.М.Ляпунова. В 1894 г. защитил магистерскую диссертацию «О движении твердого тела в жидкости», где нашел новый случай интегрируемости уравнений Кирхгофа и доказал теорему о невозможности других случаев, в которых существует дополнительный квадратичный интеграл.

Заметил аналогию между случаем Клебша и задачей Бруна. В 1909 г. указал новое интегрируемое семейство для задачи о движении твердого тела с полостями, заполненными жидкостью (уравнения Пуанкаре – Жуковского). Привел два частных решения уравнений Эйлера-Пуассона (одно из них одновременно с Д. К. Бобылевым).

Чаплыгин, Сергей Алексеевич (5.4.1869-8.10.1942) – русский математик и механик, один из основоположников современной гидроаэромеханики. Указал частный случай интегрируемости при нулевой постоянной площадей уравнений Эйлера-Пуассона, обобщив при этом более частное решение Д.Н.Горячева, а также более частные решения, характеризуемые системой линейных инвариантных соотношений. Для уравнений Кирхгофа также нашел аналогичный случай частной интегрируемости и его обобщения, исследовал винтовые движения, дал геометрическую интерпретацию различных движений, в частности, для случая Клебша). Вывел уравнения движения тяжелого твердого тела в жидкости и более подробно исследовал случай плоского и осесимметричного движения.

Особую известность Чаплыгину принесли работы по неголономной механике, где он указал ряд интегрируемых задач динамики твердого тела: качение по плоскости осесимметричного тела, «шар Чаплыгина», сани Чаплыгина и др. Подобно Н. Е. Жуковскому стремился внести геометрическую наглядность в свои виртуозные аналитические вычисления.

Козлов, Валерий Васильевич (род. 1.01.1950) – русский математик и механик, академик РАН (с 2000 г.). В цикле работ, объединенных в монографии «Методы качественного анализа в динамике твердого тела» (МГУ, 1980), доказал несуществование аналитических интегралов уравнений Эйлера-Пуассона, а также указал динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений – расщеп.ение сепаратрис, рождение большого числа невырожденных периодических решений. Эти исследования «закрыли» проблему Пуанкаре, поставленную им в «Новых методах небесной механики» (т. 1), а также открыли новую эпоху в динамике твердого тела, в которой на первый план вышли методы качественного исследования, а не поиск частных решений заданной алгебраической структуры.

В. В. Козловым также предложены новые методы анализа интегрируемых систем, основанные на использовании геометрической теоремы Лиувилля-

Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. В качестве некоторого обоснования метода Ковалевской В. В. Козлов доказал ряд утверждений, связывающих ветвление общего решения на комплексной плоскости времени с несуществованием однозначных первых интегралов (гипотеза Пенлеве-Голубева). Для нахождения периодических решений в динамике твердого тела им впервые были применены вариационные методы.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru