1. Уравнения движения и физические интерпретации

Динамика твердого тела в жидкости. Если твердое тело движется в идеальной несжимаемой жидкости, которая обладает однозначным потенциалом скоростей и покоится на бесконечности, то уравнения движения твердого тела, представляющие собой систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений, отделяются от дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение жидкости [85] (подробный вывод см. §2 гл. 5).

В гамильтоновой форме уравнения движения твердого тела при этих условиях были получены и изучены $Г$. Кирхгофом. Они могут быть записаны на алгебре $e(3)=s o(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{3}$ (см. соотношения (1.3) гл. 2), и при соответствующем обозначении переменных по форме не отличаются от уравнений Эйлера-Пуассона (§ 1 гл. 2)
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma} \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}
\end{array}\right.
\]

здесь $M, \gamma$ представляют собой соответственно трехмерные векторы «импульсивного момента» и «импульсивной сильl» в проекциях на оси, жестко связанные с твердым телом [85] (см. также [31]).

Гамильтониан $H$, представляющий собой кинетическую энергию системы «тело+жидкость», является положительно определенной квадратичной формой переменных $M, \gamma$
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\mathbf{B} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})+\frac{1}{2}(\mathbf{C} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma}),
\]

где матрицы А, $\mathbf{C}$ – симметрические, а матрица В произвольна. Форму (1.1-1.2) уравнениям Кирхгофа придал $A$. Клеби [201].

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Г.Кирхгоф получил уравнения (1.1) в лагранжевой форме (см. § 2 гл. 5):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}\right)=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{\omega}+\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}} \times \boldsymbol{v}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}}\right)=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}} \times \boldsymbol{\omega} .
\end{array}
\]

Лагранжиан $L$, представляющий собой кинетическую энергию, также является квадратичной формой от компонент линейной $v$ и угловой $\boldsymbol{\omega}$ скоростей. При этом Кирхгоф несколько модифицировал рассуждения В. Томсона, которые были очень близки к окончательному выводу [276].
Уравнения (1.1) всегда обладают следующими интегралами
\[
F_{1}=(M, \gamma)=c_{1}, \quad F_{2}=\gamma^{2}=c_{2}, \quad F_{3}=H=h .
\]

Функции $F_{1}$ и $F_{2}$, которые называются интегралами импульсивного момента и импульсивной силь соответственно, являются функциями Казимира и фиксируют симплектический лист (в дальнейшем интеграл $F_{1}$, по аналогии с уравнениями Эйлера-Пуассона, мы называем интегралом площадей). Для интегрируемости возникающей на листе гамильтоновой системы с гамильтонианом (1.2) не хватает еще одного дополнительного интеграла (это следует также из теории последнего множителя – вследствие наличия стандартной инвариантной меры). В общем случае уравнения Кирхгофа не являются интегрируемыми. Их неинтегрируемость и стохастичность обсуждается, например, в [31].

В отличие от уравнений Эйлера – Пуассона, значение константы $c_{2}$ в интеграле $F_{2}$, выражающего неизменность величины импульсивной силы, не обязательно равняется единице.

Физический смысл матриц $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ объясняется в § 2 гл. 5, они связаны с присоединенными массами и моментами инерции тела в жидкости. При помощи выбора системы координат, связанной с твердым телом (см. §2 гл. 5), матрицу А можно привести к диагональному виду, а В к симметрическому. В дальнейшем это приведение будет считаться выполненным, что позволяет уменьшить общее число параметров системы (1.2) до пятнадцати.

Поскольку произвольной линейной комбинации функций Казимира $\alpha F_{1}+\beta F_{2}$ соответствует нулевое векторное поле, ее можно добавлять к гамильтониану, что не влечет за собой изменение уравнений движения. Это позволяет уменьшить число параметров в гамильтониане на два. В частности, условия $\mathbf{B}=\lambda \mathbf{E}$ и $\mathbf{B}=0$ (а также $\mathbf{C}=\lambda \mathbf{E}$ и $\mathbf{C}=0$ ), где $\lambda=$ const, –

эквивалентны. Один параметр можно убрать с помощью замены времени $t \rightarrow t / \alpha$, что влечет домножение гамильтониана на произвольную константу $H \rightarrow \alpha H, \alpha=$ const. Таким образом, число параметров, определяющих семейство (1.2), равняется двенадцати.

Задача Бруна. В виде (1.1) с квадратичным гамильтонианом (1.2) может быть представлена задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в линейном силовом поле, т. е. сила, действующая на каждую частицу тела, пропорциональна расстоянию от некоторой плоскости. Как несложно показать, гамильтониан $H$ в этом случае имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+\mu(\mathbf{I} \gamma, \gamma), \quad \mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1},
\]

где I – тензор инерции.
Эта задача рассматривалась Бруном [198]. Ф. Тиссеран рассматривал ту же задачу в связи с движением твердого тела под действием ньютоновского гравитирующего центра [275]. При этом квадратичный потенциал в (1.4) появляется как квадрупольное приближение в разложении ньютоновского потенциала по отношению размеров тела к удалению от ньютоновского центра. Оказывается, что залача Бруна эквивалентна интегрируемому случаю Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. § 4 гл. 3). Эта аналогия (1.4) была замечена B. А. Стекловым [272].

Задача Гриоли. Под ней понимается задача о движении заряженного твердого тела со стационарным распределением зарядов (диэлектрика) вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном поле $[10,191,222,223]$. Гамильтониан системы содержит перекрестные (обобщенно-потенциальные) по $M$ и $\gamma$ члены и имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})-\frac{1}{2}(\mathbf{J} \gamma, \mathbf{A} \boldsymbol{M}), \quad \mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1},
\]

здесь $\mathbf{I}$ – тензор инерции, $\mathbf{J}$ – симметричный тензор распределения зарядов.
Можно рассмотреть более общее силовое поле, являющееся суперпозицией квадратичных по $M, \gamma$ гироскопических и потенциальных сил; уравнения движения такой системы также сводятся к уравнениям Кирхгофа. Аналогия между этими задачами указана в нескольких источниках $[21,281]$. Однако она сильно усложнена вследствие того, что устанавливается на уровне уравнений движения, а не на уровне гамильтонианов и соответствующих скобок Пуассона. Таким естественным путем она установлена в [10].

Система Неймана [251]. Классическая интегрируемая задача К. Неймана о движении материальной точки по сфере в поле сил с квадратичным потенциалом $U=\frac{1}{2}(\mathbf{B} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{q}), \quad \mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$ описывается уравнениями
\[
\begin{array}{c}
\ddot{q}_{i}=b_{i} q_{i}+\lambda q_{i}, \quad i=1,2,3, \\
\lambda=-(\mathbf{B} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{q})-\dot{\boldsymbol{q}}^{2},
\end{array}
\]

где $q_{i}$ – избыточные декартовы координаты точки на сфере $q^{2}=1, \lambda-$ неопределенный множитель связи. Переходя к переменным $\boldsymbol{M}=\boldsymbol{q} \times \dot{\boldsymbol{q}}$, $\gamma=\boldsymbol{q}$, уравнения (1.5) можно записать в виде
\[
\dot{M}=\gamma \times \mathrm{B} \gamma, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times M,
\]

то есть представить их как систему на $e(3)$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+\frac{1}{2}(\mathbf{B} \boldsymbol{\gamma}, \gamma)
\]

на уровне $(M, \gamma)=0$, что следует из определения $M, \gamma$ для этой задачи.
Этот гамильтониан соответствует случаю Клебша (см. далее) при дополнительном условии $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$, то есть зафиксирован нулевой уровень функции Казимира $F_{2}$ (1.3). Отмеченная аналогия между движением точки по сфере и движением твердого тела сохраняется и в $n$-мерной ситуации (см. [195]). Связь задачи Неймана и случая Клебша с автомодельными решениями уравнений Ландау-Лифшица рассматриваются в § 6 гл. 5.

Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде [183]. Пусть эллипсоид в трехмерном пространстве задается уравнением
\[
(\boldsymbol{q}, \mathbf{B} \boldsymbol{q})=1, \quad \mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) .
\]

Динамика свободной частицы на нем описывается уравнениями
\[
\ddot{\boldsymbol{q}}=\lambda \mathbf{B} \boldsymbol{q}, \quad \lambda=-\frac{(\dot{\boldsymbol{q}}, \mathbf{B} \boldsymbol{q})}{(\mathbf{B} \boldsymbol{q}, \mathbf{B} \boldsymbol{q})} \mathbf{B} \boldsymbol{q} .
\]

Переходя к новым переменным
\[
\gamma=\mathbf{B}^{1 / 2} \boldsymbol{q}, \quad \boldsymbol{M}=(\mathrm{A} \dot{\gamma}) \times \gamma, \quad \mathbf{A}=\mathbf{B}^{-1},
\]

уравнения движения (1.7) можно представить в гамильтоновой форме (1.1) на алгебре $e(3)$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{det} \mathbf{B} \frac{(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})}{(\gamma, \mathbf{B} \gamma)}
\]

на нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$.

После замены времени $\frac{\operatorname{det} \mathbf{B}}{(\gamma, \mathbf{B} \gamma)} d t=d \tau$ система (1.8) на уровне энергии $H=c \frac{\operatorname{det} \mathbf{B}}{2}$ приводится к системе Клебша (см. далее) с гамильтониаHOM
\[
H^{\prime}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})-\frac{1}{2} c(\gamma, \mathbf{B} \gamma),
\]

на нулевом уровне энергии $H^{\prime}=0$ (В. В. Козлов [88]). При этом $c$ является произвольной постоянной.

Эта аналогия сохраняется также в многомерном случае [195]. В книге [31] этот изоморфизм подробно разобран для случая кватернионных уравнений динамики твердого тела.

ЗАМЕчАНИЕ. К. Якоби показал, что интегрируемой является также задача о движении материальной точки по эллипсоиду в поле с квадратичным потенциалом
\[
U(\boldsymbol{q})=\frac{1}{2} k \boldsymbol{q}^{2},
\]
т. е. точка скреплена с центром эллипсоида гуковской пружинкой [183].

Для гамильтоновой формы (1.1) в этом случае гамильтониан можно представить в виде:
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{det} \mathbf{B} \frac{(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})}{(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{B} \boldsymbol{\gamma})}+\frac{1}{2} k(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{A} \boldsymbol{\gamma}) .
\]

После замены времени на уровне $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ получим новую интегрируемую систему в динамике твердого тела с потенциалом четвертой степени:
\[
H^{\prime}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{B} \boldsymbol{\gamma})\left(k^{\prime}(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{A} \boldsymbol{\gamma})-c\right), \quad k^{\prime}=\frac{k}{\operatorname{det} \mathbf{B}},
\]

которая на уровне $H^{\prime}=0$ изоморфна системе (1.10) на уровне $H=\frac{1}{2} c \operatorname{det} \mathbf{B}$.
Интегрируемая система (1.11) возникает также при исследовании разделения переменных для полиномиальных потенциалов на сфере [18, 283].

ЗАМЕЧАНИЕ 2. В работе [49] замечена связь $n$-мерной задачи Якоби о геодезических и устойчивого нулевого положения равновесия линейного уравнения типа Хилла с периодическими коэффициентами. Оказывается, что число резонансных зон конечно и не превосходит размерности эллипсоида тогда и только тогда, когда периодическая функция $R(t)$ в уравнении $\ddot{x}=-R(t) x$ есть множитель Лагранжа для некоторой геодезической на эллипсоиде (точнее, $R(t)=-\lambda(t)$ ).

2. Интегрируемые случаи

В таблице 3.1 приведены все известные случаи интегрируемости уравнений Кирхгофа. Случаи 1, 2, 3,4 являются общими случаями интегрируемости, а 5,6 – частными, для них помимо ограничений на параметры системы также необходимо накладывать дополнительные ограничения на значения интегралов, т.е. начальные условия.

Таблица 3.1. Интегрируемые случаи уравнений Кирхгофа

Необходимые, а также достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа обсуждаются в работе [10].

Как показано В. А. Стекловым [10,27], если гамильтониан (1.2) является положительно определенной формой (что заведомо выполняется при движении тела в жидкости), то случаями 1, 2, 3, 4 из таблицы 3.1 исчерпывается возможность существования у уравнений Кирхгофа дополнительного независимого интеграла в виде линейной и квадратичной формы om $M, \gamma$. Доказательство этого утверждения имеется, например, в [151].

Перед сдачей книги в печать нам стало известно о результатах В. В. Соколова [157], нашедшего новый интегрируемый случай уравнений Кирхгофа с интегралом четвертой степени (см. таблицу 3.1). Этот результат позволил также построить аналогичный новый случай в уравнениях Пуанкаре-Жуковского (см. §2). Более подробнее описание этих случаев мы приводим в § 12 гл. 5. Они оказались неожиданными и замечательными, но нуждаются в дополнительных исследованиях.

Комментарии.

1. В случае, когда в гамильтониане (1.2) матриџы В и С не являются диагональными, вопрос об алгебраической интегрируемости изуувиллем – крупнейшим математиком XIX века). В этой работе $\rho$. Лиувилль указывает условия существования дополнительного интеграла в случае, когда $b_{i j}
eq 0$ при $i
eq j$. Однако в явном виде этот интеграл не выписан. Численный эксперимент, проведенный авторами, показал хаотическое поведение системы при общих условиях Лиувилля, что указывает на неточности выводов работы [245].
2. Кроме случаев интегрируемости, указанных в таблиџе 3.1, существует еще один общий случай интегрируемости с дополнительным квадратичным интегралом. Он реализуется при $\mathbf{A} \equiv 0$, что не соответствует реальной физической ситуаџии. Дополнительный интеграл $F=(\mathbf{B} \gamma, \gamma)$ позволяет свести систему к квадратурам, которая особо просто выполнима с помощью винтового исчисления ( $А$.А.Буров, В.Н.Рубановский [44]).
3. Частными решениями уравнений движения твердого тела в жидкости занимались А.М.Ляпунов [117], В. А. Стеклов [162], С. А. Чаплыгин [173].

При этом А.М.Ляпунов уделял основное внимание вопросам устойчивости, А. М. Стеклов – явному интегрированию, С. А. Чаплыгин – геометрической интерпретаџии. Многие из их результатов сейчас представляют лишь исторический интерес. Простейшие частные решения (в частности – плоские движения) и их физическая интерпретаџия обсуждаются в трактате Г. Ламба [111].

3. Случай осевой симметрии

Этот случай был указан Г. Кирхгофом для динамически симметричного тела вращения, движущегося в идеальной жидкости. Он также проинтегрировал уравнения движения в эллиптических функциях.

Данный случай интегрируемости аналогичен случаю Лагранжа в уравнениях Эйлера-Пуассона ( $\$ 3$ гл. 2), а дополнительный интеграл $F=M_{3}$ связан с наличием циклической координаты (угла собственного вращения). Редукция к одной степени свободы и явное интегрирование приведено нами в $\S 1$ гл. 4.

Плоские движения и частные решения (типа винтовых) твердого тела при условиях интегрируемости Кирхгофа изучены в книге Ламба [111].

4. Случай Клебша
А. Клебш нашел два родственных случая интегрируемости из условий существования дополнительного квадратичного интеграла. Один из них взаимен другому, т. е. гамильтониан одного из них можно принять в качестве интеграла второго. Фактически они образуют единое интегрируемое семейство квадратичных гамильтонианов, в которых отсутствуют перекрестные члены ( $\mathbf{B}=0)$.

В таблице указаны классические формы записи интегралов Клебша. Тем не менее, это интегрируемое семейство можно представить в более симметричном виде
\[
\begin{array}{l}
\widetilde{G}_{1}=\mu \gamma_{1}^{2}+\frac{M_{3}^{2}}{\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}}+\frac{M_{2}^{2}}{\lambda_{1}^{2}-\lambda_{3}^{2}}, \\
\widetilde{G}_{2}=\mu \gamma_{2}^{2}+\frac{M_{3}^{2}}{\lambda_{2}^{2}-\lambda_{1}^{2}}+\frac{M_{1}^{2}}{\lambda_{2}^{2}-\lambda_{3}^{2}}, \\
\widetilde{G}_{3}=\mu \gamma_{3}^{2}+\frac{M_{2}^{2}}{\lambda_{3}^{2}-\lambda_{1}^{2}}+\frac{M_{1}^{2}}{\lambda_{3}^{2}-\lambda_{2}^{2}} .
\end{array}
\]

При этом справедливы следующие соотношения
\[
\sum_{i=1}^{3} \widetilde{G}_{i}=\mu \gamma^{2}, \quad \sum_{i=1}^{3} \lambda_{i} \widetilde{G}_{i}=H_{I}, \quad \sum_{i=1}^{3} \lambda_{i}^{2} \widetilde{G}_{i}=H_{I I},
\]

где $H_{I}$ и $H_{I I}$ – гамильтонианы двух взаимных случаев Клебша соответственно.

Такой вид интегралов движения (1.12), допускающий обобщение на многомерный случай [128], был указан К. Уленбек [278] в 1975 г. (они встречаются также у Р. Деванея [203]) при исследовании задачи Неймана, которая была проинтегрирована К. Нейманом еще в 1859 г. при помощи разделения переменных (см. § 7 гл. 1). В трехмерном случае интегралы (1.12) были известны еще Г. Веберу [282] (1878 г.).

Обобщение случаев интегрируемости Клебша на пучок скобок Пуассона (в частности, система Шоттки-Манакова) приведено в § 2 гл. 3, где также указана ретракция и линейный изоморфизм этих случаев. Интегрируемое семейство Клебша допускает два различных представления Лакса со спектральным параметром, которые приведены в книге [31].

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Ф. Кёттер указал интегрируемое семейство Клебша в симметричной форме, содержащей произвольный (спектральный) параметр [236]
\[
Q(s)=\sum_{i=1}^{3}\left(\sqrt{s-D_{i}} M_{i}+\sqrt{\left(s-D_{j}\right)\left(s-D_{k}\right)} \gamma_{i}\right)^{2},
\]

где $D_{i}$ – произвольные константы, $s$ – параметр. Связь этого представления с существованием $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары на лиевых пучках рассматривается в [31].

ЗАМЕЧАНИЕ 4. В работе [250] Г. Минковский указал аналогию случая Клебша с задачей Якоби о геодезических на эллипсоиде, тем самым предложив свой способ его интегрирования. Развитие этой аналогни приведено выше в п. 1 этого параграфа (см. также [195]).

ЗАМЕЧАНИЕ 5. Геометрическую интерпретацию движения в случае Клебша при $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ пытался дать С. А. Чапльгин [173], который представил движение как качение без скольжения некоторого гиперболоида по винтовой поверхности. В работе [172] Е.И.Харламова показала, что при $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ соответствующее движение может быть получено как более естественное обобщение интерпретации Пуансо: эллипсоид инерции катится без скольжения по поверхности эллиптического цилиндра, неподвижного в пространстве, ось которого направлена вдоль вектора $\gamma$ и проходит через неподвижную точку тела.

5. Семейство Стеклова-Ляпунова

Анализ А. Клебша условий существования квадратичных интегралов был не полным. В своей магистерской диссертации (вышедшей в 1893 году в виде отдельной книги [160]) В. А. Стеклов исправил его рассуждения и указал случай с квадратичным интегралом, гамильтониан которого содержит перекрестные по $M, \gamma$ слагаемые. Взаимный ему случай указал

А. М. Ляпунов [115], теперь уже подправивший выкладки Стеклова, научным руководителем которого он был. В таблице 3.1 гамильтонианы и интегралы приведены в классической форме, указанной В.А.Стекловым и А. М. Ляпуновым.

Семейство Стеклова-Ляпунова также может быть записано в симметричном виде при помощи трех инволютивных интегралов
\[
\widetilde{G}_{i}=\sum_{j
eq i}^{3} \frac{\left(M_{i j}+\frac{1}{2}\left(\lambda_{i}-\lambda_{j}\right) P_{i j}\right)^{2}}{\lambda_{i}-\lambda_{j}}, \quad i=1,2,3,
\]

где компоненты матриц $\mathbf{M}=\left\|M_{i j}\right\|, \mathbf{P}=\left\|P_{i j}\right\|$ связаны с векторами $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}$ по формулам
\[
M_{i j}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad P_{i j}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k} .
\]

Например, $\widetilde{G}_{1}$ имеет вид (остальные $\widetilde{G}_{i}$ получаются циклической перестановкой)
\[
\widetilde{G}_{1}=\frac{\left(M_{3}+\frac{1}{2}\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) \gamma_{3}\right)^{2}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}+\frac{\left(M_{2}+\frac{1}{2}\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right) \gamma_{2}\right)^{2}}{\lambda_{1}-\lambda_{3}} .
\]

Для функций (1.13) справедливо соотношение
\[
\sum_{i=1}^{3} \widetilde{G}_{i}=2(\boldsymbol{M}, \gamma)
\]

ЗАмЕЧАниЕ 6. Гамильтониан случая Ляпунова (см. таблицу 3.1) получается следующим образом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \lambda_{i} \widetilde{G}_{i}=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}+(\boldsymbol{M}, \mathbf{B} \gamma)+\frac{1}{2}(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{C} \boldsymbol{\gamma})
\]

где $\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right), \mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(\left(b_{2}-b_{3}\right)^{2},\left(b_{3}-b_{1}\right)^{2},\left(b_{1}-b_{2}\right)^{2}\right)$ и $b_{k}=$ $=\frac{1}{2}\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right), i, j, k=1,2,3$.
Гамильтониан случая Стеклова имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \lambda_{i}^{2} \widetilde{G}_{i}=\frac{1}{2} \sum_{\text {цикл }}\left(\left(\lambda_{i}^{2}+\lambda_{j}^{2}\right) M_{k}^{2}++\left(\lambda_{i}^{2}+\lambda_{j}^{2}\right) M_{k} \gamma_{k}\right)+\frac{1}{4}\left(\left(\lambda_{i}^{2}-\lambda_{j}^{2}\right)^{2} \gamma_{k}^{2}\right)
\]

и последующей заменой $a_{k}=\frac{1}{2}\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right)$.

Представление (1.13) является наиболее симметричной параметризацией случаев Стеклова и Ляпунова (см. также § 2, гл. 3) и, по-видимому, ранее не указывалось. Оно может быть получено (и в многомерном случае) с использованием $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары с гиперэллиптическим спектральным параметром, указанной в $[23,31]$.

Обобщение этого семейства на уравнения Пуанкаре -Жуковского приведено в § 2 гл. 3. Кроме того, это семейство, в отличие от случая Клебша, допускает также добавление линейных по $M, \gamma$ членов (гироскопические добавки) (см. ниже).

ЗАМЕЧАНИЕ 7. В работе [100] Г. В. Колосов указал четвертый интеграл уравнений движения системы с гамильтонианом
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(c_{1} M_{1}^{2}+c_{2} M_{2}^{2}+c_{3} M_{3}^{2}+2 b_{1} M_{1} \gamma_{1}+2 b_{2} M_{2} \gamma_{2}+\right. \\
\left.+2 b_{3} M_{3} \gamma_{3}+a_{1} \gamma_{1}^{2}+a_{2} \gamma_{2}^{2}+a_{3} \gamma_{3}^{2}\right)
\end{array}
\]

при следующих условиях на постоянные $a_{i}, b_{i}, c_{i}(i=1,2,3)$
\[
\begin{array}{c}
\frac{c_{1}\left(c_{2}-c_{3}\right)}{b_{3}-b_{2}}=\frac{c_{2}\left(c_{3}-c_{1}\right)}{b_{1}-b_{3}}=\frac{c_{3}\left(c_{1}-c_{2}\right)}{b_{2}-b_{1}}, \\
a_{1}-\frac{\left(b_{2}-b_{3}\right)^{2}}{c_{1}}=a_{2}-\frac{\left(b_{3}-b_{1}\right)^{2}}{c_{2}}=a_{3}-\frac{\left(b_{1}-b_{2}\right)^{2}}{c_{3}}
\end{array}
\]

в виде
\[
F=\frac{b_{3}-b_{1}}{c_{2}}\left(M_{1}-\frac{b_{3}-b_{2}}{c_{1}} \gamma_{1}\right)^{2}+\frac{b_{3}-b_{2}}{c_{1}}\left(M_{2}-\frac{b_{3}-b_{1}}{c_{2}} \gamma_{2}\right)^{2}
\]

и показал, что частными случаями условий (1.14) являются случаи Стеклова и Ляпунова. Таким образом он включил их в единое интегрируемое семейство, частными представителями которого являются также интегралы (1.13). Это семейство иногда иногда называется «случаем Ляпунова -Стеклова – Колосова».

Комментарии. Для исследования случаев Клебша и Стеклова- Ляпунова, начиная с момента их открытия и следуя общей идеологии того времени, старались проинтегрировать в эллиптических функџиях. Этим вопросом занимались Г. Вебер, Г. Г. Альфан, Ф. Кёттер. Г. Вебер проинтегрировал второй случай Клебша [282] при $(M, \gamma)=0$, т.е., по существу, задачу Неймана. Ж. Альфан [227] рассмотрел подробно случай динамической симметрии, интегрируемость которого в эллиптических функџиях выполняется аналогично волчку Лагранжа. Ф. Кёттер предложил свою методику интегрирования для двух случаев Клебша при $(M, \gamma)
eq 0$ [236], во второй небольшой заметке [234] он анонсировал явное интегрирование случаев Стеклова и Ляпунова. Работы Кёттера вызвали непонимание еще у современников (С.А.Чаплыгин,

В. А. Стеклов, М.А.Тихомандриџкий) вследствие своей сложности и невозможности верификаџии результатов. Работа [234], опубликованная в докладах Прусской Королевской Академии наук, кроме того, слишком кратка и также недоступна явной проверке, даже с использованием современных систем аналитических вычислений. В книге [209] приведены некоторые геометрические доводы, предположительно объясняюшие идею замен Кёттера. Однако они не являются достаточными. Кроме того, вне зависимости от правильности работ [234, 236] отметим, что в них не содержится явного выражения для характеристических полиномов в уравнениях Абеля – Якоби через константы интегралов. Такое «неявное» решение практически делает его бесполезным, т. к. не позволяет построить бифуркаџиснные диаграммы, выделить особозамечательные решения (см. гл. 2) и пр.

Тем не менее, отметим, что в своей методике интегрирования случая Стеклова – Ляпунова Кёттер фактически получил $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пару со спектральным параметром (см. [31]) и симметричное однопараметрическое представление интегралов
\[
Q(s)=\sum_{i=1}^{3}\left(s-b_{i}\right)\left(z_{i}+s \gamma_{i}\right)^{2},
\]

где $2 z_{i}=M_{i}-\left(d_{j}+d_{k}\right) \gamma_{i}, d_{i}=$ const.
Приведенные в книгах $[9,61]$ методы сведения к квадратурам случая Клебша, принадлежашие Коббу и Е.И.Харламовой, реально не дают возможности получить общее решение. Кобб записал гамильтониан системы в углах Эйлера, а Е.И.Харламова [172] – в сфероконических координатах. Но ни в тех, ни в других координатах случай Клебша не разделяется на ненулевой постоянной площадей. Отметим также, что в неопубликованных рукописях [180] С. А. Чаплыгин также использовал метод Гамильтона – Якоби для интегрирования двух случаев Клебша в сфероконических координатах. При этом аналогичная проџедура предлагается им для интегрирования полной (т.е. для $M, \gamma$ ) системы уравнений для случая Эйлера-Пуансо.

6. Случай Чаплыгина (I)
С.А.Чаплыгин указал частный случай интегрируемости на нулевой постоянной площадей $(M, \gamma)=0$ и интегралом четвертой степени. Гамильтониан и интеграл можно представить в форме
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+\frac{1}{2} c\left(\gamma_{1}^{2}-\gamma_{2}^{2}\right), \\
F=\left(M_{1}^{2}-M_{2}^{2}+c \gamma_{3}^{2}\right)^{2}+4 M_{1}^{2} M_{2}^{2} .
\end{array}
\]

Эта система родственна случаю Ковалевской в уравнениях Эйлера-Пуассона. Его явное интегрирование также было выполнено С.А.Чаплыгиным [175].

Обобщение случая Чаплыгина на уравнения Пуанкаре-Жуковского выполнено О.И.Богоявленским (см. §2 гл. 3), при этом в гамильтониане (1.15) нарушается динамическая симметрия. В § 8 гл. 5 мы приводим обобщение этих случаев на пучке скобок и их явное интегрирование.

Связь этой системы с динамикой твердого тела в суперпозиции однородных полей указана в § 1 гл. 4; в этом параграфе также показано, каким образом этот случай может быть продолжен до общего интегрируемого случая в кватернионных уравнениях, являющегося непосредственным обобщением случая Ковалевской. Случай Чаплыгина допускает также добавление гиростата вдоль оси динамической симметрии ( $\$ 1$ гл. 4). Кроме того, на нулевой постоянной площадей интегрируется система, потенциальная энергия которой представляет собой суперпозицию случаев Чаплыгина и Ковалевской (§ 7 гл. 5).

7. Случай Чаплыгина (II)

Этот случай аналогичен случаю Гесса в уравнениях Эйлера-Пуассона, и связан с наличием инвариантного соотношения вида
\[
M_{1} \sqrt{a_{2}-a_{1}} \mp M_{3} \sqrt{a_{3}-a_{2}}=0, \quad a_{1}<a_{2}<a_{3} .
\]

Громоздкие условия, приведенные в таблице 3.1, с геометрической точки зрения имеют простой смысл. Воспользовавшись аналогией с уравнением Эйлера-Пуассона, будем считать, что динамически несимметричное твердое тело движется в обобщенно потенциальном поле, т.е. $\gamma$ – некоторые позиционные переменные. Тогда условием существования соотношения (1.16) является симметрия потенциала и обобщенного потенциала системы (1.2) относительно вращений вокруг перпендикуляра к круговому сечению гирационного эллипсоида (ср. с § 6 гл. 2).
С. А. Чаплыгин указал условия, а также способ явного интегрирования этого случая в своей магистерской диссертации (1897 г.) [178]. Однако он не отметил явно его связи со случаем Гесса. В 1982 г. он независимо и в более общем виде был обнаружен В. В. Козловым и Д. А. Онищенко [98], которые получили его из условия расщепления сепаратрис. Оказалось, что в этом случае, так же как и в случае Гесса, одна пара сепаратрис приведенной системы (задаваемая соотношением (1.16)) является сдвоенной и определяет однопараметрическое семейство двоякоасимптотических движений.

Связь этого случая с наличием циклической переменной на уровне (1.16) (углом вращения вокруг перпендикуляра к круговому сечению гирационного эллипсоида), и возможная редукция по ней подробно обсуждается в $\S \S 3,4$ гл. 4.

8. Интегрируемые обобщения с линейными слагаемыми
в гамильтониане
Кроме рассмотренных случаев интегрируемости, для которых гамильтониан (1.2) является однородной квадратичной формой переменных $M, \gamma$, значительный физический и механический интерес представляют случаи, когда в гамильтониане добавляются линейные по $M, \gamma$ слагаемые. Для различных постановок, приводимых в п. 1, интерпретация этих добавок также различна. Так, для динамики твердого тела в жидкости эти слагаемые могут быть обусловлены неодносвязностью твердого тела (см. §2 гл. 5), для системы Бруна – наличием ротора и однородного постоянного силового поля, для динамики точки на сфере – наличием постоянного электрического (магнитного) поля.

Уравнения движения многосвязного тела. Если тело, движущееся при условиях Кирхгофа, имеет отверстия, т.е. является многосвязным, то его уравнения также имеют вид (1.1), однако в гамильтониане появляются линейные по $M, \gamma$ слагаемые $[111,171]$
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\mathbf{B} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})+\frac{1}{2}(\mathbf{C} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma})+(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{\gamma}) .
\]

где $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ – постоянные векторы, которые линейно выражаются через циркуляции скорости жидкости вдоль контуров, охватывающих отверстия в теле (см. § 2 гл. 5). Условия интегрируемости таких систем изучались в $[149,148]$.

При этом тривиальное обобщение допускает интегрируемые случаи Кирхгофа и Чаплыгина (II) (см. таблица 3.1, см. также § 7 гл. 2, §§1,2 гл. 4). Здесь добавляется постоянный гиростатический момент вдоль соответствующей оси (для Кирхгофа – это ось динамической симметрии, а для Чаплыгина (II) – перпендикуляр к круговому сечению гирационного эллипсоида).

Интегрируемое обобщение случая Клебша не известно, обобщение семейства Стеклова-Ляпунова получено В. Н. Рубановским [149], а соответствующее представление Лакса указано в работе [208]. Гиростатическое обобщение случая Чаплыгина (I) получено X. Яхьей [285] (приведено

в § 7 гл. 5). Мы приведем здесь семейство Рубановского в наиболее симметричном виде и обобщение первого случая Чаплыгина.

Обобщение Рубановского интегрируемого семейства СтекловаЛяпунова. В работе [149] было показано, что интегрируемое семейство Стеклова-Ляпунова допускает интегрируемое обобщение, при котором в гамильтониане добавляются линейные слагаемые. Запишем этот случай интегрируемости в виде семейства трех инволютивных интегралов вида
\[
\begin{array}{c}
\widetilde{J}_{s}=\widetilde{G}_{s}+\frac{1}{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}\left(\sum_{\text {цикл. пер. } i j k} r_{k}\left(M_{k}+\frac{1}{2}\left(\lambda_{i}-\lambda_{j}\right) \gamma_{k}\right)+\right. \\
\left.+\frac{1}{2} r_{s}\left(2 \lambda_{s}-\lambda_{m}-\lambda_{n}\right) \gamma_{s}\right), \\
s, m, n=1,2,3,
\end{array}
\]

например, $\widetilde{J}_{1}$ имеет вид (остальные получаются циклической перестановкой индексов)
\[
\begin{aligned}
\widetilde{J}_{1}= & \widetilde{G}_{1}+\frac{1}{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)}\left(r_{1}\left(M_{1}-\frac{\lambda_{2}+\lambda_{3}-2 \lambda_{1}}{2} \gamma_{1}\right)+\right. \\
& \left.+r_{2}\left(M_{2}-\frac{\lambda_{3}-\lambda_{1}}{2} \gamma_{2}\right)+r_{3}\left(M_{3}-\frac{\lambda_{2}-\lambda_{3}}{2} \gamma_{3}\right)\right)
\end{aligned}
\]

где $\widetilde{G}_{i}, i=1,2,3$ – интегралы Стеклова-Ляпунова (1.13). Для интегралов $\widetilde{J}_{i}$ справедливо соотношение
\[
\sum_{i=1}^{3} \widetilde{J}_{i}=2(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}) .
\]

Гамильтониан и интеграл, найденные В.Н.Рубановским [149], могут быть получены из $\widetilde{J}_{i}$ следующим образом
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \lambda_{i}^{2} \widetilde{J}_{i}=\frac{1}{2} \sum_{\text {цикл }}\left(\left(\lambda_{i}^{2}+\lambda_{j}^{2}\right) M_{k}^{2}+\left(\lambda_{i}^{2}+\lambda_{j}^{2}\right) M_{k} \gamma_{k}+\right. \\
\left.+\frac{1}{4}\left(\left(\lambda_{i}^{2}-\lambda_{j}^{2}\right)^{2} \gamma_{k}^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}+2 \lambda_{k}\right) r_{k} \gamma_{k}\right)+(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{M}), \\
F=\frac{1}{2} \sum_{i=3}^{3} \lambda_{i} \widetilde{J}_{i}=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}+(\boldsymbol{M}, \mathbf{B} \boldsymbol{\gamma})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{C} \gamma)+(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{\gamma})
\end{array}
\]

с последующей заменой $a_{k}=\frac{1}{2}\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right)$, где $\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$, $\mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(b_{2}-b_{3}, b_{3}-b_{1}, b_{1}-b_{2}\right)$ и $b_{k}=\frac{1}{2}\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right), i, j, k=1,2,3$.

Представление Лакса для этого интегрируемого случая приведено в [208].

ЗАМЕЧАНИЕ 8. Интегралы (1.18) могут быть также получены с помощью ретракции из аналогичного обобщения (2.26) на $\operatorname{so}(4)$ (§2 гл. 3).

Обобщение случая Чаплыгина (I). Этот частный случай интегрируемости может быть обобщен при помощи добавления постоянного гиростатического момента вдоль оси динамической симметрии (Х. Яхья [285]). Гамильтониан и интеграл можно представить в форме
\[
\begin{aligned}
H= & \frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2\left(M_{3}-\frac{\lambda}{2}\right)^{2}\right)+\frac{c}{2}\left(\gamma_{1}^{2}-\gamma_{2}^{2}\right) \\
F= & \left(M_{1}^{2}-M_{2}^{2}+c \gamma_{3}^{2}\right)+4 M_{1}^{2} M_{2}^{2}+ \\
& +4 \lambda\left(M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)-c \gamma_{3}\left(M_{1} \gamma_{1}-M_{2} \gamma_{2}\right)\right)- \\
& -4 \lambda^{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

В § 7 гл. 5 разобраны обобщения этого случая на пучок скобок Пуассона и на случай добавления к гамильтониану $H$ (1.20) линейных по $\gamma_{i}$ слагаемых.