Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Как показано в § 4 гл. 1, динамика твердого тела с неподвижной точкой в произвольном потенциальном поле с потенциалом $V$ описывается гамильтоновой системой с тремя степенями свободы (4.17) (либо (4.24)) (§4 гл. 1). При этом функция Гамильтона имеет вид а для полной интегрируемости (по Лиувиллю) не хватает двух независимых инволютивных интеграла. Интегрируемые случаи для системы (4.1) известны для трех видов потенциалов $V(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}) \equiv V\left(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)$ (здесь $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ – направляющие косинусы, а $\lambda$ – параметры Родрига-Гамильтона). случае будем называть систему обобщенными уравнениями Эйлера-Пуассона. 2) Потенциал $V$ квадратичен по $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ (и имеет четвертую степень по кватернионам). Эта задача рассматривалась Бруном и Горячевым. Рассмотрим три случая последовательно и приведем все известные условия интегрируемости, характеризующиеся необходимыми дополнительными ограничениями на свободные параметры. При этом движение является регулярным, а траектории, в неособом случае, являются квазипериодическими обмотками трехмерных торов – совместных поверхностей уровня первых интегралов. 1. Обобщенные уравнения Эйлера-Пуассона Прежде всего заметим, что любое количество линейных силовых полей сводится к трем взаимно перпендикулярным силовым полям единичной интенсивности, силовые центры которых (аналоги центра масс для поля тяжести) располагаются в теле произвольным образом [31]. где $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{r}_{3}$ – радиус-векторы силовых центров различной природы электрической, гравитационной. Мы называем их центрами приложения. В случае одного поля они сводятся к обычному центру тяжести. Приведем основные результаты по приведению потенциальной энергии системы (4.2) к наиболее простому виду для различного расположения силовых центров $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{r}_{3}$, учитывающих также геометрию тела, подробности имеются в [31]. где $a, b, c$ – расстояния силовых центров от точки закрепления. То есть этот случай сводится к одному силовому полю, причем его силовой центр $r_{1}$ лежит на вышеупомянутой оси. То есть система сил приводится к двум взаимно ортогональным полям, у которых радиус-векторы силовых центров $\boldsymbol{r}_{1}=(u, v, 0)$, $\boldsymbol{r}_{2}=(0, w, 0)$ в общем случае неортогональны. В зависимости от расположения силовых центров в твердом теле и ограничений на моменты инерции возможны следующие случаи интегрируемости, обобщающие соответствующие в уравнениях Эйлера-Пуассона. Случай Эйлера. В гамильтониане (4.2) необходимо положить $r_{1}=$ $=r_{2}=r_{3}=0$. Дополнительными интегралами являются проекции кинетического момента на неподвижные оси, образующие векторный интеграл $\boldsymbol{N}=\left(N_{1}, N_{2}, N_{3}\right)$ Они образуют алгебру $s o(3)-\left\{N_{i}, N_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} N_{k}$, следовательно, интегрируемость является некоммутативной (см. подробнее $\S 2$ гл. 2). Обобщенный случай Лагранжа. При этом тело является динамически симметричным, а все три силовых центра лежат на оси динамической симметрии. Согласно результатам по приведению, этот случай сводится к обычному волчку Лагранжа в одном поле с соответствующим интегралами $F_{1}=(\boldsymbol{M}, \gamma), F_{2}=M_{3}$ (§3 гл. 2). Обобщенный случай Ковалевской. Эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, между моментами инерции выполняются соотношения $a_{1}=a_{2}=\frac{1}{2} a_{3},\left(a_{i}=I_{i}^{-1}\right)$, а три силовых центра произвольно располагаются в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Как показано выше, здесь можно ограничиться рассмотрением лишь двух силовых центров. Соответствующий полный набор инволютивных независимых интегралов указан А. Г. Рейманом и М. А. Семеновым-Тян-Шанским $[147,261,194]$, один интеграл квадратичен по моментам, а другой (аналог интеграла Ковалевской) имеет по ним четвертую степень. В этом случае, как и в обычном случае Ковалевской, система допускает обобщение, при котором добавляется постоянный гиростатический момент вдоль оси динамической симметрии. При этом гамильтониан и интегралы имеют вид $[31,261]$ где $\boldsymbol{r}_{1}=\left(g_{\alpha}, h_{\alpha}, 0\right), \boldsymbol{r}_{2}=\left(g_{\beta}, h_{\beta}, 0\right), \lambda=$ const – гиростатический момент, $N_{i}$ – определено соотношениями (4.3). Явное интегрирование этого случая, также как и качественный и топологический анализ, до сих пор не выполнены. ЗАмЕчАнИЕ 1. А.Г.Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский указали этот интегрируемый случай в $n$-мерной ситуации, но при дополнительных ограничениях: центры приведения $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}$ взаимно перпендикулярных полей располагаются на одинаковых расстояниях от неподвижной точки, не обязательно под прямым углом (либо можно считать, что $\boldsymbol{r}_{1} \perp \boldsymbol{r}_{2}$, а поля $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ неперпендикулярны). Как показывают результаты по приведению, эти ограничения несущественны. При $\boldsymbol{r}_{2}=0$ (либо $\boldsymbol{r}_{1}=0$ ) интеграл $F_{1}$ (4.4) переходит в интеграл площадей $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha})=0$ (соответственно $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta})$ ). В этом случае циклической переменной является угол прецессии $\psi$, редукция по нему приводит к обычному случаю Ковалевской в уравнениях Эйлера-Пуассона (§4 гл. 2). Аналогичная редукция возможна в случае $r_{1} \| r_{2}$. При $r_{1} \perp r_{2}$, например, можно выбрать $g_{\alpha}=h_{\beta}, h_{\alpha}=g_{\beta}=0$ или $h_{\alpha}=g_{\beta}, g_{\alpha}=h_{\beta}=0$, вместо $F_{1}$ возникает линейный интеграл $M_{3} \pm N_{3}=$ $=M_{3} \pm(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$, циклическая переменная $\varphi \mp \psi$. Соответствующая редукция и связанный с этим изоморфизм с интегрируемым случаем Чаплыгина в уравнениях Кирхгофа подробно рассмотрены в § 1 гл. 4. Этот интегрируемый случай был указан Х. Яхьей [184] до появления работы $[147,261]$. Обобщение случая Делоне. Кроме понижения порядка по циклическим переменным для обобщенного волчка Ковалевской (4.4) возможен один случай сведения к двум степеням свободы с использованием редукции Дирака [31]. Для этого рассмотрим интеграл Ковалевской $F_{2}$ (4.4) при условиях $\lambda=0, F_{2}=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=0$, определяющих обобщенный случай Делоне (О.И.Богоявленский [19]). Легко видеть, что система корректно ограничивается по Дираку на инвариантные соотношения которые являются центральными функциями структуры Дирака [31]. На четырехмерном симплектическом листе скобки Дирака имеются также два интеграла (4.4), позволяющие полностью проинтегрировать систему. На уровне инвариантных соотношений (4.5) имеется также дополнительный интеграл третьей степени Действительно хотя в общем случае теорема Якоби о том, что коммутатор двух интегралов также интеграл, не обобщается на инвариантные соотношения. При помощи (4.5) и (4.7) интегрируемость обобщенного волчка Ковалевской в случае Делоне может быть установлена и без использования интеграла $F_{1}$ (4.4). Оказывается также, что полный набор интегралов, включающий $F_{1}, z_{1}, z_{2}, F_{3}$ уже оказывается зависимым. Интересно заметить также, что в случае одного силового поля ( $g_{\alpha}=g_{\beta}=h_{\beta}=0$ ) кубичный по моментам интеграл (4.6) имеет структуру, почти аналогичную частному интегралу Горячева-Чаплыгина для уравнений Эйлера-Пуассона (см. §5 гл. 2). Обобщенный шаровой волчок. При этом $a_{1}=a_{2}=a_{3}$, и при любом расположении центров приведения $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{r}_{3}$ в теле система остается интегрируемой. Кроме того, вследствие инвариантности кинетической энергии относительно выбора осей в теле потенциальную энергию можно привести к виду В кватернионном представлении его можно считать произвольной квадратичной формой $V=\sum_{i=0}^{3} b_{i j} \lambda_{i} \lambda_{j}$. Следовательно, согласно аналогии, обсуждаемой в [31] (см. также §3 гл. 5), этот случай изоморфен задаче Неймана о движении точки на трехмерной сфере $S^{3}$. Инволютивный набор ее интегралов (квадратичных) может быть извлечен из работы Ю. Мозера [128], где приведено разделение переменных для системы Неймана на $S^{n}$, выполненное в XIX веке Росохатиусом [263], который добавил также любопытные сингулярные слагаемые, механический смысл которых обсуждается в § 11 гл. 5. Представим интегралы в необходимых нам переменных и в наиболее симметричном виде: где $N$ определено формулами (4.3), и $a^{2}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$. Замечание 2. Рассматривая $F_{1}$ в качестве гамильтониана и используя кватернионное представление (см. §3 гл. 5), получим интегрируемую задачу о движении четырехмерного твердого тела в квадратичном потенциале специального вида. Эта система также может рассматриваться как обобщение случая Клебша (§1 гл. 3). Аналог случая Гесса. Если эллипсоид инерции твердого тела относительно точки закрепления несимметричен, и центры приведения всех трех полей $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{r}_{3}$ располагаются на перпендикуляре к его круговому сечению (которое проходит через среднюю ось), то как сказано выше, потенциал сводится к случаю одного поля с центром приведения на той же оси. Таким образом, мы приходим к обычному случаю Гесса для движения твердого тела в поле тяжести ( $§ 6$ гл. 2), инвариантное соотношение для которого имеет вид Как отмечено Н. Е. Жуковским [79], центр тяжести в этом случае движется по закону сферического маятника. Подробное исследование случая Гесса для линейного поля и более общего вида полей содержится в $\S \S 3,4$ гл. 4, где также указана его связь с существованием циклической переменной и случаем Лагранжа. 2. Система Бруна Рассмотрим случай, когда потеншиал $V(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})$ квадратично зависит от направляющих косинусов. Эта задача изучалась Ф. Бруном еще в прошлом столетии [198], но наиболее полные результаты были получены не так давно $[18,19,20,21,146]$. Брун нашел два независимых интеграла движения, но не смог установить интегрируемость. Для этого необходимо воспользоваться гамильтоновой структурой уравнений движения и теоремой Лиувилля (вместо теории последнего множителя, которую обычно использовали для интегрирования в динамике твердого тела в 19 веке) и инволютивностью двух недостающих первых интегралов. Хотя интегрируемость волчка в $n$-мерном случае в квадратичном потенциале была формально изучена в [146] (А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский), наиболее законченные результаты имеются в работах О.И. Богоявленского [18, 21]. В них также содержатся различные физические интерпретации этой задачи. Замечание 3. В небольшой книге [62] Д. Н. Горячев изучал системы с квадратичным потенциалом. Он получил общие условия существования у такой системы дополнительного линейного и квадратичного интегралов. Он, независимо от Бруна, указывает случай интегрируемости при наличии одного поля и находит возможности одного квадратичного интеграла для двух силовых полей (в одном частном случае он указывает и второй необходимый интеграл). Все эти интегралы могут быть получены из рассмотренной далее более общей системы. Представление Лакса и первые интегралы ([21, 31]). Рассмотрим гамильтонову систему в переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \gamma$, определенную уравнени- ями (4.17), условиями коммутации (4.16) гл. 1 и гамильтонианом где $x, y, z \in \mathbb{R}, \mathbf{I}=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$ – тензор инерции тела. Гамильтониан (4.8) получается из (6.4) гл. 1 при $x=0$, поэтому для такой системы справедливы соответствующие физические заключения – такой потенциал получается из ньютоновского при разложении вблизи гравитирующего тела. Отождествим трехмерные векторы $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ с кососимметрическими матрицами $\mathbf{M}, \widetilde{\boldsymbol{\alpha}}, \widetilde{\boldsymbol{\beta}}, \widetilde{\gamma}$ по формулам и определим также симметричную матрицу где $x, y, z$ определены в (4.8). Формулами (4.9) и (4.10) определено вложение фазового пространства системы в пространство $L^{9}$ матриц $3 \times 3$, поскольку любая матрица $\mathbf{l}$ представима в форме $\mathbf{l}=\mathbf{M}+\mathbf{u}$. Коммутационные соотношения (5.7) гл. 1 задают в этом пространстве структуру алгебры Ли, соответствующую полупрямой сумме $L^{9}=s o(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{6}$, где $s o(3)-$ алгебра матриц $\mathbf{M}$, а $\mathbb{R}^{6}$ – пространство симметрических матриц $\mathbf{u}$, коммутатор которых необходимо положить равным нулю. В матричном виде коммутационные соотношения для $\mathbf{l}_{1}=\mathbf{M}_{1}+\mathbf{u}_{1}$ и $\mathbf{l}_{2}=\mathbf{M}_{2}+\mathbf{u}_{2}$ можно записать как Замечание 4. Стандартный матричный коммутатор для $g l(3)$ задает коммутационные соотношения, отличные от (4.11) тем, что $\left[\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}\right] Пуассонова структура (4.11), соответствующая алгебре $L^{9}$, обладает функциями Казимира и при ограничении на шестимерное многообразие $M^{6}$, определяемое этими функциями Казимира, уже является невырожденной. Для интегрируемости системы по Лиувиллю не хватает еще двух дополнительных инволютивных интегралов, задающих трехмерные торы, несущие квазипериодические движения. а сами уравнения можно записать в компактной форме где $\boldsymbol{\omega}=\left\|\omega_{i j}\right\|$ – кососимметрическая матрица, соответствующая угловой скорости с компонентами $\omega_{i j}=\frac{\partial H}{\partial M_{i j}}=I_{k}^{-1} M_{i j}$, a $\frac{\partial H}{\partial \mathbf{u}}=\left\|\frac{\partial H}{\partial u_{i j}}\right\|=-\mathbf{I}$. Уравнения (4.12) можно также представить в виде пары Лакса со спектральным параметром $\lambda$, входящим в это представление рациональным образом где $\mathbf{B}=(\operatorname{det} \mathbf{I}) \mathbf{I}^{-1}$. С точностью до функций Казимира их можно представить в явном виде где $\mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(2 y z-x^{2}, 2 x z-y^{2}, 2 x y-z^{2}\right), \boldsymbol{p}=\left(\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}\right), \boldsymbol{q}=$ $=\left(\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}\right), \boldsymbol{r}=\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right)$. Интегрируемая система с гамильтонианом $H=G_{1}$ может рассматриваться как задача о движении шарового волчка или материальной точки на $S^{3}$ в силовом поле с потенциалом четвертой степени (по параметрам Родрига-Гамильтона или избыточным переменным соответственно) $[18,89]$ (см. §3, §2 гл. 5). Интегрируемая система с гамильтонианом $H=G_{2}$, которая после введения вектора $N=\left(N_{1}, N_{2}, N_{3}\right)$ (4.3), представляющего собой проекции кинетического момента на неподвижные оси, может рассматриваться как некоторая система на алгебре $e(4)$ (см. § 3 гл. 5), интегрируемая на сингулярной орбите, определяемой переменными $\boldsymbol{N}=\left(N_{1}, N_{2}, N_{3}\right), \boldsymbol{p}=$ $=\left(\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}\right), \boldsymbol{q}=\left(\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}\right), \boldsymbol{r}=\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right)$. Действительно, как несложно увидеть, алгебра переменных $\boldsymbol{N}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, \boldsymbol{r}$ изоморфна алгебре переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$. Но в силу того, что $\boldsymbol{M}^{2}=\boldsymbol{N}^{2}$ интеграл $G_{2}$ на алгебре $\boldsymbol{N}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, \boldsymbol{r}$ подобен гамильтониану $H$ (4.8) на алгебре $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$. В этом смысле интегралы $H$ и $G_{2}$ являются взаимными. Определяемые ими гамильтонианы задают одну и ту же интегрируемую систему в разных системах переменных, связанных с подвижной и неподвижной системами координат. ЗАМЕЧАНИЕ 5. В работе 117$\rceil$ на основе рассмотренной интегрируемой задачи получены интегрируемые случаи для специальных систем связанных твердых тел. Однако эти системы не являются принципиально новыми динамическими проблемами, так как их динамика сводится к уравнениям (4.12). ЗАМЕЧАНИЕ 6. В работе [45] дана гидродинамическая интерпретация системы (4.12). При этом можно считать, что свободное линейно намагничивающееся твердое тело движется в однородном магнитном поле (или – поляризующееся непроводящее твердое тело свободно движется в однородном электрическом поле). Условия существования двух дополнительных интегралов, указанные в [45], как и сами интегралы, имеются также в общей системе Бруна. Другие физические интерпретации общей системы Бруна собраны в книге [21]. Случай динамической симметрии. Рассмотрим систему (4.8) при условии динамической симметрии ( $I_{1}=I_{2}=1$ ). Оказывается, что она сводится к двум степеням свободы и к системе Неймана. Гамильтониан (4.8) системы в этом случае может быть представлен в виде где $x, y, z, a=I_{3}^{-1} \in \mathbb{R}$. Из уравнений движения (4.12) следует, что компонента $M_{3}$ является интегралом движения. Кроме того, как следует из непосредственных вычислений, проекции моментов на оси, связанные с абсолютным пространством $N$ (4.3), а также проекции на те же оси единичного орта, направленного вдоль оси динамической симметрии (с компонентами $\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)=\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right)$, образуют алгебру Ли $e(3)$ эта коммутация уже была отмечена нами в §4 гл. 1. Исключая интеграл $M_{3}=$ const, который является функцией Казимира структуры (4.15), гамильтониан (4.14) можно записать в переменных $N_{i}, p_{j}$ (пользуясь также тем, что $M^{2}=N^{2}$ ) Уравнения движения с гамильтонианом (4.16) совпадают с уравнениями движения точки по двумерной сфере в поле сил с квадратичным потенциалом (задача Неймана). Эта аналогия была замечена в [18] без использования уравнений на алгебре скобок (4.15) (см. [31]). Задача Бруна в одном поле наиболее известна. В этом случае уравнения движения имеют вид гамильтоновой системы на $e(3)$ с гамильтонианом и дополнительным интегралом Эта задача оказывается эквивалентной многим другим интегрируемым динамическим системам, возникающим в различных разделах механики и физики, например, случай Клебша в уравнениях Кирхгофа, § 1 гл. 3. 3. Кватернионные уравнения Эйлера-Пуассона Рассмотрим последний, наименее естественный случай уравнений движения твердого тела с потенциалом, являющимся линейным не по направляющим косинусам, а по параметрам Родрига-Гамильтона предполагая, что уравнения движения имеют вид (4.24) гл. 1. Как мы уже отмечали, в механике такие потенциалы не встречаются, т. к. его зависимость от положения тела является неоднозначной (двузначной). В качестве обоснования рассмотрения таких уравнений можно сослаться на задачи квантовой механики, динамики точечных масс в искривленном пространстве $S^{3}$ [31], а также на некоторые формальные приемы построения $\mathbf{L}$ – A-пар [31] (см. § 4 гл. 5). Оказывается также, что при понижении порядка системы (4.17) возникают обычные уравнения Эйлера-Пуассона с дополнительными слагаемыми, имеющими различные физические интерпретации (§ 1 гл. 4). Любопытной особенностью системы (4.17) является то, что посредством линейных по $\lambda_{i}$ преобразований общую форму потенциала можно привести к виду Действительно, линейные преобразования кватернионного пространства $\lambda_{i}$ (не изменяющие коммутационных соотношений и нормы кватерниона) вида приводят потенциал (4.18) к виду (4.19). Существование такого линейного преобразования является замечательной особенностью кватернионных переменных и скобки (4.22) гл. 1, его аналогов не существует для скобок алгебры $e(3)$ и $s o(4)$. В общем, динамически несимметричном случае $a_{1} При $a_{1}=a_{2}$ всегда существует линейный интеграл где $N_{i}$ – проекции кинетического момента на неподвижные оси. При условиях $r_{1}=r_{2}=r_{3}=0$ этот интеграл принимает естественную форму Оказывается, и это подробно рассмотрено в § 1 гл. 4, посвященной понижению порядка, этот (линейный) интеграл соответствует циклической переменной $\varphi+\psi$. Редукция Рауса, выполненная по этой циклической переменной (см. подробнее §1 гл. 4), приводит к гамильтоновой системе на алгебре $e(3)$ с нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ и гамильтонианом где $c$ – константа интеграла (4.22). Гамильтониан (4.23) соответствует добавлению в обычные уравнения Эйлера-Пуассона гиростатического члена, линейного по $M$, а также сингулярного слагаемого $\frac{c^{2}}{2 \gamma_{3}^{2}}$, физический смысл которого обсуждается в гл. 4 . которого обсуждается в гл. 4. Приведем здесь интегрируемые случаи системы (4.17), которые оказываются эквивалентными интегрируемым случаям системы (4.23). Шаровой волчок ( $\left.a_{1}=a_{2}=a_{3}\right)$. Гамильтониан имеет вид и как показано в [31], система эквивалентна задаче о движении материальной точки по трехмерной сфере $S^{3}$. В силу того, что потенциал зависит лишь от $\lambda_{0}$, можно считать, что материальная точка движется в поле неподвижного центра, помещенного в северный (южный) полюс, а сила взаимодействия зависит лишь от расстояния до него (аналог задачи о движении в центральном поле для $\mathbb{R}^{3}$ ). Как и в плоском случае, сохраняется вектор кинетического момента частицы: где $N$ – вектор кинетического момента в неподвижных осях. Компоненты вектора $\boldsymbol{L}$ образуют алгебру $s o(3):\left\{L_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k}$, а интегрируемость является некоммутативной. Как говорят, такая система суперинтегрируема, а ее трехмерные торы расслоены на двумерные. «Случай Ковалевской». Гамильтониан и дополнительный, инволютивный к $F_{1}$ интеграл (четвертой степени) имеют вид При редукции к системе (4.23) получается интегрируемый случай, вкладывающийся в обобщенное семейство Ковалевской, найденное Горячевым и Яхьей (см. § 7 гл. 5, а также § 1 гл. 4). «Случай Горячева-Чаплыгина». Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют форму При редукции к системе (4.23) этот случай вкладывается в обобщенное семейство, которое указано в § 1 гл. 4. ЗАМЕЧАНИЕ 7. Несколько неожиданным является то обстоятельство, что случаи Лагранжа и Гесса не обобщаются на систему (4.17). ЗАМЕЧАНИЕ 8. При добавлении постоянного гиростатического момента вдоль оси динамической симметрии в (4.25) и (4.26) получаются случаи интегрируемости, соответствующие обобщенным случаям Яхьи и Сретенского в уравнениях Эйлера-Пуассона, интегралы для которых несложно получить из (4.23) при помощи процедуры поднятия, описанной в гл. 4. В заключение отметим, что для кватернионных уравнений Эйлера-Пуассона как «случай Ковалевской», так и «случай Горячева-Чаплыгина» являются общими случаями интегрируемости. Это позволяет их использовать для некоторых алгебраических конструкций (построение $\mathbf{L}$ – A-пар и пр.) и установить некоторые нетривиальные взаимосвязи и аналогии соответствующих случаев интегрируемости в классических уравнениях Эйлера-Пуассона (§ 7 гл. 5).
|
1 |
Оглавление
|