Как показано в § 4 гл. 1, динамика твердого тела с неподвижной точкой в произвольном потенциальном поле с потенциалом $V$ описывается гамильтоновой системой с тремя степенями свободы (4.17) (либо (4.24)) (§4 гл. 1). При этом функция Гамильтона имеет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+V, \quad \mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}, \\
V \equiv V(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \gamma) \equiv V\left(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right) \equiv V(\theta, \varphi, \psi),
\end{array}
\]

а для полной интегрируемости (по Лиувиллю) не хватает двух независимых инволютивных интеграла.

Интегрируемые случаи для системы (4.1) известны для трех видов потенциалов $V(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}) \equiv V\left(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)$ (здесь $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ – направляющие косинусы, а $\lambda$ – параметры Родрига-Гамильтона).
1) Потенциал $V$ линеен по компонентам $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ (и квадратичен по $\lambda$ ). Для частного вида $V$ при наличии осевой симметрии силового поля получаются уравнения Эйлера-Пуассона, а поэтому в общем

случае будем называть систему обобщенными уравнениями Эйлера-Пуассона.

2) Потенциал $V$ квадратичен по $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ (и имеет четвертую степень по кватернионам). Эта задача рассматривалась Бруном и Горячевым.
3) Потенциал $V$ линеен по кватернионам $\lambda$. Хотя этот случай в некотором смысле проще предыдущих, мы поместили его на последнее место в силу того, что он ранее не рассматривался. Возможно, это было связано с отсутствием его разумной механической интерпретации. Мы назвали его кватернионными уравнениями Эйлера-Пуассона.

Рассмотрим три случая последовательно и приведем все известные условия интегрируемости, характеризующиеся необходимыми дополнительными ограничениями на свободные параметры. При этом движение является регулярным, а траектории, в неособом случае, являются квазипериодическими обмотками трехмерных торов – совместных поверхностей уровня первых интегралов.

1. Обобщенные уравнения Эйлера-Пуассона

Прежде всего заметим, что любое количество линейных силовых полей сводится к трем взаимно перпендикулярным силовым полям единичной интенсивности, силовые центры которых (аналоги центра масс для поля тяжести) располагаются в теле произвольным образом [31].
Функция Гамильтона имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+\left(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{\alpha}\right)+\left(\boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{\beta}\right)+\left(\boldsymbol{r}_{3}, \gamma\right),
\]

где $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{r}_{3}$ – радиус-векторы силовых центров различной природы электрической, гравитационной. Мы называем их центрами приложения. В случае одного поля они сводятся к обычному центру тяжести.

Приведем основные результаты по приведению потенциальной энергии системы (4.2) к наиболее простому виду для различного расположения силовых центров $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{r}_{3}$, учитывающих также геометрию тела, подробности имеются в [31].
1) Центры приложения всех полей лежат на одной оси.
С помощью подходящего выбора неподвижных осей в пространстве потенциальная энергия может быть приведена к виду
\[
V=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \alpha_{1},
\]

где $a, b, c$ – расстояния силовых центров от точки закрепления.

То есть этот случай сводится к одному силовому полю, причем его силовой центр $r_{1}$ лежит на вышеупомянутой оси.
2) Центры приложения всех полей лежат в одной плоскости.
Посредством выбора неподвижных осей потенциал приводится к виду
\[
V=u \alpha_{1}+v \alpha_{2}+w \beta_{2} .
\]

То есть система сил приводится к двум взаимно ортогональным полям, у которых радиус-векторы силовых центров $\boldsymbol{r}_{1}=(u, v, 0)$, $\boldsymbol{r}_{2}=(0, w, 0)$ в общем случае неортогональны.
3) Центры приложения полей произвольны, но тензор инерции тела иаровой $\left(a_{1}=a_{2}=a_{3}\right)$.
В этом случае, используя дополнительный произвол в выборе подвижных главных осей, можно привести потенциальную энергию к виду:
\[
U=a \alpha_{1}+b \beta_{2}+c \gamma_{3} .
\]

В зависимости от расположения силовых центров в твердом теле и ограничений на моменты инерции возможны следующие случаи интегрируемости, обобщающие соответствующие в уравнениях Эйлера-Пуассона.

Случай Эйлера. В гамильтониане (4.2) необходимо положить $r_{1}=$ $=r_{2}=r_{3}=0$. Дополнительными интегралами являются проекции кинетического момента на неподвижные оси, образующие векторный интеграл $\boldsymbol{N}=\left(N_{1}, N_{2}, N_{3}\right)$
\[
N_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}), \quad N_{2}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta}), \quad N_{3}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}) .
\]

Они образуют алгебру $s o(3)-\left\{N_{i}, N_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} N_{k}$, следовательно, интегрируемость является некоммутативной (см. подробнее $\S 2$ гл. 2).

Обобщенный случай Лагранжа. При этом тело является динамически симметричным, а все три силовых центра лежат на оси динамической симметрии. Согласно результатам по приведению, этот случай сводится к обычному волчку Лагранжа в одном поле с соответствующим интегралами $F_{1}=(\boldsymbol{M}, \gamma), F_{2}=M_{3}$ (§3 гл. 2).

Обобщенный случай Ковалевской. Эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, между моментами инерции выполняются соотношения $a_{1}=a_{2}=\frac{1}{2} a_{3},\left(a_{i}=I_{i}^{-1}\right)$, а три силовых центра произвольно располагаются в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Как показано выше, здесь можно ограничиться рассмотрением лишь двух силовых центров.

Соответствующий полный набор инволютивных независимых интегралов указан А. Г. Рейманом и М. А. Семеновым-Тян-Шанским $[147,261,194]$, один интеграл квадратичен по моментам, а другой (аналог интеграла Ковалевской) имеет по ним четвертую степень.

В этом случае, как и в обычном случае Ковалевской, система допускает обобщение, при котором добавляется постоянный гиростатический момент вдоль оси динамической симметрии. При этом гамильтониан и интегралы имеют вид $[31,261]$
\[
\begin{aligned}
H= & \frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2\left(M_{3}+\lambda\right)^{2}\right)-\left(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{\alpha}\right)-\left(\boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{\beta}\right), \\
F_{1}= & \left(N_{1} \boldsymbol{r}_{1}+N_{2} \boldsymbol{r}_{2}\right)^{2}+2 N_{3}\left(\boldsymbol{r}_{1} \times \boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{M}\right)+ \\
& +2\left(\boldsymbol{r}_{1} \times \boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{r}_{2} \times \boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{r}_{1} \times \boldsymbol{\beta}\right), \\
F_{2}= & \left(\frac{M_{1}^{2}-M_{2}^{2}}{2}+g_{\alpha} \alpha_{1}-h_{\alpha} \alpha_{2}+g_{\beta} \beta_{1}-h_{\beta} \beta_{2}\right)^{2}+ \\
& +\left(M_{1} M_{2}+g_{\alpha} \alpha_{2}+h_{\alpha} \alpha_{1}+g_{\beta} \beta_{2}+h_{\beta} \beta_{1}\right)^{2}- \\
& -2 \lambda\left(M_{3}+2 \lambda\right)\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)-4 \lambda\left(\alpha_{3}\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r}_{1}\right)+\beta_{3}\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r}_{2}\right)\right) .
\end{aligned}
\]

где $\boldsymbol{r}_{1}=\left(g_{\alpha}, h_{\alpha}, 0\right), \boldsymbol{r}_{2}=\left(g_{\beta}, h_{\beta}, 0\right), \lambda=$ const – гиростатический момент, $N_{i}$ – определено соотношениями (4.3).

Явное интегрирование этого случая, также как и качественный и топологический анализ, до сих пор не выполнены.

ЗАмЕчАнИЕ 1. А.Г.Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский указали этот интегрируемый случай в $n$-мерной ситуации, но при дополнительных ограничениях: центры приведения $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}$ взаимно перпендикулярных полей располагаются на одинаковых расстояниях от неподвижной точки, не обязательно под прямым углом (либо можно считать, что $\boldsymbol{r}_{1} \perp \boldsymbol{r}_{2}$, а поля $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ неперпендикулярны). Как показывают результаты по приведению, эти ограничения несущественны.

При $\boldsymbol{r}_{2}=0$ (либо $\boldsymbol{r}_{1}=0$ ) интеграл $F_{1}$ (4.4) переходит в интеграл площадей $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha})=0$ (соответственно $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta})$ ). В этом случае циклической переменной является угол прецессии $\psi$, редукция по нему приводит к обычному случаю Ковалевской в уравнениях Эйлера-Пуассона (§4 гл. 2). Аналогичная редукция возможна в случае $r_{1} \| r_{2}$.

При $r_{1} \perp r_{2}$, например, можно выбрать $g_{\alpha}=h_{\beta}, h_{\alpha}=g_{\beta}=0$ или $h_{\alpha}=g_{\beta}, g_{\alpha}=h_{\beta}=0$, вместо $F_{1}$ возникает линейный интеграл $M_{3} \pm N_{3}=$ $=M_{3} \pm(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$, циклическая переменная $\varphi \mp \psi$. Соответствующая редукция и связанный с этим изоморфизм с интегрируемым случаем Чаплыгина

в уравнениях Кирхгофа подробно рассмотрены в § 1 гл. 4. Этот интегрируемый случай был указан Х. Яхьей [184] до появления работы $[147,261]$.

Обобщение случая Делоне. Кроме понижения порядка по циклическим переменным для обобщенного волчка Ковалевской (4.4) возможен один случай сведения к двум степеням свободы с использованием редукции Дирака [31]. Для этого рассмотрим интеграл Ковалевской $F_{2}$ (4.4) при условиях $\lambda=0, F_{2}=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=0$, определяющих обобщенный случай Делоне (О.И.Богоявленский [19]). Легко видеть, что система корректно ограничивается по Дираку на инвариантные соотношения
\[
\begin{array}{l}
z_{1}=\frac{M_{1}^{2}-M_{2}^{2}}{2}+g_{\alpha} \alpha_{1}-h_{\alpha} \alpha_{2}+g_{\beta} \beta_{1}-h_{\beta} \beta_{2}=0, \\
z_{2}=M_{1} M_{2}+g_{\alpha} \alpha_{2}+h_{\alpha} \alpha_{1}+g_{\beta} \beta_{2}+h_{\beta} \beta_{1}=0
\end{array}
\]

которые являются центральными функциями структуры Дирака [31]. На четырехмерном симплектическом листе скобки Дирака имеются также два интеграла (4.4), позволяющие полностью проинтегрировать систему.

На уровне инвариантных соотношений (4.5) имеется также дополнительный интеграл третьей степени
\[
\begin{aligned}
F_{3}=\left\{z_{1}, z_{2}\right\}=- & M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+ \\
+ & 2 \alpha_{3}\left(M_{1} g_{\alpha}+M_{2} h_{\alpha}\right)+2 \beta_{3}\left(M_{1} g_{\beta}+M_{2} h_{\beta}\right) .
\end{aligned}
\]

Действительно
\[
\begin{aligned}
\left\{F_{3}, H\right\}= & 2 z_{1}\left(-g_{\alpha} \alpha_{2}-h_{\alpha} \alpha_{1}-g_{\beta} \beta_{2}-h_{\beta} \beta_{1}\right)- \\
& -2 z_{2}\left(-g_{\alpha} \alpha_{1}+h_{\alpha} \alpha_{2}-g \beta \beta_{1}+h_{\beta} \beta_{2}\right),
\end{aligned}
\]

хотя в общем случае теорема Якоби о том, что коммутатор двух интегралов также интеграл, не обобщается на инвариантные соотношения.

При помощи (4.5) и (4.7) интегрируемость обобщенного волчка Ковалевской в случае Делоне может быть установлена и без использования интеграла $F_{1}$ (4.4). Оказывается также, что полный набор интегралов, включающий $F_{1}, z_{1}, z_{2}, F_{3}$ уже оказывается зависимым. Интересно заметить также, что в случае одного силового поля ( $g_{\alpha}=g_{\beta}=h_{\beta}=0$ ) кубичный по моментам интеграл (4.6) имеет структуру, почти аналогичную частному интегралу Горячева-Чаплыгина для уравнений Эйлера-Пуассона (см. §5 гл. 2).

Обобщенный шаровой волчок. При этом $a_{1}=a_{2}=a_{3}$, и при любом расположении центров приведения $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{r}_{3}$ в теле система остается интегрируемой. Кроме того, вследствие инвариантности кинетической

энергии относительно выбора осей в теле потенциальную энергию можно привести к виду
\[
V=x \alpha_{1}+y \beta_{2}+z \gamma_{3} .
\]

В кватернионном представлении его можно считать произвольной квадратичной формой $V=\sum_{i=0}^{3} b_{i j} \lambda_{i} \lambda_{j}$. Следовательно, согласно аналогии, обсуждаемой в [31] (см. также §3 гл. 5), этот случай изоморфен задаче Неймана о движении точки на трехмерной сфере $S^{3}$. Инволютивный набор ее интегралов (квадратичных) может быть извлечен из работы Ю. Мозера [128], где приведено разделение переменных для системы Неймана на $S^{n}$, выполненное в XIX веке Росохатиусом [263], который добавил также любопытные сингулярные слагаемые, механический смысл которых обсуждается в § 11 гл. 5. Представим интегралы в необходимых нам переменных и в наиболее симметричном виде:
\[
\begin{array}{c}
H=4 \boldsymbol{M}^{2}+\frac{1}{4}\left(a_{0}^{2}+a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-a_{3}^{2}\right) \alpha_{1}+ \\
+\frac{1}{4}\left(a_{0}^{2}-a_{1}^{2}+a_{2}^{2}-a_{3}^{2}\right) \beta_{2}+\frac{1}{4}\left(a_{0}^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\right) \gamma_{3} \\
F_{1}=(\boldsymbol{M}+\boldsymbol{N}, \mathbf{A}(\boldsymbol{M}+\boldsymbol{N}))+(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{N}, \mathbf{B}(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{N}))+ \\
+\frac{1}{4}\left(a_{0}+a_{1}-a_{2}-a_{3}\right) \alpha_{1}+\frac{1}{4}\left(a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}\right) \beta_{3}+\frac{1}{4}\left(a_{0}-a_{1}-a_{2}+a_{3}\right) \gamma_{3}, \\
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{a_{0}+a_{1}}, \frac{1}{a_{0}+a_{2}}, \frac{1}{a_{0}+a_{3}}\right), \quad \mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{a_{2}+a_{3}}, \frac{1}{a_{1}+a_{3}}, \frac{1}{a_{1}+a_{2}}\right), \\
F_{2}=a^{2}(\boldsymbol{M}+\boldsymbol{N})^{2}-4(\mathbf{C} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{N})+\frac{1}{4}\left(a_{0}^{4}+a_{1}^{4}-a_{2}^{4}-a_{3}^{4}\right) \alpha_{1}+ \\
+\frac{1}{4}\left(a_{0}^{4}-a_{1}^{4}+a_{2}^{4}-a_{3}^{4}\right) \beta_{2}+\frac{1}{4}\left(a_{0}^{4}-a_{1}^{4}-a_{2}^{4}+a_{3}^{4}\right) \gamma_{3}, \\
\mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(a_{2}^{2}+a_{3}^{2}, a_{1}^{2}+a_{3}^{2}, a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right),
\end{array}
\]

где $N$ определено формулами (4.3), и $a^{2}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$.

Замечание 2. Рассматривая $F_{1}$ в качестве гамильтониана и используя кватернионное представление (см. §3 гл. 5), получим интегрируемую задачу о движении четырехмерного твердого тела в квадратичном потенциале специального вида. Эта система также может рассматриваться как обобщение случая Клебша (§1 гл. 3).

Аналог случая Гесса. Если эллипсоид инерции твердого тела относительно точки закрепления несимметричен, и центры приведения всех трех полей $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{r}_{3}$ располагаются на перпендикуляре к его круговому сечению

(которое проходит через среднюю ось), то как сказано выше, потенциал сводится к случаю одного поля с центром приведения на той же оси. Таким образом, мы приходим к обычному случаю Гесса для движения твердого тела в поле тяжести ( $§ 6$ гл. 2), инвариантное соотношение для которого имеет вид
\[
\sqrt{a_{2}-a_{1}} M_{1} \pm \sqrt{a_{3}-a_{2}} M_{3}=0, \quad a_{1}<a_{2}<a_{3} .
\]

Как отмечено Н. Е. Жуковским [79], центр тяжести в этом случае движется по закону сферического маятника.

Подробное исследование случая Гесса для линейного поля и более общего вида полей содержится в $\S \S 3,4$ гл. 4, где также указана его связь с существованием циклической переменной и случаем Лагранжа.

2. Система Бруна

Рассмотрим случай, когда потеншиал $V(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})$ квадратично зависит от направляющих косинусов. Эта задача изучалась Ф. Бруном еще в прошлом столетии [198], но наиболее полные результаты были получены не так давно $[18,19,20,21,146]$. Брун нашел два независимых интеграла движения, но не смог установить интегрируемость. Для этого необходимо воспользоваться гамильтоновой структурой уравнений движения и теоремой Лиувилля (вместо теории последнего множителя, которую обычно использовали для интегрирования в динамике твердого тела в 19 веке) и инволютивностью двух недостающих первых интегралов. Хотя интегрируемость волчка в $n$-мерном случае в квадратичном потенциале была формально изучена в [146] (А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский), наиболее законченные результаты имеются в работах О.И. Богоявленского [18, 21]. В них также содержатся различные физические интерпретации этой задачи.

Замечание 3. В небольшой книге [62] Д. Н. Горячев изучал системы с квадратичным потенциалом. Он получил общие условия существования у такой системы дополнительного линейного и квадратичного интегралов. Он, независимо от Бруна, указывает случай интегрируемости при наличии одного поля и находит возможности одного квадратичного интеграла для двух силовых полей (в одном частном случае он указывает и второй необходимый интеграл). Все эти интегралы могут быть получены из рассмотренной далее более общей системы.

Представление Лакса и первые интегралы ([21, 31]).

Рассмотрим гамильтонову систему в переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \gamma$, определенную уравнени-

ями (4.17), условиями коммутации (4.16) гл. 1 и гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(\mathbf{I}^{-1} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}\right)-x(\mathbf{I} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})-y(\mathbf{I} \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\beta})-z(\mathbf{I} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma}),
\]

где $x, y, z \in \mathbb{R}, \mathbf{I}=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$ – тензор инерции тела. Гамильтониан (4.8) получается из (6.4) гл. 1 при $x=0$, поэтому для такой системы справедливы соответствующие физические заключения – такой потенциал получается из ньютоновского при разложении вблизи гравитирующего тела. Отождествим трехмерные векторы $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ с кососимметрическими матрицами $\mathbf{M}, \widetilde{\boldsymbol{\alpha}}, \widetilde{\boldsymbol{\beta}}, \widetilde{\gamma}$ по формулам
\[
M_{i j}=\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad \tilde{\alpha}_{i j}=\varepsilon_{i j k} \alpha_{k}, \quad \tilde{\beta}_{i j}=\varepsilon_{i j k} \beta_{k}, \quad \tilde{\gamma}_{i j}=\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}
\]

и определим также симметричную матрицу
\[
\mathbf{u}=x \widetilde{\boldsymbol{\alpha}}^{2}+y \widetilde{\boldsymbol{\beta}}^{2}+z \widetilde{\boldsymbol{\gamma}}^{2},
\]

где $x, y, z$ определены в (4.8). Формулами (4.9) и (4.10) определено вложение фазового пространства системы в пространство $L^{9}$ матриц $3 \times 3$, поскольку любая матрица $\mathbf{l}$ представима в форме $\mathbf{l}=\mathbf{M}+\mathbf{u}$. Коммутационные соотношения (5.7) гл. 1 задают в этом пространстве структуру алгебры Ли, соответствующую полупрямой сумме $L^{9}=s o(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{6}$, где $s o(3)-$ алгебра матриц $\mathbf{M}$, а $\mathbb{R}^{6}$ – пространство симметрических матриц $\mathbf{u}$, коммутатор которых необходимо положить равным нулю. В матричном виде коммутационные соотношения для $\mathbf{l}_{1}=\mathbf{M}_{1}+\mathbf{u}_{1}$ и $\mathbf{l}_{2}=\mathbf{M}_{2}+\mathbf{u}_{2}$ можно записать как
\[
\begin{array}{c}
{[\mathbf{M}, \mathbf{u}]=\mathbf{M u}-\mathbf{u M} \in \mathbb{R}^{6}, \quad\left[\mathbf{M}_{1}, \mathbf{M}_{2}\right]=\mathbf{M}_{1} \mathbf{M}_{2}-\mathbf{M}_{2} \mathbf{M}_{1} \in \operatorname{so}(3),} \\
{\left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right]=0 .}
\end{array}
\]

Замечание 4. Стандартный матричный коммутатор для $g l(3)$ задает коммутационные соотношения, отличные от (4.11) тем, что $\left[\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}\right]
eq 0$. Эти два набора коммутационных соотношений согласованы и задают пучок скобок Пуассона (см. подробнее [31]).

Пуассонова структура (4.11), соответствующая алгебре $L^{9}$, обладает функциями Казимира
\[
F_{1}=\operatorname{Tr}(\mathbf{u}), \quad F_{2}=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{u}^{2}\right), \quad F_{3}=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{u}^{3}\right),
\]

и при ограничении на шестимерное многообразие $M^{6}$, определяемое этими функциями Казимира, уже является невырожденной. Для интегрируемости системы по Лиувиллю не хватает еще двух дополнительных инволютивных интегралов, задающих трехмерные торы, несущие квазипериодические движения.
Гамильтониан (4.8) в переменных М, и имеет вид
\[
H=-\operatorname{Tr}\left(\frac{1}{4} \mathbf{M} \boldsymbol{\omega}+\mathbf{u I}\right)
\]

а сами уравнения можно записать в компактной форме
\[
\dot{\mathbf{M}}=[\mathbf{M}, \boldsymbol{\omega}]+\left[\mathbf{u}, \frac{\partial H}{\partial \mathbf{u}}\right], \quad \dot{\mathbf{u}}=[\mathbf{u}, \boldsymbol{\omega}],
\]

где $\boldsymbol{\omega}=\left\|\omega_{i j}\right\|$ – кососимметрическая матрица, соответствующая угловой скорости с компонентами $\omega_{i j}=\frac{\partial H}{\partial M_{i j}}=I_{k}^{-1} M_{i j}$, a $\frac{\partial H}{\partial \mathbf{u}}=\left\|\frac{\partial H}{\partial u_{i j}}\right\|=-\mathbf{I}$.

Уравнения (4.12) можно также представить в виде пары Лакса со спектральным параметром $\lambda$, входящим в это представление рациональным образом
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}], \\
\mathbf{L}=\lambda \mathbf{M}+\mathbf{u}+\lambda^{2} \mathbf{B}, \quad \mathbf{A}=\boldsymbol{\omega}-\lambda \mathbf{I},
\end{array}
\]

где $\mathbf{B}=(\operatorname{det} \mathbf{I}) \mathbf{I}^{-1}$.
Два необходимых независимых и инволютивных интеграла движения получены как коэффициенты при $\lambda^{k}$ в следах степеней матрицы $\mathbf{L}$
\[
G_{1}=\operatorname{Tr}\left(\frac{1}{2} \mathbf{M}^{2}+\mathbf{B u}\right), \quad G_{2}=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{M}^{2} \mathbf{u}+\mathbf{B u}^{2}\right) .
\]

С точностью до функций Казимира их можно представить в явном виде
\[
\begin{array}{c}
G_{1}=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}+\operatorname{det} \mathbf{I}\left(x\left(\boldsymbol{\alpha}, \mathbf{I}^{-1} \boldsymbol{\alpha}\right)+y\left(\boldsymbol{\beta}, \mathbf{I}^{-1} \boldsymbol{\beta}\right)+z\left(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{I}^{-1} \boldsymbol{\gamma}\right)\right), \\
G_{2}=(x+y+z) \boldsymbol{M}^{2}+x(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha})^{2}+y(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta})^{2}+z(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})^{2}+V, \\
V=\operatorname{det} \mathbf{I}\left[I_{1}^{-1}(\boldsymbol{p}, \mathbf{C} \boldsymbol{p})+I_{2}^{-1}(\boldsymbol{q}, \mathbf{C} \boldsymbol{q})+I_{3}^{-1}(\boldsymbol{r}, \mathbf{C} \boldsymbol{r})\right],
\end{array}
\]

где $\mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(2 y z-x^{2}, 2 x z-y^{2}, 2 x y-z^{2}\right), \boldsymbol{p}=\left(\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}\right), \boldsymbol{q}=$ $=\left(\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}\right), \boldsymbol{r}=\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right)$.

Интегрируемая система с гамильтонианом $H=G_{1}$ может рассматриваться как задача о движении шарового волчка или материальной точки на $S^{3}$ в силовом поле с потенциалом четвертой степени (по параметрам Родрига-Гамильтона или избыточным переменным соответственно) $[18,89]$ (см. §3, §2 гл. 5).

Интегрируемая система с гамильтонианом $H=G_{2}$, которая после введения вектора $N=\left(N_{1}, N_{2}, N_{3}\right)$ (4.3), представляющего собой проекции кинетического момента на неподвижные оси, может рассматриваться как некоторая система на алгебре $e(4)$ (см. § 3 гл. 5), интегрируемая на сингулярной орбите, определяемой переменными $\boldsymbol{N}=\left(N_{1}, N_{2}, N_{3}\right), \boldsymbol{p}=$ $=\left(\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}\right), \boldsymbol{q}=\left(\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}\right), \boldsymbol{r}=\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right)$. Действительно, как несложно увидеть, алгебра переменных $\boldsymbol{N}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, \boldsymbol{r}$ изоморфна алгебре переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$. Но в силу того, что $\boldsymbol{M}^{2}=\boldsymbol{N}^{2}$ интеграл $G_{2}$ на алгебре $\boldsymbol{N}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, \boldsymbol{r}$ подобен гамильтониану $H$ (4.8) на алгебре $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$. В этом смысле интегралы $H$ и $G_{2}$ являются взаимными. Определяемые ими гамильтонианы задают одну и ту же интегрируемую систему в разных системах переменных, связанных с подвижной и неподвижной системами координат.

ЗАМЕЧАНИЕ 5. В работе 117$\rceil$ на основе рассмотренной интегрируемой задачи получены интегрируемые случаи для специальных систем связанных твердых тел. Однако эти системы не являются принципиально новыми динамическими проблемами, так как их динамика сводится к уравнениям (4.12).

ЗАМЕЧАНИЕ 6. В работе [45] дана гидродинамическая интерпретация системы (4.12). При этом можно считать, что свободное линейно намагничивающееся твердое тело движется в однородном магнитном поле (или – поляризующееся непроводящее твердое тело свободно движется в однородном электрическом поле). Условия существования двух дополнительных интегралов, указанные в [45], как и сами интегралы, имеются также в общей системе Бруна. Другие физические интерпретации общей системы Бруна собраны в книге [21].

Случай динамической симметрии.

Рассмотрим систему (4.8) при условии динамической симметрии ( $I_{1}=I_{2}=1$ ). Оказывается, что она сводится к двум степеням свободы и к системе Неймана. Гамильтониан (4.8) системы в этом случае может быть представлен в виде
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)-\frac{a-1}{a}\left(x \alpha_{3}^{2}+y \beta_{3}^{2}+z \gamma_{3}^{2}\right),
\]

где $x, y, z, a=I_{3}^{-1} \in \mathbb{R}$. Из уравнений движения (4.12) следует, что компонента $M_{3}$ является интегралом движения.

Кроме того, как следует из непосредственных вычислений, проекции моментов на оси, связанные с абсолютным пространством $N$ (4.3), а также проекции на те же оси единичного орта, направленного вдоль оси динамической симметрии (с компонентами $\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)=\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right)$, образуют алгебру Ли $e(3)$
\[
\left\{N_{i}, N_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} N_{k}, \quad\left\{N_{i}, p_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} p_{k}, \quad\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0,
\]

эта коммутация уже была отмечена нами в §4 гл. 1. Исключая интеграл $M_{3}=$ const, который является функцией Казимира структуры (4.15), гамильтониан (4.14) можно записать в переменных $N_{i}, p_{j}$ (пользуясь также тем, что $M^{2}=N^{2}$ )
\[
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{N}^{2}-\frac{a-1}{a}\left(x p_{1}^{2}+y p_{2}^{2}+z p_{3}^{2}\right) .
\]

Уравнения движения с гамильтонианом (4.16) совпадают с уравнениями движения точки по двумерной сфере в поле сил с квадратичным потенциалом (задача Неймана). Эта аналогия была замечена в [18] без использования уравнений на алгебре скобок (4.15) (см. [31]).

Задача Бруна в одном поле наиболее известна. В этом случае уравнения движения имеют вид гамильтоновой системы на $e(3)$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+\frac{1}{2} \mu\left(\mathbf{A}^{-1} \gamma, \gamma\right)
\]

и дополнительным интегралом
\[
F=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})-\frac{\mu}{2 \operatorname{det} \mathbf{A}}(\mathbf{A} \gamma, \gamma) .
\]

Эта задача оказывается эквивалентной многим другим интегрируемым динамическим системам, возникающим в различных разделах механики и физики, например, случай Клебша в уравнениях Кирхгофа, § 1 гл. 3.

3. Кватернионные уравнения Эйлера-Пуассона

Рассмотрим последний, наименее естественный случай уравнений движения твердого тела с потенциалом, являющимся линейным не по направляющим косинусам, а по параметрам Родрига-Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+\sum_{i=0}^{3} r_{i} \lambda_{i}, \quad r_{i}=\mathrm{const},
\]

предполагая, что уравнения движения имеют вид (4.24) гл. 1. Как мы уже отмечали, в механике такие потенциалы не встречаются, т. к. его зависимость от положения тела является неоднозначной (двузначной). В качестве обоснования рассмотрения таких уравнений можно сослаться на задачи квантовой механики, динамики точечных масс в искривленном пространстве $S^{3}$ [31], а также на некоторые формальные приемы построения $\mathbf{L}$ – A-пар [31] (см. § 4 гл. 5). Оказывается также, что при понижении порядка системы (4.17) возникают обычные уравнения Эйлера-Пуассона с дополнительными слагаемыми, имеющими различные физические интерпретации (§ 1 гл. 4).

Любопытной особенностью системы (4.17) является то, что посредством линейных по $\lambda_{i}$ преобразований общую форму потенциала
\[
V=\sum_{i=0}^{3} r_{i} \lambda_{i}
\]

можно привести к виду
\[
V=r_{0} \lambda_{0} .
\]

Действительно, линейные преобразования кватернионного пространства $\lambda_{i}$ (не изменяющие коммутационных соотношений и нормы кватерниона) вида
\[
\begin{array}{c}
\widetilde{\lambda}_{0}=R^{-1}\left(r_{0} \lambda_{0}+r_{1} \lambda_{1}+r_{2} \lambda_{2}+r_{3} \lambda_{3}\right), \\
\widetilde{\lambda}_{1}=R^{-1}\left(r_{0} \lambda_{1}-r_{1} \lambda_{0}-r_{2} \lambda_{3}+r_{3} \lambda_{2}\right), \\
\widetilde{\lambda}_{2}=R^{-1}\left(r_{0} \lambda_{2}+r_{1} \lambda_{3}-r_{2} \lambda_{0}-r_{3} \lambda_{1}\right), \\
\widetilde{\lambda}_{3}=R^{-1}\left(r_{0} \lambda_{3}-r_{1} \lambda_{2}+r_{2} \lambda_{1}-r_{3} \lambda_{0}\right), \\
R^{2}=r_{0}^{2}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}
\end{array}
\]

приводят потенциал (4.18) к виду (4.19). Существование такого линейного преобразования является замечательной особенностью кватернионных переменных и скобки (4.22) гл. 1, его аналогов не существует для скобок алгебры $e(3)$ и $s o(4)$.

В общем, динамически несимметричном случае $a_{1}
eq a_{2}
eq a_{3}
eq a_{1}$ система (4.17), видимо, не является интегрируемой и не существует ни одного из двух необходимых дополнительных интегралов. Это, однако, нигде не доказано, и доказательство, по разным причинам, не является естественным. Отметим, что даже применение метода Ковалевской для системы (4.17) не вполне аналогично классической задаче Эйлера-Пуассона.

При $a_{1}=a_{2}$ всегда существует линейный интеграл
\[
\begin{aligned}
F_{1}= & M_{3}\left(r_{0}^{2}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}\right)+N_{3}\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-r_{0}^{2}-r_{3}^{2}\right)+ \\
& +2 N_{2}\left(r_{1} r_{0}-r_{3} r_{2}\right)-2 N_{1}\left(r_{1} r_{2}-r_{0} r_{3}\right),
\end{aligned}
\]

где $N_{i}$ – проекции кинетического момента на неподвижные оси. При условиях $r_{1}=r_{2}=r_{3}=0$ этот интеграл принимает естественную форму
\[
F_{1}=M_{3}-N_{3} .
\]

Оказывается, и это подробно рассмотрено в § 1 гл. 4, посвященной понижению порядка, этот (линейный) интеграл соответствует циклической переменной $\varphi+\psi$. Редукция Рауса, выполненная по этой циклической переменной (см. подробнее §1 гл. 4), приводит к гамильтоновой системе на алгебре $e(3)$ с нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ и гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a_{3} M_{3}^{2}\right)+c\left(a_{3}-1\right) M_{3}+r_{0} \gamma_{2}+\frac{1}{2} \frac{c^{2}}{\gamma_{3}^{2}},
\]

где $c$ – константа интеграла (4.22). Гамильтониан (4.23) соответствует добавлению в обычные уравнения Эйлера-Пуассона гиростатического члена, линейного по $M$, а также сингулярного слагаемого $\frac{c^{2}}{2 \gamma_{3}^{2}}$, физический смысл которого обсуждается в гл. 4 . которого обсуждается в гл. 4.

Приведем здесь интегрируемые случаи системы (4.17), которые оказываются эквивалентными интегрируемым случаям системы (4.23).

Шаровой волчок ( $\left.a_{1}=a_{2}=a_{3}\right)$. Гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}+r_{0} \lambda_{0},
\]

и как показано в [31], система эквивалентна задаче о движении материальной точки по трехмерной сфере $S^{3}$. В силу того, что потенциал зависит лишь от $\lambda_{0}$, можно считать, что материальная точка движется в поле неподвижного центра, помещенного в северный (южный) полюс, а сила взаимодействия зависит лишь от расстояния до него (аналог задачи о движении в центральном поле для $\mathbb{R}^{3}$ ). Как и в плоском случае, сохраняется вектор кинетического момента частицы:
\[
\boldsymbol{L}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{N}-\boldsymbol{M})=\mathrm{const},
\]

где $N$ – вектор кинетического момента в неподвижных осях.

Компоненты вектора $\boldsymbol{L}$ образуют алгебру $s o(3):\left\{L_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k}$, а интегрируемость является некоммутативной. Как говорят, такая система суперинтегрируема, а ее трехмерные торы расслоены на двумерные.

«Случай Ковалевской». Гамильтониан и дополнительный, инволютивный к $F_{1}$ интеграл (четвертой степени) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+r_{0} \lambda_{0}, \\
F_{2}=\left(M_{1} N_{1}+M_{2} N_{2}+2 r_{0} \lambda_{0}\right)^{2}+\left(N_{1} M_{2}-N_{2} M_{1}-2 r_{0} \lambda_{3}\right)^{2}+ \\
+\left(N_{3}-M_{3}\right)\left(M_{3}\left(M^{2}-M_{3} N_{3}\right)+2 r_{0}\left(M_{2} \lambda_{1}-M_{1} \lambda_{2}+\frac{\lambda_{0}}{2}\left(M_{3}-N_{3}\right)\right)\right) .
\end{array}
\]

При редукции к системе (4.23) получается интегрируемый случай, вкладывающийся в обобщенное семейство Ковалевской, найденное Горячевым и Яхьей (см. § 7 гл. 5, а также § 1 гл. 4).

«Случай Горячева-Чаплыгина». Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют форму
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+4 M_{3}^{2}\right)+r_{0} \lambda_{0}, \\
F_{2} & =M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+r_{0}\left(M_{2} \lambda_{1}-M_{1} \lambda_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

При редукции к системе (4.23) этот случай вкладывается в обобщенное семейство, которое указано в § 1 гл. 4.

ЗАМЕЧАНИЕ 7. Несколько неожиданным является то обстоятельство, что случаи Лагранжа и Гесса не обобщаются на систему (4.17).

ЗАМЕЧАНИЕ 8. При добавлении постоянного гиростатического момента вдоль оси динамической симметрии в (4.25) и (4.26) получаются случаи интегрируемости, соответствующие обобщенным случаям Яхьи и Сретенского в уравнениях Эйлера-Пуассона, интегралы для которых несложно получить из (4.23) при помощи процедуры поднятия, описанной в гл. 4.

В заключение отметим, что для кватернионных уравнений Эйлера-Пуассона как «случай Ковалевской», так и «случай Горячева-Чаплыгина» являются общими случаями интегрируемости. Это позволяет их использовать для некоторых алгебраических конструкций (построение $\mathbf{L}$ – A-пар и пр.) и установить некоторые нетривиальные взаимосвязи и аналогии соответствующих случаев интегрируемости в классических уравнениях Эйлера-Пуассона (§ 7 гл. 5).