Как показано в § 4 гл. 1, динамика твердого тела с неподвижной точкой в произвольном потенциальном поле с потенциалом $V$ описывается гамильтоновой системой с тремя степенями свободы (4.17) (либо (4.24)) (§4 гл. 1). При этом функция Гамильтона имеет вид
$$\begin{array}{c}H=\frac{1}{2}(\mathit{M},\mathbf{A}\mathit{M})+V,\mathbf{A}={\mathbf{I}}^{-1},\\ V\equiv V(\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\gamma )\equiv V({\lambda }_0,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)\equiv V(\theta ,\phi ,\psi ),\end{array}$$

а для полной интегрируемости (по Лиувиллю) не хватает двух независимых инволютивных интеграла.

Интегрируемые случаи для системы (4.1) известны для трех видов потенциалов $V(\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma })\equiv V({\lambda }_0,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$ (здесь $\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma }$ — направляющие косинусы, а $\lambda$ — параметры Родрига-Гамильтона).
1) Потенциал $V$ линеен по компонентам $\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma }$ (и квадратичен по $\lambda$ ). Для частного вида $V$ при наличии осевой симметрии силового поля получаются уравнения Эйлера-Пуассона, а поэтому в общем

случае будем называть систему обобщенными уравнениями Эйлера-Пуассона.

2) Потенциал $V$ квадратичен по $\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma }$ (и имеет четвертую степень по кватернионам). Эта задача рассматривалась Бруном и Горячевым.
3) Потенциал $V$ линеен по кватернионам $\lambda$. Хотя этот случай в некотором смысле проще предыдущих, мы поместили его на последнее место в силу того, что он ранее не рассматривался. Возможно, это было связано с отсутствием его разумной механической интерпретации. Мы назвали его кватернионными уравнениями Эйлера-Пуассона.

Рассмотрим три случая последовательно и приведем все известные условия интегрируемости, характеризующиеся необходимыми дополнительными ограничениями на свободные параметры. При этом движение является регулярным, а траектории, в неособом случае, являются квазипериодическими обмотками трехмерных торов — совместных поверхностей уровня первых интегралов.

1. Обобщенные уравнения Эйлера-Пуассона

Прежде всего заметим, что любое количество линейных силовых полей сводится к трем взаимно перпендикулярным силовым полям единичной интенсивности, силовые центры которых (аналоги центра масс для поля тяжести) располагаются в теле произвольным образом [31].
Функция Гамильтона имеет вид
$$H=\frac{1}{2}(\mathbf{A}\mathit{M},\mathit{M})+({\mathit{r}}_1,\mathit{\alpha })+({\mathit{r}}_2,\mathit{\beta })+({\mathit{r}}_3,\gamma ),$$

где ${\mathit{r}}_1,{\mathit{r}}_2,{\mathit{r}}_3$ — радиус-векторы силовых центров различной природы электрической, гравитационной. Мы называем их центрами приложения. В случае одного поля они сводятся к обычному центру тяжести.

Приведем основные результаты по приведению потенциальной энергии системы (4.2) к наиболее простому виду для различного расположения силовых центров ${\mathit{r}}_1,{\mathit{r}}_2,{\mathit{r}}_3$, учитывающих также геометрию тела, подробности имеются в [31].
1) Центры приложения всех полей лежат на одной оси.
С помощью подходящего выбора неподвижных осей в пространстве потенциальная энергия может быть приведена к виду
$$V=\sqrt{a^2+b^2+c^2}{\alpha }_1,$$

где $a,b,c$ — расстояния силовых центров от точки закрепления.

То есть этот случай сводится к одному силовому полю, причем его силовой центр $r_1$ лежит на вышеупомянутой оси.
2) Центры приложения всех полей лежат в одной плоскости.
Посредством выбора неподвижных осей потенциал приводится к виду
$$V=u{\alpha }_1+v{\alpha }_2+w{\beta }_2.$$

То есть система сил приводится к двум взаимно ортогональным полям, у которых радиус-векторы силовых центров ${\mathit{r}}_1=(u,v,0)$, ${\mathit{r}}_2=(0,w,0)$ в общем случае неортогональны.
3) Центры приложения полей произвольны, но тензор инерции тела иаровой $(a_1=a_2=a_3)$.
В этом случае, используя дополнительный произвол в выборе подвижных главных осей, можно привести потенциальную энергию к виду:
$$U=a{\alpha }_1+b{\beta }_2+c{\gamma }_3.$$

В зависимости от расположения силовых центров в твердом теле и ограничений на моменты инерции возможны следующие случаи интегрируемости, обобщающие соответствующие в уравнениях Эйлера-Пуассона.

Случай Эйлера. В гамильтониане (4.2) необходимо положить $r_1=$ $=r_2=r_3=0$. Дополнительными интегралами являются проекции кинетического момента на неподвижные оси, образующие векторный интеграл $\mathit{N}=(N_1,N_2,N_3)$
$$N_1=(\mathit{M},\mathit{\alpha }),N_2=(\mathit{M},\mathit{\beta }),N_3=(\mathit{M},\mathit{\gamma }).$$

Они образуют алгебру $so(3)-\{N_i,N_j\}={\epsilon }_{ijk}{N}_k$, следовательно, интегрируемость является некоммутативной (см. подробнее $\mathrm{\S }2$ гл. 2).

Обобщенный случай Лагранжа. При этом тело является динамически симметричным, а все три силовых центра лежат на оси динамической симметрии. Согласно результатам по приведению, этот случай сводится к обычному волчку Лагранжа в одном поле с соответствующим интегралами $F_1=(\mathit{M},\gamma ),F_2=M_3$ (§3 гл. 2).

Обобщенный случай Ковалевской. Эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, между моментами инерции выполняются соотношения $a_1=a_2=\frac{1}{2}{a}_3,(a_i=I_i^{-1})$, а три силовых центра произвольно располагаются в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Как показано выше, здесь можно ограничиться рассмотрением лишь двух силовых центров.

Соответствующий полный набор инволютивных независимых интегралов указан А. Г. Рейманом и М. А. Семеновым-Тян-Шанским $[147,261,194]$, один интеграл квадратичен по моментам, а другой (аналог интеграла Ковалевской) имеет по ним четвертую степень.

В этом случае, как и в обычном случае Ковалевской, система допускает обобщение, при котором добавляется постоянный гиростатический момент вдоль оси динамической симметрии. При этом гамильтониан и интегралы имеют вид $[31,261]$
$$\begin{array}{rl}H=& \frac{1}{2}(M_1^2+M_2^2+2{(M_3+\lambda )}^2)-({\mathit{r}}_1,\mathit{\alpha })-({\mathit{r}}_2,\mathit{\beta }),\\ F_1=& {(N_1{\mathit{r}}_1+N_2{\mathit{r}}_2)}^2+2N_3({\mathit{r}}_1\times {\mathit{r}}_2,\mathit{M})+\\ & +2({\mathit{r}}_1\times {\mathit{r}}_2,{\mathit{r}}_2\times \mathit{\alpha }-{\mathit{r}}_1\times \mathit{\beta }),\\ F_2=& {(\frac{M_1^2-M_2^2}{2}+g_{\alpha }{\alpha }_1-h_{\alpha }{\alpha }_2+g_{\beta }{\beta }_1-h_{\beta }{\beta }_2)}^2+\\ & +{(M_1{M}_2+g_{\alpha }{\alpha }_2+h_{\alpha }{\alpha }_1+g_{\beta }{\beta }_2+h_{\beta }{\beta }_1)}^2-\\ & -2\lambda (M_3+2\lambda )(M_1^2+M_2^2)-4\lambda ({\alpha }_3(\mathit{M},{\mathit{r}}_1)+{\beta }_3(\mathit{M},{\mathit{r}}_2)).\end{array}$$

где ${\mathit{r}}_1=(g_{\alpha },h_{\alpha },0),{\mathit{r}}_2=(g_{\beta },h_{\beta },0),\lambda =$ const — гиростатический момент, $N_i$ — определено соотношениями (4.3).

Явное интегрирование этого случая, также как и качественный и топологический анализ, до сих пор не выполнены.

ЗАмЕчАнИЕ 1. А.Г.Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский указали этот интегрируемый случай в $n$-мерной ситуации, но при дополнительных ограничениях: центры приведения ${\mathit{r}}_1,{\mathit{r}}_2$ взаимно перпендикулярных полей располагаются на одинаковых расстояниях от неподвижной точки, не обязательно под прямым углом (либо можно считать, что ${\mathit{r}}_1\perp {\mathit{r}}_2$, а поля $\mathit{\alpha },\mathit{\beta }$ неперпендикулярны). Как показывают результаты по приведению, эти ограничения несущественны.

При ${\mathit{r}}_2=0$ (либо ${\mathit{r}}_1=0$ ) интеграл $F_1$ (4.4) переходит в интеграл площадей $(\mathit{M},\mathit{\alpha })=0$ (соответственно $(\mathit{M},\mathit{\beta })$ ). В этом случае циклической переменной является угол прецессии $\psi$, редукция по нему приводит к обычному случаю Ковалевской в уравнениях Эйлера-Пуассона (§4 гл. 2). Аналогичная редукция возможна в случае $r_1\Vert r_2$.

При $r_1\perp r_2$, например, можно выбрать $g_{\alpha }=h_{\beta },h_{\alpha }=g_{\beta }=0$ или $h_{\alpha }=g_{\beta },g_{\alpha }=h_{\beta }=0$, вместо $F_1$ возникает линейный интеграл $M_3\pm N_3=$ $=M_3\pm (\mathit{M},\mathit{\gamma })$, циклическая переменная $\phi \mp \psi$. Соответствующая редукция и связанный с этим изоморфизм с интегрируемым случаем Чаплыгина

в уравнениях Кирхгофа подробно рассмотрены в § 1 гл. 4. Этот интегрируемый случай был указан Х. Яхьей [184] до появления работы $[147,261]$.

Обобщение случая Делоне. Кроме понижения порядка по циклическим переменным для обобщенного волчка Ковалевской (4.4) возможен один случай сведения к двум степеням свободы с использованием редукции Дирака [31]. Для этого рассмотрим интеграл Ковалевской $F_2$ (4.4) при условиях $\lambda =0,F_2=z_1^2+z_2^2=0$, определяющих обобщенный случай Делоне (О.И.Богоявленский [19]). Легко видеть, что система корректно ограничивается по Дираку на инвариантные соотношения
$$\begin{array}{l}{z}_1=\frac{M_1^2-M_2^2}{2}+g_{\alpha }{\alpha }_1-h_{\alpha }{\alpha }_2+g_{\beta }{\beta }_1-h_{\beta }{\beta }_2=0,\\ z_2=M_1{M}_2+g_{\alpha }{\alpha }_2+h_{\alpha }{\alpha }_1+g_{\beta }{\beta }_2+h_{\beta }{\beta }_1=0\end{array}$$

которые являются центральными функциями структуры Дирака [31]. На четырехмерном симплектическом листе скобки Дирака имеются также два интеграла (4.4), позволяющие полностью проинтегрировать систему.

На уровне инвариантных соотношений (4.5) имеется также дополнительный интеграл третьей степени
$$\begin{array}{rl}{F}_3=\{z_1,z_2\}=-& M_3(M_1^2+M_2^2)+\\ +& 2{\alpha }_3(M_1{g}_{\alpha }+M_2{h}_{\alpha })+2{\beta }_3(M_1{g}_{\beta }+M_2{h}_{\beta }).\end{array}$$

Действительно
$$\begin{array}{rl}\{F_3,H\}=& 2z_1(-g_{\alpha }{\alpha }_2-h_{\alpha }{\alpha }_1-g_{\beta }{\beta }_2-h_{\beta }{\beta }_1)-\\ & -2z_2(-g_{\alpha }{\alpha }_1+h_{\alpha }{\alpha }_2-g\beta {\beta }_1+h_{\beta }{\beta }_2),\end{array}$$

хотя в общем случае теорема Якоби о том, что коммутатор двух интегралов также интеграл, не обобщается на инвариантные соотношения.

При помощи (4.5) и (4.7) интегрируемость обобщенного волчка Ковалевской в случае Делоне может быть установлена и без использования интеграла $F_1$ (4.4). Оказывается также, что полный набор интегралов, включающий $F_1,z_1,z_2,F_3$ уже оказывается зависимым. Интересно заметить также, что в случае одного силового поля ( $g_{\alpha }=g_{\beta }=h_{\beta }=0$ ) кубичный по моментам интеграл (4.6) имеет структуру, почти аналогичную частному интегралу Горячева-Чаплыгина для уравнений Эйлера-Пуассона (см. §5 гл. 2).

Обобщенный шаровой волчок. При этом $a_1=a_2=a_3$, и при любом расположении центров приведения ${\mathit{r}}_1,{\mathit{r}}_2,{\mathit{r}}_3$ в теле система остается интегрируемой. Кроме того, вследствие инвариантности кинетической

энергии относительно выбора осей в теле потенциальную энергию можно привести к виду
$$V=x{\alpha }_1+y{\beta }_2+z{\gamma }_3.$$

В кватернионном представлении его можно считать произвольной квадратичной формой $V=\sum _{i=0}^3{b}_{ij}{\lambda }_i{\lambda }_j$. Следовательно, согласно аналогии, обсуждаемой в [31] (см. также §3 гл. 5), этот случай изоморфен задаче Неймана о движении точки на трехмерной сфере $S^3$. Инволютивный набор ее интегралов (квадратичных) может быть извлечен из работы Ю. Мозера [128], где приведено разделение переменных для системы Неймана на $S^n$, выполненное в XIX веке Росохатиусом [263], который добавил также любопытные сингулярные слагаемые, механический смысл которых обсуждается в § 11 гл. 5. Представим интегралы в необходимых нам переменных и в наиболее симметричном виде:
$$\begin{array}{c}H=4{\mathit{M}}^2+\frac{1}{4}(a_0^2+a_1^2-a_2^2-a_3^2){\alpha }_1+\\ +\frac{1}{4}(a_0^2-a_1^2+a_2^2-a_3^2){\beta }_2+\frac{1}{4}(a_0^2-a_1^2-a_2^2+a_3^2){\gamma }_3\\ F_1=(\mathit{M}+\mathit{N},\mathbf{A}(\mathit{M}+\mathit{N}))+(\mathit{M}-\mathit{N},\mathbf{B}(\mathit{M}-\mathit{N}))+\\ +\frac{1}{4}(a_0+a_1-a_2-a_3){\alpha }_1+\frac{1}{4}(a_0-a_1+a_2-a_3){\beta }_3+\frac{1}{4}(a_0-a_1-a_2+a_3){\gamma }_3,\\ \mathbf{A}=\mathrm{diag}(\frac{1}{a_0+a_1},\frac{1}{a_0+a_2},\frac{1}{a_0+a_3}),\mathbf{B}=\mathrm{diag}(\frac{1}{a_2+a_3},\frac{1}{a_1+a_3},\frac{1}{a_1+a_2}),\\ F_2=a^2(\mathit{M}+\mathit{N}{)}^2-4(\mathbf{C}\mathit{M},\mathit{N})+\frac{1}{4}(a_0^4+a_1^4-a_2^4-a_3^4){\alpha }_1+\\ +\frac{1}{4}(a_0^4-a_1^4+a_2^4-a_3^4){\beta }_2+\frac{1}{4}(a_0^4-a_1^4-a_2^4+a_3^4){\gamma }_3,\\ \mathbf{C}=\mathrm{diag}(a_2^2+a_3^2,a_1^2+a_3^2,a_1^2+a_2^2),\end{array}$$

где $N$ определено формулами (4.3), и $a^2=a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2$.

Замечание 2. Рассматривая $F_1$ в качестве гамильтониана и используя кватернионное представление (см. §3 гл. 5), получим интегрируемую задачу о движении четырехмерного твердого тела в квадратичном потенциале специального вида. Эта система также может рассматриваться как обобщение случая Клебша (§1 гл. 3).

Аналог случая Гесса. Если эллипсоид инерции твердого тела относительно точки закрепления несимметричен, и центры приведения всех трех полей ${\mathit{r}}_1,{\mathit{r}}_2,{\mathit{r}}_3$ располагаются на перпендикуляре к его круговому сечению

(которое проходит через среднюю ось), то как сказано выше, потенциал сводится к случаю одного поля с центром приведения на той же оси. Таким образом, мы приходим к обычному случаю Гесса для движения твердого тела в поле тяжести ( $\S 6$ гл. 2), инвариантное соотношение для которого имеет вид
$$\sqrt{a_2-a_1}{M}_1\pm \sqrt{a_3-a_2}{M}_3=0,a_1<a_2<a_3.$$

Как отмечено Н. Е. Жуковским [79], центр тяжести в этом случае движется по закону сферического маятника.

Подробное исследование случая Гесса для линейного поля и более общего вида полей содержится в $\mathrm{\S }\mathrm{\S }3,4$ гл. 4, где также указана его связь с существованием циклической переменной и случаем Лагранжа.

2. Система Бруна

Рассмотрим случай, когда потеншиал $V(\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma })$ квадратично зависит от направляющих косинусов. Эта задача изучалась Ф. Бруном еще в прошлом столетии [198], но наиболее полные результаты были получены не так давно $[18,19,20,21,146]$. Брун нашел два независимых интеграла движения, но не смог установить интегрируемость. Для этого необходимо воспользоваться гамильтоновой структурой уравнений движения и теоремой Лиувилля (вместо теории последнего множителя, которую обычно использовали для интегрирования в динамике твердого тела в 19 веке) и инволютивностью двух недостающих первых интегралов. Хотя интегрируемость волчка в $n$-мерном случае в квадратичном потенциале была формально изучена в [146] (А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский), наиболее законченные результаты имеются в работах О.И. Богоявленского [18, 21]. В них также содержатся различные физические интерпретации этой задачи.

Замечание 3. В небольшой книге [62] Д. Н. Горячев изучал системы с квадратичным потенциалом. Он получил общие условия существования у такой системы дополнительного линейного и квадратичного интегралов. Он, независимо от Бруна, указывает случай интегрируемости при наличии одного поля и находит возможности одного квадратичного интеграла для двух силовых полей (в одном частном случае он указывает и второй необходимый интеграл). Все эти интегралы могут быть получены из рассмотренной далее более общей системы.

Представление Лакса и первые интегралы ([21, 31]).

Рассмотрим гамильтонову систему в переменных $\mathit{M},\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\gamma$, определенную уравнени-

ями (4.17), условиями коммутации (4.16) гл. 1 и гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}({\mathbf{I}}^{-1}\mathit{M},\mathit{M})-x(\mathbf{I}\mathit{\alpha },\mathit{\alpha })-y(\mathbf{I}\mathit{\beta },\mathit{\beta })-z(\mathbf{I}\mathit{\gamma },\mathit{\gamma }),$$

где $x,y,z\in \mathbb{R},\mathbf{I}=\mathrm{diag}(I_1,I_2,I_3)$ — тензор инерции тела. Гамильтониан (4.8) получается из (6.4) гл. 1 при $x=0$, поэтому для такой системы справедливы соответствующие физические заключения — такой потенциал получается из ньютоновского при разложении вблизи гравитирующего тела. Отождествим трехмерные векторы $\mathit{M},\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma }$ с кососимметрическими матрицами $\mathbf{M},\tilde{\mathit{\alpha }},\tilde{\mathit{\beta }},\tilde{\gamma }$ по формулам
$$M_{ij}={\epsilon }_{ijk}{M}_k,{\tilde{\alpha }}_{ij}={\epsilon }_{ijk}{\alpha }_k,{\tilde{\beta }}_{ij}={\epsilon }_{ijk}{\beta }_k,{\tilde{\gamma }}_{ij}={\epsilon }_{ijk}{\gamma }_k$$

и определим также симметричную матрицу
$$\mathbf{u}=x{\tilde{\mathit{\alpha }}}^2+y{\tilde{\mathit{\beta }}}^2+z{\tilde{\mathit{\gamma }}}^2,$$

где $x,y,z$ определены в (4.8). Формулами (4.9) и (4.10) определено вложение фазового пространства системы в пространство $L^9$ матриц $3\times 3$, поскольку любая матрица $\mathbf{l}$ представима в форме $\mathbf{l}=\mathbf{M}+\mathbf{u}$. Коммутационные соотношения (5.7) гл. 1 задают в этом пространстве структуру алгебры Ли, соответствующую полупрямой сумме $L^9=so(3){\oplus }_s{\mathbb{R}}^6$, где $so(3)-$ алгебра матриц $\mathbf{M}$, а ${\mathbb{R}}^6$ — пространство симметрических матриц $\mathbf{u}$, коммутатор которых необходимо положить равным нулю. В матричном виде коммутационные соотношения для ${\mathbf{l}}_1={\mathbf{M}}_1+{\mathbf{u}}_1$ и ${\mathbf{l}}_2={\mathbf{M}}_2+{\mathbf{u}}_2$ можно записать как
$$\begin{array}{c}[\mathbf{M},\mathbf{u}]=\mathbf{M}\mathbf{u}-\mathbf{u}\mathbf{M}\in {\mathbb{R}}^6,[{\mathbf{M}}_1,{\mathbf{M}}_2]={\mathbf{M}}_1{\mathbf{M}}_2-{\mathbf{M}}_2{\mathbf{M}}_1\in \mathrm{so}(3),\\ [{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2]=0.\end{array}$$

Замечание 4. Стандартный матричный коммутатор для $gl(3)$ задает коммутационные соотношения, отличные от (4.11) тем, что $[{\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2]eq0$. Эти два набора коммутационных соотношений согласованы и задают пучок скобок Пуассона (см. подробнее [31]).

Пуассонова структура (4.11), соответствующая алгебре $L^9$, обладает функциями Казимира
$$F_1=\mathrm{Tr}(\mathbf{u}),F_2=\mathrm{Tr}\left({\mathbf{u}}^2\right),F_3=\mathrm{Tr}\left({\mathbf{u}}^3\right),$$

и при ограничении на шестимерное многообразие $M^6$, определяемое этими функциями Казимира, уже является невырожденной. Для интегрируемости системы по Лиувиллю не хватает еще двух дополнительных инволютивных интегралов, задающих трехмерные торы, несущие квазипериодические движения.
Гамильтониан (4.8) в переменных М, и имеет вид
$$H=-\mathrm{Tr}(\frac{1}{4}\mathbf{M}\mathit{\omega }+\mathbf{u}\mathbf{I})$$

а сами уравнения можно записать в компактной форме
$$\dot{\mathbf{M}}=[\mathbf{M},\mathit{\omega }]+[\mathbf{u},\frac{\partial H}{\partial \mathbf{u}}],\dot{\mathbf{u}}=[\mathbf{u},\mathit{\omega }],$$

где $\mathit{\omega }=\Vert {\omega }_{ij}\Vert$ — кососимметрическая матрица, соответствующая угловой скорости с компонентами ${\omega }_{ij}=\frac{\partial H}{\partial M_{ij}}=I_k^{-1}{M}_{ij}$, a $\frac{\partial H}{\partial \mathbf{u}}=\Vert \frac{\partial H}{\partial u_{ij}}\Vert =-\mathbf{I}$.

Уравнения (4.12) можно также представить в виде пары Лакса со спектральным параметром $\lambda$, входящим в это представление рациональным образом
$$\begin{array}{c}\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L},\mathbf{A}],\\ \mathbf{L}=\lambda \mathbf{M}+\mathbf{u}+{\lambda }^2\mathbf{B},\mathbf{A}=\mathit{\omega }-\lambda \mathbf{I},\end{array}$$

где $\mathbf{B}=(\det \mathbf{I}){\mathbf{I}}^{-1}$.
Два необходимых независимых и инволютивных интеграла движения получены как коэффициенты при ${\lambda }^k$ в следах степеней матрицы $\mathbf{L}$
$$G_1=\mathrm{Tr}(\frac{1}{2}{\mathbf{M}}^2+\mathbf{B}\mathbf{u}),G_2=\mathrm{Tr}({\mathbf{M}}^2\mathbf{u}+{\mathbf{B}\mathbf{u}}^2).$$

С точностью до функций Казимира их можно представить в явном виде
$$\begin{array}{c}{G}_1=\frac{1}{2}{\mathit{M}}^2+\det \mathbf{I}(x(\mathit{\alpha },{\mathbf{I}}^{-1}\mathit{\alpha })+y(\mathit{\beta },{\mathbf{I}}^{-1}\mathit{\beta })+z(\mathit{\gamma },{\mathbf{I}}^{-1}\mathit{\gamma })),\\ G_2=(x+y+z){\mathit{M}}^2+x(\mathit{M},\mathit{\alpha }{)}^2+y(\mathit{M},\mathit{\beta }{)}^2+z(\mathit{M},\mathit{\gamma }{)}^2+V,\\ V=\det \mathbf{I}[I_1^{-1}(\mathit{p},\mathbf{C}\mathit{p})+I_2^{-1}(\mathit{q},\mathbf{C}\mathit{q})+I_3^{-1}(\mathit{r},\mathbf{C}\mathit{r})],\end{array}$$

где $\mathbf{C}=\mathrm{diag}(2yz-x^2,2xz-y^2,2xy-z^2),\mathit{p}=({\alpha }_1,{\beta }_1,{\gamma }_1),\mathit{q}=$ $=({\alpha }_2,{\beta }_2,{\gamma }_2),\mathit{r}=({\alpha }_3,{\beta }_3,{\gamma }_3)$.

Интегрируемая система с гамильтонианом $H=G_1$ может рассматриваться как задача о движении шарового волчка или материальной точки на $S^3$ в силовом поле с потенциалом четвертой степени (по параметрам Родрига-Гамильтона или избыточным переменным соответственно) $[18,89]$ (см. §3, §2 гл. 5).

Интегрируемая система с гамильтонианом $H=G_2$, которая после введения вектора $N=(N_1,N_2,N_3)$ (4.3), представляющего собой проекции кинетического момента на неподвижные оси, может рассматриваться как некоторая система на алгебре $e(4)$ (см. § 3 гл. 5), интегрируемая на сингулярной орбите, определяемой переменными $\mathit{N}=(N_1,N_2,N_3),\mathit{p}=$ $=({\alpha }_1,{\beta }_1,{\gamma }_1),\mathit{q}=({\alpha }_2,{\beta }_2,{\gamma }_2),\mathit{r}=({\alpha }_3,{\beta }_3,{\gamma }_3)$. Действительно, как несложно увидеть, алгебра переменных $\mathit{N},\mathit{p},\mathit{q},\mathit{r}$ изоморфна алгебре переменных $\mathit{M},\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma }$. Но в силу того, что ${\mathit{M}}^2={\mathit{N}}^2$ интеграл $G_2$ на алгебре $\mathit{N},\mathit{p},\mathit{q},\mathit{r}$ подобен гамильтониану $H$ (4.8) на алгебре $\mathit{M},\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma }$. В этом смысле интегралы $H$ и $G_2$ являются взаимными. Определяемые ими гамильтонианы задают одну и ту же интегрируемую систему в разных системах переменных, связанных с подвижной и неподвижной системами координат.

ЗАМЕЧАНИЕ 5. В работе 117$\rceil$ на основе рассмотренной интегрируемой задачи получены интегрируемые случаи для специальных систем связанных твердых тел. Однако эти системы не являются принципиально новыми динамическими проблемами, так как их динамика сводится к уравнениям (4.12).

ЗАМЕЧАНИЕ 6. В работе [45] дана гидродинамическая интерпретация системы (4.12). При этом можно считать, что свободное линейно намагничивающееся твердое тело движется в однородном магнитном поле (или — поляризующееся непроводящее твердое тело свободно движется в однородном электрическом поле). Условия существования двух дополнительных интегралов, указанные в [45], как и сами интегралы, имеются также в общей системе Бруна. Другие физические интерпретации общей системы Бруна собраны в книге [21].

Случай динамической симметрии.

Рассмотрим систему (4.8) при условии динамической симметрии ( $I_1=I_2=1$ ). Оказывается, что она сводится к двум степеням свободы и к системе Неймана. Гамильтониан (4.8) системы в этом случае может быть представлен в виде
$$H=\frac{1}{2}(M_1^2+M_2^2+a{M}_3^2)-\frac{a-1}{a}(x{\alpha }_3^2+y{\beta }_3^2+z{\gamma }_3^2),$$

где $x,y,z,a=I_3^{-1}\in \mathbb{R}$. Из уравнений движения (4.12) следует, что компонента $M_3$ является интегралом движения.

Кроме того, как следует из непосредственных вычислений, проекции моментов на оси, связанные с абсолютным пространством $N$ (4.3), а также проекции на те же оси единичного орта, направленного вдоль оси динамической симметрии (с компонентами $(p_1,p_2,p_3)=({\alpha }_3,{\beta }_3,{\gamma }_3)$, образуют алгебру Ли $e(3)$
$$\{N_i,N_j\}={\epsilon }_{ijk}{N}_k,\{N_i,p_j\}={\epsilon }_{ijk}{p}_k,\{p_i,p_j\}=0,$$

эта коммутация уже была отмечена нами в §4 гл. 1. Исключая интеграл $M_3=$ const, который является функцией Казимира структуры (4.15), гамильтониан (4.14) можно записать в переменных $N_i,p_j$ (пользуясь также тем, что $M^2=N^2$ )
$$H=\frac{1}{2}{\mathit{N}}^2-\frac{a-1}{a}(x{p}_1^2+y{p}_2^2+z{p}_3^2).$$

Уравнения движения с гамильтонианом (4.16) совпадают с уравнениями движения точки по двумерной сфере в поле сил с квадратичным потенциалом (задача Неймана). Эта аналогия была замечена в [18] без использования уравнений на алгебре скобок (4.15) (см. [31]).

Задача Бруна в одном поле наиболее известна. В этом случае уравнения движения имеют вид гамильтоновой системы на $e(3)$ с гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}(\mathbf{A}\mathit{M},\mathit{M})+\frac{1}{2}\mu ({\mathbf{A}}^{-1}\gamma ,\gamma )$$

и дополнительным интегралом
$$F=\frac{1}{2}(\mathit{M},\mathit{M})-\frac{\mu }{2\det \mathbf{A}}(\mathbf{A}\gamma ,\gamma ).$$

Эта задача оказывается эквивалентной многим другим интегрируемым динамическим системам, возникающим в различных разделах механики и физики, например, случай Клебша в уравнениях Кирхгофа, § 1 гл. 3.

3. Кватернионные уравнения Эйлера-Пуассона

Рассмотрим последний, наименее естественный случай уравнений движения твердого тела с потенциалом, являющимся линейным не по направляющим косинусам, а по параметрам Родрига-Гамильтона
$$H=\frac{1}{2}(\mathbf{A}\mathit{M},\mathit{M})+\sum _{i=0}^3{r}_i{\lambda }_i,r_i=\mathrm{const},$$

предполагая, что уравнения движения имеют вид (4.24) гл. 1. Как мы уже отмечали, в механике такие потенциалы не встречаются, т. к. его зависимость от положения тела является неоднозначной (двузначной). В качестве обоснования рассмотрения таких уравнений можно сослаться на задачи квантовой механики, динамики точечных масс в искривленном пространстве $S^3$ [31], а также на некоторые формальные приемы построения $\mathbf{L}$ — A-пар [31] (см. § 4 гл. 5). Оказывается также, что при понижении порядка системы (4.17) возникают обычные уравнения Эйлера-Пуассона с дополнительными слагаемыми, имеющими различные физические интерпретации (§ 1 гл. 4).

Любопытной особенностью системы (4.17) является то, что посредством линейных по ${\lambda }_i$ преобразований общую форму потенциала
$$V=\sum _{i=0}^3{r}_i{\lambda }_i$$

можно привести к виду
$$V=r_0{\lambda }_0.$$

Действительно, линейные преобразования кватернионного пространства ${\lambda }_i$ (не изменяющие коммутационных соотношений и нормы кватерниона) вида
$$\begin{array}{c}{\tilde{\lambda }}_0=R^{-1}(r_0{\lambda }_0+r_1{\lambda }_1+r_2{\lambda }_2+r_3{\lambda }_3),\\ {\tilde{\lambda }}_1=R^{-1}(r_0{\lambda }_1-r_1{\lambda }_0-r_2{\lambda }_3+r_3{\lambda }_2),\\ {\tilde{\lambda }}_2=R^{-1}(r_0{\lambda }_2+r_1{\lambda }_3-r_2{\lambda }_0-r_3{\lambda }_1),\\ {\tilde{\lambda }}_3=R^{-1}(r_0{\lambda }_3-r_1{\lambda }_2+r_2{\lambda }_1-r_3{\lambda }_0),\\ R^2=r_0^2+r_1^2+r_2^2+r_3^2\end{array}$$

приводят потенциал (4.18) к виду (4.19). Существование такого линейного преобразования является замечательной особенностью кватернионных переменных и скобки (4.22) гл. 1, его аналогов не существует для скобок алгебры $e(3)$ и $so(4)$.

В общем, динамически несимметричном случае $a_{1}eq{a}_{2}eq{a}_{3}eq{a}_1$ система (4.17), видимо, не является интегрируемой и не существует ни одного из двух необходимых дополнительных интегралов. Это, однако, нигде не доказано, и доказательство, по разным причинам, не является естественным. Отметим, что даже применение метода Ковалевской для системы (4.17) не вполне аналогично классической задаче Эйлера-Пуассона.

При $a_1=a_2$ всегда существует линейный интеграл
$$\begin{array}{rl}{F}_1=& M_3(r_0^2+r_1^2+r_2^2+r_3^2)+N_3(r_1^2+r_2^2-r_0^2-r_3^2)+\\ & +2N_2(r_1{r}_0-r_3{r}_2)-2N_1(r_1{r}_2-r_0{r}_3),\end{array}$$

где $N_i$ — проекции кинетического момента на неподвижные оси. При условиях $r_1=r_2=r_3=0$ этот интеграл принимает естественную форму
$$F_1=M_3-N_3.$$

Оказывается, и это подробно рассмотрено в § 1 гл. 4, посвященной понижению порядка, этот (линейный) интеграл соответствует циклической переменной $\phi +\psi$. Редукция Рауса, выполненная по этой циклической переменной (см. подробнее §1 гл. 4), приводит к гамильтоновой системе на алгебре $e(3)$ с нулевой постоянной площадей $(\mathit{M},\mathit{\gamma })=0$ и гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}(M_1^2+M_2^2+a_3{M}_3^2)+c(a_3-1)M_3+r_0{\gamma }_2+\frac{1}{2}\frac{c^2}{{\gamma }_3^2},$$

где $c$ — константа интеграла (4.22). Гамильтониан (4.23) соответствует добавлению в обычные уравнения Эйлера-Пуассона гиростатического члена, линейного по $M$, а также сингулярного слагаемого $\frac{c^2}{2{\gamma }_3^2}$, физический смысл которого обсуждается в гл. 4 . которого обсуждается в гл. 4.

Приведем здесь интегрируемые случаи системы (4.17), которые оказываются эквивалентными интегрируемым случаям системы (4.23).

Шаровой волчок ( $a_1=a_2=a_3)$. Гамильтониан имеет вид
$$H=\frac{1}{2}{\mathit{M}}^2+r_0{\lambda }_0,$$

и как показано в [31], система эквивалентна задаче о движении материальной точки по трехмерной сфере $S^3$. В силу того, что потенциал зависит лишь от ${\lambda }_0$, можно считать, что материальная точка движется в поле неподвижного центра, помещенного в северный (южный) полюс, а сила взаимодействия зависит лишь от расстояния до него (аналог задачи о движении в центральном поле для ${\mathbb{R}}^3$ ). Как и в плоском случае, сохраняется вектор кинетического момента частицы:
$$\mathit{L}=\frac{1}{2}(\mathit{N}-\mathit{M})=\mathrm{const},$$

где $N$ — вектор кинетического момента в неподвижных осях.

Компоненты вектора $\mathit{L}$ образуют алгебру $so(3):\{L_i,L_j\}={\epsilon }_{ijk}{L}_k$, а интегрируемость является некоммутативной. Как говорят, такая система суперинтегрируема, а ее трехмерные торы расслоены на двумерные.

«Случай Ковалевской». Гамильтониан и дополнительный, инволютивный к $F_1$ интеграл (четвертой степени) имеют вид
$$\begin{array}{l}H=\frac{1}{2}(M_1^2+M_2^2+2M_3^2)+r_0{\lambda }_0,\\ F_2={(M_1{N}_1+M_2{N}_2+2r_0{\lambda }_0)}^2+{(N_1{M}_2-N_2{M}_1-2r_0{\lambda }_3)}^2+\\ +(N_3-M_3)(M_3(M^2-M_3{N}_3)+2r_0(M_2{\lambda }_1-M_1{\lambda }_2+\frac{{\lambda }_0}{2}(M_3-N_3))).\end{array}$$

При редукции к системе (4.23) получается интегрируемый случай, вкладывающийся в обобщенное семейство Ковалевской, найденное Горячевым и Яхьей (см. § 7 гл. 5, а также § 1 гл. 4).

«Случай Горячева-Чаплыгина». Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют форму
$$\begin{array}{rl}H& =\frac{1}{2}(M_1^2+M_2^2+4M_3^2)+r_0{\lambda }_0,\\ F_2& =M_3(M_1^2+M_2^2)+r_0(M_2{\lambda }_1-M_1{\lambda }_2).\end{array}$$

При редукции к системе (4.23) этот случай вкладывается в обобщенное семейство, которое указано в § 1 гл. 4.

ЗАМЕЧАНИЕ 7. Несколько неожиданным является то обстоятельство, что случаи Лагранжа и Гесса не обобщаются на систему (4.17).

ЗАМЕЧАНИЕ 8. При добавлении постоянного гиростатического момента вдоль оси динамической симметрии в (4.25) и (4.26) получаются случаи интегрируемости, соответствующие обобщенным случаям Яхьи и Сретенского в уравнениях Эйлера-Пуассона, интегралы для которых несложно получить из (4.23) при помощи процедуры поднятия, описанной в гл. 4.

В заключение отметим, что для кватернионных уравнений Эйлера-Пуассона как «случай Ковалевской», так и «случай Горячева-Чаплыгина» являются общими случаями интегрируемости. Это позволяет их использовать для некоторых алгебраических конструкций (построение $\mathbf{L}$ — A-пар и пр.) и установить некоторые нетривиальные взаимосвязи и аналогии соответствующих случаев интегрируемости в классических уравнениях Эйлера-Пуассона (§ 7 гл. 5).