Главная > ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (А.В.Борисов, И.С.Мамаев)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. Движение твердого тела с неподвижной точкой в суперпозиции постоянных однородных силовых полей

Как показано в [31] любое количество полей в этом случае может быть сведено к трем взаимно перпендикулярным полям. Функция Гамильтона имеет вид
H=12(M,AM)(r1,α)(r2,β)(r3,γ),

где r1,r2,r3 — постоянные в теле векторы, задающие три, вообе говоря, различных центра приведения — аналогов центра тяжести. При r1=r2=0 уравнения движения для M,γ отделяются и называются уравнениями Эйлера-Пуассона.

2. Свободное твердое тело в квадратичном потенциале

Пусть твердое тело движется в одном поле с квадратичным потенциалом
φ(q)=12(q,Bq)(g,q),

здесь В — постоянная симметрическая матрица, g — постоянный вектор. Потенциал (6.2) возникает, например, при разложении до второго порядка гравитационного потенциала вблизи поверхности Земли, а также кулоновского потенциала заряженного тела.

Представляя радиус-вектор точки в неподвижном пространстве в виде q=QTy+x ( y — радиус-вектор точки в теле) и интегрируя по объему тела находим потенциальную энергию в следующей форме (см. также [21])
U=12Tr(QTI1QB)12μ0(x,Bx)μ0(g,x)12μ0(Qg,r1)μ0(QBx,r1).

Здесь μ0=μ(y)d3y — суммарный «заряд» тела в заданном поле, а μ(y) его плотность τ,r1=1μ0τyμ(y)d3y — радиус-вектор центра приведения поля, I1ij=(δijy2yiyj)μ(y)d3y.

Для поля тяжести μ(y) — массовая плотность, μ0=m масса тела, r1=r — радиус-вектор центра масс, I1=I тензор моментов инерции. В этом случае при выборе в неподвижном пространстве главных осей, соответствующих собственным векторам матрицы В, в системе центра масс гамильтониан системы может быть записан в форме
H=12(M,AM)+12mp2++12(b1(α,Iα)+b2(β,Iβ)+b3(γ,Iγ))12m(x,Bx)m(g,x),B=diag(b1,b2,b3).

Таким образом, при этом поступательное и вращательное движения разделяются, причем обе системы могут быть проинтегрированы в квадратурах [21] (гл. 3, §4) (что заведомо выполняется при равенстве инертной и гравитационной масс, т. е. для поля тяжести). Заметим также, что вращательное и поступательное движение разделяется для произвольного поля, если центр приведения поля совпадает с центром масс.

3. Движение тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат

Пусть твердое тело совершает движение, при котором одна из его точек вращается равномерно с угловой скоростью Ω по окружности радиуса R. Выберем три системы координат:
1) неподвижная в пространстве (инерциальная) система координат OXYZ с началом в центре окружности O,
2) равномерно вращающаяся по окружности система с центром в точке C и базисными векторами eτ — вектор касательный к окружности, en вектор нормали к плоскости окружности, eR — вектор, направленный из точки C в центр окружности,
3) система осей, жестко связанных с телом Cx1x2x3 и началом в точке C (см. рис. 8).

Рис. 8. Движение твердого тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат.

Конфигурационное пространство системы — группа SO(3), которую представим матрицами перехода QSO(3) от системы осей твердого тела к вращающейся системе координат. Они имеют вид (4.1), где α,β,γ проекции векторов eτ,en,eR на оси, связанные с телом. Введем еще одну матрицу В перехода от вращающейся системы координат к неподвижной (столбцы матрицы B — проекции ортов неподвижного пространства на векторы eτ,en,eR ).

Положение точки твердого тела с радиус-вектором y в теле в неподвижном пространстве задается вектором
q=BT(t)(QT(t)y+x),

где x — радиус-вектор точки C во вращающейся системе координат. Дифференцируя по времени q˙=B˙T(t)(QT(t)y+xc)+BT(t)Q˙T(t)y и интегрируя 12m(q˙,q˙) по объему тела, находим кинетическую энергию в форме
T=12(ω,Iω)+Ω(ω,Iβ)μ(ω,r×α)+12Ω2(β,Iβ)μΩ(r,γ),

где μ=2mRΩ,I — тензор инерции те.а относительно точки C,r — радиусвектор центра-масс тела в проекциях на оси тела.
Движение тела в потенциальном поле описывается функцией Лагранжа
L=T(ω,α,β,γ)U(α,β,γ),

где T кинетическая энергия (6.6), а U — потенциальная энергия. Уравнения движения системы (6.7) определяются уравнениями Пуанкаpe (4.2), (4.7).
Выполняя преобразование Лежандра для системы (6.7), находим
M=Lω=I(ω+Ωβ)μr×αH=12(M,AM)Ω(M,β)+μ(M,A(r×α))++12μ2(r×α,A(r×α))+U(α,β,γ)

здесь A=I1. Уравнения движения имеют вид (4.17).
К системе (6.8) сводятся следующие две классические задачи динамики твердого тела.

Гироскоп и маятник Фуко. В этом случае U=r3β3, тело осесимметрично
a1=a2=1,r1=r2=0,

а гамильтониан может быть представлен в виде
H=12(M12+M22+a3M32)Ω(M,β)μr3(M1α2M2α1)12μ2r32α32.

В этом случае удобно воспользоваться переменными неподвижного пространства (4.19). Выбирая соответствующие единицы измерения длины и массы и обозначая вектор e3=l, гамильтониан можно записать в виде
H=12N2ΩN2+μ(N2ι3N3l2)12μ2l12μl3.

Система на нулевой постоянной интеграла (N,l)=M3=0 соответствует гироскопу без собственного вращения и называется маятником Фуко.

Спутник на круговой орбите вокруг Земли. Центр масс совпадает с началом координат вращающейся системы, т. е. r=0. Ньютоновский потенциал в квадратичном приближении (при разложении по отношению размеров спутника к радиусу орбиты) имеет вид
U=32Ω2(γ,Iγ),Ω2=GMR3,

где G — гравитационная постоянная, M — масса Земли, R — радиус орбиты. Таким образом
H=12(M,AM)Ω(M,β)+32Ω2(γ,Iγ).

С различными динамическими эффектами в движении спутника по круговой орбите можно ознакомиться по книге [11].

4. Относительное движение твердого тела с неподвижной точкой

Пусть твердое тело со связанной с ним точкой O движется в системе координат с началом в ее центре O, которая в свою очередь также движется и вращается по заданному закону.

Обозначая соответственно через Ω и V угловую и линейную скорости подвижной системы координат в проекциях на оси, связанные с телом, запишем функцию Лагранжа потенциальной системы в виде
L=12(ω,Iω)+(ω,IΩ)m(W,r)U(α,β,γ).

Здесь ω угловая скорость тела, W=ddtV ускорение начала отсчета подвижной системы, I — тензор инерции тела относительно точки O,m полная масса, r — радиус-вектор центра масс, α,β,γ — орты подвижной системы. Все указанные векторы проектируются на оси тела, при этом Ω,V можно считать заданными функциями времени.

Кинетический момент и гамильтониан системы (6.12) определяются следующим образом
M=Lω=I(ω+Ω),H=12(M,AM)(M,Ω)+m(W,r)+U(α,β,γ),

а уравнения движения имеют вид (5.8). Примером подобных систем могут служить гироскопы и подвесы, размещенные на летательных аппаратах и искусственных спутниках, совершающих заданное движение.

5. Движение твердого тела по гладкой плоскости

Кроме уравнений Эйлера-Пуассона, интересным механическим примером, в котором отделяются уравнения, описывающие эволюцию векторов ω,γ (или M,γ ), является задача о движении твердого тела по гладкой плоскости в потенциале, зависящим от расстояния до этой плоскости.

Вообще говоря, в абсолютном движении система имеет пять степеней свободы, но в силу того, что реакция плоскости при идеальном скольжении ей перпендикулярна, сохраняются две проекции импульса системы на эту плоскость. Выбирая систему координат, жестко связанную с телом с началом в центре масс (тем самым исключая его горизонтальное равномерное прямолинейное смещение) для движения в потенциальном поле U(γ) получим функцию Лагранжа
L=12(ω,Iω)+12mω,r×γ)2U(γ),

где I — тензор инерции тела относительно центра масс, m — масса тела, ω — угловая скорость в проекциях на оси, связанные с телом, γ — вектор нормали к плоскости в тех же осях, а r — вектор из точки контакта в центр масс тела (см. рис. 9).
Рис. 9. Твердое тело на гладкой плоскости.
Если тело является всюду выпуклым и касается плоскости всегда одной своей точкой, то вектор r однозначно выражается через вектор γ при помощи гауссовой проекции поверхности тела на единичную сферу
γ=gradF(r)|gradF(r)|,

где F(r)=0 — уравнение, задающее поверхность тела. Для невыпуклых

тел уравнение (6.15) допускает несколько решений r=r(γ) и как правило необходимо рассматривать дополнительные уравнения удара.
Для эллипсоида с главными полуосями b1,b2,b3 несложно получить
r=k(b12γ1,b22γ2,b32γ3),k=(b12γ12+b22γ22+b32γ32)1/2.

После преобразования Лежандра из (6.14) получаем
M=Lω=Jω,J=I+maaH=12(IAM,AM)+12m(a,AM)2+U(γ)

где a=r×γ,A=J1. Согласно (4.16) скобка Пуассона переменных M,γ определяется алгеброй e(3).

Для поля тяжести потенциальная энергия тела может быть представлена в виде
U(γ)=mg(r,γ),
g — ускорение свободного падения. Несложно также обобщить систему посредством добавления к телу ротора с гиростатическим моментом K, при этом в гамильтониане (6.17) появляются линейные по M слагаемые.
Если тело является шаром с про-

Рис. 10. Гироскоп в кардановом подвесе. Внешняя рамка карданова подвеса Se вращается вокруг неподвижной в пространстве оси Le, на ней закреплена ось вращения Li внутренней рамки Si. Ось вращения твердого тела (гироскопа) L закреплена на внутренней рамке.
извольным эллипсоидом инерции, но центр масс расположен в геометрическом центре, то получается либо система Эйлера (при K=0 ) (см. §2 гл. 2), либо система Жуковского-Вольтерра (при Keq0 ) (см. §7 гл. 2).

6. Гироскоп в кардановом подвесе

Гироскоп в кардановом подвесе представляет собой систему нескольких тел, соединенных между собой с помощью цилиндрических шарниров (см. рис. 10) [119].

Рассмотрим случай, наиболее часто встречающийся в технике, при этом оси Le и Li,L и Li взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке O[119]. Выберем неподвижную систему координат с началом в точке O

и осью OZ, направленной вдоль оси вращения Le, свяжем с телом подвижную систему координат с началом в точке O и осью Oz, направленной вдоль оси L. Пусть α,β,γ — проекции ортов неподвижного пространства на оси, связанные с телом, причем γ — вектор, соответствующий оси OZ.

Функция Лагранжа гироскопа в потенциальном поле может быть записана в виде
L=12(ω,Iω)+12Iϵ(ω1γ1+ω2γ2γ12+γ22)2++12(γ12+γ22)[I1i(ω1γ2ω2γ1)2+(ω1γ1+ω2γ2)2(I2i+I3iγ32γ12+γ22)]U(α,β,γ),

где ω=(ω1,ω2,ω3) — проекции угловой скорости на оси, связанные с телом, I — тензор моментов инерции твердого тела относительно точки O, Ie — момент инерции рамки Se относительно оси Le,I1i,I2i,I3i — главные моменты инерции внутренней рамки.

Гамильтонова форма системы (6.18) может быть получена при помощи преобразования Лежандра (4.14). При этом функция Гамильтона системы в общем случае слишком громоздка, приведем ее вид при условии, что тело динамически симметрично относительно оси L(I1=I2) :
H=12a3M32+12a1k(M12+M22)++12a12k[I1i(M1γ1+M2γ2)2+(Ie+(I3iI2i)γ32γ12+γ22)(M1γ2M2γ1)2]++U(α,β,γ)k=((1+a1I1i)(1+a1Ie+a1(I3iI2i)γ32γ12+γ22))1

где A=I1=diag(a1,a2,a3).
Приведем без вывода уравнения еще двух замечательных задач, связанных с движением твердого тела в жидкости. Их систематическое изучение мы отложим до гл. 3. Подробный вывод содержится в § 2 гл. 5.

Исторический комментарий. Маятник и гироскоп Фуко были предложены известным франџузским физиком Леоном Фуко (1819-1868) в качестве приборов, с помощью которых можно наблюдать вращение Земли относительно абсолютного пространства.

Идея с маятником оказалась наиболее плодотворной и в качестве демонстраџии приводится в школьном курсе физики. Тем не менее полный анализ нелинейной модели — обычно рассматриваются только малые колебания — до сих пор отсутствует. Она является неинтегрируемой. Одна из первых попыток учета конечности амплитуды размаха принадлежит Каммерлинг-Оннесу, открывшему сверхпроводимость.

Опыты с гироскопом, поставленные Фуко (1852 г.), не привели к вполне удовлетворительному результату — гироскоп слишком быстро терял скорость вследствие трения и возникала хаотическая преџессия оси вращения. По замыслу — ось симметричного гироскопа должна была оставаться постоянной в неподвижном пространстве, что делало бы возможным измерить врашение Земли. Тем не менее в проџессе создания своего гироскопа Фуко предложил ряд технических новшеств, одним из которых является использование карданова подвеса, который, кстати, до Д. Кардано (1501-1576) был известен франџузскому архитектору У. де Гонкуру в XIII веке. Фуко также заметил, что если лишить гироскоп одной степени свободы, то ось его вращения стремится совпасть с угловой скоростью переносного враџения основания подвеса, связанного с угловой скоростью вращения Земли. Это позволяет определить направление на Северный полюс и широту места установки прибора.

Анализируя два характерных положения двухстепенного гироскопа относительно поверхности вращающейся Земли, Фуко изобрел два новых прибора — гирокомпас и гироширот, который нашли свое техническое воплощение лишь в конџе XIX века и начале XX века (Обри, Сперри, Аншютџ и др.) в конструкџиях управления торпедами и летательными аппаратами. Λ. Фуко принадлежит также само название — гироскоп, буквально означающее наблюдение врашения. Более подробно о различных применениях гироскопа можно прочитать в книгах Р.Граммеля [66] и К. Магнуса [119].

7. Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Кирхгофа)
Гамильтониан системы в этом случае имеет вид (см. § 2 гл. 5)
H=12(M,AM)+(M,Bp)+12(p,Cp)+U(α,β,γ,x).

Здесь A,C — симметричные матрицы (присоединенные моменты инерции и массы, определяемые геометрией тела и его инерционными свойствами), B — произвольная матрица, которая для тела, обладающего тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, пересекающимися в центре

масс тела, может быть выбрана равнсй нулю. Уравнения движения имеют вид (5.8). Отметим, что обычно уравнениями Кирхгофа называют частный случай (6.20), в котором U(α,β,γ,x)0, т. е. случай инерционного движения. Для него система уравнений для ( M,p ) замыкается (это — уравнения Эйлера-Пуанкаре на e(3) ) и анализ во многом близок к уравнениям Эйлера-Пуассона (см. подробнее § 1 гл. 3).

8. Падение тяжелого тела в жидкости, уравнения Чаплыгина

Рассмотрим движение в жидкости в однородном поле тяжести тела, для которого три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии пересекаются в центре масс [176]. Несложно показать, что в этом случае центр масс тела совпадает с центром масс вытесняемого объема жидкости. Гамильтониан системы имеет вид
H=12(M,AM)+12(p,Cp)μ(x,γ).

Как можно показать из уравнений (5.8), полный импульс системы определяется уравнением
p=P1α+P2β+(P3μt)γ,

где P=(P1,P2,P3)= const — начальный импульс, который является векторным интегралом движения.

Пусть начальный толчок равен нулю: P=0, в этом случае отделяется система уравнений, описывающая эволюцию переменных M,γ, а гамильтониан такой приведенной системы будет явно зависеть от времени
H=12(M,AM)+12μ2t2(γ,Cγ),

где, как ясно из предыдущего изложения, А — тензор присоединенных моментов инерции, C — тензор присоединенных масс (см. также [95]).

Уравнения движения системы (6.22) называются уравнениями Чапльгина [176].

Существует два частных случая системы (6.22), для которых уравнения движения могут быть сведены к уравнению маятникового типа (x¨=at2sinx). Первый случай соответствует плоскопараллельному движению тела в жидкости пластинки, а второй — движению осесимметричного твердого тела. Последний случай подробнее разобран в § 1 гл. 3.

Неинтегрируемость системы (6.22), как в общем случае, так и в осесимметричном и плоском случаях показана в работе [96].

Комментарии.

1. Уравнения системы (6.22) были впервые получены С. А. Чаплыгиным в его студенческом сочинении ( 1890 г.), опубликованном существенно позже в полном собрании его сочинений (1933 г., т. 1). Возможно, что от публикаџии результата Чаплыгин воздержался вследствие того, что не смог явно проинтегрировать эти уравнения. Кроме того, В. А. Стеклов получил эти уравнения независимо и опубликовал их в своей известной книге [160] (1893 г.), где также привел некоторые качественные результаты о поведении тела.

2. В работе [175] С. А. Чаплыгин указал также случай, когда сила тяжести уравновешена силой Архимеда (средняя плотность тела равна плотности жидкости), но џентр масс тела не совпадает с џентром масс вытесненного объема жидкости. При этом тело находится под действием пары сил, и его полный импульс в абсолютном пространстве сохраняется:
P=P1α+P2β+P3γ

где P=(P1,P2,P3)= const. Если «начальный толчок» выбран вдоль вертикальной оси: P=Pγ, то эволюџия зекторов M,γ(γ направлен вдоль поля тяжести) описывается системой на e(3) с функџией Гамильтона
H=12(M,AM)+12P2(Cγ,γ)μ(r,γ),

где r — вектор, соединяющий џентр масс тела с џентром масс вытесненного объема. Это справедливо также в общем случае, когда симметричное тело двигается в жидкости под действием уравновешенных сил (имеются только моменты сил) — уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой (џентром масс) отделяются.

1
Оглавление
email@scask.ru