1. Движение твердого тела с неподвижной точкой в суперпозиции постоянных однородных силовых полей

Как показано в [31] любое количество полей в этом случае может быть сведено к трем взаимно перпендикулярным полям. Функция Гамильтона имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})-\left(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{\alpha}\right)-\left(\boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{\beta}\right)-\left(\boldsymbol{r}_{3}, \boldsymbol{\gamma}\right),
\]

где $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{r}_{3}$ – постоянные в теле векторы, задающие три, вообе говоря, различных центра приведения – аналогов центра тяжести. При $\boldsymbol{r}_{1}=\boldsymbol{r}_{2}=0$ уравнения движения для $M, \gamma$ отделяются и называются уравнениями Эйлера-Пуассона.

2. Свободное твердое тело в квадратичном потенциале

Пусть твердое тело движется в одном поле с квадратичным потенциалом
\[
\varphi(\boldsymbol{q})=-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q}, \mathbf{B} \boldsymbol{q})-(\boldsymbol{g}, \boldsymbol{q}),
\]

здесь В – постоянная симметрическая матрица, $\boldsymbol{g}$ – постоянный вектор. Потенциал (6.2) возникает, например, при разложении до второго порядка гравитационного потенциала вблизи поверхности Земли, а также кулоновского потенциала заряженного тела.

Представляя радиус-вектор точки в неподвижном пространстве в виде $\boldsymbol{q}=\mathrm{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}$ ( $\boldsymbol{y}$ – радиус-вектор точки в теле) и интегрируя по объему тела находим потенциальную энергию в следующей форме (см. также [21])
\[
\begin{aligned}
U= & \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left(\mathbf{Q}^{\mathrm{T}} \mathbf{I}_{\mathbf{1}} \mathbf{Q B}\right)-\frac{1}{2} \mu_{0}(\boldsymbol{x}, \mathbf{B} \boldsymbol{x})-\mu_{0}(\boldsymbol{g}, \boldsymbol{x})- \\
& -\frac{1}{2} \mu_{0}\left(\mathbf{Q g}, \boldsymbol{r}_{1}\right)-\mu_{0}\left(\mathbf{Q B} \boldsymbol{x}, \boldsymbol{r}_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь $\mu_{0}=\int \mu(\boldsymbol{y}) d^{3} \boldsymbol{y}$ – суммарный «заряд» тела в заданном поле, а $\mu(\boldsymbol{y})-$ его плотность ${ }^{\tau}, \boldsymbol{r}_{1}=\frac{1}{\mu_{0}} \int_{\tau} \boldsymbol{y} \mu(\boldsymbol{y}) d^{3} \boldsymbol{y}$ – радиус-вектор центра приведения поля, $I_{1 i j}=\int\left(\delta_{i j} \boldsymbol{y}^{2}-y_{i} y_{j}\right) \mu(\boldsymbol{y}) d^{3} \boldsymbol{y}$.

Для поля тяжести $\mu(\boldsymbol{y})$ – массовая плотность, $\mu_{0}=m-$ масса тела, $r_{1}=\boldsymbol{r}$ – радиус-вектор центра масс, $\mathbf{I}_{1}=\mathbf{I}-$ тензор моментов инерции. В этом случае при выборе в неподвижном пространстве главных осей, соответствующих собственным векторам матрицы В, в системе центра масс гамильтониан системы может быть записан в форме
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2 m} \boldsymbol{p}^{2}+ \\
+\frac{1}{2}\left(b_{1}(\boldsymbol{\alpha}, \mathbf{I} \boldsymbol{\alpha})+b_{2}(\boldsymbol{\beta}, \mathbf{I} \boldsymbol{\beta})+b_{3}(\gamma, \mathbf{I} \gamma)\right)-\frac{1}{2} m(\boldsymbol{x}, \mathbf{B} \boldsymbol{x})-m(\boldsymbol{g}, \boldsymbol{x}), \\
\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, при этом поступательное и вращательное движения разделяются, причем обе системы могут быть проинтегрированы в квадратурах [21] (гл. 3, §4) (что заведомо выполняется при равенстве инертной и гравитационной масс, т. е. для поля тяжести). Заметим также, что вращательное и поступательное движение разделяется для произвольного поля, если центр приведения поля совпадает с центром масс.

3. Движение тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат

Пусть твердое тело совершает движение, при котором одна из его точек вращается равномерно с угловой скоростью $\Omega$ по окружности радиуса $R$. Выберем три системы координат:
1) неподвижная в пространстве (инерциальная) система координат $O X Y Z$ с началом в центре окружности $O$,
2) равномерно вращающаяся по окружности система с центром в точке $C$ и базисными векторами $e_{\tau}$ – вектор касательный к окружности, $e_{n}-$ вектор нормали к плоскости окружности, $e_{R}$ – вектор, направленный из точки $C$ в центр окружности,
3) система осей, жестко связанных с телом $C x_{1} x_{2} x_{3}$ и началом в точке $C$ (см. рис. 8).

Рис. 8. Движение твердого тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат.

Конфигурационное пространство системы – группа $S O(3)$, которую представим матрицами перехода $\mathbf{Q} \in S O(3)$ от системы осей твердого тела к вращающейся системе координат. Они имеют вид (4.1), где $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}-$ проекции векторов $e_{\tau}, e_{n}, e_{R}$ на оси, связанные с телом. Введем еще одну матрицу В перехода от вращающейся системы координат к неподвижной (столбцы матрицы $\mathbf{B}$ – проекции ортов неподвижного пространства на векторы $e_{\tau}, e_{n}, e_{R}$ ).

Положение точки твердого тела с радиус-вектором $y$ в теле в неподвижном пространстве задается вектором
\[
\boldsymbol{q}=\mathbf{B}^{\mathrm{T}}(t)\left(\mathbf{Q}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\right),
\]

где $\boldsymbol{x}$ – радиус-вектор точки $C$ во вращающейся системе координат. Дифференцируя по времени $\dot{\boldsymbol{q}}=\dot{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}(t)\left(\mathbf{Q}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}_{c}\right)+\mathbf{B}^{\mathrm{T}}(t) \dot{\boldsymbol{Q}}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{y}$ и интегрируя $\frac{1}{2} m(\dot{\boldsymbol{q}}, \dot{\boldsymbol{q}})$ по объему тела, находим кинетическую энергию в форме
\[
T=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{I} \boldsymbol{\omega})+\Omega(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{I} \boldsymbol{\beta})-\mu(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\alpha})+\frac{1}{2} \Omega^{2}(\boldsymbol{\beta}, \mathbf{I} \boldsymbol{\beta})-\mu \Omega(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{\gamma}),
\]

где $\mu=2 m R \Omega, \mathbf{I}$ – тензор инерции те.а относительно точки $C, \boldsymbol{r}$ – радиусвектор центра-масс тела в проекциях на оси тела.
Движение тела в потенциальном поле описывается функцией Лагранжа
\[
L=T(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \gamma)-U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}),
\]

где $T-$ кинетическая энергия (6.6), а $U$ – потенциальная энергия. Уравнения движения системы (6.7) определяются уравнениями Пуанкаpe (4.2), (4.7).
Выполняя преобразование Лежандра для системы (6.7), находим
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{M}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}=\mathbf{I}(\boldsymbol{\omega}+\Omega \boldsymbol{\beta})-\mu \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\alpha} \\
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})-\Omega(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta})+\mu(\boldsymbol{M}, \mathbf{A}(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\alpha}))+ \\
+\frac{1}{2} \mu^{2}(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\alpha}, \mathbf{A}(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\alpha}))+U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})
\end{array}
\]

здесь $\mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}$. Уравнения движения имеют вид (4.17).
К системе (6.8) сводятся следующие две классические задачи динамики твердого тела.

Гироскоп и маятник Фуко. В этом случае $U=r_{3} \beta_{3}$, тело осесимметрично
\[
a_{1}=a_{2}=1, \quad r_{1}=r_{2}=0,
\]

а гамильтониан может быть представлен в виде
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a_{3} M_{3}^{2}\right)-\Omega(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta})-\mu r_{3}\left(M_{1} \alpha_{2}-M_{2} \alpha_{1}\right)-\frac{1}{2} \mu^{2} r_{3}^{2} \alpha_{3}^{2} .
\]

В этом случае удобно воспользоваться переменными неподвижного пространства (4.19). Выбирая соответствующие единицы измерения длины и массы и обозначая вектор $e_{3}=l$, гамильтониан можно записать в виде
\[
H=\frac{1}{2} N^{2}-\Omega N_{2}+\mu\left(N_{2} \iota_{3}-N_{3} l_{2}\right)-\frac{1}{2} \mu^{2} l_{1}^{2}-\mu l_{3} .
\]

Система на нулевой постоянной интеграла $(\boldsymbol{N}, \boldsymbol{l})=M_{3}=0$ соответствует гироскопу без собственного вращения и называется маятником Фуко.

Спутник на круговой орбите вокруг Земли. Центр масс совпадает с началом координат вращающейся системы, т. е. $r=0$. Ньютоновский потенциал в квадратичном приближении (при разложении по отношению размеров спутника к радиусу орбиты) имеет вид
\[
U=\frac{3}{2} \Omega^{2}(\gamma, \mathbf{I} \gamma), \quad \Omega^{2}=\frac{G M}{R^{3}},
\]

где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли, $R$ – радиус орбиты. Таким образом
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})-\Omega(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta})+\frac{3}{2} \Omega^{2}(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{I} \gamma) .
\]

С различными динамическими эффектами в движении спутника по круговой орбите можно ознакомиться по книге [11].

4. Относительное движение твердого тела с неподвижной точкой

Пусть твердое тело со связанной с ним точкой $O$ движется в системе координат с началом в ее центре $O$, которая в свою очередь также движется и вращается по заданному закону.

Обозначая соответственно через $\Omega$ и $V$ угловую и линейную скорости подвижной системы координат в проекциях на оси, связанные с телом, запишем функцию Лагранжа потенциальной системы в виде
\[
L=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{I} \boldsymbol{\omega})+(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{I} \boldsymbol{\Omega})-m(\boldsymbol{W}, \boldsymbol{r})-U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}) .
\]

Здесь $\boldsymbol{\omega}-$ угловая скорость тела, $\boldsymbol{W}=\frac{d}{d t} \boldsymbol{V}-$ ускорение начала отсчета подвижной системы, I – тензор инерции тела относительно точки $O, m-$ полная масса, $\boldsymbol{r}$ – радиус-вектор центра масс, $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ – орты подвижной системы. Все указанные векторы проектируются на оси тела, при этом $\Omega, V$ можно считать заданными функциями времени.

Кинетический момент и гамильтониан системы (6.12) определяются следующим образом
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{M}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}=\mathbf{I}(\boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\Omega}), \\
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})-(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\Omega})+m(\boldsymbol{W}, \boldsymbol{r})+U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}),
\end{array}
\]

а уравнения движения имеют вид (5.8). Примером подобных систем могут служить гироскопы и подвесы, размещенные на летательных аппаратах и искусственных спутниках, совершающих заданное движение.

5. Движение твердого тела по гладкой плоскости

Кроме уравнений Эйлера-Пуассона, интересным механическим примером, в котором отделяются уравнения, описывающие эволюцию векторов $\boldsymbol{\omega}, \gamma$ (или $\boldsymbol{M}, \gamma$ ), является задача о движении твердого тела по гладкой плоскости в потенциале, зависящим от расстояния до этой плоскости.

Вообще говоря, в абсолютном движении система имеет пять степеней свободы, но в силу того, что реакция плоскости при идеальном скольжении ей перпендикулярна, сохраняются две проекции импульса системы на эту плоскость. Выбирая систему координат, жестко связанную с телом с началом в центре масс (тем самым исключая его горизонтальное равномерное прямолинейное смещение) для движения в потенциальном поле $U(\gamma)$ получим функцию Лагранжа
\[
\left.L=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{I} \boldsymbol{\omega})+\frac{1}{2} m^{\prime} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{r} \times \gamma\right)^{2}-U(\gamma),
\]

где I – тензор инерции тела относительно центра масс, $m$ – масса тела, $\boldsymbol{\omega}$ – угловая скорость в проекциях на оси, связанные с телом, $\gamma$ – вектор нормали к плоскости в тех же осях, а $r$ – вектор из точки контакта в центр масс тела (см. рис. 9).
Рис. 9. Твердое тело на гладкой плоскости.
Если тело является всюду выпуклым и касается плоскости всегда одной своей точкой, то вектор $r$ однозначно выражается через вектор $\gamma$ при помощи гауссовой проекции поверхности тела на единичную сферу
\[
\gamma=-\frac{\operatorname{grad} F(\boldsymbol{r})}{|\operatorname{grad} F(\boldsymbol{r})|},
\]

где $F(r)=0$ – уравнение, задающее поверхность тела. Для невыпуклых

тел уравнение (6.15) допускает несколько решений $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\gamma)$ и как правило необходимо рассматривать дополнительные уравнения удара.
Для эллипсоида с главными полуосями $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ несложно получить
\[
\boldsymbol{r}=k\left(b_{1}^{2} \gamma_{1}, b_{2}^{2} \gamma_{2}, b_{3}^{2} \gamma_{3}\right), \quad k=\left(b_{1}^{2} \gamma_{1}^{2}+b_{2}^{2} \gamma_{2}^{2}+b_{3}^{2} \gamma_{3}^{2}\right)^{-1 / 2} .
\]

После преобразования Лежандра из (6.14) получаем
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{M}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}=\mathbf{J} \boldsymbol{\omega}, \quad \mathbf{J}=\mathbf{I}+m \boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{a} \\
H=\frac{1}{2}(\mathbf{I A} \boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2} m(\boldsymbol{a}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})^{2}+U(\gamma)
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{r} \times \gamma, \mathbf{A}=\mathbf{J}^{-1}$. Согласно (4.16) скобка Пуассона переменных $M, \gamma$ определяется алгеброй $e(3)$.

Для поля тяжести потенциальная энергия тела может быть представлена в виде
\[
U(\gamma)=m g(\boldsymbol{r}, \gamma),
\]
$g$ – ускорение свободного падения. Несложно также обобщить систему посредством добавления к телу ротора с гиростатическим моментом $\boldsymbol{K}$, при этом в гамильтониане (6.17) появляются линейные по $M$ слагаемые.
Если тело является шаром с про-

Рис. 10. Гироскоп в кардановом подвесе. Внешняя рамка карданова подвеса $S^{e}$ вращается вокруг неподвижной в пространстве оси $L^{e}$, на ней закреплена ось вращения $L^{i}$ внутренней рамки $S^{i}$. Ось вращения твердого тела (гироскопа) $L$ закреплена на внутренней рамке.
извольным эллипсоидом инерции, но центр масс расположен в геометрическом центре, то получается либо система Эйлера (при $\boldsymbol{K}=0$ ) (см. §2 гл. 2), либо система Жуковского-Вольтерра (при $\boldsymbol{K}
eq 0$ ) (см. $\S 7$ гл. 2).

6. Гироскоп в кардановом подвесе

Гироскоп в кардановом подвесе представляет собой систему нескольких тел, соединенных между собой с помощью цилиндрических шарниров (см. рис. 10) [119].

Рассмотрим случай, наиболее часто встречающийся в технике, при этом оси $L_{e}$ и $L_{i}, L$ и $L_{i}$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке $O[119]$. Выберем неподвижную систему координат с началом в точке $O$

и осью $O Z$, направленной вдоль оси вращения $L^{e}$, свяжем с телом подвижную систему координат с началом в точке $O$ и осью $O z$, направленной вдоль оси $L$. Пусть $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ – проекции ортов неподвижного пространства на оси, связанные с телом, причем $\gamma$ – вектор, соответствующий оси $O Z$.

Функция Лагранжа гироскопа в потенциальном поле может быть записана в виде
\[
\begin{array}{c}
L=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{I} \boldsymbol{\omega})+\frac{1}{2} I^{\epsilon}\left(\frac{\omega_{1} \gamma_{1}+\omega_{2} \gamma_{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right)^{2}+ \\
+\frac{1}{2\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right)}\left[I_{1}^{i}\left(\omega_{1} \gamma_{2}-\omega_{2} \gamma_{1}\right)^{2}+\left(\omega_{1} \gamma_{1}+\omega_{2} \gamma_{2}\right)^{2}\left(I_{2}^{i}+I_{3}^{i} \frac{\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right)\right]-U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}),
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right)$ – проекции угловой скорости на оси, связанные с телом, I – тензор моментов инерции твердого тела относительно точки $O$, $I^{e}$ – момент инерции рамки $S^{e}$ относительно оси $L^{e}, I_{1}^{i}, I_{2}^{i}, I_{3}^{i}$ – главные моменты инерции внутренней рамки.

Гамильтонова форма системы (6.18) может быть получена при помощи преобразования Лежандра (4.14). При этом функция Гамильтона системы в общем случае слишком громоздка, приведем ее вид при условии, что тело динамически симметрично относительно оси $L\left(I_{1}=I_{2}\right)$ :
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2} a_{3} M_{3}^{2}+\frac{1}{2} a_{1} k\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+ \\
+\frac{1}{2} a_{1}^{2} k\left[I_{1}^{i}\left(M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}\right)^{2}+\left(I^{e}+\left(I_{3}^{i}-I_{2}^{i}\right) \frac{\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right)\left(M_{1} \gamma_{2}-M_{2} \gamma_{1}\right)^{2}\right]+ \\
+U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \gamma) \\
k=\left(\left(1+a_{1} I_{1}^{i}\right)\left(1+a_{1} I^{e}+a_{1}\left(I_{3}^{i}-I_{2}^{i}\right) \frac{\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right)\right)^{-1}
\end{array}
\]

где $\mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$.
Приведем без вывода уравнения еще двух замечательных задач, связанных с движением твердого тела в жидкости. Их систематическое изучение мы отложим до гл. 3. Подробный вывод содержится в § 2 гл. 5.

Исторический комментарий. Маятник и гироскоп Фуко были предложены известным франџузским физиком Леоном Фуко (1819-1868) в качестве приборов, с помощью которых можно наблюдать вращение Земли относительно абсолютного пространства.

Идея с маятником оказалась наиболее плодотворной и в качестве демонстраџии приводится в школьном курсе физики. Тем не менее полный анализ нелинейной модели – обычно рассматриваются только малые колебания – до сих пор отсутствует. Она является неинтегрируемой. Одна из первых попыток учета конечности амплитуды размаха принадлежит Каммерлинг-Оннесу, открывшему сверхпроводимость.

Опыты с гироскопом, поставленные Фуко (1852 г.), не привели к вполне удовлетворительному результату – гироскоп слишком быстро терял скорость вследствие трения и возникала хаотическая преџессия оси вращения. По замыслу – ось симметричного гироскопа должна была оставаться постоянной в неподвижном пространстве, что делало бы возможным измерить врашение Земли. Тем не менее в проџессе создания своего гироскопа Фуко предложил ряд технических новшеств, одним из которых является использование карданова подвеса, который, кстати, до Д. Кардано (1501-1576) был известен франџузскому архитектору У. де Гонкуру в XIII веке. Фуко также заметил, что если лишить гироскоп одной степени свободы, то ось его вращения стремится совпасть с угловой скоростью переносного враџения основания подвеса, связанного с угловой скоростью вращения Земли. Это позволяет определить направление на Северный полюс и широту места установки прибора.

Анализируя два характерных положения двухстепенного гироскопа относительно поверхности вращающейся Земли, Фуко изобрел два новых прибора – гирокомпас и гироширот, который нашли свое техническое воплощение лишь в конџе XIX века и начале XX века (Обри, Сперри, Аншютџ и др.) в конструкџиях управления торпедами и летательными аппаратами. $\mathcal{\Lambda}$. Фуко принадлежит также само название – гироскоп, буквально означающее наблюдение врашения. Более подробно о различных применениях гироскопа можно прочитать в книгах Р.Граммеля [66] и К. Магнуса [119].

7. Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Кирхгофа)
Гамильтониан системы в этом случае имеет вид (см. § 2 гл. 5)
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \mathbf{B} \boldsymbol{p})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{p}, \mathbf{C} \boldsymbol{p})+U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{x}) .
\]

Здесь $\mathbf{A}, \mathbf{C}$ – симметричные матрицы (присоединенные моменты инерции и массы, определяемые геометрией тела и его инерционными свойствами), B – произвольная матрица, которая для тела, обладающего тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, пересекающимися в центре

масс тела, может быть выбрана равнсй нулю. Уравнения движения имеют вид (5.8). Отметим, что обычно уравнениями Кирхгофа называют частный случай (6.20), в котором $U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{x}) \equiv 0$, т. е. случай инерционного движения. Для него система уравнений для ( $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}$ ) замыкается (это – уравнения Эйлера-Пуанкаре на $e(3)$ ) и анализ во многом близок к уравнениям Эйлера-Пуассона (см. подробнее § 1 гл. 3).

8. Падение тяжелого тела в жидкости, уравнения Чаплыгина

Рассмотрим движение в жидкости в однородном поле тяжести тела, для которого три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии пересекаются в центре масс [176]. Несложно показать, что в этом случае центр масс тела совпадает с центром масс вытесняемого объема жидкости. Гамильтониан системы имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{p}, \mathbf{C} \boldsymbol{p})-\mu(\boldsymbol{x}, \gamma) .
\]

Как можно показать из уравнений (5.8), полный импульс системы определяется уравнением
\[
\boldsymbol{p}=P_{1} \boldsymbol{\alpha}+P_{2} \beta+\left(P_{3}-\mu t\right) \boldsymbol{\gamma},
\]

где $\boldsymbol{P}=\left(P_{1}, P_{2}, P_{3}\right)=$ const – начальный импульс, который является векторным интегралом движения.

Пусть начальный толчок равен нулю: $\boldsymbol{P}=0$, в этом случае отделяется система уравнений, описывающая эволюцию переменных $M, \gamma$, а гамильтониан такой приведенной системы будет явно зависеть от времени
\[
H^{*}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2} \mu^{2} t^{2}(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{C} \boldsymbol{\gamma}),
\]

где, как ясно из предыдущего изложения, А – тензор присоединенных моментов инерции, $\mathbf{C}$ – тензор присоединенных масс (см. также [95]).

Уравнения движения системы (6.22) называются уравнениями Чапльгина [176].

Существует два частных случая системы (6.22), для которых уравнения движения могут быть сведены к уравнению маятникового типа $\left(\ddot{x}=a t^{2} \sin x\right)$. Первый случай соответствует плоскопараллельному движению тела в жидкости пластинки, а второй – движению осесимметричного твердого тела. Последний случай подробнее разобран в § 1 гл. 3.

Неинтегрируемость системы (6.22), как в общем случае, так и в осесимметричном и плоском случаях показана в работе [96].

Комментарии.

1. Уравнения системы (6.22) были впервые получены С. А. Чаплыгиным в его студенческом сочинении ( 1890 г.), опубликованном существенно позже в полном собрании его сочинений (1933 г., т. 1). Возможно, что от публикаџии результата Чаплыгин воздержался вследствие того, что не смог явно проинтегрировать эти уравнения. Кроме того, В. А. Стеклов получил эти уравнения независимо и опубликовал их в своей известной книге [160] (1893 г.), где также привел некоторые качественные результаты о поведении тела.

2. В работе [175] С. А. Чаплыгин указал также случай, когда сила тяжести уравновешена силой Архимеда (средняя плотность тела равна плотности жидкости), но џентр масс тела не совпадает с џентром масс вытесненного объема жидкости. При этом тело находится под действием пары сил, и его полный импульс в абсолютном пространстве сохраняется:
\[
\boldsymbol{P}=P_{1} \boldsymbol{\alpha}+P_{2} \boldsymbol{\beta}+P_{3} \boldsymbol{\gamma}
\]

где $\boldsymbol{P}=\left(P_{1}, P_{2}, P_{3}\right)=$ const. Если «начальный толчок» выбран вдоль вертикальной оси: $\boldsymbol{P}=P \boldsymbol{\gamma}$, то эволюџия зекторов $\boldsymbol{M}, \gamma(\gamma-$ направлен вдоль поля тяжести) описывается системой на $e(3)$ с функџией Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2} P^{2}(\mathbf{C} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma})-\mu(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{\gamma}),
\]

где $r$ – вектор, соединяющий џентр масс тела с џентром масс вытесненного объема. Это справедливо также в общем случае, когда симметричное тело двигается в жидкости под действием уравновешенных сил (имеются только моменты сил) – уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой (џентром масс) отделяются.