В этом параграфе мы с единой точки зрения рассмотрим динамические проблемы, в которых имеется аналог интеграла Лагранжа, существующего в уравнениях Эйлера-Пуассона. Напомним, что он был связан с наличием двух циклических координат: $\psi$-угла прецессии и $\varphi$-угла собственного вращения. Последняя координата обуславливала наличие интеграла Лагранжа $M_{3}=$ const, $\omega_{3}=$ const и coxранение проекции на ось динамической симметрии угловой скорости и кинетического момента. Этот интеграл связан с инвариантностью системы относительно вращений вокруг оси динамической симметрии.

Оказывается, что интеграл типа Лагранжа существует для почти всех задач динамики твердого тела, представляющих теоретический интерес, а его наличие приводит к интегрируемым случаям, как правило, имеющим важное прикладное значение. Например, аналог случая Лагранжа для уравнений Кирхгофа был указан самим Кирхгофом, который также проинтегрировал его и указал наиболее простые движения. Для уравнений Пуанкаре-Жуковского (на so(4)) аналог случая Лагранжа указал Пуанкаре для обоснования своих теоретических выводов относительно прецессии оси вращения Земли. В двух указанных случаях, как и в классической задаче Лагранжа, можно получить явную (эллиптическую) квадратуру для угла нутации $\theta$, определяемую гироскопической функцией, а также использовать все результаты качественного анализа движения, приведенные нами в § 3 гл. 2.

1. Явная квадратура обобщенного случая Лагранжа, условия существования интеграла
Мы здесь укажем и дадим явную квадратуру для случая Лагранжа в наиболее общей форме, предполагая, что движение твердого тела описывается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{W}(\gamma))+U(\gamma),
\]

где $\mathbf{A}$ – постоянная, но не обязательно диагональная матрица и задана пуассонова структура, определяемая пучком $\mathscr{L}_{x}$
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k},\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k},\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} x M_{k},
\]

где $x$ – параметр пучка. Далее мы рассмотрим соответствующие условия для несколько более общей ситуации $\mathbf{A}=\mathbf{A}(\gamma)$, встречающейся при скольжении тела по плоскости и при движении тела в кардановом подвесе.

При помощи явных вычислений можно доказать справедливость следующего утверждения.

Теорема 7. Система (2.1) со скобкой (2.2) допускает линейный интеграл вида
\[
F=M_{3}=c, \quad c=\text { const. }
\]

при выполнении следующих условий:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{1}, a_{3}\right), \\
U(\gamma)=U\left(\gamma_{3}, \sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right), \quad W_{3}(\gamma)=W_{3}\left(\gamma_{3}, \sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right), \\
\gamma_{1} \frac{\partial W_{1}}{\partial \gamma_{2}}-\gamma_{2} \frac{\partial W_{1}}{\partial \gamma_{1}}+W_{2}=0, \quad \gamma_{1} \frac{\partial W_{2}}{\partial \gamma_{2}}-\gamma_{2} \frac{\partial W_{2}}{\partial \gamma_{1}}-W_{1}=0 .
\end{array}
\]

Гамильтониан (2.1) при условиях (2.4) можно представить в форме
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)+M_{3} W_{3}\left(\gamma_{3}, \sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right)+U\left(\gamma_{3}, \sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right)+ \\
+\frac{M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}} \widetilde{W}_{1}\left(\gamma_{3}, \sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right)+\frac{M_{1} \gamma_{2}-M_{2} \gamma_{1}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}} \widetilde{W}_{2}\left(\gamma_{3}, \sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right) .
\end{array}
\]

Система (2.5) на уровне $M_{3}=c$ может быть в общей алгебраической форме редуцирована к системе с одной степенью свободы. Приведем эту редукцию в явном виде.
Соответствующие редуцированные переменные имеют вид
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=\frac{M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}}, \quad K_{2}=\frac{M_{1} \gamma_{2}-M_{2} \gamma_{1}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}}, \\
\sigma_{1}=\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}, \quad \sigma_{2}=\gamma_{3},
\end{array}
\]

при этом очевидно, что $M_{1}^{2}+M_{2}^{2}=K_{1}^{2}+K_{2}^{2}$. Отметим, что аналогичная система переменных использовалась Пуанкаре при интегрировании указанного им интегрируемого случая в уравнениях Пуанкаре-Жуковского.
Пуассонова структура для переменных (2.6) следующая
\[
\begin{aligned}
\left\{K_{1}, K_{2}\right\} & =-c+K_{1} \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}, & \left\{\sigma_{1}, \sigma_{2}\right\} & =x K_{2}, \\
\left\{K_{1}, \sigma_{1}\right\} & =x c \frac{K_{2}}{\sigma_{1}}, & \left\{K_{1}, \sigma_{2}\right\} & =-x \frac{K_{1} K_{2}}{\sigma_{1}}, \\
\left\{K_{2}, \sigma_{1}\right\} & =-\sigma_{2}-x c \frac{K_{1}}{\sigma_{1}}, & \left\{K_{2}, \sigma_{2}\right\} & =-\sigma_{1}+x \frac{K_{1}^{2}}{\sigma_{1}},
\end{aligned}
\]

остальные скобки равны нулю. Ранг скобки (2.7) равен двум. Ее функциями Казимира являются
\[
F_{1}=\boldsymbol{\sigma}^{2}+x \boldsymbol{K}^{2}+x c=c_{1}, \quad F_{2}=K_{1} \sigma_{1}+c \sigma_{2}=c_{2},
\]

где $\boldsymbol{K}=\left(K_{1}, K_{2}\right), \boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}\right), \widetilde{\boldsymbol{W}}=\left(\widetilde{W}_{1}, \widetilde{W}_{2}\right)$, а гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{K}^{2}+(\boldsymbol{K}, \widetilde{\boldsymbol{W}}(\boldsymbol{\sigma}))+U(\boldsymbol{\sigma})+c W_{3}(\boldsymbol{\sigma}) .
\]

Эта система, имеющая одну степень свободы, легко сводится к квадратурам. Действительно, на уровне функций Казимира и интеграла энергии $H=h$ получаем
\[
\begin{array}{c}
\dot{\sigma}_{2}=K_{2}\left(\sigma_{1}-x \frac{\partial U_{*}}{\partial \sigma_{1}}\right), \quad U_{*}(\boldsymbol{\sigma})=U(\boldsymbol{\sigma})+c W_{3}(\boldsymbol{\sigma}), \\
K_{2}^{2}=2\left(h-U_{*}\right)-\left(\frac{c_{2}-c \sigma_{2}}{\sigma_{1}}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Исключая $\sigma_{1}$ из совместного уравнения для энергии (2.8) и функции Казимира $F_{1}$
\[
\sigma^{2}-2 x U_{*}=c_{1}-x(c+2 h),
\]

получим квадратуру для $\sigma_{2}$. Для уравнений Эйлера-Пуассона геометрический смысл переменной $\sigma_{2}$ очевиден – это косинус угла нутации. Для уравнений на $s o(4)$ угол не обладает такой простой интерпретацией.

Для однородной квадратичной потенциальной энергии $U_{*}=r_{1} \sigma_{1}^{2}+$ $+r_{2} \sigma_{2}^{2}$ из (2.9) получим эллиптическую квадратуру вида
\[
\begin{aligned}
\dot{\sigma}_{2}^{2}= & 2\left(\left(h-r_{2} \sigma_{2}^{2}\right)\left(1-2 x r_{1}\right)-a_{1}\left(c^{\prime}-\left(1-2 x r_{2}\right) \sigma_{2}^{2}\right)\right)\left(c^{\prime}-\left(1-2 x r_{2}\right) \sigma_{2}^{2}\right)- \\
& -\left(1-2 x r_{1}\right)^{2}\left(c_{2}-c \sigma_{2}\right)^{2}=f\left(\sigma_{2}\right), \quad c^{\prime}=c_{1}-x(2 h+c) .
\end{aligned}
\]

Выражения (2.9), (2.10) обобщают известную квадратуру для случая Лагранжа в динамике твердого тела [119]. Функция $f\left(\sigma_{2}\right)$ также называется гироскопической.

При $x=0$ из (2.10) получается гироскопическая функция случая Кирхгофа, при $x=1$ – случая Пуанкаре. Для классического случая Лагранжа, соответствующего $x=0, W_{3}=0, U=-r \sigma_{2}$ уравнение для $\sigma_{2}$ имеет вид
\[
{\dot{\sigma_{2}}}^{2}=-2 r \sigma_{2}^{3}-(2 h+c) \sigma_{2}^{2}+\left(2 c c_{2}-2 r c_{1}\right) \sigma_{2}-c_{2}^{2}+2 h c_{1} .
\]

Для получения абсолютного движения оси динамической симметрии необходимо выполнить квадратуру для угла прецессии $\psi$. Для $x=0$ она имеет вид $\dot{\psi}=a_{1} \frac{M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}=a_{1} \frac{K_{1}}{\sigma_{1}}$, т. е. определяется эволюцией переменных приведенной системы. Аналогичное заключение справедливо для квадратуры угла собственного вращения $\varphi$. Мы не будем здесь останавливаться на получении общего решения в абсолютном пространстве – для него справедливы большинство результатов, приведенных в § 3 гл. 2.

Отметим только, что решение в эллиптических функциях для системы (2.9) получается только при линейной и квадратичной зависимости потенциала (или обобщенного потенциала) от компонент $\gamma$ (соответственно, $M, \gamma$ ). В остальных случаях гироскопическая функция представляет собой полином степени выше четвертой и решение на комплексной плоскости времени уже является ветвящимся. Между тем методы качественного анализа, изложенные в гл. 2 , способны описать движение с достаточной полнотой. Это еще раз подчеркивает бесперспективность явного интегрирования таких систем в тэта-функциях (включая и классический волчок Лагранжа), не способного ничего дать для исследования действительных движений.

2. Волчок на гладкой плоскости в поле тяжести

Этот волчок отличается от приведенных систем тем, что матрица $\mathbf{A}$ зависит от позиционных переменных (см. гл. 1, §4). Если тело динамически симметрично $I_{1}=I_{2}$ и ограничено осесимметричной поверхностью, причем оси динамической и геометрической симметрии совпадают, гамильтониан можно представить в форме (см. гл. $1, \S 6$ )
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2} a_{1} f\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+m a_{1}\left(\gamma_{3} g_{1}-g_{2}\right)^{2}\left(M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}\right)^{2}\right)+ \\
+\frac{1}{2} a_{3} M_{3}^{2}+\mu\left(\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right) g_{1}+\gamma_{3} g_{2}\right), \\
f^{-1}=1+m a_{1}\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right)\left(\gamma_{3} g_{1}-g_{2}\right)^{2}, \quad \mathbf{I}^{-1}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{1}, a_{3}\right),
\end{array}
\]

здесь I – тензор инерции тела относительно центра масс, $\mu$ – вес тела, $g_{1}=$ $=g_{1}\left(\gamma_{3}\right), g_{2}=g_{2}\left(\gamma_{3}\right)$ – некоторые функции, которые зависят от геометрии поверхности тела и определяются уравнениями
\[
\gamma=-\frac{\operatorname{grad} F(\boldsymbol{r})}{|\operatorname{grad} F(\boldsymbol{r})|}, \quad \boldsymbol{r}=\left(g_{1}\left(\gamma_{3}\right) \gamma_{1}, g_{1}\left(\gamma_{3}\right) \gamma_{2}, g_{2}\left(\gamma_{3}\right)\right) .
\]

В формуле (2.13) уравнение $F(r)=0$ задает поверхность тела, причем вследствие осевой симметрии $F=F\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}, r_{3}\right)$. Система (2.12) также приводится к одной степени свободы при помощи переменных (2.6), квадратура для косинуса угла нутации $\gamma_{3}=\cos \theta$ может быть получена в виде
\[
\begin{array}{c}
\dot{\gamma}_{3}^{2}=a_{1} f\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)\left(2\left(h-\mu\left(\left(1-\gamma_{3}^{2}\right) g_{1}+\gamma_{3} g_{2}\right)\right)-\frac{a_{1}\left(c-M_{3} \gamma_{3}\right)}{1-\gamma_{3}^{2}}-a_{3} M_{3}^{2}\right), \\
M_{3}=\mathrm{const}, \quad(\boldsymbol{M}, \gamma)=c=\text { const. }
\end{array}
\]

Комментарии. Наиболее изучены ситуаџии, когда осесимметричное тело опирается на плоскость одной точкой (подошвой) или окружностью (типа диска обруча или монеты). В первом случае, называемом волчком Лагранжа на гладкой плоскости или игрушечным волчком, анализ движения может быть выполнен аналогично $\S 3$ гл. 2. При явном интегрировании (2.14) здесь получается гиперэллиптическая квадратура (изучение которой имеется еще у Клейна $[237,238]$ ). Однако после несложной замены времени, исключающую знаменатель в (2.14) легко показать, что все бифуркаџионные диаграммы, приведенные в $\S 3$ гл. 2, практически останутся без изменения. При этом подошва волчка на плоскости будет рисовать кривые, аналогичные тем, которые чертит апекс волчка Лагранжа на неподвижной сфере. Они содержатся, например, в книге Граммеля [66].

Вследствие трения подошвы волчка о плоскость его общая эволюция сводится к тому, что ось динамической симметрии (при надлежащей закрутке) быстро становится вертикальной и он на время «засыпает». Различные обобщения этого эффекта приведены в $[46,66,82,122,145]$.

В случае движения диска наиболее изучены регулярные прецессии и их устойчивость [122]. В книге [122] исследована также устойчивость вертикальных плоских движений тяжелого эллиптического диска, уравнения которого, вообще говоря, неинтегрируемы. Отметим также, что при полном отсутствии проскальзывания (в классической неголономной постановке) уравнения качения круглого диска также являются интегрируемыми (задача Чаплыгина, Аппеля, Кортевега [2, 122]), однако описываемая ими динамика существенно сложнее.

Неинтегрируемость задачи о движении твердого тела по гладкой плоскости изучалась в [43] с помощью метода расщепления сепаратрис. Однако полученные в [43] результаты не являются достаточными и пока не позволили установить какие-либо нетривиальные случаи интегрируемости.

3. Гироскоп в кардановом подвесе в осесимметричном поле

Используя переменные (2.6), получим следующую квадратуру для косинуса угла нутации
\[
\begin{array}{c}
{\dot{\sigma_{2}}}^{2}=a_{1} f\left(1+a_{1} g \sigma_{1}^{2}\right)\left(2\left(\widehat{h}-U\left(\sigma_{2}\right) ; \sigma_{1}^{2}-a_{1} f\left(c_{2}-c \sigma_{2}\right)^{2}\left(1+a_{1} I_{1}^{i} \sigma_{1}^{2}\right)\right),\right. \\
f^{-1}=\left(1+a_{1} I_{1}^{i}\right)\left(1+a_{1}\left(I^{e}+\left(I_{3}^{i}-I_{2}^{i}\right) \frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}}\right)\right) \\
g=I^{e}+\left(I_{3}^{i}-I_{2}\right) \frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}}, \quad \sigma_{1}^{2}=1-\sigma_{2}^{2}
\end{array}
\]

где $\widehat{h}=h-\frac{1}{2} a_{3} c^{2}$, смысл параметров $I^{e}, I_{k}^{i}, I_{k}$ объясняется в $\S 4$ гл. 1. Относительно анализа движения для системы (2.15) можно сослаться на книгу [119]. Наличие наружного кольца приводит к тому, что даже при отсутствии внешних сил вектор кинетического момента имеет вековой уход в пространстве. Этот уход, называемый эффектом Магнуса, объясняется появлением моментов реакций наружного кольца, перпендикулярных оси его вращения. В общем случае уравнения несимметричного гироскопа в кардановом подвесе не являются интегрируемыми [40].

4. Случай осевой симметрии в уравнениях Чаплыгина

Как показано в §7, гл. 1 динамика твердого тела в жидкости в поле тяжести без начального типа может быть описана гамильтоновой системой на $e(3)$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2} \mu^{2} t^{2}(\gamma, \mathbf{C} \boldsymbol{\gamma}) .
\]

При условиях осевой симметрии гамильтониан (2.16) можно представить в форме
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)+\frac{1}{2} \mu^{2} t^{2} \gamma_{3}^{2} .
\]

Дополнительный интеграл также имеет вид $F=M_{3}$.
Для редукции можно пользоваться системой переменных (2.6), однако удобнее записать уравнение второго порядка для угла нутации. Действительно, для $\gamma_{3}=\cos \theta$ с учетом соотношений $\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right)=$ $=\left(M_{1} \gamma_{2}+M_{2} \gamma_{2}\right)^{2}+\left(M_{1} \gamma_{2}-M_{2} \gamma_{1}\right)^{2}, \dot{\gamma}_{3}=M_{2} \gamma_{1}-M_{1} \gamma_{2}$ находим
\[
-\sin \theta \ddot{\theta}=\frac{M_{3}-c \cos \theta}{\sin ^{2} \theta}-\mu t^{2} \sin ^{2} \theta \cos \theta, \quad c=(\boldsymbol{M}, \gamma) .
\]

Если тело падает из состояния покоя, то $M_{3}=0, c=0$ и для угла нутации получим неавтономное уравнение маятникового типа [174]
\[
\ddot{\theta}=\mu t^{2} \sin \theta \cos \theta .
\]

Остальные углы даются уравнениями
\[
\dot{\varphi}=(a-1) M_{3}+\frac{M_{3}-c \cos \theta}{\sin ^{2} \theta}, \quad \dot{\psi}=\frac{M_{3}-c \cos \theta}{\sin ^{2} \theta} .
\]

Комментарий. Уравнения (2.18), (2.19) впервые были получены С. А. Чаплыгиным в его студенческой работе и впервые опубликованы в полном собрании его сочинений (1933 г., т. 1, [177]). Возможно, что о публикации результата Чаплыгин воздержался вследствие того, что не смог явно проинтегрировать эти уравнения. Кроме того, В.А.Стеклов получил уравнения (2.18), (2.19) независимо и опубликовал их в своей известной книге [160], где также привел некоторые качественные результаты о поведении тела. Более детальный качественный анализ уравнений (2.19) был выполнен В. В. Козловым [93], который показал, что (без начального толчка) при почти всех начальных условиях пластинка стремится к равноускоренному падению широкой стороной вниз и колеблется вокруг горизонтальной оси с возрастающей частотой и уменьшающейся амплитудой. Асимптотическое решение уравнений (2.19) для больших времен имеется в работе [202]. Если начальный толчок не равен нулю, то о поведении решений уравнения (2.18) практически ничего не известно.

5. Аналогия между волчком Лагранжа и системой Леггетта

Выше были описаны способы редукции (и соответствующие системы переменных) для тех задач динамики твердого тела, которые допускают один линейный интеграл. В то же время существует ряд систем, когда в задаче существует избыточный набор линейных интегралов, которые некоммутативны. В этом случае последовательное применение описанной редукции не всегда возможно, т. к. инволютивный набор, образованный из линейных интегралов, содержит, как правило, нелинейные интегралы. В этом случае, следуя описанной в § 1 схеме, можно сразу понизить порядок на две степени свободы, что достигается выбором соответствующего набора редуцированных (алгебраических) переменных.

В работе [248] было рассмотрено явное интегрирование одного варианта системы Леггетта, описывающей поведение спина атома жидкого гелия $\mathrm{He}^{3}$ в $\beta$-фазе при наличии магнитного поля. Если рассматривать кватернионные уравнения динамики (см. §4 гл. 1), то гамильтониан такой системы можно записать в виде
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}\right)+b M_{3}+U\left(\lambda_{0}\right),
\]

где $U=C\left(4 \lambda_{0}^{2}-\frac{3}{2}\right)^{2}, b, c=$ const. Такой вид гамильтониана встречается также в задачах о движении материальной точки в искривленном пространстве $S^{3}$ (см. § 2 гл. 5).

Система вида (2.21) всегда обладает циклическим интегралом $F=$ $=(\boldsymbol{M}, \gamma)-M_{3}=$ const. Еще один дополнительный интеграл возникает при условии $b=0$ (отсутствие магнитного поля). В переменных (1.8) он имеет вид
\[
F=K_{2}^{2}\left(s_{1}^{2}+s_{3}^{2}\right)+\left(K_{1} s_{1}+K_{2} s_{3}\right)^{2} .
\]

Интегрирование этой системы в [248] сильно усложнено. Вместе с тем, как было показано в [31], она фактически является одним из обобщений случая Лагранжа (после надлежащей редукции). Действительно, в этом случае уравнения (2.21) обладают векторным интегралом движения
\[
\left.\boldsymbol{L}=\left((\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha})-M_{1},(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta})-M_{2},(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})-M_{3}\right)\right),
\]

компоненты которого образуют алгебру $s o(3)$. Выберем новые переменные, которые коммутируют одновременно со всеми компонентами вектора $L$.
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=\frac{\sqrt{(\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{\lambda})^{2}}}{\sqrt{\boldsymbol{\lambda}^{2}}}, \quad K_{2}=\frac{(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\lambda})}{\sqrt{\lambda^{2}}}, \\
\sigma_{1}=\sqrt{\boldsymbol{\lambda}^{2}}, \quad \sigma_{2}=\lambda_{0} \\
\lambda^{2}=\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2} .
\end{array}
\]

Они образуют нелинейную алгебру
\[
\begin{array}{ll}
\left\{K_{2}, K_{1}\right\}=\frac{p_{1} \sigma_{2}}{2 \sigma_{1}}, & \left\{K_{2}, \sigma_{1}\right\}=-\frac{\sigma_{2}}{2}, \\
\left\{K_{2}, \sigma_{2}\right\}=\frac{\sigma_{1}}{2}, \quad\left\{K_{1}, \sigma_{1}\right\}=\left\{K_{1}, \sigma_{2}\right\}=0
\end{array}
\]

с функциями Казимира
\[
F_{1}=\sigma^{2}, \quad F_{2}=K_{1} \sigma_{1}=\mathrm{const},
\]

где $\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_{1} \sigma_{2}\right), \boldsymbol{K}=\left(K_{1}, K_{2}\right)$. (Менее удачные образующие используются в $[133,218]$ )

Ранг скобки (2.22) равен двум, и потому любая гамильтонова система на ней интегрируема, в частности система (2.21) при $b=0$, гамильтониан которой в новых переменных может быть представлен в виде
\[
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{K}^{2}+U\left(\sigma_{2}\right) .
\]

Аналогичное представление было получено для обобщения случая Лагранжа (см. (2.7), (2.8)) при $c=0, \boldsymbol{W}=0, x=0$. Указанную аналогию можно

установить и непосредственно (например, в углах Эйлера), однако алгебраический подход к вопросам редукции и понижения порядка, развиваемый в [31], имеет особенную наглядность и простоту.