В § 4 гл. 3 были приведены кватернионные уравнения Эйлера-Пуассона (4.17), для которых потенциал является линейной функцией по кватернионам. Покажем, каким образом при помощи этих уравнений и редукций по линейному интегралу (§1 гл.4) может быть получено представление Лакса для волчка Горячева-Чаплыгина, отличного от найденного ранее А. И. Бобенко и В. Б. Кузнецовым [193].

Рассмотрим пространство $\mathscr{L}$ комплексных матриц $3 \times 3$ с базисом

Относительно стандартного матричного коммутатора $[\cdot, \cdot]$ они образуют полупростую алгебру, для которой справедливо картановское разложение $\mathscr{L}=H+V$, где подалгебра $H=s u(2) \oplus s u(1)$ образована матрицами $M_{i}$, a $V=\mathbb{C}^{2}$ – матрицами $P_{i}$.

ЗАМЕЧАНИЕ. Здесь $x$ – параметр, определяющий некоторый пучок алгебр, линейно зависящий от $x$. При $x>0$ эти алгебры изоморфны алгебре $s u(3)$, при $x<0$ – алгебре $s u(2,1)$, при $x=0$ – полупрямой сумме $(s o(2) \oplus s u(1)) \oplus_{s} \mathbb{C}^{2}$.

Вследствие полупростоты можем отождествить алгебру с коалгеброй при помощи скалярного произведения (форма Киллинга)
\[
g=-\operatorname{Tr}(\mathbf{X} \cdot \mathbf{Y}), \quad \mathbf{X}, \mathbf{Y} \in \mathscr{L} .
\]

Обозначим координаты в коалгебре $m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4}, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$, тогда после отождествления (элемент алгебры) получим матрицу:
\[
\mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccc}
-i\left(m_{3}+m_{4}\right) & i m_{1}+m_{2} & \frac{1}{x}\left(p_{1}-i p_{2}\right) \\
i m_{1}-m_{2} & i\left(m_{3}-m_{4}\right) & \frac{1}{x}\left(p_{3}-i p_{4}\right) \\
-p_{1}-i p_{2} & -p_{3}-i p_{4} & 2 i m_{4}
\end{array}\right)
\]

ЗАМЕЧАНИЕ. Если обозначить элементы базиса алгебры $\mathscr{L}$ через $\mathbf{E}_{i}$, $i=1, \ldots, 8$, и ввести вектор $e$, компоненты которого – координаты на коалгебре в базисе, дуальном к $\mathbf{E}_{i}$, то формула отождествления примет вид $\mathbf{X}=\sum_{i=1}^{8} \xi_{i} \mathbf{E}_{i}$, где $\boldsymbol{\xi}=g^{-1} \boldsymbol{e}, g$ определяется формулой (4.2).

Соответствующая скобка Ли-Пуассона (точнее, пучок скобок линейно зависящих от параметра $x$ ) для координатных функций коалгебры имеет вид
\[
\begin{aligned}
\left\{m_{i}, m_{j}\right\} & =\varepsilon_{i j k} m_{k}, & \left\{m_{i}, m_{4}\right\} & =0, \\
\left\{m_{i}, p_{j}\right\} & =\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{i j k} p_{k}-\delta_{i j} p_{4}\right), & \left\{m_{i}, p_{4}\right\} & =\frac{1}{2} p_{i}, \quad i, j, k=1,2,3, \\
\left\{p_{i}, p_{j}\right\} & =\frac{1}{2} x\left(\varepsilon_{i j k} m_{k}+3 \varepsilon_{i j 3} m_{4}\right), & \left\{p_{i}, p_{4}\right\} & =-\frac{1}{2} x\left(m_{i}-3 \delta_{i 3} m_{4}\right) .
\end{aligned}
\]

Скобка $\{,\}_{\theta}$ при $x=0$ для переменных $m_{1}, m_{2}, m_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ (которые образуют подалгебру) совпадает со скобками для компонент кинетического момента $M$ и кватернионов $\lambda_{0}, \lambda$ в динамике твердого тела (гл. 1 § 3).

В соответствие с общим методом, развитым в [24, 31], построим $\mathbf{L}$ матрицу, инварианты которой определяют коммутативный набор функций для всего семейства скобок \{\}$_{\theta}+\lambda\left(\{\}_{\lambda}+\{\}_{a}\right)$, где $\mathbf{a} \in V-$ сдвиг аргумента. Ограничиваясь задачей, имеющей реальное динамическое значение, положим $x=1$, a $\mathbf{L}$-матрицу представим в виде
\[
\mathbf{L}=\left(\mathbf{h} \lambda+\mathbf{v}+\mathbf{a} \lambda^{2}\right),
\]

где

Среди инвариантов матрицы $\mathbf{L}$ при произвольном сдвиге содержится линейная по $m_{i}$ функция вида
\[
F_{1}=m_{4} a^{2}+\left(\boldsymbol{m}, \boldsymbol{\gamma}_{a}\right)
\]

где $a^{2}=\sum_{i=1}^{4} a_{i}^{2}, \boldsymbol{m}=\left(m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)$, а компоненты вектора $\gamma_{a}$ выражаются через $a_{i}$ по формулам
\[
\gamma_{a}=\left(2\left(a_{1} a_{3}+a_{2} a_{4}\right), 2\left(-a_{2} a_{3}+a_{1} a_{4}\right), a_{3}^{2}+a_{4}^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right) .
\]

Выберем $a_{1}=a_{2}=0$. В этом случае интеграл (4.4) приобретает вид
\[
F_{1}=m_{3}+m_{4} .
\]

Рассмотрим квадратичный инвариант матрицы $\mathbf{L}$, который выберем в качестве гамильтониана
\[
F_{2}=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{h}^{2}+2 \mathbf{v a}\right)=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+3 m_{4}^{2}+a_{4} p_{4}+a_{3} p_{3} .
\]

Необходимо положить в L-матрице (4.3) и гамильтониане (4.6)
\[
m_{4}=-m_{3}+c, \quad c=\text { const. }
\]

Этот гамильтониан задает некоторую (формальную) интегрируемую гамильтониан систему на семействе скобок $\{,\}_{\theta}+\lambda\left(\{\}_{\lambda}+\{\}_{a}\right)$ [31]. Нахождение матрицы $A$ для этой системы не представляет труда.

Чтобы перейти от найденной формальной системы к обобщению случая Горячева-Чаплыгина (см. §5 гл. 2), произведем редукцию по линейному интегралу (4.7) в $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}$ матрицах. Для этого положим в матрице $\mathbf{L}$ и гамильтониане (4.6)
\[
m_{4}=-m_{3}+c, \quad c=\text { const. }
\]

При этом получаем $\mathbf{L}$ матрицу и гамильтониан интегрируемой системы на подалгебре $m_{1}, m_{2}, m_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ с гиростатом, гиростатический момент которого равен $c$
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{L}=\left(\begin{array}{ccc}
-i \lambda c & \left(i m_{1}+m_{2}\right) \lambda & p_{1}-i p_{2} \\
\left(i m_{1}-m_{2}\right) \lambda & i \lambda\left(2 m_{3}-c\right) & p_{3}-i p_{4}+\left(a_{3}+i a_{4}\right) \lambda^{2} \\
-p_{1}-i p_{2} & -p_{3}-i p_{4}-\left(a_{3}+a_{4}\right) \lambda^{2} & -2 i\left(m_{3}-c\right) \lambda
\end{array}\right) \\
H=m_{1}^{2}+m_{2}+4 m_{3}^{2}-6 m_{3} c+2 a_{4} p_{4}+2 a_{3} p_{3}, \\
\mathbf{A}=d H=\left(\begin{array}{ccc}
i\left(4 m_{3}-3 c\right) & -i m_{1}-m_{2} & 0 \\
-i m_{1}+m_{2} & -i\left(4 m_{3}-3 c\right) & -a_{3}+i a_{4} \\
0 & a_{3}+i a_{4} & 0
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Эта система описывает интегрируемый случай на кватернионной скобке \{\}$_{\theta}$. Можно показать, что она допускает линейный по $m_{i}$ интеграл вида
\[
\begin{array}{c}
F_{3}=m_{3}-(\boldsymbol{m}, \boldsymbol{\gamma}), \\
\gamma=\left(2\left(p_{2} p_{4}+p_{1} p_{3}\right), 2\left(p_{2} p_{3}-p_{1} p_{4}\right), p_{3}^{2}+p_{4}^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}\right),
\end{array}
\]

по которому возможны стандартная редукция по симметрии, описанная в § 1 ґл. 4, при эюом получаегся система на нелинейной скобке.

Соответствующие образующие, которые являются интегралами векторного поля $\boldsymbol{v}=\left\{\cdot, F_{3}\right\}$, в данном случае имеют вид
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=\frac{M_{1} p_{1}+M_{2} p_{2}}{\sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}}, \quad K_{2}=\frac{M_{2} p_{1}-M_{1} p_{2}}{\sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}}, \quad K_{3}=M_{3}, \\
s_{1}=p_{3}, \quad s_{2}=p_{4}, \quad s_{3}= \pm \sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}} .
\end{array}
\]

Соответствующая им скобка – нелинейная:
\[
\begin{array}{c}
\left\{K_{i}, K_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} K_{k}+\varepsilon_{i j 3} \frac{F_{4}}{s_{3}^{2}}, \\
\left\{K_{i}, s_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} s_{k},\left\{s_{i}, s_{j}\right\}=0,
\end{array}
\]

где $F_{3}=(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{s}) s_{3}-$ функция Казимира скобки (4.13). При нулевой «постоянной площадей» $(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{s})=0$ скобка (4.13) совпадает со скобкой алгебры $e(3)$, а гамильтониан (4.10), как можно показать, в новых переменных (4.12) совпадет с гамильтонианом Горячева-Чаплыгина:
\[
H=\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}+4 K_{3}^{2}\right)-2 a_{4} s_{2}-2 a_{3} s_{1} .
\]

Найденное нами $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-представление при $F_{3}=c
eq 0$ соответствует случаю Горячева с сингулярным слагаемым. Согласно процедуре, описанной в § 1 гл. 4, нелинейность в скобке (4.13) можно устранить с помощью преобразования
\[
\mathbf{L}=\mathbf{K}-c \frac{\boldsymbol{s}}{s_{3}},
\]

которое приводит ее к виду алгебры $e(3)$, а гамильтониан (4.14) к форме
\[
H^{*}=\frac{1}{2}\left(L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+4 L_{3}^{2}\right)-a_{4} s_{2}-a_{3} s_{1}+3 c L_{3}+\frac{1}{2} \frac{c^{2}}{s_{3}^{2}} .
\]

Гамильтониан (4.16) может быть интерпретирован как некоторое обобщение случая Горячева-Чаплыгина, при $(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{s})=0$, при котором одновременно добавляются слагаемые, линейные по $L_{3}$ и соответствующие постоянному гиростатическому моменту, а также сингулярное слагаемое. Интегрируемое обобщение только с гиростатическим моментом было указано Л.Н.Сретенским [158], обобщение – только с сингулярным потенциалом самим Д.Н.Горячевым [63], общий случай, когда в гамильтониан можно добавить оба слагаемых с произвольными независимыми коэффициентами, указан в работе [105] (см. также § 7 гл. 5).

Таким образом, приведенная нами $\mathbf{L}$ – A пара справедлива также и для обобщений случая Горячева-Чаплыгина. Она отличается от указанной в работе [193], несколько таинственной $\mathbf{L}-\mathbf{A}$ пары, которая получается вычеркиванием строки и столбца из соответствующей пары случая Ковалевской.