Дополнительные интегралы в случае Эйлера и Лагранжа имеют естественное физическое происхождение. В первом случае это квадрат модуля кинетического момента, во втором — его проекция на ось динамической симметрии. В случае интегрируемости, найденном С. В. Ковалевской (1888 г.), дополнительный интеграл не имеет явного симметрийного происхождения. Он был найден почти столетием позже двух предыдущих и является несравненно более сложным как с точки зрения явного интегрирования, так и качественного анализа движения.

Тело в этом случае является динамически симметричным: $a_1=a_2$, а центр масс лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции $r_3=0$.

При этом также выполнено соотношение $\frac{a_3}{a_1}=\frac{I_1}{I_3}=2$. Гамильтониан и дополнительный интеграл, найденный Ковалевской, имеют вид:
$$\begin{array}{c}H=\frac{1}{2}(M_1^2+M_2^2+2M_3^2)-x{\gamma }_1,\\ F_3={(\frac{M_1^2-M_2^2}{2}+x{\gamma }_1)}^2+{(M_1{M}_2+x{\gamma }_2)}^2=k^2,\end{array}$$

где радиус-вектор центра масс имеет компоненты $\mathit{r}=(x,0,0)$, а вес $\mu =1$ (без ограничения общности).

1. Явное интегрирование. Переменные Ковалевской

Кроме дополнительного интеграла С. В. Ковалевская нашла замечательные переменные, преобразующие уравнения движения (1.1) к форме АбеляЯкоби (см. § 7, гл. 1). При наличие такой формы дальнейшее интегрирование в тэта-функциях (двух переменных) может быть выполнено по некоторой общей схеме (см. [86]). Здесь мы приведем только соответствующую замену. Переменные Ковалевской $s_1,s_2$ определяются по формулам
$$\begin{array}{c}{s}_1=\frac{R-\sqrt{R_1{R}_2}}{2{(z_1-z_2)}^2},s_2=\frac{R+\sqrt{R_1{R}_2}}{2{(z_1-z_2)}^2},\\ z_1=M_1+i{M}_2,z_2=M_1-i{M}_2,\\ R=R(z_1,z_2)=\frac{1}{4}{z}_1^2{z}_2^2-\frac{h}{2}(z_1^2-z_2^2)+c(z_1+z_2)+\frac{k^2}{4}-1,\\ R_1=R(z_1,z_1),R_2=R(z_2,z_2),\end{array}$$

где $F_1=(M,\gamma )=c,H=h$. Для упрощения вычислений везде полагаем $x=1$.
Уравнения движения принимают вид
$$\frac{d{s}_1}{\sqrt{P\left(s_1\right)}}=\frac{dt}{s_1-s_2},\frac{d{s}_2}{\sqrt{P\left(s_2\right)}}=\frac{dt}{s_2-s_1},$$

где
$$P(s)=({(2s+\frac{h}{2})}^2-\frac{k^2}{16})(4s^3+2h{s}^2+(\frac{h^2}{4}-\frac{k^2}{16}+\frac{1}{4})s+\frac{c^2}{16}).$$

Вследствие того, что полином $P(s)$ имеет пятую степень, квадратура для (4.3) называется ультраэллиптической (гиперэллиптической).

2. Бифуркационная диаграмма и классы Аппельрота

Значения интегралов $h,c,k$, при которых полином $P(s)$ имеет кратные корни, определяют в пространстве этих интегралов бифуркационную диаграмму — набор двумерных поверхностей, на которых происходит перестройка типа движения (см. рис. 31). При этом ультраэллиптические квадратуры в (4.3) сводятся к эллиптическим, а соответствующие (особо замечательные) движения называются классами Аппельрота [4]. Различным классам Аппельрота соответствуют разные ветви бифуркационной диаграммы.

Как несложно показать, и это является общим фактом — классы Аппельрота, определяемые из кратности корней полинома $P(s)=0$, совпадают с множеством особых лиувиллевых торов, на которых интегралы $H,F_1,F_2,F_3$ являются зависимыми, т.е. ранг матрицы Якоби $\Vert \frac{\partial (H,F_2,F_3,F_4)}{\partial (M,\gamma )}\Vert$ падает [170]. Очевидно, что эти особые торы в фазовом пространстве приведенной системы (т. е. для уравнений Эйлера-Пуассона) определяют устойчивые и неустойчивые периодические движения и асимптотические траектории к последним.

Бифуркационная диаграмма с указанием устойчивости ветвей приведена на рис. 31. В сочетании с фазовыми сечениями Пуанкаре в канонических переменных (например, Андуайе-Депри, рис. 32, 33) она является очень полезной для динамики, т. к. позволяет наглядно представить себе качественное поведение всех остальных траекторий интегрируемой системы в фазовом пространстве.

Явные решения для классов Аппельрота могут быть получены непосредственно без использования уравнений (4.3). Их построение, связанное с неочевидными манипуляциями, было начато самим Г. Аппельротом [4], а в наиболее полном виде выполнено донецким механиком А. И. Докшевичем [72]. Приведем часть его результатов, в основном касающихся периодических и асимптотических движений (наиболее важных для динамики) и попытаемся прояснить их механический смысл.
Всего имеется четыре класса Аппельрота.

I. Решение Делоне [70] — для него $k^2=0,h>c^2$ и появляется два инвариантных соотношения
$$\frac{M_1^2-M_2^2}{2}+x{\gamma }_1=0,M_1{M}_2+x{\gamma }_2=0,$$

определяющих периодическое решение уравнений Эйлера-Пуассона.

Рис. 32. Фазовый портрет (сечение плоскостью $g=\pi /2$ ) для случая Ковалевской при нулевой постоянной площадей $c=0$. Показаны три качественно различных типа фазового портрета. Из рисунков хорошо видно, какие перестройки портретов и бифуркации периодических решений происходят при пересечении критических уровней энергии $h=0$ и $h=1$. (Серым цветом закрашена нефизическая область значений $l,L/G$ при заданных значениях интегралов $h,c$.)

Оказывается, что движение в этом случае при нулевой постоянной площадей $c=0$ является периодическим не только для приведенной системы (на сфере Пуассона), но и в абсолютном пространстве [60] (см. рис. 36-39).

Рис. 33. Фазовый портрет (сечение плоскостью $g=\pi$ ) для случая Ковалевской при $c=1.15$ и фиксированных значениях энергии $h$, которым соответствуют фазовые портреты качественно различного типа. Переменные $l$ и $L/G$ соответствуют цилиндрической развертке сферы и фазовый портрет симметричен относительно меридиана $l=\pi /2,\frac{3}{4}\pi$. (Бифуркационная диаграмма на правом рисунке приведена схематично, без соблюдения масштабов.)

Для получения явной квадратуры, на уровне интегралов и инвариантных соотношений (4.4) выразим все переменные через $M_1$
$$\begin{array}{c}{M}_2^2=2z-M_1^2,M_3^2=h-M_1^2\\ x{\gamma }_1=-M_1^2+z,x{\gamma }_1=-M_1{(2z-M_1)}^{1/2},x{\gamma }_3={(x^2-z^2)}^{1/2}\\ z=\frac{M_1^2+M_2^2}{2}={({\gamma }_1^2+{\gamma }_2^2)}^{1/2}=x\frac{-c{M}_1\pm \sqrt{(h-c^2)(h-M_1^2)}}{h}.\end{array}$$

При этом для $M_1$ получается квадратура
$${\dot{M}}_1=M_2{M}_3={\left((h-M_1^2)(2z-M_1^2)\right)}^{1/2},$$

которая при $h=c^2$ является эллиптической. При $c=0$ можно также получить более простое явное решение, если вместо $M_1$ использовать переменную $M_3$.

Из рисунка 31 следует, что при увеличении $c$ до $c={\left(\frac{3}{4}\right)}^{3/4}$ ветка IV класса Аппельрота «врезается» в решение Делоне и при дальнейшем увеличении $c$ до $c^2<2$ разбивает его на три части. При $c^2=2$ в точке $h=2$, $k^2=0$ сливаются друг с другом ветки всех четырех классов Аппельрота. Точке их пересечения соответствует неустойчивая неподвижная точка на сфере Пуассона (вращение Штауде) (см. § 6 гл. 2) и асимптотическое к ней одномерное движение, которое легко вычисляется из (4.6) в элементарных функциях
$$M_1=\sqrt{2x}\frac{3+{\mathrm{ch}}^{2}u=4\mathrm{ch}u}{9-{\mathrm{ch}}^{2}u},u=2\sqrt{x}t.$$

При $c^2>2$ одна ветка IV класса также «врезается» в решение Делоне, а другая сго вствь псрссскаст часть параболы, соотвстствующую II классу.
II. Решения второго класса тежат на нижней ветви параболы ${(h-c^2)}^2=k^2$, при этом $\frac{1}{2}{c}^2-1⩽h⩽c^2$. При $c=0$ этому классу принадлежат устойчивые периодические траектории, а тело совершает плоские колебания в меридиональной плоскости, проходящей через центр масс, и выполнены условия $M_1=M_3=0,{\gamma }_2=0$.
При $ceq0$ имеются дополнительные инвариантные соотношения
$$M_3=c{\gamma }_3,M_1^2+M_2^2+\frac{M_1}{c}=k,$$

а явное интегрирование выполнено в [72]. Начиная с $c>\sqrt{2}$, ветви II и IV классов начинают пересекаться.

III. Этому классу соответствует ветвь параболы выше точки касания с осью $k^2=0$, которая удовлетворяет условиям
$${(h-c^2)}^2=k^2,c^2⩽h⩽c^2+\frac{1}{2c^2}.$$

При $c=0$ эти условия определяют всю верхнюю ветвь параболы, а при $ceq0$ эта ветвь ограничивается сверху одной из ветвей IV-го класса.

Физически III класс соответствует неустойчивым периодическим и асимптотическим к ним решениям. При $c=0$ периодическое движение для части ветви III а) является колебаниями физического маятника в меридиональной плоскости, проходящей через центр масс, а для части III b) вращениями в этой же плоскости. Эти решения сходятся в точке $h=1$, которая является верхним неустойчивым положением равновесия. Его неустойчивость может быть строго доказана различными способами [152]. Далее это доказательство будет получено путем явного построения асимптотического решения.

Воспользуемся следующей параметризацией общего уровня интегралов движения, соответствующего третьему классу Аппельрота при нулевой постоянной площадей $c=0$ [72]
$$\begin{array}{rlr}{M}_1=\sqrt{M_1^2+M_3^2}\sin \phi ,& M_3& =\sqrt{M_1^2+M_3^2}\cos \phi ,\\ k_1=k\cos 2\theta ,& k_2& =k\sin 2\theta ,\end{array}$$

где $k_1={\gamma }_1+\frac{M_1^2-M_2^2}{2},k_2={\gamma }_2+M_1{M}_2$ (при $x=1$ ), причем интеграл Ковалевской имеет форму $k_1^2+k_2^2=k^2$.
Дифференцируя $\phi$ по времени, получим
$$\dot{\phi }=M_2-\frac{M_1{k}_2}{M_1^2+M_3^2}.$$

После еще одного дифференцирования (4.11) и исключения $M_2$ при помощи (4.11), учитывая $h=k>0$, имеем
$$2\ddot{\phi }\cos \phi +\dot{\phi }\sin \phi =2h{\cos }^2\phi \sin \phi .$$

Домножив (4.12) на $\frac{\dot{\phi }}{{\cos }^2\phi }$ и проинтегрировав по времени, получаем
$$\frac{{\dot{\phi }}^2}{\cos \phi }+2h\cos \phi =c_1=\text{ const. }$$

Постоянная интегрирования находится из условия $\phi =0$, при котором $M_1=0,\dot{\phi }=M_2$, а поэтому $c_1^2=4x^2$. Таким образом,
$${\dot{\phi }}^2=2(x-k\cos \phi )\cos \phi ,k>0.$$

ЗАМЕЧАНИЕ. При $ceq0$ для аналогичной (но несколько другой) угловой переменной получается уравнение [72]
$${\dot{\phi }}^2=2(x-(k+c^2)\cos \phi )\cos \phi \text{. }$$

Для угла $\theta$ получается уравнение
$$\dot{\theta }=-M_3=-\sqrt{M_1^2+M_3^2}\cos \phi ,$$

которое после учета интеграла энергии $M_1^2+M_3^2-k_1=h$ и условия $h=k$, приводящих к равенству $\sqrt{M_1^2+M_3^2}=\pm \sqrt{2k}\cos \theta$, сводится к следующемy
$$\dot{\theta }=\sqrt{2k}\cos \phi \cos \theta .$$

После замены $\cos \theta =(\mathrm{ch}u{)}^{-1}$ его можно записать в виде
$$\dot{u}=\sqrt{2\hslash }\cos \phi .$$

Таким образом, полная система уравнений, определяющая асимптотические траектории III класса Аппельрога при условиях $c=0,h=k>0$ приводится к виду
$$\begin{array}{c}2\dot{\zeta }=(1-{\zeta }^2)(x-k+(x+k){\zeta }^2),\zeta =\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}\\ \dot{u}=\sqrt{2k}\cos \phi ,\mathrm{ch}u=(\cos \theta {)}^{-1}.\end{array}$$

Ее решения имеют вид
1. $k<x,\zeta =\mathrm{cn}(\sqrt{x}t,k_0),k_0^2=\frac{x+k}{2x}$,
2. $k>x,\zeta =\mathrm{dn}(\sqrt{\frac{x+k}{2}}t,k_0),k_0^2=\frac{2x}{x+k}$,
3. $k=x,\zeta =(\mathrm{ch}\sqrt{x}t{)}^{-1}$,

где $k_0$ — модуль соответствующих эллиптических функций Якоби.
Используя 1-3, можно показать, что $\dot{u}$ является знакопостоянной функцией, т. е. эти решения в случае 1-2 описывают асимптотические движения к периодическому решению, а в случае 3 — к неподвижной точке. (Аналитические квадратуры в случае $ceq0$ являются более громоздкими [72].)

IV. Этот класс состоит из двух ветвей (см. рис. 31), одна из которых соответствует устойчивым периодическим движениям, а другая — неустойчивым и сепаратрисам. При $c=0$ эти ветви сходятся в точке $k^2=x^2=1$, $h=0$.
При $ceq0$ параметрические уравнения ветвей имеют вид
$$\begin{array}{c}{k}^2=1+tc+\frac{t^4}{4},h=\frac{t^2}{2}-\frac{c}{t},\\ t\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (c,+\mathrm{\infty }),& \text{ при }c>0,\\ t\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\mathrm{\setminus }\{0\},& \text{ при }c<0,\end{array}$$

при $c=0$
1. $k^2=x^2,h<0,h^2=k^2+x^2$ (ветвь IVa);
2. $k^2=x^2,h>0$ (ветвь IVb).

Устойчивые и неустойчивые периодические решения для IV класса Аппельрота в случае Ковалевской (а также в более общем случае, когда тензор инерции имеет вид $\mathbf{I}=\mathrm{diag}(1,a,2),a=$ const, а само решение при этом не зависит от $a$ ) были найдены Д. К. Бобылевым [15] и В.А.Стекловым [161] (см. также $\mathrm{\S }6$ ).

Решение Бобылева-Стеклова. Для этого решения всегда выполнены соотношения
$$M_2=0,M_1=m=\text{ const },$$

которые позволяют выразить $\gamma$ через $M_3$
$${\gamma }_1=\frac{c}{m}-M_3^2,{\gamma }_2={(k^2-{(\frac{1}{2}{m}^2-\frac{c}{m}+M_3^2)}^2)}^{1/2},{\gamma }_3=m{M}_3$$

и получить эллиптическую квадратуру для $M_3$
$${\dot{M}}_3=-{(k^2-{(\frac{1}{2}{m}^2-\frac{c}{m}+M_3^2)}^2)}^{1/2}.$$

При этом $h$ и $k^2$ заданы параметрическим уравнением
$$h=\frac{1}{2}{m}^2-\frac{c}{m},k^2=1+\frac{1}{2}{m}^4+cm,$$
т. е. совпадают с (4.15). При $c=0$ в четвертом классе появляются движения, соответствующие колебаниям и вращениям по закону физического маятника в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Для этих решений
$$M_1=m=0,{\gamma }_3=0,{\dot{M}}_3=-{(1-{(h-M_3^2)}^2)}^{1/2}.$$

Асимптотические решения для произвольных значений $ceq0$ найдены в [72], но являются очень громоздкими. Укажем эти решения при дополнительных условиях
$$k^2=x^2,h>0,c=0.$$

Для этого используем найденное А. И. Докшевичем любопытное инволютивное преобразование $(\mathit{M},\gamma )\mapsto (\mathit{L},\mathit{s})$ (квадрат которого является тождественным):
$$\begin{array}{rlrl}{L}_1& =-\frac{M_1}{M_1^2+M_2^2},& s_1& =-{\gamma }_1+2x{\gamma }_3^2\frac{M_1^2-M_2^2}{{(M_1^2+M_2^2)}^2},\\ L_2& =-\frac{M_2}{M_1^2+M_2^2},& s_2& =-{\gamma }_2+4x{\gamma }_3^2\frac{M_1{M}_2}{{(M_1^2+M_2^2)}^2},\\ L_3& =M_3+2x{\gamma }_3\frac{M_1}{M_1^2+M_2^2},& s_3& =\frac{{\gamma }_3}{M_1^2+M_2^2}.\end{array}$$

В новых переменных $(\mathit{L},\mathit{s})$ уравнения движения имеют вид
$$\begin{array}{ll}{\dot{L}}_1=L_2{L}_3,& {\dot{s}}_1=2L_3{s}_2-4(k^2-x^2)s_3{L}_2,\\ {\dot{L}}_2=-L_1{L}_3-x{s}_3,& {\dot{s}}_2=-2L_3{s}_1+4(k^2-x^2)s_1{L}_3,\\ {\dot{L}}_3=-2xc{L}_2+x{s}_2,& {\dot{s}}_3=s_1{L}_2-s_2{L}_1.\end{array}$$

При условии (4.17) в системе (4.19) уравнения для $L_3,s_1,s_2$ отделяются и сводятся к квадратурам
$$\begin{array}{c}{s}_2={(1-s_1^2)}^{1/2},L_3={(h+x{s}_1)}^{1/2},\\ {\dot{s}}_1=2\sqrt{(h+x{s}_1)(1-s_1^2).}.\end{array}$$

Для получения решения полной системы (4.19) оказывается достаточно найти решение линейного уравнения второго порядка с коэффициентами, явно зависящими от времени
$$\begin{array}{c}{L}_1=s_1^{-1}(-L_3{s}_3\mp s_2\sqrt{h{s}_3^2-\frac{1}{4x}{s}_1}),L_2=\sqrt{h{s}_3^2-\frac{1}{4x}{s}_1},\\ {\ddot{s}}_3=-x(1+2s_1)s_3.\end{array}$$

Уравнения (4.20), (4.21) описывают асимптотические решения к периодическим движениям при условиях (4.17) (см. рис. 45).

При $h=x$, что соответствует энергии верхнего неустойчивого положения равновесия, получим еще одно (в дополнение к III-му классу) асимптотическое к нему решение в элементарных функциях
$$s_1=1-2\mathrm{th}u,s_2=2\frac{\mathrm{th}u}{\mathrm{ch}u},L_3=-\frac{\sqrt{2x}}{\mathrm{ch}u},u=\sqrt{2x}t.$$

Классы Аппельрота определяют наиболее простые движения как в приведенном, так и в абсолютном фазовом пространстве. Остальные движения волчка Ковалевской имеют квазипериодический характер и зависят от соответствующей области бифуркационной диаграммы. При возмущении случая Ковалевской вблизи неустойчивых решений и их сепаратрис возникает стохастический слой (рис. 63). К сожалению, приведенные в этом параграфе (асимптотические) решения по разным соображениями не позволили пока продвинуться в аналитическом исследовании неинтегрируемости возмущенного волчка Ковалевской (вариационными методами при $c=0$ доказательство неинтегрируемости получено в [22]).

3. Фазовый портрет и визуализация особозамечательных решений

При каждом фиксированном значении постоянной площадей $(\mathit{M},\gamma )=c$, задающем различные типы бифуркационных диаграмм на плоскости $(k^2,h)$, существует свой набор фазовых портретов. Фиксируя уровень энергии $h$, мы получим несколько различных типов фазовых портретов, которые задаются пересечениями прямой $h=$ const с бифуркационной диаграммой. Здесь мы приводим две серии фазовых портретов, соответствующих наиболее простой (при $c=0$, рис. 32) и наиболее сложной (при $1<c<{\left(\frac{4}{3}\right)}^{3/4}$, рис. 33) бифуркационным диаграммам. Далее приводится также вид некоторых «особозамечательных» решений на сфере Пуассона и в абсолютном пространстве.

ЗАМЕЧАНИЕ. Исследование топологии инвариантных торов с помощью сечений Пуанкаре выполнено также в [205], в других переменных и без прояснения механического смысла различных движений (в частности, анализа устойчивости).

Фазовый портрет при $c=0$. В этом случае бифуркационная диаграмма состоит из двух кусков парабол и двух прямых (см. рис. $31a$ ). Физический смысл ветвей, соответствующих параболе $h^2=k^2$ и прямой $k^2=1$, особенно прост и описан выше. На параболе находятся решения, описывающие плоские колебания и вращения твердого тела в меридиональной

плоскости (вокруг оси $Oy$, перпендикулярной оси $Ox$, на которой располагается центр масс), а на прямой — плоские колебания и вращения в экваториальной плоскости (вокруг оси $Oz$ ). На оставшихся ветвях $k^2=0$ и $h^2=k^2-1$ располагаются соответственно решения Делоне и Бобылева-Стеклова.

Выше мы привели фазовые портреты с указанием, в каком месте бифуркационной диаграммы они находятся. Как следует из рисунка $31a$ ), существуют три интервала для постоянной энергии $h:(-1,0),(0,1),(1,\mathrm{\infty })$, каждому из которых соответствуют качественно различные типы фазовых портретов (см. рис. 32).

Фазовый портрет при $c=1.15(1<c<{\left(\frac{4}{3}\right)}^{3/4})$. При помощи бифуркационной диаграммы (рис. $31c$ ) можно установить, что существует пять интервалов энергий, каждому из которых соответствует свой тип фазового портрета (см. рис. 33). В этом случае периодические решения, соответствующие ветвям бифуркационной диаграммы, не имеют такого простого вида, как при $c=0$, хотя и приближаются к ним при $h\gg c$.

Рис. 34. Решение Делоне. Движение орта $\gamma$ при нулевой постоянной площадей $(c=0)$ и различных значениях энергии.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для построения фазовых портретов мы используем сечения Пуанкаре в переменных Андуайе-Депри, описанных в § 3 гл. 1. Для $c=0$ секущую плоскость мы выбираем в виде $g=\frac{\pi }{2}$, а для $c=1.15$ выбираем $g=\pi$. Это связано

Рис. 35. Решение Делоне. Движение орта $\gamma$ при ненулевой постоянной площадей $(c=1.15$ ) и различных значениях энергии $h$.

с тем, что в этом случае не все периодические решения пересекают плоскость $g=\frac{\pi }{2}$. Отметим также разный тип симметрии фазовых портретов на сфере $(l,L/G)$ : так при $g=\frac{\pi }{2}$ — портрет симметричен относительно экватора (оси $L/G=0$ ), а при $g=\pi$ — относительно меридианальной плоскости $(l=\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi$ ).

Перейдем к визуализации в приведенном и абсолютном пространстве некоторых наиболее интересных движений твердого тела.

Решение Делоне $(k^2=0)$. В этом случае траектория орта вертикали $\gamma$ на сфере Пуассона представляет собой кривые типа восьмерки (см. рис. 34,35 ), причем при $c=0$ (рис. 34) точки самопересечения этих «восьмерок» совпадают и имеют координаты $\gamma =(1,0,0)$. Эта точка определяет нижнее положение центра масс тела. При увеличении $с$ на сфере Пуассона также возникают неправильные «восьмерки», все они пересекаются в двух точках на экваторе сферы Пуассона (см. рис. 35).

Известно, что при $c=0$ решение Делоне определяет периодические движения не только в приведенной системе, но и в абсолютном пространстве [61]. При $ceq0$ — это уже не справедливо и движение тела в абсолютном пространстве является квазипериодическим. На рисунках 36-39 показаны траектории трех апексов твердого тела при $c=0$ и различных значениях энергии. На всех рисунках неподвижные оси $OXYZ$ развернуты произвольно, чтобы лучше показать получившиеся траектории.

Рис. 36. Решение Делоне. Движение апексов в неподвижной системе координат при нулевой константе площадей ( $c=0$ ).
Рис. 37. Решение Делоне. Движение апекса центра масс при $c=0$ и различных $h$.

Рис. 38. Решение Делоне. Движение апекса, лежащего в экваториальной плоскости перпендикулярно радиус-вектору центра масс при $c=0$ и различных $h$.

Решение Бобылева-Стеклова. Решение Бобылева-Стеклова на бифуркационной диаграмме (см. рис. 31) находится на нижней правой ветви и ему соответствует устойчивое периодическое решение на сфере Пуассона (см. рис. 40,41 ).
Рис. 39. Решение Делоне. Движение апекса оси динамической симметрии при $c=0$ и различных $h$.

Рис. 40. Решение Бобылева-Стеклова. Двнжение орта вертикали на сфере Пуассона при $c=0$ и различных значениях энергии.

Рис. 41. Решение Бобылева-Стеклова. Движение орта вертикали на сфере Пуассона при $ceq0(c=1.15)$ и различных значениях энергии.

Рис. 42. Решение Бобылева-Стеклова. Движение апекса, проходящего через центр масс в неподвижном пространстве при $c=0$ и различных $h$.
Рис. 43. Решение Бобылева-Стеклова. Движение апекса, проходящего через центр масс в неподвижном пространстве при $c

eq 0(c=1.15)$иразличных$h$.Изрис.40хорошовидно,чтопри$c=0$всетраекториинасфереПуассонапроходятчерезточкиэкватора$(0,1,0)$и$(0,-1,0)$,непересекаяприэтоммеридианальнойплоскости$\gamma_{1}=0$. Этому соответствует замечательное движение центра масс в абсолютном пространстве — он описывает кривые с точками возврата, которые при любых энергиях лежат на экваторе (см. рис. 42).

При $ceq0$ траектории на сфере Пуассона приведены на рис. 41, в этом случае апекс центра масс описывает в неподвижном пространстве кривые с точками возврата, лежащими на одной широте, которая зависит от постоянной энергии $h$ (см. рис. 43). Физически решение Бобылева-Стеклова может быть реализовано следующим образом — тело закручивают вокруг оси, проходящей через центр масс и произвольно расположенной в абсолютном пространстве, и отпускают без начального толчка.

ЗАМЕЧАНИЕ. Движение остальных апексов в неподвижном пространстве достаточно запутанно, поэтому мы его не приводим.

Неустойчивые периодические решения и сепаратрисы для случая Ковалевской имеют довольно запутанный вид как на сфере Пуассона, так и в неподвижном пространстве. На рис. 45 приведены траектории движения, соответствующие сепаратрисам при $ceq0$ ( $c=1.15)$ и одном и том

же значении энергии $h=2$. Хорошо видно, что траектория большую часть времени проводит вблизи периодического решения, на рисунке этому соответствует более плотная закраска в этой области.

Эти траектории в некотором смысле представляют всю сложность интегрируемого случая Ковалевской, некоторые движения в котором имеют визуально хаотический характер (в абсолютном пространстве движение выглядит еще более неупорядоченным).

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Укажем еще одно представление интеграла Ковалевской в виде суммы квадратов. Для этого воспользуемся проекциями момента на полуподвижные оси
$$S_1=M_1{\gamma }_1+M_2{\gamma }_2,S_3=M_1{\gamma }_2-M_2{\gamma }_1.$$

Можно показать, что интеграл Ковалевской допускает запись в форме
$$F={\left(\frac{M_1^2+M_2^2}{2}\right)}^2+x(M_1{S}_1+M_2{S}_2)+x^2({\gamma }_1^2+{\gamma }_2^2).$$

Полагая $\mathit{S}=(S_1,S_2)$ и $\tilde{\mathit{M}}=(M_1,M_2)$ — двумерными векторами, угол между ними обозначим через $\lambda$ (см. рис. 44). Учитывая, что ${\gamma }_1^2+{\gamma }_2^2={\sin }^2\theta$, где $\theta -$ угол между вертикалью и осью симметрии эллипсоида инерции, запишем интеграл Ковалевской в форме
$$F=\frac{1}{4}{G}^4{\sin }^2\lambda +{(\frac{G^2\cos \lambda }{2}+x\sin \theta )}^2=k^2,G^2=M^2.$$

Рис. 44
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Укажем также любопытное нелинейное преобразование, сохраняющее структуру алгебры $so(3)$ :
$$K_1=\frac{M_1^2-M_2^2}{2\sqrt{M_1^2+M_2^2}},K_2=\frac{M_1{M}_2}{\sqrt{M_1^2+M_2^2}},K_3=\frac{1}{2}{M}_3.$$

Можно показать, что с точки зрения канонических переменных Андуайе-Депри оно соответствует каноническому преобразованию типа $(L,l)\mapsto (\frac{L}{2},2l)$.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. В работах $[224,268]$ указано семейство систем на сфере $S^2$, допускающих интеграл четвертой степени по моментам, не сводящийся к случаю Ковалевской (или к его обобщению, указанному Горячевым). В работе [267] аналогичная конструкция предложена для систем с интегралом третьей степени. Отметим только, что в этих работах не приведено ни одного явного вида дополнительного интеграла, а соответствующее семейство определяется в итоге решения некоторого дифференциального уравнения, для которого устанавливаются теоремы существования.

Рис. 45. Траектории на сфере Пуассона для решений, асимптотических к неустойчивым периодическим решениям.

4. Исторические комментарии

Метод Ковалевской. С.В.Ковалевская обнаружила общий случай интегрируемости, руководствуясь не какими-либо физическими соображениями, а развивая идеи К. Вейершрасса, П. Пенлеве и А. Пуанкаре об исследовании аналитического продолжения решений системы обыкновенных дифференџиальных уравнений в комплексную плоскость времени. С. В. Ковалевская предположила, что в интегрируемых случаях общее решение на комплексной плоскости не имеет других особенностей, кроме полюсов. Это дало возможность найти условия, при которых существует дополнительный интеграл. Кроме нахожде-

ния самого первого интеграла С.В.Козалевская нашла далеко не очевидную систему переменных, в которых уравнения имеют вид Абеля — Якоби, а также получила явное решение в тэта-функџиях. До сих пор сведение к квадратурам случая Ковалевской считается очень сложным и не поддается какому-либо сушественному упрошению.
А. М. Ляпунов в работе [116] уточнил анализ Ковалевской (им занимался также Г.Г.Аппельрот [3] в ответ на критику работ Ковалевской академиком А. А. Марковым), потребовав для интегрируемости однозначности (мероморфность) общего решения как комплексной функџии времени, изучая решения уравнения в вариаџиях. Метод Ляпунова несколько отличается от подхода Ковалевской, который далее был развит в работах М. Адлера, П. ван Мёрбеке, связавших наличие полнопараметрического семейства однозначных лорановских (полюсных) разложений с алебраической интегрируемостью системы (в некотором узком смысле [186, 187]). Наиболее полный анализ полнопараметрических разложений в уравнениях Эйлера — Пуассона содержится в работе [243]. Классическое изложение результатов Ковалевской и Ляпунова имеется в нескольких учебниках [9, 59].

Соображения Ковалевской заложили основу нового метода анализа системы на интегрируемость и в то же время явились первым образџом поиска препятствий к интегрируемости, выросших в последнее время в отдельное направление исследований [97]. Отметим также, что несмотря на отдельные строгие результаты, связываюшие ветвление общего решения с несушествованием первых интегралов [97], метод Ковалевской все же остается тестом на интегрируемость, он во многом неоднозначен и его применение в различных задачах требует определенного искусства и дополнительных соображений. В физической литературе этот метод обычно называется тестом ПенлевеКовалевской.

Случай Ковалевской, его анализ и обобщения. Геометрическую интерпретаџию случая Ковалевской, не являюшуюся, однако, достаточно естественной, и свой способ сведения к квадратурам случая Ковалевской предложил Н.Е.Жуковский [76]. Он также использовал переменные Ковалевской для построения некоторых криволинейных координат на плоскости (плоскость $M_1,M_2$ ), соответствующих разделяющимся переменным волчка Ковалевской. Его рассуждения упростили В. Танненберг и Г. К. Суслов $[163,274]$.
Ф. Кёттер также несколько упростил метод явного интегрирования случая Ковалевской [233, 235] и предложил исследовать движение в равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси системе координат. С современных позиџий введение переменных Ковалевской и сведение к уравнениям Абеля обсуждается в [92]. Качественный анализ движения оси динамической сим-

метрии приведен в [92], топологический и бифуркаџионный анализ содержится в [170]. Переменные действие-угол для волчка Ковалевской построены в [54] (см. также [106, 204]). Мы приводим их в §8, гл. 5. Н.И.Мерџалов проделал натурные эксперименты, не выявив, однако, каких-либо особенностей в движении волчка [69].
Г.В.Колосов проинтегрировал случай Ковалевской, сведя его при помоџи нелинейного преобразования переменных и времени к задаче о движении точки на плоскости в потенџиале, допускающем разделение переменных. Это известная аналогия Колосова, ее классический вариант и новые обобщения рассмотрены нами в §8 гл. 5. Отметим также, что Г.В.Колосов изучал в работе [103] траекторию конџа вектора кинетического момента, указав ее регулярные особенности.

Строение комплексных торов с помошью методов алгебраической геометрии исследовано в [212, 134]. Бифуркаџионные диаграммы для случая Ковалевской в связи с аналогией Колосова рассматриваются в [217].

Квантование волчка Ковалевской также является вопросом, обсуждаемым уже с момента создания квантовой механики (Лапорте, 1933), но до сих пор в нем нет полной ясности [106, 258]. В работе [204] выписано уравнение Пикара-Фукса, возникающее при интегрировании случая Ковалевской. Первое представление Лакса для $n$-мерного случая Ковалевской, не содержащее спектрального параметра, было построено А. М. Переломовым [142]. Представление, содержаџее спектральный параметр в общей постановке (при движении в двух однородных полях), предложено А.Г. Рейманом, М. А. СеменовымТян-Шанским [147]. Это обобщение случая Ковалевской до сих пор мало изучено (в частности, оно не проинтегрировано в квадратурах, отсутствует также топологический и качественный анализ).