Дополнительные интегралы в случае Эйлера и Лагранжа имеют естественное физическое происхождение. В первом случае это квадрат модуля кинетического момента, во втором – его проекция на ось динамической симметрии. В случае интегрируемости, найденном С. В. Ковалевской (1888 г.), дополнительный интеграл не имеет явного симметрийного происхождения. Он был найден почти столетием позже двух предыдущих и является несравненно более сложным как с точки зрения явного интегрирования, так и качественного анализа движения.

Тело в этом случае является динамически симметричным: $a_{1}=a_{2}$, а центр масс лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции $r_{3}=0$.

При этом также выполнено соотношение $\frac{a_{3}}{a_{1}}=\frac{I_{1}}{I_{3}}=2$. Гамильтониан и дополнительный интеграл, найденный Ковалевской, имеют вид:
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)-x \gamma_{1}, \\
F_{3}=\left(\frac{M_{1}^{2}-M_{2}^{2}}{2}+x \gamma_{1}\right)^{2}+\left(M_{1} M_{2}+x \gamma_{2}\right)^{2}=k^{2},
\end{array}
\]

где радиус-вектор центра масс имеет компоненты $\boldsymbol{r}=(x, 0,0)$, а вес $\mu=1$ (без ограничения общности).

1. Явное интегрирование. Переменные Ковалевской

Кроме дополнительного интеграла С. В. Ковалевская нашла замечательные переменные, преобразующие уравнения движения (1.1) к форме АбеляЯкоби (см. § 7, гл. 1). При наличие такой формы дальнейшее интегрирование в тэта-функциях (двух переменных) может быть выполнено по некоторой общей схеме (см. [86]). Здесь мы приведем только соответствующую замену. Переменные Ковалевской $s_{1}, s_{2}$ определяются по формулам
\[
\begin{array}{c}
s_{1}=\frac{R-\sqrt{R_{1} R_{2}}}{2\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}, \quad s_{2}=\frac{R+\sqrt{R_{1} R_{2}}}{2\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}, \\
z_{1}=M_{1}+i M_{2}, \quad z_{2}=M_{1}-i M_{2}, \\
R=R\left(z_{1}, z_{2}\right)=\frac{1}{4} z_{1}^{2} z_{2}^{2}-\frac{h}{2}\left(z_{1}^{2}-z_{2}^{2}\right)+c\left(z_{1}+z_{2}\right)+\frac{k^{2}}{4}-1, \\
R_{1}=R\left(z_{1}, z_{1}\right), \quad R_{2}=R\left(z_{2}, z_{2}\right),
\end{array}
\]

где $F_{1}=(M, \gamma)=c, H=h$. Для упрощения вычислений везде полагаем $x=1$.
Уравнения движения принимают вид
\[
\frac{d s_{1}}{\sqrt{P\left(s_{1}\right)}}=\frac{d t}{s_{1}-s_{2}}, \quad \frac{d s_{2}}{\sqrt{P\left(s_{2}\right)}}=\frac{d t}{s_{2}-s_{1}},
\]

где
\[
P(s)=\left(\left(2 s+\frac{h}{2}\right)^{2}-\frac{k^{2}}{16}\right)\left(4 s^{3}+2 h s^{2}+\left(\frac{h^{2}}{4}-\frac{k^{2}}{16}+\frac{1}{4}\right) s+\frac{c^{2}}{16}\right) .
\]

Вследствие того, что полином $P(s)$ имеет пятую степень, квадратура для (4.3) называется ультраэллиптической (гиперэллиптической).

2. Бифуркационная диаграмма и классы Аппельрота

Значения интегралов $h, c, k$, при которых полином $P(s)$ имеет кратные корни, определяют в пространстве этих интегралов бифуркационную диаграмму – набор двумерных поверхностей, на которых происходит перестройка типа движения (см. рис. 31). При этом ультраэллиптические квадратуры в (4.3) сводятся к эллиптическим, а соответствующие (особо замечательные) движения называются классами Аппельрота [4]. Различным классам Аппельрота соответствуют разные ветви бифуркационной диаграммы.

Как несложно показать, и это является общим фактом – классы Аппельрота, определяемые из кратности корней полинома $P(s)=0$, совпадают с множеством особых лиувиллевых торов, на которых интегралы $H, F_{1}, F_{2}, F_{3}$ являются зависимыми, т.е. ранг матрицы Якоби $\left\|\frac{\partial\left(H, F_{2}, F_{3}, F_{4}\right)}{\partial(M, \gamma)}\right\|$ падает [170]. Очевидно, что эти особые торы в фазовом пространстве приведенной системы (т. е. для уравнений Эйлера-Пуассона) определяют устойчивые и неустойчивые периодические движения и асимптотические траектории к последним.

Бифуркационная диаграмма с указанием устойчивости ветвей приведена на рис. 31. В сочетании с фазовыми сечениями Пуанкаре в канонических переменных (например, Андуайе-Депри, рис. 32, 33) она является очень полезной для динамики, т. к. позволяет наглядно представить себе качественное поведение всех остальных траекторий интегрируемой системы в фазовом пространстве.

Явные решения для классов Аппельрота могут быть получены непосредственно без использования уравнений (4.3). Их построение, связанное с неочевидными манипуляциями, было начато самим Г. Аппельротом [4], а в наиболее полном виде выполнено донецким механиком А. И. Докшевичем [72]. Приведем часть его результатов, в основном касающихся периодических и асимптотических движений (наиболее важных для динамики) и попытаемся прояснить их механический смысл.
Всего имеется четыре класса Аппельрота.

I. Решение Делоне [70] – для него $k^{2}=0, h>c^{2}$ и появляется два инвариантных соотношения
\[
\frac{M_{1}^{2}-M_{2}^{2}}{2}+x \gamma_{1}=0, \quad M_{1} M_{2}+x \gamma_{2}=0,
\]

определяющих периодическое решение уравнений Эйлера-Пуассона.

Рис. 32. Фазовый портрет (сечение плоскостью $g=\pi / 2$ ) для случая Ковалевской при нулевой постоянной площадей $c=0$. Показаны три качественно различных типа фазового портрета. Из рисунков хорошо видно, какие перестройки портретов и бифуркации периодических решений происходят при пересечении критических уровней энергии $h=0$ и $h=1$. (Серым цветом закрашена нефизическая область значений $l, L / G$ при заданных значениях интегралов $h, c$.)

Оказывается, что движение в этом случае при нулевой постоянной площадей $c=0$ является периодическим не только для приведенной системы (на сфере Пуассона), но и в абсолютном пространстве [60] (см. рис. 36-39).

Рис. 33. Фазовый портрет (сечение плоскостью $g=\pi$ ) для случая Ковалевской при $c=1.15$ и фиксированных значениях энергии $h$, которым соответствуют фазовые портреты качественно различного типа. Переменные $l$ и $L / G$ соответствуют цилиндрической развертке сферы и фазовый портрет симметричен относительно меридиана $l=\pi / 2, \frac{3}{4} \pi$. (Бифуркационная диаграмма на правом рисунке приведена схематично, без соблюдения масштабов.)

Для получения явной квадратуры, на уровне интегралов и инвариантных соотношений (4.4) выразим все переменные через $M_{1}$
\[
\begin{array}{c}
M_{2}^{2}=2 z-M_{1}^{2}, \quad M_{3}^{2}=h-M_{1}^{2} \\
x \gamma_{1}=-M_{1}^{2}+z, \quad x \gamma_{1}=-M_{1}\left(2 z-M_{1}\right)^{1 / 2}, \quad x \gamma_{3}=\left(x^{2}-z^{2}\right)^{1 / 2} \\
z=\frac{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}}{2}=\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right)^{1 / 2}=x \frac{-c M_{1} \pm \sqrt{\left(h-c^{2}\right)\left(h-M_{1}^{2}\right)}}{h} .
\end{array}
\]

При этом для $M_{1}$ получается квадратура
\[
\dot{M}_{1}=M_{2} M_{3}=\left(\left(h-M_{1}^{2}\right)\left(2 z-M_{1}^{2}\right)\right)^{1 / 2},
\]

которая при $h=c^{2}$ является эллиптической. При $c=0$ можно также получить более простое явное решение, если вместо $M_{1}$ использовать переменную $M_{3}$.

Из рисунка 31 следует, что при увеличении $c$ до $c=\left(\frac{3}{4}\right)^{3 / 4}$ ветка IV класса Аппельрота «врезается» в решение Делоне и при дальнейшем увеличении $c$ до $c^{2}<2$ разбивает его на три части. При $c^{2}=2$ в точке $h=2$, $k^{2}=0$ сливаются друг с другом ветки всех четырех классов Аппельрота. Точке их пересечения соответствует неустойчивая неподвижная точка на сфере Пуассона (вращение Штауде) (см. § 6 гл. 2) и асимптотическое к ней одномерное движение, которое легко вычисляется из (4.6) в элементарных функциях
\[
M_{1}=\sqrt{2 x} \frac{3+\operatorname{ch}^{2} u=4 \operatorname{ch} u}{9-\mathrm{ch}^{2} u}, \quad u=2 \sqrt{x} t .
\]

При $c^{2}>2$ одна ветка IV класса также «врезается» в решение Делоне, а другая сго вствь псрссскаст часть параболы, соотвстствующую II классу.
II. Решения второго класса тежат на нижней ветви параболы $\left(h-c^{2}\right)^{2}=k^{2}$, при этом $\frac{1}{2} c^{2}-1 \leqslant h \leqslant c^{2}$. При $c=0$ этому классу принадлежат устойчивые периодические траектории, а тело совершает плоские колебания в меридиональной плоскости, проходящей через центр масс, и выполнены условия $M_{1}=M_{3}=0, \gamma_{2}=0$.
При $c
eq 0$ имеются дополнительные инвариантные соотношения
\[
M_{3}=c \gamma_{3}, \quad M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+\frac{M_{1}}{c}=k,
\]

а явное интегрирование выполнено в [72]. Начиная с $c>\sqrt{2}$, ветви II и IV классов начинают пересекаться.

III. Этому классу соответствует ветвь параболы выше точки касания с осью $k^{2}=0$, которая удовлетворяет условиям
\[
\left(h-c^{2}\right)^{2}=k^{2}, \quad c^{2} \leqslant h \leqslant c^{2}+\frac{1}{2 c^{2}} .
\]

При $c=0$ эти условия определяют всю верхнюю ветвь параболы, а при $c
eq 0$ эта ветвь ограничивается сверху одной из ветвей IV-го класса.

Физически III класс соответствует неустойчивым периодическим и асимптотическим к ним решениям. При $c=0$ периодическое движение для части ветви III а) является колебаниями физического маятника в меридиональной плоскости, проходящей через центр масс, а для части III b) вращениями в этой же плоскости. Эти решения сходятся в точке $h=1$, которая является верхним неустойчивым положением равновесия. Его неустойчивость может быть строго доказана различными способами [152]. Далее это доказательство будет получено путем явного построения асимптотического решения.

Воспользуемся следующей параметризацией общего уровня интегралов движения, соответствующего третьему классу Аппельрота при нулевой постоянной площадей $c=0$ [72]
\[
\begin{aligned}
M_{1}=\sqrt{M_{1}^{2}+M_{3}^{2}} \sin \varphi, & M_{3} & =\sqrt{M_{1}^{2}+M_{3}^{2}} \cos \varphi, \\
k_{1}=k \cos 2 \theta, & k_{2} & =k \sin 2 \theta,
\end{aligned}
\]

где $k_{1}=\gamma_{1}+\frac{M_{1}^{2}-M_{2}^{2}}{2}, k_{2}=\gamma_{2}+M_{1} M_{2}$ (при $x=1$ ), причем интеграл Ковалевской имеет форму $k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=k^{2}$.
Дифференцируя $\varphi$ по времени, получим
\[
\dot{\varphi}=M_{2}-\frac{M_{1} k_{2}}{M_{1}^{2}+M_{3}^{2}} .
\]

После еще одного дифференцирования (4.11) и исключения $M_{2}$ при помощи (4.11), учитывая $h=k>0$, имеем
\[
2 \ddot{\varphi} \cos \varphi+\dot{\varphi} \sin \varphi=2 h \cos ^{2} \varphi \sin \varphi .
\]

Домножив (4.12) на $\frac{\dot{\varphi}}{\cos ^{2} \varphi}$ и проинтегрировав по времени, получаем
\[
\frac{\dot{\varphi}^{2}}{\cos \varphi}+2 h \cos \varphi=c_{1}=\text { const. }
\]

Постоянная интегрирования находится из условия $\varphi=0$, при котором $M_{1}=0, \dot{\varphi}=M_{2}$, а поэтому $c_{1}^{2}=4 x^{2}$. Таким образом,
\[
\dot{\varphi}^{2}=2(x-k \cos \varphi) \cos \varphi, \quad k>0 .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ. При $c
eq 0$ для аналогичной (но несколько другой) угловой переменной получается уравнение [72]
\[
\dot{\varphi}^{2}=2\left(x-\left(k+c^{2}\right) \cos \varphi\right) \cos \varphi \text {. }
\]

Для угла $\theta$ получается уравнение
\[
\dot{\theta}=-M_{3}=-\sqrt{M_{1}^{2}+M_{3}^{2}} \cos \varphi,
\]

которое после учета интеграла энергии $M_{1}^{2}+M_{3}^{2}-k_{1}=h$ и условия $h=k$, приводящих к равенству $\sqrt{M_{1}^{2}+M_{3}^{2}}= \pm \sqrt{2 k} \cos \theta$, сводится к следующемy
\[
\dot{\theta}=\sqrt{2 k} \cos \varphi \cos \theta .
\]

После замены $\cos \theta=(\operatorname{ch} u)^{-1}$ его можно записать в виде
\[
\dot{u}=\sqrt{2 \hbar} \cos \varphi .
\]

Таким образом, полная система уравнений, определяющая асимптотические траектории III класса Аппельрога при условиях $c=0, h=k>0$ приводится к виду
\[
\begin{array}{c}
2 \dot{\zeta}=\left(1-\zeta^{2}\right)\left(x-k+(x+k) \zeta^{2}\right), \quad \zeta=\operatorname{tg} \frac{\varphi}{2} \\
\dot{u}=\sqrt{2 k} \cos \varphi, \quad \operatorname{ch} u=(\cos \theta)^{-1} .
\end{array}
\]

Ее решения имеют вид
1. $k<x, \quad \zeta=\operatorname{cn}\left(\sqrt{x} t, k_{0}\right), \quad k_{0}^{2}=\frac{x+k}{2 x}$,
2. $k>x, \quad \zeta=\operatorname{dn}\left(\sqrt{\frac{x+k}{2}} t, k_{0}\right), \quad k_{0}^{2}=\frac{2 x}{x+k}$,
3. $k=x, \quad \zeta=(\operatorname{ch} \sqrt{x} t)^{-1}$,

где $k_{0}$ – модуль соответствующих эллиптических функций Якоби.
Используя 1-3, можно показать, что $\dot{u}$ является знакопостоянной функцией, т. е. эти решения в случае 1-2 описывают асимптотические движения к периодическому решению, а в случае 3 – к неподвижной точке. (Аналитические квадратуры в случае $c
eq 0$ являются более громоздкими [72].)

IV. Этот класс состоит из двух ветвей (см. рис. 31), одна из которых соответствует устойчивым периодическим движениям, а другая – неустойчивым и сепаратрисам. При $c=0$ эти ветви сходятся в точке $k^{2}=x^{2}=1$, $h=0$.
При $c
eq 0$ параметрические уравнения ветвей имеют вид
\[
\begin{array}{cr}
k^{2}=1+t c+\frac{t^{4}}{4}, \quad h=\frac{t^{2}}{2}-\frac{c}{t}, \\
t \in(-\infty, 0) \cup(c,+\infty), & \text { при } \quad c>0, \\
t \in(-\infty,+\infty) \backslash\{0\}, & \text { при } c<0,
\end{array}
\]

при $c=0$
1. $k^{2}=x^{2}, \quad h<0, \quad h^{2}=k^{2}+x^{2} \quad$ (ветвь IVa);
2. $k^{2}=x^{2}, \quad h>0$ (ветвь IVb).

Устойчивые и неустойчивые периодические решения для IV класса Аппельрота в случае Ковалевской (а также в более общем случае, когда тензор инерции имеет вид $\mathbf{I}=\operatorname{diag}(1, a, 2), a=$ const, а само решение при этом не зависит от $a$ ) были найдены Д. К. Бобылевым [15] и В.А.Стекловым [161] (см. также $\S 6$ ).

Решение Бобылева-Стеклова. Для этого решения всегда выполнены соотношения
\[
M_{2}=0, \quad M_{1}=m=\text { const },
\]

которые позволяют выразить $\gamma$ через $M_{3}$
\[
\gamma_{1}=\frac{c}{m}-M_{3}^{2}, \quad \gamma_{2}=\left(k^{2}-\left(\frac{1}{2} m^{2}-\frac{c}{m}+M_{3}^{2}\right)^{2}\right)^{1 / 2}, \quad \gamma_{3}=m M_{3}
\]

и получить эллиптическую квадратуру для $M_{3}$
\[
\dot{M}_{3}=-\left(k^{2}-\left(\frac{1}{2} m^{2}-\frac{c}{m}+M_{3}^{2}\right)^{2}\right)^{1 / 2} .
\]

При этом $h$ и $k^{2}$ заданы параметрическим уравнением
\[
h=\frac{1}{2} m^{2}-\frac{c}{m}, \quad k^{2}=1+\frac{1}{2} m^{4}+c m,
\]
т. е. совпадают с (4.15). При $c=0$ в четвертом классе появляются движения, соответствующие колебаниям и вращениям по закону физического маятника в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Для этих решений
\[
M_{1}=m=0, \quad \gamma_{3}=0, \quad \dot{M}_{3}=-\left(1-\left(h-M_{3}^{2}\right)^{2}\right)^{1 / 2} .
\]

Асимптотические решения для произвольных значений $c
eq 0$ найдены в [72], но являются очень громоздкими. Укажем эти решения при дополнительных условиях
\[
k^{2}=x^{2}, \quad h>0, \quad c=0 .
\]

Для этого используем найденное А. И. Докшевичем любопытное инволютивное преобразование $(\boldsymbol{M}, \gamma) \mapsto(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{s})$ (квадрат которого является тождественным):
\[
\begin{aligned}
L_{1} & =-\frac{M_{1}}{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}}, & s_{1} & =-\gamma_{1}+2 x \gamma_{3}^{2} \frac{M_{1}^{2}-M_{2}^{2}}{\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)^{2}}, \\
L_{2} & =-\frac{M_{2}}{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}}, & s_{2} & =-\gamma_{2}+4 x \gamma_{3}^{2} \frac{M_{1} M_{2}}{\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)^{2}}, \\
L_{3} & =M_{3}+2 x \gamma_{3} \frac{M_{1}}{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}}, & s_{3} & =\frac{\gamma_{3}}{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}} .
\end{aligned}
\]

В новых переменных $(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{s})$ уравнения движения имеют вид
\[
\begin{array}{ll}
\dot{L}_{1}=L_{2} L_{3}, & \dot{s}_{1}=2 L_{3} s_{2}-4\left(k^{2}-x^{2}\right) s_{3} L_{2}, \\
\dot{L}_{2}=-L_{1} L_{3}-x s_{3}, & \dot{s}_{2}=-2 L_{3} s_{1}+4\left(k^{2}-x^{2}\right) s_{1} L_{3}, \\
\dot{L}_{3}=-2 x c L_{2}+x s_{2}, & \dot{s}_{3}=s_{1} L_{2}-s_{2} L_{1} .
\end{array}
\]

При условии (4.17) в системе (4.19) уравнения для $L_{3}, s_{1}, s_{2}$ отделяются и сводятся к квадратурам
\[
\begin{array}{c}
s_{2}=\left(1-s_{1}^{2}\right)^{1 / 2}, \quad L_{3}=\left(h+x s_{1}\right)^{1 / 2}, \\
\dot{s}_{1}=2 \sqrt{\left(h+x s_{1}\right)\left(1-s_{1}^{2}\right) .} .
\end{array}
\]

Для получения решения полной системы (4.19) оказывается достаточно найти решение линейного уравнения второго порядка с коэффициентами, явно зависящими от времени
\[
\begin{array}{c}
L_{1}=s_{1}^{-1}\left(-L_{3} s_{3} \mp s_{2} \sqrt{h s_{3}^{2}-\frac{1}{4 x} s_{1}}\right), \quad L_{2}=\sqrt{h s_{3}^{2}-\frac{1}{4 x} s_{1}}, \\
\ddot{s}_{3}=-x\left(1+2 s_{1}\right) s_{3} .
\end{array}
\]

Уравнения (4.20), (4.21) описывают асимптотические решения к периодическим движениям при условиях (4.17) (см. рис. 45).

При $h=x$, что соответствует энергии верхнего неустойчивого положения равновесия, получим еще одно (в дополнение к III-му классу) асимптотическое к нему решение в элементарных функциях
\[
s_{1}=1-2 \operatorname{th} u, \quad s_{2}=2 \frac{\operatorname{th} u}{\operatorname{ch} u}, \quad L_{3}=-\frac{\sqrt{2 x}}{\operatorname{ch} u}, \quad u=\sqrt{2 x} t .
\]

Классы Аппельрота определяют наиболее простые движения как в приведенном, так и в абсолютном фазовом пространстве. Остальные движения волчка Ковалевской имеют квазипериодический характер и зависят от соответствующей области бифуркационной диаграммы. При возмущении случая Ковалевской вблизи неустойчивых решений и их сепаратрис возникает стохастический слой (рис. 63). К сожалению, приведенные в этом параграфе (асимптотические) решения по разным соображениями не позволили пока продвинуться в аналитическом исследовании неинтегрируемости возмущенного волчка Ковалевской (вариационными методами при $c=0$ доказательство неинтегрируемости получено в [22]).

3. Фазовый портрет и визуализация особозамечательных решений

При каждом фиксированном значении постоянной площадей $(\boldsymbol{M}, \gamma)=c$, задающем различные типы бифуркационных диаграмм на плоскости $\left(k^{2}, h\right)$, существует свой набор фазовых портретов. Фиксируя уровень энергии $h$, мы получим несколько различных типов фазовых портретов, которые задаются пересечениями прямой $h=$ const с бифуркационной диаграммой. Здесь мы приводим две серии фазовых портретов, соответствующих наиболее простой (при $c=0$, рис. 32) и наиболее сложной (при $1<c<\left(\frac{4}{3}\right)^{3 / 4}$, рис. 33) бифуркационным диаграммам. Далее приводится также вид некоторых «особозамечательных» решений на сфере Пуассона и в абсолютном пространстве.

ЗАМЕЧАНИЕ. Исследование топологии инвариантных торов с помощью сечений Пуанкаре выполнено также в [205], в других переменных и без прояснения механического смысла различных движений (в частности, анализа устойчивости).

Фазовый портрет при $c=0$. В этом случае бифуркационная диаграмма состоит из двух кусков парабол и двух прямых (см. рис. $31 a$ ). Физический смысл ветвей, соответствующих параболе $h^{2}=k^{2}$ и прямой $k^{2}=1$, особенно прост и описан выше. На параболе находятся решения, описывающие плоские колебания и вращения твердого тела в меридиональной

плоскости (вокруг оси $O y$, перпендикулярной оси $O x$, на которой располагается центр масс), а на прямой – плоские колебания и вращения в экваториальной плоскости (вокруг оси $O z$ ). На оставшихся ветвях $k^{2}=0$ и $h^{2}=k^{2}-1$ располагаются соответственно решения Делоне и Бобылева-Стеклова.

Выше мы привели фазовые портреты с указанием, в каком месте бифуркационной диаграммы они находятся. Как следует из рисунка $31 a$ ), существуют три интервала для постоянной энергии $h:(-1,0),(0,1),(1, \infty)$, каждому из которых соответствуют качественно различные типы фазовых портретов (см. рис. 32).

Фазовый портрет при $c=1.15\left(1<c<\left(\frac{4}{3}\right)^{3 / 4}\right)$. При помощи бифуркационной диаграммы (рис. $31 c$ ) можно установить, что существует пять интервалов энергий, каждому из которых соответствует свой тип фазового портрета (см. рис. 33). В этом случае периодические решения, соответствующие ветвям бифуркационной диаграммы, не имеют такого простого вида, как при $c=0$, хотя и приближаются к ним при $h \gg c$.

Рис. 34. Решение Делоне. Движение орта $\gamma$ при нулевой постоянной площадей $(c=0)$ и различных значениях энергии.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для построения фазовых портретов мы используем сечения Пуанкаре в переменных Андуайе-Депри, описанных в § 3 гл. 1. Для $c=0$ секущую плоскость мы выбираем в виде $g=\frac{\pi}{2}$, а для $c=1.15$ выбираем $g=\pi$. Это связано

Рис. 35. Решение Делоне. Движение орта $\gamma$ при ненулевой постоянной площадей $(c=1.15$ ) и различных значениях энергии $h$.

с тем, что в этом случае не все периодические решения пересекают плоскость $g=\frac{\pi}{2}$. Отметим также разный тип симметрии фазовых портретов на сфере $(l, L / G)$ : так при $g=\frac{\pi}{2}$ – портрет симметричен относительно экватора (оси $L / G=0$ ), а при $g=\pi$ – относительно меридианальной плоскости $\left(l=\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2} \pi\right.$ ).

Перейдем к визуализации в приведенном и абсолютном пространстве некоторых наиболее интересных движений твердого тела.

Решение Делоне $\left(k^{2}=0\right)$. В этом случае траектория орта вертикали $\gamma$ на сфере Пуассона представляет собой кривые типа восьмерки (см. рис. 34,35 ), причем при $c=0$ (рис. 34) точки самопересечения этих «восьмерок» совпадают и имеют координаты $\gamma=(1,0,0)$. Эта точка определяет нижнее положение центра масс тела. При увеличении $с$ на сфере Пуассона также возникают неправильные «восьмерки», все они пересекаются в двух точках на экваторе сферы Пуассона (см. рис. 35).

Известно, что при $c=0$ решение Делоне определяет периодические движения не только в приведенной системе, но и в абсолютном пространстве [61]. При $c
eq 0$ – это уже не справедливо и движение тела в абсолютном пространстве является квазипериодическим. На рисунках 36-39 показаны траектории трех апексов твердого тела при $c=0$ и различных значениях энергии. На всех рисунках неподвижные оси $O X Y Z$ развернуты произвольно, чтобы лучше показать получившиеся траектории.

Рис. 36. Решение Делоне. Движение апексов в неподвижной системе координат при нулевой константе площадей ( $c=0$ ).
Рис. 37. Решение Делоне. Движение апекса центра масс при $c=0$ и различных $h$.

Рис. 38. Решение Делоне. Движение апекса, лежащего в экваториальной плоскости перпендикулярно радиус-вектору центра масс при $c=0$ и различных $h$.

Решение Бобылева-Стеклова. Решение Бобылева-Стеклова на бифуркационной диаграмме (см. рис. 31) находится на нижней правой ветви и ему соответствует устойчивое периодическое решение на сфере Пуассона (см. рис. 40,41 ).
Рис. 39. Решение Делоне. Движение апекса оси динамической симметрии при $c=0$ и различных $h$.

Рис. 40. Решение Бобылева-Стеклова. Двнжение орта вертикали на сфере Пуассона при $c=0$ и различных значениях энергии.

Рис. 41. Решение Бобылева-Стеклова. Движение орта вертикали на сфере Пуассона при $c
eq 0(c=1.15)$ и различных значениях энергии.

Рис. 42. Решение Бобылева-Стеклова. Движение апекса, проходящего через центр масс в неподвижном пространстве при $c=0$ и различных $h$.
Рис. 43. Решение Бобылева-Стеклова. Движение апекса, проходящего через центр масс в неподвижном пространстве при $c

eq 0(c=1.15)$ и различных $h$.
Из рис. 40 хорошо видно, что при $c=0$ все траектории на сфере Пуассона проходят через точки экватора $(0,1,0)$ и $(0,-1,0)$, не пересекая при этом меридианальной плоскости $\gamma_{1}=0$. Этому соответствует замечательное движение центра масс в абсолютном пространстве – он описывает кривые с точками возврата, которые при любых энергиях лежат на экваторе (см. рис. 42).

При $c
eq 0$ траектории на сфере Пуассона приведены на рис. 41, в этом случае апекс центра масс описывает в неподвижном пространстве кривые с точками возврата, лежащими на одной широте, которая зависит от постоянной энергии $h$ (см. рис. 43). Физически решение Бобылева-Стеклова может быть реализовано следующим образом – тело закручивают вокруг оси, проходящей через центр масс и произвольно расположенной в абсолютном пространстве, и отпускают без начального толчка.

ЗАМЕЧАНИЕ. Движение остальных апексов в неподвижном пространстве достаточно запутанно, поэтому мы его не приводим.

Неустойчивые периодические решения и сепаратрисы для случая Ковалевской имеют довольно запутанный вид как на сфере Пуассона, так и в неподвижном пространстве. На рис. 45 приведены траектории движения, соответствующие сепаратрисам при $c
eq 0$ ( $c=1.15)$ и одном и том

же значении энергии $h=2$. Хорошо видно, что траектория большую часть времени проводит вблизи периодического решения, на рисунке этому соответствует более плотная закраска в этой области.

Эти траектории в некотором смысле представляют всю сложность интегрируемого случая Ковалевской, некоторые движения в котором имеют визуально хаотический характер (в абсолютном пространстве движение выглядит еще более неупорядоченным).

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Укажем еще одно представление интеграла Ковалевской в виде суммы квадратов. Для этого воспользуемся проекциями момента на полуподвижные оси
\[
S_{1}=M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}, \quad S_{3}=M_{1} \gamma_{2}-M_{2} \gamma_{1} .
\]

Можно показать, что интеграл Ковалевской допускает запись в форме
\[
F=\left(\frac{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}}{2}\right)^{2}+x\left(M_{1} S_{1}+M_{2} S_{2}\right)+x^{2}\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right) .
\]

Полагая $\boldsymbol{S}=\left(S_{1}, S_{2}\right)$ и $\widetilde{\boldsymbol{M}}=\left(M_{1}, M_{2}\right)$ – двумерными векторами, угол между ними обозначим через $\lambda$ (см. рис. 44). Учитывая, что $\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}=\sin ^{2} \theta$, где $\theta-$ угол между вертикалью и осью симметрии эллипсоида инерции, запишем интеграл Ковалевской в форме
\[
F=\frac{1}{4} G^{4} \sin ^{2} \lambda+\left(\frac{G^{2} \cos \lambda}{2}+x \sin \theta\right)^{2}=k^{2}, \quad G^{2}=M^{2} .
\]

Рис. 44
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Укажем также любопытное нелинейное преобразование, сохраняющее структуру алгебры $s o(3)$ :
\[
K_{1}=\frac{M_{1}^{2}-M_{2}^{2}}{2 \sqrt{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}}}, \quad K_{2}=\frac{M_{1} M_{2}}{\sqrt{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}}}, \quad K_{3}=\frac{1}{2} M_{3} .
\]

Можно показать, что с точки зрения канонических переменных Андуайе-Депри оно соответствует каноническому преобразованию типа $(L, l) \mapsto\left(\frac{L}{2}, 2 l\right)$.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. В работах $[224,268]$ указано семейство систем на сфере $S^{2}$, допускающих интеграл четвертой степени по моментам, не сводящийся к случаю Ковалевской (или к его обобщению, указанному Горячевым). В работе [267] аналогичная конструкция предложена для систем с интегралом третьей степени. Отметим только, что в этих работах не приведено ни одного явного вида дополнительного интеграла, а соответствующее семейство определяется в итоге решения некоторого дифференциального уравнения, для которого устанавливаются теоремы существования.

Рис. 45. Траектории на сфере Пуассона для решений, асимптотических к неустойчивым периодическим решениям.

4. Исторические комментарии

Метод Ковалевской. С.В.Ковалевская обнаружила общий случай интегрируемости, руководствуясь не какими-либо физическими соображениями, а развивая идеи К. Вейершрасса, П. Пенлеве и А. Пуанкаре об исследовании аналитического продолжения решений системы обыкновенных дифференџиальных уравнений в комплексную плоскость времени. С. В. Ковалевская предположила, что в интегрируемых случаях общее решение на комплексной плоскости не имеет других особенностей, кроме полюсов. Это дало возможность найти условия, при которых существует дополнительный интеграл. Кроме нахожде-

ния самого первого интеграла С.В.Козалевская нашла далеко не очевидную систему переменных, в которых уравнения имеют вид Абеля – Якоби, а также получила явное решение в тэта-функџиях. До сих пор сведение к квадратурам случая Ковалевской считается очень сложным и не поддается какому-либо сушественному упрошению.
А. М. Ляпунов в работе [116] уточнил анализ Ковалевской (им занимался также Г.Г.Аппельрот [3] в ответ на критику работ Ковалевской академиком А. А. Марковым), потребовав для интегрируемости однозначности (мероморфность) общего решения как комплексной функџии времени, изучая решения уравнения в вариаџиях. Метод Ляпунова несколько отличается от подхода Ковалевской, который далее был развит в работах М. Адлера, П. ван Мёрбеке, связавших наличие полнопараметрического семейства однозначных лорановских (полюсных) разложений с алебраической интегрируемостью системы (в некотором узком смысле [186, 187]). Наиболее полный анализ полнопараметрических разложений в уравнениях Эйлера – Пуассона содержится в работе [243]. Классическое изложение результатов Ковалевской и Ляпунова имеется в нескольких учебниках [9, 59].

Соображения Ковалевской заложили основу нового метода анализа системы на интегрируемость и в то же время явились первым образџом поиска препятствий к интегрируемости, выросших в последнее время в отдельное направление исследований [97]. Отметим также, что несмотря на отдельные строгие результаты, связываюшие ветвление общего решения с несушествованием первых интегралов [97], метод Ковалевской все же остается тестом на интегрируемость, он во многом неоднозначен и его применение в различных задачах требует определенного искусства и дополнительных соображений. В физической литературе этот метод обычно называется тестом ПенлевеКовалевской.

Случай Ковалевской, его анализ и обобщения. Геометрическую интерпретаџию случая Ковалевской, не являюшуюся, однако, достаточно естественной, и свой способ сведения к квадратурам случая Ковалевской предложил Н.Е.Жуковский [76]. Он также использовал переменные Ковалевской для построения некоторых криволинейных координат на плоскости (плоскость $M_{1}, M_{2}$ ), соответствующих разделяющимся переменным волчка Ковалевской. Его рассуждения упростили В. Танненберг и Г. К. Суслов $[163,274]$.
Ф. Кёттер также несколько упростил метод явного интегрирования случая Ковалевской [233, 235] и предложил исследовать движение в равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси системе координат. С современных позиџий введение переменных Ковалевской и сведение к уравнениям Абеля обсуждается в [92]. Качественный анализ движения оси динамической сим-

метрии приведен в [92], топологический и бифуркаџионный анализ содержится в [170]. Переменные действие-угол для волчка Ковалевской построены в [54] (см. также [106, 204]). Мы приводим их в §8, гл. 5. Н.И.Мерџалов проделал натурные эксперименты, не выявив, однако, каких-либо особенностей в движении волчка [69].
Г.В.Колосов проинтегрировал случай Ковалевской, сведя его при помоџи нелинейного преобразования переменных и времени к задаче о движении точки на плоскости в потенџиале, допускающем разделение переменных. Это известная аналогия Колосова, ее классический вариант и новые обобщения рассмотрены нами в §8 гл. 5. Отметим также, что Г.В.Колосов изучал в работе [103] траекторию конџа вектора кинетического момента, указав ее регулярные особенности.

Строение комплексных торов с помошью методов алгебраической геометрии исследовано в [212, 134]. Бифуркаџионные диаграммы для случая Ковалевской в связи с аналогией Колосова рассматриваются в [217].

Квантование волчка Ковалевской также является вопросом, обсуждаемым уже с момента создания квантовой механики (Лапорте, 1933), но до сих пор в нем нет полной ясности [106, 258]. В работе [204] выписано уравнение Пикара-Фукса, возникающее при интегрировании случая Ковалевской. Первое представление Лакса для $n$-мерного случая Ковалевской, не содержащее спектрального параметра, было построено А. М. Переломовым [142]. Представление, содержаџее спектральный параметр в общей постановке (при движении в двух однородных полях), предложено А.Г. Рейманом, М. А. СеменовымТян-Шанским [147]. Это обобщение случая Ковалевской до сих пор мало изучено (в частности, оно не проинтегрировано в квадратурах, отсутствует также топологический и качественный анализ).