1. Уравнения Пуанкаре

Наиболее естественные и удобные для исследований формы уравнений движения твердого тела могут быть получены из общих уравнений динамики в квазикоординатах. Лагранжева форма этих уравнений была установлена А. Пуанкаре [255], а гамильтонова – Н. Г. Четаевым [181]. Их возможные обобщения для неголономной ситуации рассматривались в [91, 154]. В динамике твердого тела уравнения Пуанкаре-Четаева приводят к гамильтоновым уравнениям с линейным структурным тензором, т. е. к только что рассматривавшейся структуре Ли-Пуассона (см. §1). Приведем здесь свой вывод уравнений Пуанкаре и Пуанкаре-Четаева, т. к. их обсуждение отсутствует в доступной литературе.

Рассмотрим уравнения движения лагранжевой динамической системы, определенной обобщенными избыточными координатами $\boldsymbol{q}=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ (вообще говоря, зависимыми, то есть на них наложены $m<n$ голономных связей вида $\left.f_{j}(\boldsymbol{q})=0, j=1, \ldots, m\right)$ и квазискоростями $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{k}\right)$, которые выражаются через обобщенные скорости $\dot{q}_{i}$ по формулам
\[
\dot{q}_{i}=\sum_{s=1}^{k} v_{i}^{s}(\boldsymbol{q}) \omega_{s}, \quad i=1, \ldots, n .
\]

При этом предполагается, что все голономные связи учтены, то есть
\[
\left(
abla f_{j}, \dot{\boldsymbol{q}}\right)=\sum_{i, s} v_{i}^{s}(\boldsymbol{q}) \omega_{s} \frac{\partial f_{j}}{\partial q_{i}} \equiv 0, \quad j=1, \ldots m .
\]

В случае $k>n-m$ это условие приводит к тому, что между квазискоростями выполнены линейные по $\omega_{i}$ соотношения.

Величины $\omega_{s}$ называются параметрами Пуанкаре и представляют собой компоненты скорости системы в (вообще говоря) неголономном базисе векторных полей
\[
\boldsymbol{v}^{s}=\sum_{i} v_{i}^{s}(\boldsymbol{q}) \frac{\partial}{\partial q_{i}} .
\]

Предположим, что векторные поля образуют замкнутую систему
\[
\left[\boldsymbol{v}^{i}, \boldsymbol{v}^{j}\right]=c_{i j}^{s}(\boldsymbol{q}) \boldsymbol{v}^{s}, \quad i, j, s=1, \ldots, k .
\]

В случае $k \leqslant n$ это условие является следствием интегрируемости связей [135]. Если все $c_{i j}^{s}$ являются постоянными, то поля $\boldsymbol{v}^{s}$ определяют некоторую конечномерную алгебру Ли. Уравнения движения в переменных $\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \omega_{1}, \ldots, \omega_{k}\right)$ в лагранжевой форме имеют вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \omega_{i}}\right)=\sum_{r, s} c_{r i}^{s} \omega_{r} \frac{\partial L}{\partial \omega_{s}}+\boldsymbol{v}^{i}(L), \quad i=1, \ldots, k,
\]

и называются уравнениями Пуанкаре, совместно с (2.1) они образуют полную систему уравнений движения. В формуле (2.4) дифференцирование вдоль векторного поля $\boldsymbol{v}^{i}$ определено с помощью формулы (2.2).

Если функция Лагранжа является однородной квадратичной формой от ее угловых скоростей (например, кинетическая энергия), то $v_{i}(L)=0$, и система (2.4) для определения $\omega$ отделяется и интегрируется отдельно. В этом случае уравнения (2.4) называются уравнениями Эйлера-Пуанкаре.

Пуанкаре получил свои уравнения, используя вариационный принцип Гамильтона [255]. Приведем вывод уравнений (2.4) непосредственно из уравнений Эйлера Лагранжа для случая, когда число компонент квазискорости $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{k}\right)$ совпадает с размерностью конфигурационного $M^{k}$ пространства, определяемого связями $f_{j}(\boldsymbol{q})=0, j=1, \ldots, m$, т. е. $k=n-m$.

Введем локальные координаты $x_{i}$ на $M^{k}$, для которых уравнения Эйлера-Лагранжа можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}\right)-\left(\frac{\partial L}{\partial x_{i}}\right)=0, \quad i=1, \ldots, k .
\]

Согласно (2.1), (2.2) справедливы следующие соотношения
\[
\begin{array}{c}
\omega_{s}=\sum_{i=1}^{k} a_{s}^{i} \dot{x}_{i}, \quad \dot{x_{i}}=\sum_{s=1}^{k} b_{i}^{s} \omega_{s}, \\
\boldsymbol{v}^{s}=\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{s} \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \quad i, s=1, \ldots, k,
\end{array}
\]

где $\mathbf{A}=\left\|a_{s}^{i}\right\|, \mathbf{B}=\left\|b_{i}^{s}\right\|$ – взаимнообратные матрицы ( $\mathbf{A B}=\mathbf{E}$ ). Обозначим функцию Лагранжа, выраженную через квазискорости в виде
\[
\tilde{L}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\omega})=L(\boldsymbol{x}, \dot{\boldsymbol{x}}) .
\]

Используя (2.6), находим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial L}{\partial x_{i}}=\frac{\partial \tilde{L}}{\partial x_{i}}+\sum_{k, s} \dot{x}_{k} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial \omega_{s}} \frac{\partial b_{s}^{k}}{\partial x_{i}}, \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{x_{i}}}=\sum_{s} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial \omega_{s}} b_{s}^{i}, \quad i=1, \ldots, k .
\end{array}
\]

Подставим (2.8) в уравнения (2.5) и умножим их на матриџу $\mathbf{A}$, в получившейся системе сделаем замену (2.6) и воспользуемся следующим представлением для структурных коэффициентов в (2.3):
\[
c_{s p}^{r}(x)=\sum_{k, i} a_{r}^{k}\left(b_{i}^{s} \frac{\partial b_{k}^{p}}{\partial x_{i}}-b_{i}^{p} \frac{\partial b_{k}^{s}}{\partial x_{i}}\right) .
\]

После приведения подобных членов получим уравнения (2.4).
Для случая, когда число квазискоростей больше размерности конфигурационного пространства, рассуждения несколько усложняются вследствие того, что матрицы А, В не квадратные и не имеют обратных.

2. Уравнения Пуанкаре-Четаева
Н.Г. Четаев видоизменил уравнения Пуанкаре (2.4), (2.1), воспользовавшись преобразованием Лежандра:
\[
\begin{array}{c}
M_{i}=\frac{\partial L}{\partial \omega_{i}} \\
\sum_{i} \omega_{i} M_{i}-\left.L\right|_{\boldsymbol{\omega} \rightarrow \boldsymbol{M}}=H(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{q}) .
\end{array}
\]

Переменные $M_{i}$ имеют смысл «квазиимпульсов». При этом $\omega_{i}=\partial H / \partial M_{i}$ и уравнения (2.4) можно записать в виде:
\[
\dot{M}_{i}=\sum_{r s} c_{r i}^{s} \frac{\partial H}{\partial M_{r}} M_{s}-v^{i}(H), \quad i=1, \ldots, k .
\]

Чтобы получить замкнутую систему, надо добавить к (2.10) уравнения (2.1) в форме
\[
\dot{q}_{i}=\sum_{s} v_{i}^{s}(\boldsymbol{q}) \frac{\partial H}{\partial M_{s}}, \quad i=1, \ldots, n .
\]

Система уравнений (2.10), (2.11) является гамильтоновой с, вообще говоря, вырожденной скобкой Пуассона, определяемой для произвольных функций $f(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{q}), g(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{q})$ формулой [181]
\[
\{f, g\}=\sum_{i}\left(\frac{\partial g}{\partial M_{i}} v^{i}(f)-\frac{\partial f}{\partial M_{i}} v^{i}(g)\right)+\sum_{s i j} c_{i j}^{s} \frac{\partial f}{\partial M_{j}} \frac{\partial g}{\partial M_{i}} M_{s} .
\]

Нетрудно проверить, что эта скобка удовлетворяет всем необходимым условиям $1^{\circ}-4^{\circ}$ ( $\S 1$, п. 1). Из соотношения (2.12) легко получить структурную матрицу $J^{i j}$ :
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\sum_{s} c_{i j}^{s}(\boldsymbol{q}) M_{s}, \\
\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0, \quad\left\{q_{i}, M_{j}\right\}=v_{i}^{j}(\boldsymbol{q}) .
\end{array}
\]

Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н.Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона – Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигураџионном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)).

По этой же причине не получили дальнейшего развития его соображения относительно обобщений теоремы Рауса, связанных с наличием циклического интеграла и понижением порядка. Для уравнений Пуанкаре – Четаева при наличии первых интегралов (типа циклических) в гл. 4, §§ 1,2 предложена новая проџедура редукџии, позволяющая получить уравнения приведенной системы в наиболее простой алгебраической форме и приводящая в некоторых случаях к нелинейным скобкам Пуассона.

3. Уравнения на группах Ли

Конфигурационное пространство в динамике твердого тела, как правило, является некоторой естественной группой Ли. Например, при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки – это группа $S O(3)$, при свободном движении твердого тела $-E(3)=S O(3) \otimes_{\mathcal{s}} \mathbb{R}^{3}$, являющаяся полупрямым произведением алгебры вращений $S O(3)$ и коммутативной алгебры трансляций $\mathbb{R}^{3}$.

В качестве базиса векторных полей $\boldsymbol{v}^{s}(2.2)$ удобно выбирать левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор $c_{i j}^{k}$ не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (2.12) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой – группой Ли [31].

Если гамильтониан $H$ не зависит от $q_{i}$, т.е. $\left(\boldsymbol{v}_{i}(H)=0\right)$, то уравнения для квазиимпульсов $M_{1}, \ldots, M_{k}$ замыкаются. Так могут быть получены уравнения Эйлера движения твердого тела по инерции, при этом константы $c_{i j}^{s}$ определяются алгеброй $s o(3)$. Для произвольной алгебры со структурными константами $c_{i j}^{s}$ такого рода уравнения с квадратичным гамильтонианом также (как и в II. 1) называются уравнениями Эйлера-Пуанкаре.

Если гамильтониан $H$ зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей $v_{r}^{s}(\boldsymbol{q})$ линейны по $\boldsymbol{q}$, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме $\mathfrak{g} \oplus_{s} \mathbb{R}^{n^{2}}$, где $\mathbb{R}^{n^{2}}$ – пространство матриц $n \times n, \mathfrak{g}$ – алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасательного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. §4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31].

Уравнения Гамильтона на группе Ли в естественной канонической структуре для задач динамики твердого тела (все группы в которой унимодулярны) всегда обладают стандартной инвариантной мерой. Это – аналог теоремы Лиувилля о соленоидальности канонического гамильтонова потока.

Детальный вывод уравнений движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле рассматривается в § 4. Более сложные уравнения, вывод которых использует основные принципы гидродинамики, описывающие движение твердого тела в жидкости, а также тела, имеющего полости, содержащие жидкость, рассматриваются в гл. $5, \S 2$.

4. Комментарии

Таким образом, уравнения Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева – это лишь удобный аппарат для записи в произвольной системе переменных, в том числе избыточной, уравнений движения системы в лагранжевой и гамильтоновой форме. При этом возможность такого представления связана с существованием у системы тензорного инварианта – пуассоновой структуры, координатная запись которой зависит от выбора переменных, причем для избыточных переменных пуассонова структура будет заведомо вырождена. Следует сказать, что лагранжева система, функция Лагранжа которой невырождена по скоростям, заведомо обладает этим тензорным инвариантом.

Интересно заметить, что связь между лагранжевой и гамильтоновой формой понятна большинству механиков только в канонической записи. Так в книге [21] гамильтонова форма уравнений динамики твердого тела считается заведомо установленной из некоторых не вполне естественных соображений, в частности, со ссылкой на работу [133], в которой реально автор, не зная общего формализма динамических уравнений, даже переоткрывает углы Эйлера и сопряженные им импульсы. Далее в [21] доказывается несколько странных теорем, что из гамильтоновой формы можно получить лагранжеву, при этом, конечно, возникает некоторая путаница, так как пуассонова коммутация компонент момента с импульсами и направляющими косинусами одинакова, и одни и те же уравнения Кирхгофа можно представлять себе как часть импульсных уравнений на группе $E(3)$ – уравнения Эйлера – Пуанкаре для $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}$, которая в случае отсутствия потенциала отделяется от позиционных уравнений (для направляющих косинусов), а с другой стороны – как гамильтоновы уравнения на $S O(3)$, при этом необходимо интерпретировать компоненты импульсивной силы $p$ как направляюшие косинусы. В этом, кстати, заключается аналогия Стеклова [272] (см. также §4 и гл. 3, §1).

Сложная координатная форма записи ньютоновских уравнений динамики спутника используется в [11], где даже наличие интеграла энергии становится неочевидным.

Даже в замечательной книге [97] доказывается утверждение о «негамильтоновости» уравнений Эйлера-Пуанкаре (рассматриваемых в отрыве от по-

зиџионных переменных), что связывается с отсутствием инвариантной меры, имеющей определенную аналитическую структуру, отсутствуюшую, например, у разрешимых (неунимодулярных) групп $\mathcal{\Lambda}_{\text {и. }}$.

Здесь следует упомянуть также книгу [249] и вообще работы этого же стиля (Дж. Марсден, А. Вейнстейн и до.), где из-за излишней формализаџии как форм динамических уравнений, так и проџедуры редукџии даже простые задачи требуют большого умственного напряжения. А немного более сложные механические проблемы остаются просто за рамками такого подхода.