Главная > ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (А.В.Борисов, И.С.Мамаев)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. Уравнения Пуанкаре

Наиболее естественные и удобные для исследований формы уравнений движения твердого тела могут быть получены из общих уравнений динамики в квазикоординатах. Лагранжева форма этих уравнений была установлена А. Пуанкаре [255], а гамильтонова — Н. Г. Четаевым [181]. Их возможные обобщения для неголономной ситуации рассматривались в [91, 154]. В динамике твердого тела уравнения Пуанкаре-Четаева приводят к гамильтоновым уравнениям с линейным структурным тензором, т. е. к только что рассматривавшейся структуре Ли-Пуассона (см. §1). Приведем здесь свой вывод уравнений Пуанкаре и Пуанкаре-Четаева, т. к. их обсуждение отсутствует в доступной литературе.

Рассмотрим уравнения движения лагранжевой динамической системы, определенной обобщенными избыточными координатами q=(q1,,qn) (вообще говоря, зависимыми, то есть на них наложены m<n голономных связей вида fj(q)=0,j=1,,m) и квазискоростями ω=(ω1,,ωk), которые выражаются через обобщенные скорости q˙i по формулам
q˙i=s=1kvis(q)ωs,i=1,,n.

При этом предполагается, что все голономные связи учтены, то есть
(ablafj,q˙)=i,svis(q)ωsfjqi0,j=1,m.

В случае k>nm это условие приводит к тому, что между квазискоростями выполнены линейные по ωi соотношения.

Величины ωs называются параметрами Пуанкаре и представляют собой компоненты скорости системы в (вообще говоря) неголономном базисе векторных полей
vs=ivis(q)qi.

Предположим, что векторные поля образуют замкнутую систему
[vi,vj]=cijs(q)vs,i,j,s=1,,k.

В случае kn это условие является следствием интегрируемости связей [135]. Если все cijs являются постоянными, то поля vs определяют некоторую конечномерную алгебру Ли. Уравнения движения в переменных (q1,,qn,ω1,,ωk) в лагранжевой форме имеют вид:
ddt(Lωi)=r,scrisωrLωs+vi(L),i=1,,k,

и называются уравнениями Пуанкаре, совместно с (2.1) они образуют полную систему уравнений движения. В формуле (2.4) дифференцирование вдоль векторного поля vi определено с помощью формулы (2.2).

Если функция Лагранжа является однородной квадратичной формой от ее угловых скоростей (например, кинетическая энергия), то vi(L)=0, и система (2.4) для определения ω отделяется и интегрируется отдельно. В этом случае уравнения (2.4) называются уравнениями Эйлера-Пуанкаре.

Пуанкаре получил свои уравнения, используя вариационный принцип Гамильтона [255]. Приведем вывод уравнений (2.4) непосредственно из уравнений Эйлера Лагранжа для случая, когда число компонент квазискорости ω=(ω1,,ωk) совпадает с размерностью конфигурационного Mk пространства, определяемого связями fj(q)=0,j=1,,m, т. е. k=nm.

Введем локальные координаты xi на Mk, для которых уравнения Эйлера-Лагранжа можно записать в виде
ddt(Lx˙i)(Lxi)=0,i=1,,k.

Согласно (2.1), (2.2) справедливы следующие соотношения
ωs=i=1kasix˙i,xi˙=s=1kbisωs,vs=i=1kbisxi,i,s=1,,k,

где A=asi,B=bis — взаимнообратные матрицы ( AB=E ). Обозначим функцию Лагранжа, выраженную через квазискорости в виде
L~(x,ω)=L(x,x˙).

Используя (2.6), находим
Lxi=L~xi+k,sx˙kL~ωsbskxi,Lxi˙=sL~ωsbsi,i=1,,k.

Подставим (2.8) в уравнения (2.5) и умножим их на матриџу A, в получившейся системе сделаем замену (2.6) и воспользуемся следующим представлением для структурных коэффициентов в (2.3):
cspr(x)=k,iark(bisbkpxibipbksxi).

После приведения подобных членов получим уравнения (2.4).
Для случая, когда число квазискоростей больше размерности конфигурационного пространства, рассуждения несколько усложняются вследствие того, что матрицы А, В не квадратные и не имеют обратных.

2. Уравнения Пуанкаре-Четаева
Н.Г. Четаев видоизменил уравнения Пуанкаре (2.4), (2.1), воспользовавшись преобразованием Лежандра:
Mi=LωiiωiMiL|ωM=H(M,q).

Переменные Mi имеют смысл «квазиимпульсов». При этом ωi=H/Mi и уравнения (2.4) можно записать в виде:
M˙i=rscrisHMrMsvi(H),i=1,,k.

Чтобы получить замкнутую систему, надо добавить к (2.10) уравнения (2.1) в форме
q˙i=svis(q)HMs,i=1,,n.

Система уравнений (2.10), (2.11) является гамильтоновой с, вообще говоря, вырожденной скобкой Пуассона, определяемой для произвольных функций f(M,q),g(M,q) формулой [181]
{f,g}=i(gMivi(f)fMivi(g))+sijcijsfMjgMiMs.

Нетрудно проверить, что эта скобка удовлетворяет всем необходимым условиям 14 ( §1, п. 1). Из соотношения (2.12) легко получить структурную матрицу Jij :
{Mi,Mj}=scijs(q)Ms,{qi,qj}=0,{qi,Mj}=vij(q).

Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н.Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона — Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигураџионном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)).

По этой же причине не получили дальнейшего развития его соображения относительно обобщений теоремы Рауса, связанных с наличием циклического интеграла и понижением порядка. Для уравнений Пуанкаре — Четаева при наличии первых интегралов (типа циклических) в гл. 4, §§ 1,2 предложена новая проџедура редукџии, позволяющая получить уравнения приведенной системы в наиболее простой алгебраической форме и приводящая в некоторых случаях к нелинейным скобкам Пуассона.

3. Уравнения на группах Ли

Конфигурационное пространство в динамике твердого тела, как правило, является некоторой естественной группой Ли. Например, при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки — это группа SO(3), при свободном движении твердого тела E(3)=SO(3)sR3, являющаяся полупрямым произведением алгебры вращений SO(3) и коммутативной алгебры трансляций R3.

В качестве базиса векторных полей vs(2.2) удобно выбирать левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор cijk не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (2.12) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой — группой Ли [31].

Если гамильтониан H не зависит от qi, т.е. (vi(H)=0), то уравнения для квазиимпульсов M1,,Mk замыкаются. Так могут быть получены уравнения Эйлера движения твердого тела по инерции, при этом константы cijs определяются алгеброй so(3). Для произвольной алгебры со структурными константами cijs такого рода уравнения с квадратичным гамильтонианом также (как и в II. 1) называются уравнениями Эйлера-Пуанкаре.

Если гамильтониан H зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей vrs(q) линейны по q, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме gsRn2, где Rn2 — пространство матриц n×n,g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасательного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. §4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31].

Уравнения Гамильтона на группе Ли в естественной канонической структуре для задач динамики твердого тела (все группы в которой унимодулярны) всегда обладают стандартной инвариантной мерой. Это — аналог теоремы Лиувилля о соленоидальности канонического гамильтонова потока.

Детальный вывод уравнений движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле рассматривается в § 4. Более сложные уравнения, вывод которых использует основные принципы гидродинамики, описывающие движение твердого тела в жидкости, а также тела, имеющего полости, содержащие жидкость, рассматриваются в гл. 5,§2.

4. Комментарии

Таким образом, уравнения Пуанкаре и Пуанкаре — Четаева — это лишь удобный аппарат для записи в произвольной системе переменных, в том числе избыточной, уравнений движения системы в лагранжевой и гамильтоновой форме. При этом возможность такого представления связана с существованием у системы тензорного инварианта — пуассоновой структуры, координатная запись которой зависит от выбора переменных, причем для избыточных переменных пуассонова структура будет заведомо вырождена. Следует сказать, что лагранжева система, функция Лагранжа которой невырождена по скоростям, заведомо обладает этим тензорным инвариантом.

Интересно заметить, что связь между лагранжевой и гамильтоновой формой понятна большинству механиков только в канонической записи. Так в книге [21] гамильтонова форма уравнений динамики твердого тела считается заведомо установленной из некоторых не вполне естественных соображений, в частности, со ссылкой на работу [133], в которой реально автор, не зная общего формализма динамических уравнений, даже переоткрывает углы Эйлера и сопряженные им импульсы. Далее в [21] доказывается несколько странных теорем, что из гамильтоновой формы можно получить лагранжеву, при этом, конечно, возникает некоторая путаница, так как пуассонова коммутация компонент момента с импульсами и направляющими косинусами одинакова, и одни и те же уравнения Кирхгофа можно представлять себе как часть импульсных уравнений на группе E(3) — уравнения Эйлера — Пуанкаре для M,p, которая в случае отсутствия потенциала отделяется от позиционных уравнений (для направляющих косинусов), а с другой стороны — как гамильтоновы уравнения на SO(3), при этом необходимо интерпретировать компоненты импульсивной силы p как направляюшие косинусы. В этом, кстати, заключается аналогия Стеклова [272] (см. также §4 и гл. 3, §1).

Сложная координатная форма записи ньютоновских уравнений динамики спутника используется в [11], где даже наличие интеграла энергии становится неочевидным.

Даже в замечательной книге [97] доказывается утверждение о «негамильтоновости» уравнений Эйлера-Пуанкаре (рассматриваемых в отрыве от по-

зиџионных переменных), что связывается с отсутствием инвариантной меры, имеющей определенную аналитическую структуру, отсутствуюшую, например, у разрешимых (неунимодулярных) групп Λи. .

Здесь следует упомянуть также книгу [249] и вообще работы этого же стиля (Дж. Марсден, А. Вейнстейн и до.), где из-за излишней формализаџии как форм динамических уравнений, так и проџедуры редукџии даже простые задачи требуют большого умственного напряжения. А немного более сложные механические проблемы остаются просто за рамками такого подхода.

1
Оглавление
email@scask.ru