1. В этом параграфе рассмотрены уравнения движения твердого тела в случае, когда в уравнениях Пуанкаре-Жуковского (2.3) сделан предельный переход. Он отличается от аналогичного перехода, используемого при ретракции, и приводит к потере гамильтоновости. Действительно, если в уравнениях (2.3) с гамильтонианом (2.8) сделать замену $\gamma \rightarrow \mu \gamma$ и $\mu$ устремить к нулю, то в коммутационных соотношениях (2.1) возникает сингулярность, тем не менее на уровне уравнений движения получим
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \mathbf{A} \boldsymbol{M}, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \mathbf{B} \boldsymbol{M}, \\
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \quad \mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) .
\end{array}
\]

Система (3.1) описывает вращение тела в случае, если интенсивность вихря жидкости в полости мала по сравнению с кинетическим моментом (или наоборот). Можно также указать другие интерпретации этого предельного перехода, если использовать различные физические постановки задачи (см. §2), описываемые уравнениями (2.3).

Первое векторное уравнение в (3.1) интегрируется независимо и представляет собой обычный случай Эйлера с интегралами
\[
I_{1}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M}), \quad I_{2}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}) .
\]

Второе уравнение в (3.1), родственное кинематическому уравнению Пуассона, после подстановки в него уже известной функции $\boldsymbol{M}(t)$ представляет собой линейную гамильтонову систему на $s o(3)$
\[
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\gamma \times \boldsymbol{B} \boldsymbol{M}(t), \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}
\]

с периодическими коэффициентами и линейным гамильтонианом $H=$ $=(\mathbf{B} \boldsymbol{M}(t), \gamma)$. Уравнения (3.2), как и система (3.1) обладает также геометрическим интегралом $I_{3}=(\gamma, \gamma)$. Для интегрируемости (3.2) не хватает еще одного интеграла с периодическими по $t$ коэффициентами $I_{4}^{*}(\gamma, t)$. Для интегрируемости системы (3.1) поэтому не хватает еще одного первого интеграла $I_{4}(\boldsymbol{M}, p)$. Это следует также из теории последнего множителя.

2. Дополнительный интеграл систем (3.1), (3.2) всегда существует в вещественно-аналитическом классе функций. Это связано с тем, что уравнение (3.2) задает линейное отображение двумерной сферы за период, которое также сохраняет меру. Такие отображения интегрируемы.

Дополнительный интеграл, как легко видеть, является линейным по $\gamma$ :
\[
\begin{array}{l}
I_{4}=I_{4}(\boldsymbol{M}, \gamma)=(\boldsymbol{\Omega}(\boldsymbol{M}), \gamma), \\
I_{4}^{*}=I_{4}^{*}(\gamma, t)=\left(\boldsymbol{\Omega}^{*}(t), \gamma\right), \quad \boldsymbol{\Omega}^{*}(t)=\boldsymbol{\Omega}(\boldsymbol{M}(t)),
\end{array}
\]

причем для функции $\Omega^{*}(t)$ получаются уравнения, аналогичные (3.2) (!). Таким образом, для нахождения первого интеграла $I_{4}$ или $I_{4}^{*}$ достаточно найти частные решения уравнений (3.2).

Однако ни частные решения (3.2), ни соответствующие интегралы (3.1), (3.2) в общем случае не удается получить в замкнутом алгебраическим виде. Такое решение возможно только в форме бесконечного ряда, оно является неоднозначным в комплексном смысле (и не алгебраическим) [97].

Замечание. В работе [37] вычислены показатели Ковалевской системы (3.1). Они равны
\[
\begin{array}{c}
\rho_{1}=-1, \quad \rho_{2}=\rho_{3}=2, \quad \rho_{4}=1, \quad \rho_{5,6}=1 \pm n, \\
n=\left[\frac{b_{1}^{2} a_{32}+b_{2}^{2} a_{13}+b_{3}^{2} a_{21}}{a_{23} a_{21} a_{13}}\right], \\
a_{i j}=a_{i}-a_{j} .
\end{array}
\]

Общее решение (3.1) имеет конечнолистное ветвление на комплексной плоскости времени при условии $n=p / q, p, q \in \mathbb{Z}$. Это условие является также необходимым для существования дополнительного алгебраического интеграла [206].

Физически факт отсутствия в общем случае у системы (3.1) достаточно «хорошего» (алгебраического, полиномиального) дополнительного интеграла связан с потерей симметрий, обусловленных гамильтоновостью (пуассонова структура является тензорным инвариантом). Тем не менее поведение траектории (3.1), (3.2) всегда является регулярным, показатели Ляпунова равны нулю и вещественно-аналитический интеграл формально существует.

3. Укажем условия, при которых дополнительный интеграл можно найти явно. В остальных случаях аналогичные построения вряд ли возможны. Для этого необходимо, чтобы в (3.3) $n=2 k+1, k \in \mathbb{Z}$. Дополнительные интегралы при различных $k$, связанные некоторым итерационным процессом, впервые указаны А. В. Борисовым и А. В. Цыгвинцевым в [37, 38] без доказательства. Здесь мы приведем естественную процедуру построения этих интегралов, существование которых пока кажется несколько таинственным.

4. После замены времени $d \tau=M_{1} M_{2} M_{3} d t$ в новых переменных $u_{i}=M_{i}^{2}, s_{i}=\frac{\gamma_{i}}{M_{i}}$ система (3.1) примет вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{u}}=\boldsymbol{c}, \quad \dot{\boldsymbol{s}}=\mathrm{U}^{-1} \mathbf{A}_{b} \dot{\boldsymbol{s}} \\
\boldsymbol{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right), \quad \boldsymbol{s}=\left(s_{1}, s_{2}, s_{3}\right), \quad \boldsymbol{c}=\left(-2 a_{23},-2 a_{31},-2 a_{12}\right), \\
a_{i j}=a_{i}-a_{j}, \quad \mathbf{U}=\operatorname{diag}\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right) \\
\mathbf{A}_{b}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{23} & b_{3} & -b_{2} \\
-b_{3} & a_{31} & b_{1} \\
b_{2} & -b_{1} & a_{12}
\end{array}\right)
\end{array}
\]

где точка теперь обозначает дифференцирование по $\tau$.
Интеграл системы (3.4) будем искать в виде
\[
F=\sum_{i} s_{i} u_{i} f_{i}(\boldsymbol{u}),
\]

что приводит для вектора $\boldsymbol{f}=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right)$ к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
\[
\mathbf{U} \widehat{D} \boldsymbol{f}=-\mathbf{A}_{b} \boldsymbol{f}
\]

где скалярный дифференциальный оператор $\widehat{D}$ имеет вид
\[
\widehat{D}=-2 a_{23} \frac{\partial}{\partial u_{1}}-2 a_{31} \frac{\partial}{\partial u_{2}}-2 a_{12} \frac{\partial}{\partial u_{3}} .
\]

Для нахождения интеграла необходимо найти частное решение (3.6).

Теорема. При выполнении условий

1. $n^{2} a_{23} a_{31} a_{12}+b_{1}^{2} a_{23}+b_{2}^{2} a_{31}+b_{3}^{2} a_{12}=0$,
2. $n=2 k+1, \quad k \in \mathbb{Z}=\{0, \pm 1, \pm 2, \ldots\}$

уравнение (3.6) допускает полиномильное частное решение (которое можно выписать в явном виде).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится по индукции.
Действительно, при $n=1,(k=0)$ частное решение определяется без труда. Оно соответствует постоянному собственному вектору $f_{1}$ матрицы $\mathbf{A}_{b}$, определенному нулевым собственным числом, т.к. $\operatorname{det} \mathbf{A}_{b}=$ $=a_{23} a_{31} a_{12}+b_{1}^{2} a_{23}+b_{2}^{2} a_{31}+b_{3}^{2} a_{12}=0$, что как раз соответствует условиям (3.8) при $n=1$.

При $n
eq 1$ будем искать решение (3.6) в виде
\[
\boldsymbol{f}=\mathbf{B}_{1} \mathbf{U} \tilde{f}, \quad \text { где } \quad \mathbf{B}_{1}=\mathbf{A}_{b}^{-1}
\]
(т. к. $n
eq 1$, то $\operatorname{det} \mathbf{A}_{b}
eq 0$ ). Учитывая, что $\widehat{D} \mathbf{U}=\mathbf{C}, \mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(-2 a_{23}\right.$, $-2 a_{31},-2 a_{12}$ ), из (3.6) получим алгебраическое векторное уравнение
\[
\mathbf{U B}_{1} \mathbf{C} \tilde{f}+\mathbf{U B}_{1} \mathbf{U} \widehat{D} \tilde{f}=-\mathbf{U} \tilde{\boldsymbol{f}},
\]

которое после умножения слева на матрицу $\mathbf{A}_{b} \mathbf{U}^{-1}$ и приведения подобных можно записать в виде, аналогичном (3.6)
\[
\mathbf{U} \widehat{D} \tilde{\boldsymbol{f}}=-\left(\mathbf{A}_{b}-\mathbf{C}\right) \tilde{\boldsymbol{f}}=-\mathbf{A}_{b, 3} \tilde{\boldsymbol{f}},
\]

где
\[
\mathbf{A}_{b, n}=\left(\begin{array}{ccc}
n a_{23} & b_{3} & -b_{2} \\
-b_{3} & n a_{31} & b_{1} \\
b_{2} & -b_{1} & n a_{12}
\end{array}\right) .
\]

Вследствие того, что $\operatorname{det} \mathbf{A}_{b, n}=n\left(n^{2} a_{23} a_{31} a_{12}+b_{1}^{2} a_{23}+b_{2}^{2} a_{31}+b_{3}^{2} a_{12}\right)$, индуктивный процесс можно продолжить до необходимого $n$, представляя $\tilde{f}$ в таком же виде (3.9), и получить решение в форме
\[
f=\mathbf{A}_{b, 1}^{-1} \mathbf{U} \mathbf{A}_{b, 3}^{-1} \mathbf{U}^{-} \ldots \mathbf{A}_{b, n-2}^{-1} \mathbf{U} f_{n},
\]

где $f_{n}$ – собственный вектор матрицы $\mathbf{A}_{b, n}$, соответствующий нулевому собственному значению $\mathrm{A}_{b, n} f_{n}=0$.
5. Рассмотрим более подробно частный случай $\mathbf{B}=n \mathbf{A}, n=2 k+1$, $k \in \mathbb{Z}$. При $n>0$ имеем
\[
\mathbf{A}_{b, n}=n \mathbf{A}_{a}=n\left(\begin{array}{ccc}
a_{23} & a_{3} & -a_{2} \\
-a_{3} & a_{31} & a_{1} \\
a_{2} & -a_{1} & a_{12}
\end{array}\right),
\]

а собственный вектор $f_{n}$ для всех значений $n$ одинаков и равен $\boldsymbol{f}_{n}=\boldsymbol{v}_{+}=(1,1,1)$.
При $n<0$ имеем
\[
\mathbf{A}_{b, n}=|n| \mathbf{A}_{-a}=|n|\left(\begin{array}{ccc}
a_{23} & -a_{3} & a_{2} \\
a_{3} & a_{31} & -a_{1} \\
-a_{2} & a_{1} & a_{12}
\end{array}\right),
\]

а собственный вектор $f_{n}$ также одинаков для всех $n$ и может быть записан в виде
\[
\boldsymbol{f}_{n}=\boldsymbol{v}_{-}=\left(a_{1}^{-1}-a_{2}^{-1}-a_{3}^{-1},-a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}-a_{3}^{-1},-a_{1}^{-1}-a_{2}^{-1}+a_{3}^{-1}\right) .
\]

Укажем явные выражения интеграла для еще более частных случаев
1) $n=1$.
$I_{4}=(\boldsymbol{M}, \gamma)$ – это обычный интеграл площадей для случая Эйлера (см. § 2 гл. 2).
2) $n=-1$.
\[
I_{4}=(\boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{M}, \gamma), \quad \boldsymbol{\Omega}=\mathbf{E}-\frac{2 \mathbf{A}^{-1}}{\operatorname{Tr} \mathbf{A}^{-1}}
\]
– некоторый аналог интеграла площадей. Как будет показано далее (см. п. 6) при $n=-1$ уравнения (3.1) сводятся к случаю $n=1$ при помощи линейного преобразования
3) $n= \pm 3$.
При этом решение (3.10) можно представить в виде
\[
\boldsymbol{f}=\left(\mathbf{B}^{s} \pm \mathbf{B}^{a}\right) \mathbf{U} \boldsymbol{v}_{ \pm},
\]

где $\mathbf{B}^{s}$ и $\mathbf{B}^{a}$ представляют собой соответственно симметричную и кососимметричную матрицы с компонентами
\[
\begin{array}{c}
b_{i j}^{s}=\left\{\begin{array}{cc}
9 a_{i} a_{j}, & i
eq j, \\
9 a_{i}^{2}-\varepsilon_{i l m} a_{i l} a_{i m}, & i=j,
\end{array}\right. \\
b_{i j}^{a}=-3 a_{i j} a_{k}, \quad i
eq j
eq k .
\end{array}
\]

а векторы $\boldsymbol{v}_{ \pm}$определены в п. 5. По переменным $\boldsymbol{M}, \gamma$ дополнительный интеграл $I_{4}$ будет иметь четвертую степень, в общем случае эта степень равна $2|k|+2$.
6. Оказывается [36], что в случае $n=-1, \mathbf{B}=-\mathbf{A}$ интеграл $I_{4}$ (3.11) продолжает существовать без изменений для более общей системы
\[
\left\{\begin{aligned}
\dot{M} & =\boldsymbol{M} \times \mathbf{A} \boldsymbol{M}+\varepsilon \gamma \times \mathbf{A}^{-1} \gamma, \\
\dot{\gamma} & =n \gamma \times \mathbf{A} \boldsymbol{M},
\end{aligned}\right.
\]

соответствующей добавлению в (3.1) поля задачи Бруна (см. § 1 гл. 2) с потенциалом $V=\frac{1}{2} \varepsilon\left(\gamma, \mathbf{A}^{-1} \gamma\right)$. Мера уравнений (3.12) остается стандартной. При этом интегралы $I_{1}, I_{2}$ следует несколько модифицировать
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})-\frac{1}{2} \varepsilon\left(\gamma, \mathbf{A}^{-1} \gamma\right), \\
I_{2}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+\varepsilon \operatorname{det} \mathbf{A}^{-1}(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{A} \gamma) .
\end{array}
\]

Легко показать также, что интегралы системы (3.12), аналогичные $I_{1}, I_{2}$, существуют при $\mathbf{B}=n \mathbf{A}$ для любого значения $n$, интеграл же типа $I_{4}$ будет существовать лишь при $n= \pm 1$. Обобщить его при $\varepsilon
eq 0$ для других $n=2 k+1= \pm 3, \pm 5, \ldots$, видимо, невозможно.
ЗАМЕчАНИЕ. В переменных $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{s}$ систему (3.12) можно представить в виде
\[
\dot{u}_{i}=c_{i}+\varepsilon \lambda_{k} b_{k j} s_{k} s_{j}, \quad \dot{\boldsymbol{s}}=\mathbf{U}^{-1} \mathbf{A}_{b} \boldsymbol{s},
\]
$\lambda_{k}=a_{k}^{-1}, b_{k j}=b_{k}-b_{j}$, однако при проведении рассуждений п. 3 оказывается, что $n
eq \pm 1$ соответствующая индукция невозможна.

Случай $n=-1$ в (3.12), как замечено в [36], сводится к $n=1$, соответствующему задаче Бруна (или случаю Клебша) при помощи линейного преобразования
\[
\boldsymbol{W}=\boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{M}, \quad \boldsymbol{\Omega}=\mathbf{E}-\frac{2 \mathbf{A}^{-1}}{\operatorname{Tr} \mathbf{A}^{-1}},
\]

после которого система (3.12) преобразуется к виду
\[
\left\{\begin{aligned}
\dot{\boldsymbol{W}} & =\mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{W} \times \boldsymbol{W}-\varepsilon \boldsymbol{\gamma} \times \mathbf{J} \gamma, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}} & =\mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{W} \times \gamma, \quad \mathbf{J}=\boldsymbol{\Omega A}^{-1},
\end{aligned}\right.
\]

аналогичному (3.12) при $n=1$ с точностью до замены $t \rightarrow-t$.
Отметим, что добавление в систему (3.1) постоянного гиростатического момента, т. е. построение обобщения задачи Жуковского-Вольтерра, не приводит к новой интегрируемой задаче уже при $n=-1$. Вообще, вопрос о других возможных обобщениях счетного семейства интегралов $I_{4}$ (например, на $s o(4)$, гиростат и пр.) пока не является решенным. Возможно, что их просто не существует.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В общем случае для произвольных матриц А и В в (3.1) общий интеграл не является однозначным и ветвится на комплексной плоскости времени.

При условии $b_{1}=b_{2}=0, b_{3}
eq 0$ он может быть выписан явно
\[
\begin{array}{c}
I_{4}=\gamma_{1} \sin \varphi+\gamma_{2} \cos \varphi, \\
\varphi=\frac{b_{3}}{\sqrt{a_{13} a_{32}}} \ln \left(\sqrt{a_{13}} M_{1}+\sqrt{a_{32}} M_{2}\right) .
\end{array}
\]

Существование таких сложных интегралов у системы (3.1) также связанно с потерей гамильтоновости, хотя последний факт не является достаточно обоснованным.

Замечание 2. Кроме случаев $n= \pm 1$ для системы (3.1) при наличии интегралов (3.5), общее решение до сих пор не получено в квадратурах, не ясно также, выражается ли оно в эллиптических функциях. Не исследована также топология соответствующих уровней набора интегралов.

7. Система (3.1) может быть получена также при исследовании неголономной задачи о качении без проскальзывания динамически несимметричного уравновешенного шара (иара Чапльгина) по поверхности сферы (рис. 69).

При отсутствии силового поля уравнения движения будут иметь вид [36]
\[
\begin{array}{c}
\left\{\begin{array}{l}
\dot{M}=M \times \omega, \\
\dot{\gamma}=\frac{R}{R-a} \gamma \times \omega,
\end{array}\right. \\
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+D \boldsymbol{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega} \times \gamma), \quad D=m a^{2},
\end{array}
\]

Рис. 69

где $m$ – масса шара, I – тензор инерции относительно геометрического центра.

Здесь мы не будем останавливаться на изучении интегрируемости системы (3.17), а отметим только, что при стремлении параметра неголономности $D$ к нулю получается система (3.1) с матрицей $\mathbf{B}=\lambda \mathbf{A}, \lambda=\frac{R}{R-a}$. Это еще раз указывает на необходимость изучения уравнений (3.1), а также позволяет обобщить на уравнения (3.17) интегралы $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}$. Пока такое обобщение, найденное в [36], известно лишь при $\lambda= \pm 1$, причем в обоих случаях можно рассматривать более общую ситуацию (3.12), соответствующую добавлению поля Бруна.

Случай $\lambda=1, R=\infty$ приводится к классической задаче Чаплыгина о качении шара по горизонтальной плоскости [179].

Случай $\lambda=-1, a=2 R$ соответствует так называемому сферическому подвесу, когда динамически несимметричная сфера удвоенного радиуса

обкатывает неподвижный шар. Эта интегрируемая задача, а также ее обобщения для поля Бруна, была обнаружена А. В. Борисовым [36].

8. При $\mathbf{B}=\lambda \mathbf{A}$ и совпадении двух собственных чисел матрицы $\mathbf{A}$, например, при $a_{1}=a_{2}$ система (3.1), а также более общая система
\[
\left\{\begin{aligned}
\dot{M} & =\boldsymbol{M} \times \mathbf{A} M+\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma}, \\
\dot{\gamma} & =\lambda \gamma \times \mathbf{A} M, \quad V=V\left(\gamma_{3}\right)
\end{aligned}\right.
\]

является алгебраически интегрируемой. Полный набор интегралов имеет вид
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+\left(\lambda a_{1}\right)^{-1} V\left(\gamma_{3}\right), \\
I_{2}=M_{3}, \quad I_{3}=\gamma^{2}, \\
I_{4}=M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}+\frac{a_{1}-a_{3}+\lambda a_{3}}{\lambda a_{1}} M_{3} \gamma_{3},
\end{array}
\]

который обеспечивает интегрируемость по Эйлеру – Якоби (система (3.18) обладает также стандартной инвариантной мерой). Интегралы (3.19) аналогичны интегралам случая Лагранжа и допускают соответствующие неголономные обобщения [196].