Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. В этом параграфе рассмотрены уравнения движения твердого тела в случае, когда в уравнениях Пуанкаре-Жуковского (2.3) сделан предельный переход. Он отличается от аналогичного перехода, используемого при ретракции, и приводит к потере гамильтоновости. Действительно, если в уравнениях (2.3) с гамильтонианом (2.8) сделать замену $\gamma \rightarrow \mu \gamma$ и $\mu$ устремить к нулю, то в коммутационных соотношениях (2.1) возникает сингулярность, тем не менее на уровне уравнений движения получим Система (3.1) описывает вращение тела в случае, если интенсивность вихря жидкости в полости мала по сравнению с кинетическим моментом (или наоборот). Можно также указать другие интерпретации этого предельного перехода, если использовать различные физические постановки задачи (см. §2), описываемые уравнениями (2.3). Первое векторное уравнение в (3.1) интегрируется независимо и представляет собой обычный случай Эйлера с интегралами Второе уравнение в (3.1), родственное кинематическому уравнению Пуассона, после подстановки в него уже известной функции $\boldsymbol{M}(t)$ представляет собой линейную гамильтонову систему на $s o(3)$ с периодическими коэффициентами и линейным гамильтонианом $H=$ $=(\mathbf{B} \boldsymbol{M}(t), \gamma)$. Уравнения (3.2), как и система (3.1) обладает также геометрическим интегралом $I_{3}=(\gamma, \gamma)$. Для интегрируемости (3.2) не хватает еще одного интеграла с периодическими по $t$ коэффициентами $I_{4}^{*}(\gamma, t)$. Для интегрируемости системы (3.1) поэтому не хватает еще одного первого интеграла $I_{4}(\boldsymbol{M}, p)$. Это следует также из теории последнего множителя. 2. Дополнительный интеграл систем (3.1), (3.2) всегда существует в вещественно-аналитическом классе функций. Это связано с тем, что уравнение (3.2) задает линейное отображение двумерной сферы за период, которое также сохраняет меру. Такие отображения интегрируемы. Дополнительный интеграл, как легко видеть, является линейным по $\gamma$ : причем для функции $\Omega^{*}(t)$ получаются уравнения, аналогичные (3.2) (!). Таким образом, для нахождения первого интеграла $I_{4}$ или $I_{4}^{*}$ достаточно найти частные решения уравнений (3.2). Однако ни частные решения (3.2), ни соответствующие интегралы (3.1), (3.2) в общем случае не удается получить в замкнутом алгебраическим виде. Такое решение возможно только в форме бесконечного ряда, оно является неоднозначным в комплексном смысле (и не алгебраическим) [97]. Замечание. В работе [37] вычислены показатели Ковалевской системы (3.1). Они равны Общее решение (3.1) имеет конечнолистное ветвление на комплексной плоскости времени при условии $n=p / q, p, q \in \mathbb{Z}$. Это условие является также необходимым для существования дополнительного алгебраического интеграла [206]. Физически факт отсутствия в общем случае у системы (3.1) достаточно «хорошего» (алгебраического, полиномиального) дополнительного интеграла связан с потерей симметрий, обусловленных гамильтоновостью (пуассонова структура является тензорным инвариантом). Тем не менее поведение траектории (3.1), (3.2) всегда является регулярным, показатели Ляпунова равны нулю и вещественно-аналитический интеграл формально существует. 3. Укажем условия, при которых дополнительный интеграл можно найти явно. В остальных случаях аналогичные построения вряд ли возможны. Для этого необходимо, чтобы в (3.3) $n=2 k+1, k \in \mathbb{Z}$. Дополнительные интегралы при различных $k$, связанные некоторым итерационным процессом, впервые указаны А. В. Борисовым и А. В. Цыгвинцевым в [37, 38] без доказательства. Здесь мы приведем естественную процедуру построения этих интегралов, существование которых пока кажется несколько таинственным. 4. После замены времени $d \tau=M_{1} M_{2} M_{3} d t$ в новых переменных $u_{i}=M_{i}^{2}, s_{i}=\frac{\gamma_{i}}{M_{i}}$ система (3.1) примет вид где точка теперь обозначает дифференцирование по $\tau$. что приводит для вектора $\boldsymbol{f}=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right)$ к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка где скалярный дифференциальный оператор $\widehat{D}$ имеет вид Для нахождения интеграла необходимо найти частное решение (3.6). Теорема. При выполнении условий 1. $n^{2} a_{23} a_{31} a_{12}+b_{1}^{2} a_{23}+b_{2}^{2} a_{31}+b_{3}^{2} a_{12}=0$, уравнение (3.6) допускает полиномильное частное решение (которое можно выписать в явном виде). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится по индукции. При $n которое после умножения слева на матрицу $\mathbf{A}_{b} \mathbf{U}^{-1}$ и приведения подобных можно записать в виде, аналогичном (3.6) где Вследствие того, что $\operatorname{det} \mathbf{A}_{b, n}=n\left(n^{2} a_{23} a_{31} a_{12}+b_{1}^{2} a_{23}+b_{2}^{2} a_{31}+b_{3}^{2} a_{12}\right)$, индуктивный процесс можно продолжить до необходимого $n$, представляя $\tilde{f}$ в таком же виде (3.9), и получить решение в форме где $f_{n}$ – собственный вектор матрицы $\mathbf{A}_{b, n}$, соответствующий нулевому собственному значению $\mathrm{A}_{b, n} f_{n}=0$. а собственный вектор $f_{n}$ для всех значений $n$ одинаков и равен $\boldsymbol{f}_{n}=\boldsymbol{v}_{+}=(1,1,1)$. а собственный вектор $f_{n}$ также одинаков для всех $n$ и может быть записан в виде Укажем явные выражения интеграла для еще более частных случаев где $\mathbf{B}^{s}$ и $\mathbf{B}^{a}$ представляют собой соответственно симметричную и кососимметричную матрицы с компонентами а векторы $\boldsymbol{v}_{ \pm}$определены в п. 5. По переменным $\boldsymbol{M}, \gamma$ дополнительный интеграл $I_{4}$ будет иметь четвертую степень, в общем случае эта степень равна $2|k|+2$. соответствующей добавлению в (3.1) поля задачи Бруна (см. § 1 гл. 2) с потенциалом $V=\frac{1}{2} \varepsilon\left(\gamma, \mathbf{A}^{-1} \gamma\right)$. Мера уравнений (3.12) остается стандартной. При этом интегралы $I_{1}, I_{2}$ следует несколько модифицировать Легко показать также, что интегралы системы (3.12), аналогичные $I_{1}, I_{2}$, существуют при $\mathbf{B}=n \mathbf{A}$ для любого значения $n$, интеграл же типа $I_{4}$ будет существовать лишь при $n= \pm 1$. Обобщить его при $\varepsilon Случай $n=-1$ в (3.12), как замечено в [36], сводится к $n=1$, соответствующему задаче Бруна (или случаю Клебша) при помощи линейного преобразования после которого система (3.12) преобразуется к виду аналогичному (3.12) при $n=1$ с точностью до замены $t \rightarrow-t$. ЗАМЕЧАНИЕ 1. В общем случае для произвольных матриц А и В в (3.1) общий интеграл не является однозначным и ветвится на комплексной плоскости времени. При условии $b_{1}=b_{2}=0, b_{3} Существование таких сложных интегралов у системы (3.1) также связанно с потерей гамильтоновости, хотя последний факт не является достаточно обоснованным. Замечание 2. Кроме случаев $n= \pm 1$ для системы (3.1) при наличии интегралов (3.5), общее решение до сих пор не получено в квадратурах, не ясно также, выражается ли оно в эллиптических функциях. Не исследована также топология соответствующих уровней набора интегралов. 7. Система (3.1) может быть получена также при исследовании неголономной задачи о качении без проскальзывания динамически несимметричного уравновешенного шара (иара Чапльгина) по поверхности сферы (рис. 69). При отсутствии силового поля уравнения движения будут иметь вид [36] Рис. 69 где $m$ – масса шара, I – тензор инерции относительно геометрического центра. Здесь мы не будем останавливаться на изучении интегрируемости системы (3.17), а отметим только, что при стремлении параметра неголономности $D$ к нулю получается система (3.1) с матрицей $\mathbf{B}=\lambda \mathbf{A}, \lambda=\frac{R}{R-a}$. Это еще раз указывает на необходимость изучения уравнений (3.1), а также позволяет обобщить на уравнения (3.17) интегралы $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}$. Пока такое обобщение, найденное в [36], известно лишь при $\lambda= \pm 1$, причем в обоих случаях можно рассматривать более общую ситуацию (3.12), соответствующую добавлению поля Бруна. Случай $\lambda=1, R=\infty$ приводится к классической задаче Чаплыгина о качении шара по горизонтальной плоскости [179]. Случай $\lambda=-1, a=2 R$ соответствует так называемому сферическому подвесу, когда динамически несимметричная сфера удвоенного радиуса обкатывает неподвижный шар. Эта интегрируемая задача, а также ее обобщения для поля Бруна, была обнаружена А. В. Борисовым [36]. 8. При $\mathbf{B}=\lambda \mathbf{A}$ и совпадении двух собственных чисел матрицы $\mathbf{A}$, например, при $a_{1}=a_{2}$ система (3.1), а также более общая система является алгебраически интегрируемой. Полный набор интегралов имеет вид который обеспечивает интегрируемость по Эйлеру – Якоби (система (3.18) обладает также стандартной инвариантной мерой). Интегралы (3.19) аналогичны интегралам случая Лагранжа и допускают соответствующие неголономные обобщения [196].
|
1 |
Оглавление
|