1. В качестве введения мы приведем несколько кратких комментариев относительно основных этапов развития динамики твердого тела. Исторически первыми стали изучаться интегрируемые случаи. Наиболее популярные из них были найдены еще Эйлером (1758 г.) и Лагранжем (1788 г.) в период формирования и разработки общих принципов динамики. При этом базовой системой, на которой в последующие столетия апробировались различные математические методы, явились уравнения ЭйлераПуассона, описывающие движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.

Существенно более сложный случай интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона, давший толчок новым исследованиям в области интегрируемых систем, был найден С.В.Ковалевской в 1888 г. Этот результат был высоко оценен Парижской Академией Наук, присвоившей С. В. Ковалевской в 1888 г. премию Бордена за мемуар о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Заметим, что до этого Академия Наук дважды объявляла конкурс на исследование по этому вопросу, но премия никому не присуждалась. Весной 1889 г. Ковалевская была удостоена премии Шведской Королевской Академии Наук за второй мемуар по задаче о вращении твердого тела.

Интегрируемость случаев Эйлера и Лагранжа обусловлена естественными динамическими симметриями и сохранением соответствующих первых интегралов. С. В. Ковалевская нашла свой случай интегрируемости, исходя из неочевидных аналитических соображений, используя хорошо развитую в то время теорию алгебраических функций (частным случаем которых являются эллиптические функции). Она потребовала однозначности общего решения на комплексной плоскости времени, что привело в будущем к возникновению одного из наиболее продвинутых методов анализа динамических систем на интегрируемость – тесту Пенлеве-Ковалевской. Интеграл Ковалевской уже не имеет естественного симметрийного происхождения, как говорят, его симметрии являются скрытыми, а сама проблема описания движения и явного интегрирования в этом случае является существенно более сложной.

2. Начиная с середины XIX и в начале XX столетий в динамике твердого тела были найдены интегрируемые случаи для различных постановок задач о движении твердого тела – движение тела в жидкости, движение тела, имеющего полости, заполненные жидкостью, гиростаты, неголономные задачи. Изучение этих задач стало возможным благодаря развитию общего формализма динамики, вершиной которого стали уравнения Пуанкаре, позволяющие представить уравнения движения твердого тела в групповых переменных.

Здесь следует также упомянуть о прогрессе в гидродинамике идеальной жидкости и вихревой теории, основы которой были заложены Г.Гельмгольцем. На этом пути были получены уравнения для вектора завихренности, вполне аналогичные динамическим уравнениям для кинетического момента, а Пуанкаре впервые изучил прецессию земной оси, используя в качестве модели Земли твердое тело (мантию), имеющее полости, заполненные вихревой несжимаемой жидкостью (ядро).

3. Как уже отмечалось, в классический период для различных форм уравнений считалось первостепенным по важности нахождение случаев, фиксируемых ограничениями на параметры и начальные условия, явной разрешимости задачи в квадратурах; в современной терминологии – интегрируемых случаев.

Случаи интегрируемости обычно связывают с именами их первооткрывателей. Среди них – известные западные математики и механики Г. Кирхгоф, А.Клебш, П. Аппель, Ф.Брун, В. Вольтерра, крупные достижения принадлежат русским ученым – А.М.Ляпунову, В. А. Стеклову, Н. Е. Жуковскому, С. А. Чаплыгину. В этом смысле динамику твердого тела можно рассматривать как область, наиболее богатую содержательными интегрируемыми задачами, составляющими «золотой фонд» современной динамики.

В классический период кроме нахождения первых интегралов особенно ценилось также получение явного решения в различных классах функций, в основном, эллиптических. Особых успехов здесь добились С. В. Ковалевская, В. Вольтерра, Г. Альфан, и их техника до сих пор во многом является непревзойденной.

4. В первой половине XX века интерес к поиску интегрируемых случаев несколько упал. Во многом это связано с пониманием широкими слоями математиков результатов А. Пуанкаре о неинтегрируемости типичной гамильтоновой динамической системы [144]. В сознании математиков это обесценило многие результаты классиков и привело к разработке новых методов теории возмущений: принцип усреднения, КАМ-теория и пр.

Основные уравнения динамики твердого тела в общем случае также являются неинтегрируемыми, а значит обладающими сложным непредсказуемым поведением [144], изучение которого составляет предмет новой области исследований, называемой детерминированным хаосом. Систематически эффекты неинтегрируемости в динамике твердого тела обсуждаются в монографии В. В. Козлова [92].

Важное значение книги [92] состоит также в том, что в отличие от неестественной тяги классиков к получению явного решения, позволяющего мало что сказать о действительном движении системы, в ней поставлен вопрос о качественном анализе интегрируемых динамических систем, и на примере волчков Ковалевской и Горячева-Чаплыгина сделаны общие выводы о поведении линии узлов и углов собственного вращения. Последние результаты были получены с применением теоремы Лиувилля-Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении.

5. Использование методов топологического анализа к интегрированию задач динамики твердого тела, а именно изучение перестроек торов Лиувилля при прохождении через критические значения, впервые предложено М. П. Харламовым [170] и получило свое развитие в теории топологических инвариантов, созданной для классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Почти все известные результаты, полученные с помощью этой техники, представлены в недавно вышедшей книге [25]. Комплексные методы, в основном приводящие к тем же результатам, пропагандируются в книге М. Оден [134].

6. Подъем интереса к интегрируемым задачам динамики твердого тела в 1970-1990 гг., повлекший за собой открытие целой серии новых интегрируемых случаев, связан с развитием метода изоспектральной деформации (представления Лакса, $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары). Как правило, большинство работ этого периода связано с многомерными обобщениями уже известных естественных физических аналогов. Развитие этого направления исследований также связано с проникновением в динамику идей теории групп и алгебр Ли, а также анализа общих (нелинейных и вырожденных) пуассоновых структур. С современным состоянием этих вопросов можно познакомиться по нашей книге [31].

Отметим также, что многие конструкции ли-алгебраического подхода и методов качественного анализа оказалось возможным перенести на неголономные задачи динамики твердого тела, где в последние десятилетия также добавилось несколько новых интегрируемых систем [52, 36].

7. В последние десятилетия возникло еще несколько направлений, связанных с динамикой волчков. Одно из них возникло в квантовой механике

из анализа систем взаимодействующих спинов с анизотропией (цепочка или $X Y Z$-модель Гейзенберга). Классическая модель здесь является основой для понимания динамики на квантовом уровне, которая, в некотором смысле, также может быть интегрируемой и хаотической. Исследования по квантовому хаосу пока только начинаются, они скоро перерастут в отдельную область науки, в которой вопросы квантового описания волчков займут значительное место. Прежде всего это связано с тем, что модель волчка является основной в квантовой теории углового момента, используемой в квантовой химии и молекулярной спектроскопии.

Интересно также заметить, что приводимые в современной литературе по квантовой механике (см., например, [259]) условия интегрируемости и сами интегралы для спиновой модели являются упрощенными результатами классиков (В.Фрамм, Ф. Шоттки), полученными более столетия назад. Это обусловлено тем, что многие из современных физиков, далеко ушедших в области своих абстрактных и запутанных теорий (типа квантовой теории поля, теория гравитации), плохо ориентируются в вопросах, которые имеют естественное происхождение и связаны с динамикой обычного игрушечного волчка.

8. В некотором смысле даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой в принципе возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, которые во многих случаях выглядели очень искусственно (например, интерпретация Жуковского движения волчка Ковалевской [76]), то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации «особо замечательных» решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования можно получить ряд новых результатов даже для казалось бы полностью исхоженной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, решения Бобылева-Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выраж
ениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически – но уже после их компьютерного обнаружения. Здесь следует особо отметить анализ движения в абсолютном пространстве, который практически вообще не производился.

Некоторые любопытные движения, имеющиеся у интегрируемых волчков, возможно, способны вызвать конкретные идеи по их практическому

использованию. Напомним, что, например, открытый более столетия назад волчок Ковалевской до сих пор не нашел своего применения, именно потому, что о его движении, несмотря на полное решение в эллиптических функциях, было практически ничего не известно.

Мы также приводим некоторые неустойчивые периодические решения, порождающие семейство двоякоасимптотических движений, поведение которых является наиболее сложным и даже при наличии дополнительного интеграла выглядит неупорядоченным. При возмущении такие решения разрушаются в первую очередь и вблизи них в фазовом пространстве появляются целые области, заполненные уже «настоящими» хаотическими траекториями.

Компьютерные исследования заставляют во многом «произвести ревизию» и понять истинный смысл аналитических исследований. Если некоторые аналитические результаты – типа разделения переменных оказываются очень полезными для изучения бифуркаций и классических решений, то их дальнейшее «развитие» до получения явных квадратур (через $\theta$-функции) является практически бесполезным. Эти результаты собраны, например, в книгах $[61,72]$, но скорее имеют значение как упражнения по дифференциальным уравнениям, а не как методы динамического анализа.

9. Относительно ценности результатов классиков в динамике твердого тела ряд сомнений был высказан еще в 70 -х годах прошлого столетия (К. Магнус [119]). Эпоха веры в безграничные возможности вычислительной техники породила убеждение, что все эти результаты являются бесполезными, и достаточно мощный компьютер способен спрогнозировать движение на любом интервале времени с достаточной точностью. Однако факт экспоненциально быстрого разбегания траекторий (связанный с неустойчивостью в целых областях фазового пространства) в типичных динамических системах, являющихся неинтегрируемыми, сделал такой компьютерный счет на достаточно больших интервалах времени не имеющим физического смысла, так как начальные условия для конкретных (прикладных) систем всегда известны с некоторой погрешностью.

Кажется, что вполне надеяться на численные методы можно только в интегрируемой ситуации, в которой такого разбегания не происходит. Тем не менее, оказывается, что консервативные системы даже в стохастической ситуации сохраняют многие элементы интегрируемой динамики. При небольшом возмущении интегрируемой задачи продолжают существовать невырожденные периодические орбиты, не разрушается большинство условно-периодических движений (КАМ-теория).

При дальнейшем увеличении возмущения как с периодическими орбитами, так и с инвариантными торами происходят различного рода бифуркации, имеющие некоторые общие закономерности. Они определяют изменение всей структуры фазового потока, сочетающего в себе зоны с регулярным и хаотическим поведением, и задают сценарии перехода к хаосу. В динамике твердого тела эти исследования, кстати говоря, невозможные без высокоточного компьютерного моделирования, почти не были проведены. В этой книге мы приводим лишь несколько примеров хаотического движения и надеемся, что в ближайшем будущем в этой области появится много новых интересных результатов.