Следуя общей схеме исследования, предложенной при анализе аналогов случая Лагранжа, укажем сначала общие динамические условия, приводящие к существованию инвариантного соотношения типа Гесса, а затем проиллюстрируем их на различных механических системах [33].

Мы сформулируем сначала даже более общее утверждение относительно существования инвариантного соотношения вида
\[
M_{3}-c=0, \quad c=\text { const }
\]
(которое при произвольном $c$ даст условия существования интеграла типа Лагранжа, они также указаны нами в § 1 формула (1.13)) для наиболее полного вида обобщенно-потенциальной системы с гамильтонианом
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{M}, \mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{M}\right)+(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{W}(\boldsymbol{q}))+U(\boldsymbol{q}), \\
\boldsymbol{q} \approx(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \gamma) \approx(\theta, \varphi, \psi) \approx\left(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right),
\end{array}
\]

где $\mathbf{A}^{\prime}$ — постоянная, не обязательно диагональная матрица (предполагается использование системы неглавных осей). Гамильтониан (4.2) описывает также движение твердого тела с неподвижной точкой в суперпозиции силовых полей (см. §4 гл. 3, в котором разобраны ряд обобщений случаев Лагранжа и Гесса на специальные формы потенциала $U(\boldsymbol{q}), W(\boldsymbol{q}) \equiv 0$ ).

С помощью непосредственных вычислений можно показать, что условия существования соотношения (4.1) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
a_{11}^{\prime}=a_{22}^{\prime}, \quad a_{12}^{\prime}=0, \\
\left(\widehat{L}_{\alpha}+\widehat{L}_{\beta}+\widehat{L}_{\gamma}\right)\left(U+c W_{3}\right)=0, \\
\left(\widehat{L}_{\alpha}+\widehat{L}_{\beta}+\widehat{L}_{\gamma}\right) W_{1}+W_{2}+c a_{23}^{\prime}=0, \\
\left(\widehat{L}_{\alpha}+\widehat{L}_{\beta}+\widehat{L}_{\gamma}\right) W_{2}-W_{1}-c a_{13}^{\prime}=0,
\end{array}
\]

где $\widehat{L}_{\alpha}, \widehat{L}_{\beta}, \widehat{L}_{\gamma}$ — дифференциальные операторы вида:
\[
\hat{L}_{\alpha}=\alpha_{1} \frac{\partial}{\partial \alpha_{2}}-\alpha_{2} \frac{\partial}{\partial \alpha_{1}}, \quad \hat{L}_{\beta}=\beta_{1} \frac{\partial}{\partial \beta_{2}}-\beta_{2} \frac{\partial}{\partial \beta_{1}}, \quad \hat{L}_{\gamma}=\gamma_{1} \frac{\partial}{\partial \gamma_{2}}-\gamma_{2} \frac{\partial}{\partial \gamma_{1}} .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В системе главных осей операторы $\hat{L}_{\alpha}, \widehat{L}_{\beta}, \widehat{L}_{\gamma}$ имеют вид (3.3) $\S 3$, преобразуясь при помощи матрицы (3.6) §3.

Линейные и квадратичные потенциалы.
Укажем в явном виде условия существования интеграла Гесса (4.1) для частного вида векторного и скалярного потенциалов $\boldsymbol{W}, U$ в (4.2), предполагая
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{W}=\boldsymbol{K}+\sum_{i=1}^{3} \mathbf{B}^{(i)} \boldsymbol{\alpha}_{i}, \\
U=\sum_{i=1}^{3}\left(\boldsymbol{r}^{(i)}, \boldsymbol{\alpha}_{i}\right)+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3}\left(\boldsymbol{\alpha}_{i}, \mathbf{C}^{(i)} \boldsymbol{\alpha}_{i}\right),
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{K}, \boldsymbol{r}_{i}-$ постоянные векторы, $\mathbf{C}^{(i)}-$ симметричные, $\mathbf{B}^{(i)}$ — произвольные матрицы $3 \times 3(i=1,2,3)$.

Условия существования интеграла Гесса для некоторых (еще более частных) случаев системы (4.4) приведены в работах [98,45] (см. далее).
Используя соотношения (4.1) и (4.3), находим
\[
\boldsymbol{K}=\left(-c a_{13}^{\prime},-c a_{23}^{\prime}, k_{3} a_{33}^{\prime}\right),
\]
$k_{3}$ — произвольная постоянная,
\[
\begin{array}{c}
b_{11}^{(i)}=b_{22}^{(i)}, \quad b_{12}^{(i)}=-b_{12}^{(i)}, \quad b_{13}^{(i)}=b_{23}^{(i)}=0, \\
r_{1}^{(i)}=c b_{31}^{(i)}, \quad r_{2}^{(i)}=c b_{32}^{(i)}, \\
\mathbf{C}^{(i)}=\operatorname{diag}\left(c_{11}^{(i)}, c_{11}^{(i)}, c_{33}^{(i)}\right) .
\end{array}
\]

При этом гамильтониан можно представить в форме
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(a_{11}^{\prime}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+a_{33}^{\prime}\left(M_{3}+k_{3}\right)^{2}\right)+ \\
+\left(M_{3}-c\right)\left(a_{13}^{\prime} M_{1}+a_{23}^{\prime} M_{2}\right)+b_{11}^{(1)}\left(M_{1} \alpha_{1}+M_{2} \alpha_{2}\right)+ \\
+b_{12}^{(1)}\left(M_{1} \alpha_{2}-M_{2} \alpha_{1}\right)+b_{33}^{(1)} M_{3} \alpha_{3}+\left(M_{3}-c\right)\left(b_{31}^{(1)} \alpha_{1}+b_{32}^{(1)} \alpha_{2}\right)+ \\
+\frac{1}{2}\left(c_{11}^{(1)}\left(\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}\right)+c_{33}^{(1)} \alpha_{3}^{2}\right)+r_{3}^{(1)} \alpha_{3}+\ldots
\end{array}
\]

где опущены аналогичные слагаемые, содержащие $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$.
Рассмотрим взаимную систему переменных — проекции вектора кинетического момента на неподвижные оси $\boldsymbol{N}=\left(N_{1}, N_{2}, N_{3}\right)=$ $=((\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}),(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta}),(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}))$ и вектор $\boldsymbol{p}=\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right)$. Их коммутация образует алгебру $e(3)$ (§4 гл. 1). В этих переменных гамильтониан (4.2) при условиях (4.3), (4.4) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2} a_{11}^{\prime} \boldsymbol{N}^{2}+\left(\boldsymbol{b}_{1}, \boldsymbol{N}\right)+\left(\boldsymbol{b}_{2} \times \boldsymbol{p}, \boldsymbol{N}\right)+\left(\boldsymbol{r}+c \boldsymbol{b}_{3}-c \boldsymbol{b}_{1}, \boldsymbol{p}\right)+\frac{1}{2}(\boldsymbol{p}, \mathbf{C p})+ \\
+\left(M_{3}-c\right) \int(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}),
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{b}_{1}=\left(b_{11}^{(1)}, b_{11}^{(2)}, b_{11}^{(3)}\right), \boldsymbol{b}_{2}=\left(b_{12}^{(1)}, b_{12}^{(2)}, b_{13}^{(3)}\right), \boldsymbol{b}_{3}=\left(b_{33}^{(1)}, b_{33}^{(2)}, b_{33}^{(3)}\right)$, $\boldsymbol{r}=\left(r_{3}^{(1)}, r_{3}^{(2)}, r_{3}^{(3)}\right), \mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(c_{33}^{(1)}-c_{11}^{(1)}, c_{33}^{(2)}-c_{11}^{(2)}, c_{33}^{(3)}-c_{11}^{(3)}\right)$, причем функция $f(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})$ не может быть выражена через переменные $\boldsymbol{N}, \boldsymbol{p}$. (В противном случае мы получили бы волчок типа Лагранжа.)

Поскольку $\boldsymbol{N}, \boldsymbol{p}$ коммутируют с $M_{3}$, уравнения движения для них на уровне $M_{3}=c$ отделяются и описываются гамильтоновой системой на $e(3)$ с гамильтонианом (4.6), взятом при условии $M_{3}-c=0$, т. е. системой с двумя степенями свободы.

Таким образом, в качестве приведенной системы мы получаем поток, изоморфный уравнениям движения шарового волчка в обобщенно потенциальном поле на фиксированном уровне постоянной площадей $(\boldsymbol{N}, \boldsymbol{p})=$ $=M_{3}=c$.

Система (4.6) в общем случае не является интегрируемой, т. е. существование инвариантного соотношения Гесса для системы (4.2) не означает еще полной интегрируемости. Как мы уже видели в § 1, аналогичное замечание справедливо относительно наличия общего интеграла Лагранжа, который только обеспечивает возможность понижения порядка на одну степень свободы.

Укажем дополнительные условия, при которых система (4.6) вполне интегрируема. Действительно, при $b_{1}=b_{2}=b_{3}=r=0$ мы имеем интегрируемый случай Клебша (при $c=0$ — систему Неймана), а при $b_{1}=b_{2}=$ $=b_{3}=0, c=0$ — случай Лагранжа для одного поля.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. До сих пор мы использовали специальную систему координат, оси которой не совпадают с главными осями тела и $\mathbf{A}$ не диагональна. В системе координат, для которой тензор инерции диагонален $\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$, интеграл типа Гесса (4.1) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
F=\sqrt{a_{2}-a_{1}} \sqrt{a_{3}-a_{2}}\left(M_{1} \sqrt{a_{2}-a_{1}} \pm M_{3} \sqrt{a_{3}-a_{2}}\right)- \\
-\left(K_{1} \sqrt{a_{3}-a_{2}} \pm K_{3} \sqrt{a_{2}-a_{1}}\right)=0,
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{K}$ — постоянный вектор в (4.4). Преобразование к системе главных осей тела выполняется при помощи матрицы $\mathbf{U}$ (3.6).

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Интеграл Гесса, как и интеграл Лагранжа, имеются в более сложной системе с пятью степенями свободы [41] — тело, подвешенное на невесомом жестком стержне (струне), движется в поле тяжести [153]. Для интегрируемости этой системы даже при наличии указанных интегралов не хватает еще трех инволютивных интегралов. Они неизвестны, а единственный случай интегрируемости связан с полным разделением движений, когда точка закрепления тела на струне совпадает с центром масс.

Известные интегрируемые случаи. В случае осесимметричного в пространстве одного силового поля, т.е. при $U=U(\gamma), \boldsymbol{W}=\boldsymbol{W}(\gamma)$ различными авторами были отмечены следующие аналоги интеграла Гесса, которого в этом случае достаточно для полной интегрируемости:

1. $U(\gamma)=\mu \gamma_{3}, \boldsymbol{W}(\gamma)=0$ — классический случай Гесса уравнений Эйлера-Пуассона [228].
2. $U(\gamma)=\mu \gamma_{3}, \boldsymbol{W}=\left(c a_{13}^{\prime}, c a_{23}^{\prime}, k_{3}\right), k_{3}=$ const — гиростатическое обобщение случая Гесса, указанное Л.Н. Сретенским [159].
3. $U(\gamma)=(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{C} \boldsymbol{\gamma}), \mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(c_{1}, c_{1}, c_{3}\right), \boldsymbol{W}=\left(b_{11} \gamma_{1}+b_{12} \gamma_{2},-b_{12} \gamma_{1}+\right.$ $\left.+b_{11} \gamma_{2}, b_{31} \gamma_{1}+b_{32} \gamma_{2}+b_{33} \gamma_{3}\right)$ — частный случай интегрируемости (С. А. Чаплыгин [178], В.В.Коз.ов, Д. А. Онищенко [98]) уравнений Кирхгофа.

Случаи $1,2,3$, очевидно, удовлетворяют общим условиям (4.3), (4.5).

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Все обобщения случая Гесса, указанные на алгебре $e(3)$, могут быть естественным образом перенесены на случай пучка скобок $\mathscr{L}_{x}$ вследствие того, что уравнения для $\boldsymbol{M}$ одинаковы на всем пучке. Инвариантное соотношение Гесса при этом не зависит от параметра пучка.

В случае двух силовых полей система (4.4) рассматривалась в работе [45] (А. А. Буров, Г.И.Субханкулов), хотя в ней потенциалы (4.4) имеют гидродинамическую интерпретацию. В работе [45] указаны два частных случая существования у системы интеграла Гесса $M_{3}=0$, вопрос, однако, о полной интегрируемости не обсуждается. Оказывается, что в одном из этих случаев система является интегрируемой, а в другом — нет.
1-й случай
\[
U=\frac{1}{2}\left(c_{11}^{(1)}\left(\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}\right)+c_{33}^{(1)} \alpha_{3}^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c_{11}^{(2)}\left(\beta_{1}^{2}+\beta_{2}^{2}\right)+c_{33}^{(2)} \beta_{3}^{2}\right) .
\]

Гамильтониан приведенной системы (4.6) в этом случае можно представить в форме
\[
H=\frac{1}{2} a_{11}^{\prime} N^{2}+\frac{1}{2}\left(c_{33}^{(1)}-c_{11}^{(1)}\right) p_{1}^{2}+\frac{1}{2}\left(c_{33}^{(2)}-c_{11}^{(2)}\right) p_{2}^{2} .
\]

Вследствие соотношения $(\boldsymbol{N}, \boldsymbol{p})=M_{3}=0$ этот случай изоморфен системе Неймана, которая интегрируема.
2-й случай
\[
U=r_{3} \alpha_{3}+\frac{1}{2}\left(c_{11}\left(\beta_{1}^{2}+\beta_{2}^{2}\right)+c_{33} \beta_{3}^{2}\right) .
\]

Приведенная система имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} a_{11}^{\prime} \boldsymbol{N}^{2}+r_{3} p_{1}+\frac{1}{2}\left(c_{33}-c_{11}\right) p_{2}^{2}, \quad(\boldsymbol{N}, \boldsymbol{p})=0 .
\]

Этот гамильтониан соответствует сферическому маятнику в поле тяжести и перпендикулярном ему поле Бруна. Такая система, по-видимому, неинтегрируема. Уже традиционно мы рассмотрим применение указанных общих условий к трем несколько более смежным задачам динамики твердого тела.

Твердое тело на гладкой плоскости. В работе [42] (А. А. Буров) найдено инвариантное соотношение Гесса для динамики твердого тела с гиростатом на гладкой горизонтальной плоскости. При этом вследствие того, что используются угловые скорости $\boldsymbol{\omega}$ и система главных осей, это соотношение выглядит несколько неожиданным. Здесь мы приведем условия

существования интеграла Гесса для уравнений в гамильтоновой форме на алгебре $e(3)$ в случае, когда потенциал силового поля симметричен относительно вращений вокруг вертикали.

Как показано в гл. 1, уравнения движения могут быть записаны в гамильтоновой форме на алгебре $e(3)$ с функцией Гамильтона
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A}(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{K}), \mathbf{I A}(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{K}))+\frac{1}{2} m(\boldsymbol{a}, \mathbf{A}(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{K}))+U(\gamma), \\
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{r} \times \gamma, \quad \mathbf{A}=(\mathbf{I}+m \boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{a})^{-1}, \\
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{K}$ — постоянный в теле вектор гиростатического момента, $\gamma$ — вектор нормали к плоскости, $M$ — вектор кинетического момента относительно точки контакта, который связан с угловой скоростью по формуле
\[
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+m \boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\omega}) .
\]

Здесь $\mathbf{I}$ — тензор инерции относительно центра масс, $m$ — масса тела.
Вектор $\boldsymbol{r}(\gamma)$ находится из условия
\[
\gamma=-\frac{\operatorname{grad} F(\boldsymbol{r})}{|\operatorname{grad} F(\boldsymbol{r})|}
\]

где $F(r)=0$ задает уравнение (всюду выпуклой) поверхности тела.
Пусть тело ограничено осесимметричной поверхностью, ось симметрии которой перпендикулярна круговому сечению гирационного эллипсоида вида
\[
\left(\boldsymbol{M}, \mathbf{I}^{-1} \boldsymbol{M}\right)=\text { const. }
\]

Выберем систему координат, одна из осей которой О $x_{3}$ перпендикулярна круговому сечению, а другая — Ох $x_{2}$ — направлена вдоль средней оси инерции, тогда, если $U$ зависит лишь от $\gamma_{3}$ и выполнено соотношение
\[
K_{2}=0, \quad a_{11}^{(0)} K_{1}+a_{13}^{(0)} K_{3}=c a_{13}^{(0)},
\]

где $\mathbf{A}^{(0)}=\left\|a_{i j}^{(0)}\right\|=\mathbf{I}^{-1}$, инвариантное соотношение Гесса принимает вид
\[
M_{3}-c=0 .
\]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этого утверждения — прямая проверка, которую удобнее выполнять при помощи любого средства аналитических вычислений.

Гамильтониан в случае Гесса отличается от гамильтониана случая Лагранжа на гладкой плоскости (2.12) (§1 гл. 3) наличием дополнительного слагаемого вида $\left(M_{3}-c\right) f(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$. Оно обращается в нуль на уровне интеграла Гесса, где также возможен переход к редуцированной системе, определяемой переменными (2.6) (§1 гл. 3).

ЗАМЕЧАНИЕ 5. В выбранной системе координат
\[
\mathbf{A}^{(0)}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}^{(0)} & 0 & a_{13}^{(0)} \\
0 & a_{11}^{(0)} & 0 \\
a_{13}^{(0)} & 0 & a_{33}^{(0)}
\end{array}\right),
\]

уравнение поверхности тела имеет вид
\[
F=F\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}, x_{3}\right)=0,
\]

а вектор $\boldsymbol{a}$ в (4.8) можно представить в форме
\[
\boldsymbol{a}=\left(-f\left(\gamma_{3}\right) \gamma_{2}, f\left(\gamma_{3}\right) \gamma_{1}, 0\right),
\]

где $f$ зависит лишь от $\gamma_{3}$.

ЗАМЕЧАНИЕ 6. Аналог случая Гесса при движении твердого тела по абсолютно шероховатой плоскости (неголономная система) до сих пор не найден. Тем не менее обобщение задачи Лагранжа о качении осесимметричного тела по плоскости существует и проинтегрировано С. А. Чаплыгиным [122].

Гироскоп в кардановом подвесе.
В этой задаче кинетическая энергия также зависит от позиционный переменных, что и обуславливает дополнительные сложности. Здесь также удобно пользоваться гамильтоновой формой записи системы (см. подробно §4 гл. 1). По причине громоздкости получающихся выражений приведем здесь лишь окончательный результат при отсутствии гиростатического момента.

Пусть динамически несимметричное твердое тело закреплено в кардановом подвесе, так что ось закрепления на внутренней рамке (см. рис. 10 гл. 1) совпадает с перпендикуляром к круговому сечению гирационного эллипсоида и потенциальная энергия тела во внешнем поле инвариантна относительно поворотов тела на оси внутренней рамки. Тогда существует инвариантное соотношение типа Гесса, которое в системе координат, одна из осей которой ( $\left.O x_{3}\right)$ совпадает с перпендикуляром к круговому сечению, имеет вид
\[
M_{3}=0 .
\]

Этот случай, по-видимому, впервые отмечен авторами в [33].
Для случая поля тяжести центр масс тела должен располагаться на оси внутренней рамки.

ЗАМЕЧАНИЕ 7. Несложно указать обобщение этого результата на случай гиростата, при этом соотношение (4.10) примет вид $M_{3}=c$, где $c-$ фиксированная константа, зависящая от гиростатического момента.

Интеграл Гесса в уравнениях Чаплыгина.
Укажем еще один случай существования инвариантного соотношения Гесса для неавтономной системы, описывающей падение твердого тела в жидкости без начального толчка $\S 7$ гл. 1. При этом поверхность, ограничивающая тело, осесимметрична, а ось симметрии перпендикулярна круговому сечению гирационного эллипсоида. Гамильтониан можно представить в форме
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}+2 a_{13} M_{1} M_{3}\right)+\frac{1}{2} \mu t^{2} \gamma_{3}^{2} .
\]

В выбранной системе координат инвариантное соотношение имеет вид
\[
M_{3}=0,
\]

и на этом можно получить уравнение для угла нутации, которое не отличается от осесимметричного случая (см. §2)
\[
-\sin \theta \ddot{\theta}=-\frac{c \cos \theta}{\sin ^{2} \theta}-\mu t^{2} \sin ^{2} \theta \cos \theta, \quad c=(\boldsymbol{M}, \gamma) .
\]

Угол собственного вращения в этом случае дается системой
\[
\dot{\varphi}=-\frac{c \cos \theta}{\sin ^{2} \theta}+a_{13} M_{1}, \quad \dot{M}_{1}=q_{3} M_{1} M_{2}+\mu t^{2} \gamma_{2} \gamma_{3},
\]

где $\gamma_{3}=\cos \theta, \gamma_{1}=\sin \theta \sin \varphi, \gamma_{2}=\sin \theta \cos \varphi$, а $M_{2}$ может быть найдено из соотношения
\[
M_{1}^{2}+M_{2}^{2}=\frac{c^{2}+\dot{\gamma}_{3}^{2}}{1-\gamma_{3}^{2}} .
\]

Отметим, что вследствие того, что справедливы уравнения (4.13), при $c=0$ для случая Гесса справедлив качественный анализ движения, проведенный в [93].