Встречающиеся в этой книге системы в основном являются консервативными (т. е. обладают интегралом энергии) и гамильтоновыми. Имеется также ряд интересных задач динамики твердого тела, которые уже не являются гамильтоновыми. При этом они могут оставаться консервативными. Такого сорта системы возникают в неголономной механике и связаны с качением твердого тела по поверхности при условии полного отсутствия проскальзывания. В фазовом пространстве таких систем, как правило, не обладающих инвариантной мерой, могут существовать нетривиальные притягивающие множества, т. е. инвариантные многообразия, к которым стремится движение с произвольными начальными условиями. Поведение системы может обладать достаточно «экзотической» динамикой, имеющейся, например, у кельтских камней.

Еще один класс систем динамики твердого тела связан с движением в сопротивляющихся средах. Возникающие здесь динамические системы уже не являются консервативными, а фазовый поток не обладает инвариантной мерой и имеет сжимающие свойства. Эти задачи изучены существенно меньше, чем описанные в книге, тем не менее очевидно, что при любом движении тела имеется трение, приводящее к диссипации энергии и при отсутствии внешнего воздействия – к состоянию покоя. Имеется несколько феноменологических моделей движения тела в диссипативной среде: сухое и линейное (по скорости) вязкое трение, квадратичное (по скорости, турбулентное) сопротивление и пр. Мы здесь рассмотрим простейшие модели вращения твердого тела (либо гиростата) вокруг неподвижной точки при отсутствии внешних сил, но помещенного в вязкую среду. Такая постановка является приемлемой при малых угловых скоростях движения и при простой геометрии тела (не приводящих к образованию вихрей), помещенного в сплошную среду. При указанных условиях динамика тела описывается системой уравнений вида
\[
\dot{M}=M \times \mathrm{A} M+\mathrm{B} M,
\]

где $\boldsymbol{M}$ – вектор кинетического момента в системе координат, связанной с телом, $\mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$, где $\mathbf{I}-$ тензор инерции, а $\mathbf{B}-$ некоторая постоянная матрица.

Для реальной диссипации ( $\operatorname{div} v<0$ ) матрица В должна удовлетворять условию $\operatorname{Tr} \mathbf{B}<0$, в других случаях она определяет гироскопическое или управляющее воздействие. Такая постановка изучалась, например, в работе [241], где, в частности, указаны параметры, при которых в системе (1.1) одновременно существует два странных аттрактора. На рис. 72-76 приведены различные случаи системы (1.1), в наиболее простых из них (случаи Гринхилла, Клейна-Зоммерфельда) траектории ложатся на некоторые интегральные поверхности, в наиболее сложном система обладает двумя странными аттракторами.
\[
\begin{array}{l}
\dot{M}_{1}=\frac{10}{\sqrt{3}} M_{2} M_{3}+M_{2}-0.4 M_{1} \\
\dot{M}_{2}=-\frac{5}{\sqrt{3}} M_{1} M_{3}-M_{1}-0.4 M_{2} \\
\dot{M}_{3}=-\frac{5}{\sqrt{3}} M_{1} M_{2}+0.101 M_{3}
\end{array}
\]

Рис. 72. Система с двумя странными аттракторами, ее также можно интерпретировать как гиростат (гиростатический момент направлен вдоль оси $O M_{3}$ ) в среде с диагональной матрицей диссипации (по одному направлению происходит «накачка»).

В общем случае система (1.1) негамильтонова и не допускает интегралов движения. Исключение составляет случай кососимметрической матрицы В. При этом система (1.1) описывает гиростат Жуковского-Вольтерра (см. §7, гл.2) с вектором гиростатического момента $\boldsymbol{K}$ с компонентами $K_{i}=\varepsilon_{i j k} B_{j k}$ и имеется два автономных интеграла. Разделяя матрицу $\mathbf{B}$

Рис. 73. Система, аналогичная предыдущей – тело с ротором, вращающимся вокруг оси $O M_{3}$ в среде с диагональной диссипацией и накачкой. При $t \rightarrow \infty$ все траектории либо наматываются на ось $O M_{3}$, либо ложатся на предельный цикл.

Рис. 74. Гиростат (вдоль оси $O M_{3}$ ) в среде с диагональной диссипацией и накачкой. Видно, что при $t \rightarrow+\infty$ все траектории стремятся к оси $O M_{3}$ и наматываются на нее, других аттракторов у системы нет.

Рис. 75. Система Гринхилла, для которой все траектории стремятся к нулю, соответствующему положению равновесия (при $t \rightarrow+\infty$ ), оставаясь на поверхности конуса.

на кососимметрическую и симметрическую части, можно считать, что (1.1) описывают волчок с гиростатом с диссипацией, описываемой симметричной частью B.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Необходимым условием гамильтоновости уравнений (1.1) является наличие двух автономных интегралов движения [31]. По-видимому, кроме гиростата Жуковского – Вольтерра других случаев гамильтоновости не имеется.

Рассмотрим условия существования у системы (1.1) неавтономных интегралов вида
\[
F=e^{\lambda t}\left(\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{D} \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{M})\right),
\]

здесь $\mathbf{D}, \boldsymbol{\beta}$ – некоторые постоянные матрица и вектор соответственно, $\lambda=$ $=$ const. Дифференцируя (1.2) вдоль векторного поля (1.1) и полагая $\dot{F}=0$, получим следующие соотношения:
$1^{\circ} . \mathbf{D}=c_{1} \mathbf{E}+c_{2} \mathbf{A}$, т. e. $\mathbf{D}=\operatorname{diag}\left(d_{1}, d_{2}, d_{3}\right)$,
$2^{\circ} . \mathbf{B} \boldsymbol{\beta}=-\lambda \boldsymbol{\beta}$,
$3^{\circ} . \quad$ a) $d_{i}\left(b_{i i}+\frac{\lambda}{2}\right)=0, \quad i=1,2,3$,
b) $d_{i} b_{i j}+d_{j} b_{j i}+\beta_{k}\left(a_{j}-a_{i}\right)=0, \quad i, j, k=1,2,3$.

Рис. 76. Траектория в пространстве $\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)$ в случае осесимметричного тела. Хорошо видно, что траектории лежат на поверхности (определяемой уравнением $M_{1}^{2}+M_{2}^{2}=c M_{3}^{1}, c=$ const) и стремятся к началу координат.

Постоянная $\lambda$ в случае $\boldsymbol{\beta}
eq 0$ находится из уравнения $2^{\circ}$, в противном случае необходимо воспользоваться условием $3^{\circ}$ a).
Рассмотрим два примера.

Система Лоренца.
В работе [246] Е. Лоренц, исследуя различные модели гидродинамических течений, указал трехмерную систему, которая при некоторых значениях параметров обладает странным аттрактором. Приведенная в этой работе система может рассматриваться как частный случай системы (1.1). Действительно, система Лоренца может быть представлена в форме
\[
\begin{array}{l}
\dot{M}_{1}=-\sigma\left(M_{1}-M_{2}\right), \\
\dot{M}_{2}=-M_{1} M_{3}+\mu M_{1}-M_{2}, \\
\dot{M}_{3}=M_{1} M_{2}-
u M_{3},
\end{array}
\]

где $\mu,
u, \sigma$ – произвольные постоянные. В этом случае матрицы $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ в уравнениях (1.1) имеют вид
\[
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}
a-1 & 0 & 0 \\
0 & a & 0 \\
0 & 0 & a
\end{array}\right), \quad \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}
-\sigma & \sigma & 0 \\
\mu & -1 & 0 \\
0 & 0 & –
u
\end{array}\right), \quad a=\text { const. }
\]

Анализируя условия $1^{\circ}-3^{\circ}$, находим, что возможны следующие случаи существования интегралов вида (1.2) [266].

1. $
u=2 \sigma, F=e^{2 \sigma t}\left(\frac{1}{2} M_{1}^{2}-2 \sigma M_{3}\right)$,
2. $
u=1, \mu=0, F=e^{2 t}\left(M_{2}^{2}+M_{3}^{2}\right)$,
3. $
u=\sigma=1, F=e^{2 t}\left(-\mu M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}\right)$.

Существует также тривиальный случай интегрируемости, для которого $\sigma=0$ с линейным автономным интегралом $F=M_{1}$. При этом уравнения (1.3) задают линейную систему на плоскости $\left(M_{2}, M_{3}\right.$ ), у которой существуют еще два неавтономных интеграла.

«Диагональная диссипация». Другим примером рассматриваемых систем является твердое тело с произвольным распределением масс $\mathbf{A}=$ $=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ и диагональной матрицей диссипации $\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$. Из соотношений $1^{\circ}-3^{\circ}$ следует, что интеграл вида (1.2) у системы существует при условии равенства пары значений $b_{1}=b_{2}=b
eq b_{3}$. Этот интеграл можно представить в форме
\[
F=e^{-b t}\left(\left(a_{3}-a_{1}\right) M_{1}^{2}+\left(a_{3}-a_{2}\right) M_{2}^{2}\right) .
\]

1. Одной из простейших систем такого типа является так называемая, система Гринхилла $[2,220]$, для которой $\mathbf{B}=b \mathbf{E}, b=$ const. В этом случае заменой переменных $\boldsymbol{M} \rightarrow e^{b t} \boldsymbol{M}$ и времени вида $d \tau=e^{b t} d t$ уравнения (1.1) сводятся к системе Эйлера-Пуансо
\[
\frac{d \boldsymbol{M}}{d \tau}=M \times \mathbf{A} M
\]

В этом случае существует два независимых неавтономных интеграла
\[
F_{1}=e^{-b t}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M}), \quad F_{2}=e^{-b t}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}),
\]

их отношение задает автономный интеграл
\[
\frac{(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})}{(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})}=c=\mathrm{const},
\]

определяющий в трехмерном пространстве некоторый конус вида $(M,(\mathrm{~A}-$ $-c \mathbf{E}) \boldsymbol{M})=0$.

2. Другим частным случаем диагональной диссипации, при котором также возможен автономный интеграл, является динамика осесимметричного твердого тела, при этом $a_{1}=a_{2}, b_{1}=b_{2}=b$. Дополнительным неавтономным интегралом, линейным по $M$, является аналог проекции момента на ось динамической симметрии
\[
F^{\prime}=e^{-b_{3} t} M_{3} .
\]

Из соотношений (1.4-1.5) следует, что при условии динамической осевой симметрии $a_{1}=a_{2}$ существует также автономный интеграл вида
\[
\frac{\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)}{M_{3}^{b / b_{3}}}=\text { const. }
\]

Анализ этого случая содержится в книге Клейна и Зоммерфельда [238]. При этом для комплексной переменной $z=M_{1}+i M_{2}$ получается уравнение
\[
\dot{z}=\left[\left(a_{1}-a_{3}\right) i+b\right] z,
\]

которое интегрируется в элементарных функциях.
Как несложно видеть, в общем случае при $a_{1}=a_{2}, b_{1}
eq b_{2}
eq b_{3}
eq b_{1}$ также существует интеграл $M_{3} e^{-b_{3} t}$, а для $M_{1}, M_{2}$ (или $z$ ) получается уравнение, которое разрешается в функциях Бесселя [108].

Комментарий. В [108] приведены также системы с диссипаџией, линейной и квадратичной по переменным $M_{i}$, для которой решение может быть получено явно при помощи гипергеометрических функџий.

Система (1.1) с постоянными (не зависящими от $M_{i}$ ) слагаемыми в правой части рассматривалась в [130] с помощью теории возмущений. При этом были обнаружены вероятностные эффекты при переходе через сепаратрису невозмущенной задачи Эйлера – Пуансо при наличии малой диссипаџии.

Шаровой волчок со сложной диссипацией.
Укажем еще одну систему, приведенную в [120], которая может рассматриваться как диссипативная и допускает аналитический неавтономный первый интеграл. Уравнения движения для нее имеют вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\omega}=-\mu \gamma \times(\gamma \times \omega), \quad \mu=\text { const }, \\
\dot{\gamma}=\gamma \times \omega,
\end{array}\right.
\]

т. е. шаровой волчок помещен в силовое поле, линейно зависящее от скоростей, а также зависящее от позиционных переменных $\gamma$. Наряду с очевидными интегралами
\[
F_{1}=(\boldsymbol{\omega}, \gamma)=c_{1}, \quad F_{2}=(\gamma, \gamma)=1
\]

уравнения (1.7) имеют неавтономный интеграл
\[
F_{3}=(\dot{\gamma}, \dot{\gamma}) e^{\mu t}=(\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega}) e^{\mu t}=c_{3},
\]

который вследствие тождества
\[
(\dot{\gamma}, \dot{\gamma})=\omega^{2}-(\boldsymbol{\omega}, \gamma)^{2},
\]

может быть записан в виде
\[
\boldsymbol{\omega}^{2}=c_{3} e^{-\mu t}+c_{1}^{2} .
\]

Выражение (1.8) показывает, что при движении модуль угловой скорости системы (1.7) монотонно убывает, вследствие чего ее поведение достаточно легко исследовать.