1. Пуассоновы многообразия

Большинство рассматриваемых в этой книге задач допускает запись в канонической гамильтоновой форме и обладает первым интегралом интегралом энергии. Однако во многих случаях уравнения движения этих задач удобнее записывать не в канонической форме, а с помощью некоторой системы алгебраических переменных, наиболее приемлемой для исследований – поиска интегралов, частных решений, анализа устойчивости и пр. В этих переменных система не только сохранит многие свойства обычных гамильтоновых систем, но и приобретет некоторые характерные отличия, изучаемые в общей теории пуассоновых структур. С ней можно познакомиться по нашей книге [31].

Здесь мы вкратце изложим основные определения и результаты, необходимые для задач динамики твердого тела. Отметим также, что само развитие теории пуассоновых структур во многом было стимулировано динамикой волчков, так как последняя позволяет сделать абстрактные формулировки многих теорем более наглядными и естественными.

Те, кто плохо знаком с дифференциальной и симплектической геометрией (здесь можно рекомендовать книги [75, 6, 7]), при чтении этого параграфа могут все результаты представлять себе в координатной форме и игнорировать иногда слишком формальную математическую терминологию. В ее основе лежат простые динамические факты, но при первом знакомстве она может казаться несколько оторванной от них.

Скобки Пуассона и их свойства. Обычная гамильтонова форма уравнений динамики имеет вид
\[
\dot{\boldsymbol{q}}=\frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}, \quad \dot{\boldsymbol{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{q}}, \quad H=H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})
\]

где канонические координаты $(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}$ ) определены на некотором четномерном многообразии $(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) \in M^{2 n}-$ фазовом пространстве $(\operatorname{dim} M=2 n)$. Функция $H$ называется гамильтонианом. Величина $n=\frac{\operatorname{dim} M}{2}$ называется числом степеней свободы гамильтоновой системы (1.1).

Дивергенция векторного поля (1.1) равна нулю, то есть фазовый поток является несжимаемым (теорема Лиузилля).
Если ввести скобку Пуассона двух функций $F$ и $G$ по формуле
\[
\{F, G\}=\sum_{i}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}}-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}\right),
\]

то уравнения (1.1) можно переписать в виде
\[
\dot{q}_{i}=\left\{q_{i}, H\right\}, \quad \dot{p}_{i}=\left\{p_{i}, H\right\} .
\]

Любая дифференцируемая функция $F=F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})$ также эволюционирует по гамильтонову закону:
\[
\dot{F}=\{F, H\} .
\]

Уравнения (1.1) не являются инвариантными относительно произвольных координатных преобразований. Кроме того, при записи основных уравнений динамики твердого тела в виде (1.1) они теряют алгебраичность и приобретают особенности, не связанные с существом задачи (см. §4 п. 2). Прежде чем привести уравнения движения в более приемлемой форме, сохраняющей основные свойства канонической записи, остановимся на инвариантном изложении гамильтоновой механики.

При инвариантном построении гамильтонова формализма (следуя П. Дираку) исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона ${ }^{1}$, определенных для функций, заданных на некотором многообразии $M$ с координатами $\boldsymbol{x}=\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$. Требуется, чтобы эти скобки удовлетворяли следующим условиям:
\[
\begin{array}{l}
1^{\circ} .\left\{\lambda F_{1}+\mu F_{2}, G\right\}=\lambda\left\{F_{1}, G\right\}+\mu\left\{F_{2}, G\right\}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}-\text { билинейность, } \\
2^{\circ} .\{F, G\}=-\{G, F\}-\text { кососимметричность, } \\
3^{\circ} .\left\{F_{1} F_{2}, G\right\}=F_{1}\left\{F_{2}, G\right\}+F_{2}\left\{F_{1}, G\right\}-\text { правило Лейбница, } \\
4^{\circ} .\{\{H, F\}, G\}+\{\{G, H\}, F\}+\{\{F, G\}, H\}=0-\text { тождество Якоби. }
\end{array}
\]

Скобку Пуассона $\{\cdot, \cdot\}$ мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие $M$, на котором она задана – пуассоновым многообразием.

В приведенном определении мы отказались от требования невырожденности, (т. е. для любой функции $F(\boldsymbol{x})
ot \equiv$ const существует $G
ot \equiv$ const, $\{F, G\}
ot \equiv 0$ ), которое заведомо выполнено для канонической структуры (1.2), что позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем. В наших рассмотрениях пуассонова структура может оказаться вырожденной и обладать функциями Казимира $F_{k}(\boldsymbol{x})$, коммутирующими со всеми переменными $x_{i}$ и, стало быть, с любыми функциями – $G(\boldsymbol{x})$ на $M:\left\{F_{k}, G\right\}=0$. Функции Казимира называют также центральными функциями, казимирами или аннуляторами.

Свойства $1^{\circ}-4^{\circ}$ позволяют записать скобку Пуассона функций $F$ и $G$ в явном координатном виде
\[
\{F, G\}=\sum_{i, j}\left\{x^{i}, x^{j}\right\} \frac{\partial F}{\partial x^{i}} \frac{\partial G}{\partial x^{j}} .
\]

Базисные скобки $J^{i j}=\left\{x^{i}, x^{j}\right\}$ называются структурными функциями пуассонова многообразия $M$ относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)[7,135]$. Они образуют структурную матрицу (тензор) $\mathbf{J}=\left\|J^{i j}\right\|$ размера $n \times n$.
Если
\[
\mathbf{J}=\left(\begin{array}{cc}
0 & \mathbf{E} \\
-\mathbf{E} & 0
\end{array}\right), \quad \mathbf{E}=\left\|\delta_{i}^{j}\right\|,
\]

то получаем каноническую скобку Пуассона, определяемую формулой (1.2).
Структурная матрица $\mathbf{J}(\boldsymbol{x})$ удовлетворяет следующим условиям, вытекающим из $1^{\circ}-4^{\circ}$ :
I. кососимметричность:
\[
J^{i j}(\boldsymbol{x})=-J^{j i}(\boldsymbol{x}),
\]
II. тождество Якоби:
\[
\sum_{l=1}^{n}\left(J^{i l} \frac{\partial J^{j k}}{\partial x^{l}}+J^{k l} \frac{\partial J^{i j}}{\partial x^{l}}+J^{j l} \frac{\partial J^{k i}}{\partial x^{l}}\right)=0 .
\]

Поэтому, например, всякая постоянная кососимметрическая матрица $\left\|J^{i j}\right\|$ задает пуассонову структуру.

Инвариантный объект, определяемый тензором $\mathbf{J}$ является бивектором (бивекторным полем):
\[
\mathbf{J}(d F, d G)=\sum J^{i j}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial F}{\partial x^{i}} \wedge \frac{\partial G}{\partial x^{j}},
\]

где $d F$ – ковектор с компонентами $\frac{\partial F}{\partial x^{i}}$.
Векторное поле $\boldsymbol{X}_{H}=\{\boldsymbol{x}, H\}$ определяет на многообразии (произвольной размерности) гамильтонову систему, которая в компонентной записи имеет вид
\[
\dot{x}^{i}=X_{H}^{i}=\left\{x^{i}, H\right\}=\sum_{j} J^{i j}(x) \frac{\partial H}{\partial x^{j}} .
\]

Функция $H=H(\boldsymbol{x})$ при этом также называется гамильтонианом (функцией Гамильтона.

Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношениeм
\[
\left[\boldsymbol{X}_{H}, \boldsymbol{X}_{F}\right]=-\boldsymbol{X}_{\{H, F\}} .
\]

Несложно также проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование (фазовый поток), сохраняющее скобки Пуассона.

Функция $F(\boldsymbol{x})$ называется первым интегралом системы, если ее производная вдоль системы равна нулю $\dot{F}=\boldsymbol{X}_{H}(F)=0$, это условие эквивалентно тому, что $\{F, H\}=0$.
Система уравнений
\[
F_{1}(\boldsymbol{x})=0, \ldots, F_{k}(\boldsymbol{x})=0
\]

задает систему инвариантных соотношений (определяющих инвариантное многообразие), если $\left\{F_{i}, H\right\}=0$ на многообразии, определяемом условиями (1.10).

Невырожденная скобка. Симплектическая структура. Если скобка Пуассона является невырожденной, то ей однозначно сопоставляется замкнутая невырожденная 2-форма. Действительно, для любой гладкой функции $F$ операция $\boldsymbol{X}_{F}=\{F, \cdot\}$ является дифференцированием и задает некоторый касательный вектор на $M$. Используя $1^{\circ}-4^{\circ}$, в этом случае можно показать, что в таком виде можно представить каждый касательный вектор.
Определим 2-форму $\omega^{2}$ по формуле
\[
\omega^{2}\left(\boldsymbol{X}_{G}, \boldsymbol{X}_{F}\right)=\{F, G\} .
\]

Из аксиом $1^{\circ}-4^{\circ}$ следует, что она билинейна, кососимметрична, невырождена и замкнута. Эта 2-форма называется симплектической структурой, а многообразие $M$ – симплектическим многообразием.

В координатном представлении форма $\omega^{2}$ имеет вид $\sum_{i, j} \omega_{i j} d x_{i} \wedge d x_{j}$, где $\left\|\omega_{i j}\right\|=\left\|J^{i j}\right\|^{-1}$, в каноническом случае (1.6) $\omega^{2}=\sum_{i} d p_{i} \wedge d q_{i}$. К такому виду по теореме Дарбу [135] приводится локально всякая симплектическая структура. В следующем разделе мы сформулируем эту теорему в более общей форме.

Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои (листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования.

ЗАМЕЧАНИЕ. В динамике твердого тела для поиска интегралов, частных решений и анализа устойчивости обычно используется алгебраическая форма уравнений движения. Она также является предпочтительной при их численном интегрировании, вследствие того, что каноническая форма содержит особенности, связанные с вырождением локальных переменных в отдельных точках, например, углов Эйлера в полюсах сферы Пуассона, см. §§2,3).

Для вопросов качественного анализа и построения теории возмущений обычно используется каноническая форма записи, так как для нее эти методы наиболее развиты и алгоритмизованы.

Рангом пуассоновой структуры в точке $x \in M$ называется ранг структурного тензора в этой точке (очевидно, что он четен). Под рангом пуассоновой структуры на всем многообразии $M$ понимают максимальный ранг, который она имеет в некоторой точке $x \in M$. Для симплектических многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален.

Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных пуассоновых многообразий $[31,135]$.

Теорема 1. Пусть $(M,\{\cdot, \cdot\})$ – пуассоново многообразие размерности $n$, и в точке $\boldsymbol{x} \in M$ ранг скобки $\{\cdot, \cdot\}$ локально постоянен и равен $2 r$

(рангу пуассоновой структуры). Тогда существует локальная система (канонических) координат $x_{1}, \ldots, x_{r}, y_{1}, \ldots, y_{r}, z_{1}, \ldots, z_{n-2 r}$, в которой скобки Пуассона имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left\{x_{i}, x_{j}\right\}=\left\{y_{i}, y_{j}\right\}=\left\{x_{i}, z_{k}\right\}=\left\{y_{i}, z_{k}\right\}=\left\{z_{k}, z_{l}\right\}=0, \\
\left\{x_{i}, y_{j}\right\}=\delta_{i j},
\end{array}
\]

где $1 \leqslant i, j \leqslant r, \quad 1 \leqslant k, l \leqslant n-2 r$.
В указанных координатах симплектический лист задается уравнениями $z_{i}=c_{i},\left(c_{i}=\right.$ const $)$, а симплектическая структура на нем задается формой $\omega=\sum_{i} d x_{i} \wedge d y_{i}$.

Через точки, для которых ранг скобки Пуассона не максимален (меньше $2 r$ ), проходят сингулярные симплектические листы (подробнее см. [31]). Системы на сингулярных симплектических листах также часто встречаются в механике $[31,141]$.

2. Скобка Ли-Пуассона

Один из самых важных примеров пуассоновых структур связан с алгебрами Ли. Пусть $c_{i j}^{k}$ – структурные константы алгебры $\mathfrak{g}$ в базисе $\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}$. Скобка Ли-Пуассона пары функций $F, H$, заданных на некотором (другом) линейном пространстве $V$ с координатами $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ и базисом $\omega^{1}, \ldots, \omega^{n}$, определяется формулой
\[
\{F, H\}=\sum_{i, j=1}^{n} J_{i j}(x) \frac{\partial F}{\partial x_{i}} \frac{\partial H}{\partial x_{j}},
\]

где $J_{i j}(\boldsymbol{x})=\sum_{k} c_{i j}^{k} x_{k}$ – линейный по $x_{k}$ структурный тензор. Все необходимые тождества $1^{\circ}-4^{\circ}$ (см. п. 1) для структурного тензора можно получить из свойств структурных констант алгебры Ли:
1. $c_{i j}^{k}=-c_{j i}^{k}$,
2. $\sum_{m}\left(c_{i m}^{l} c_{j k}^{m}+c_{k m}^{l} c_{i j}^{m}+c_{j m}^{l} c_{k i}^{m}\right)=0$.
Симплектические листы структуры Ли-Пуассона, как известно из теории алгебр Ли, представляют собой орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы Ли (см. $[6,7,135]$ ). Формальное изложение и соответствующее доказательство имеется, например, в [6]. Уравнения Гамильтона для структуры Ли-Пуассона в покомпонентной записи имеют

вид
\[
\dot{x}_{i}=\left\{x_{i}, H\right\}=\sum_{k, j} c_{i j}^{k} x_{k} \frac{\partial H}{\partial x^{j}} .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнения (1.12) можно записать также в более инвариантном бескоординатном виде
\[
\dot{x}=\operatorname{ad}_{d H}^{*}(x), \quad x \in \mathfrak{g}^{*},
\]

где $\operatorname{ad}_{\xi}^{*},(\boldsymbol{\xi} \in \mathfrak{g})$ – оператор коприсоединенного представления алгебры Ли $\mathfrak{g}: \operatorname{ad}_{\xi}^{*}: \mathfrak{g}^{*} \rightarrow \mathfrak{g}^{*}$.

В динамике твердого тела скобка Ли-Пуассона встречается наиболее часто. Это связано с тем, что конфигурационное пространство системы, как правило, является некоторой комбинацией естественных групп Ли $(S O(3), E(3), \ldots)$. Однако при редукции по циклическим переменным могут возникнуть нелинейные скобки Пуассона (см. $\S \S 1,2$ гл. 4).

Обратимся теперь к выводу уравнений движения твердого тела из основных динамических принципов.