Главная > ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (А.В.Борисов, И.С.Мамаев)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. Пуассоновы многообразия

Большинство рассматриваемых в этой книге задач допускает запись в канонической гамильтоновой форме и обладает первым интегралом интегралом энергии. Однако во многих случаях уравнения движения этих задач удобнее записывать не в канонической форме, а с помощью некоторой системы алгебраических переменных, наиболее приемлемой для исследований — поиска интегралов, частных решений, анализа устойчивости и пр. В этих переменных система не только сохранит многие свойства обычных гамильтоновых систем, но и приобретет некоторые характерные отличия, изучаемые в общей теории пуассоновых структур. С ней можно познакомиться по нашей книге [31].

Здесь мы вкратце изложим основные определения и результаты, необходимые для задач динамики твердого тела. Отметим также, что само развитие теории пуассоновых структур во многом было стимулировано динамикой волчков, так как последняя позволяет сделать абстрактные формулировки многих теорем более наглядными и естественными.

Те, кто плохо знаком с дифференциальной и симплектической геометрией (здесь можно рекомендовать книги [75, 6, 7]), при чтении этого параграфа могут все результаты представлять себе в координатной форме и игнорировать иногда слишком формальную математическую терминологию. В ее основе лежат простые динамические факты, но при первом знакомстве она может казаться несколько оторванной от них.

Скобки Пуассона и их свойства. Обычная гамильтонова форма уравнений динамики имеет вид
q˙=Hp,p˙=Hq,H=H(q,p)

где канонические координаты (q,p ) определены на некотором четномерном многообразии (q,p)M2n фазовом пространстве (dimM=2n). Функция H называется гамильтонианом. Величина n=dimM2 называется числом степеней свободы гамильтоновой системы (1.1).

Дивергенция векторного поля (1.1) равна нулю, то есть фазовый поток является несжимаемым (теорема Лиузилля).
Если ввести скобку Пуассона двух функций F и G по формуле
{F,G}=i(FqiGpiFpiGqi),

то уравнения (1.1) можно переписать в виде
q˙i={qi,H},p˙i={pi,H}.

Любая дифференцируемая функция F=F(q,p) также эволюционирует по гамильтонову закону:
F˙={F,H}.

Уравнения (1.1) не являются инвариантными относительно произвольных координатных преобразований. Кроме того, при записи основных уравнений динамики твердого тела в виде (1.1) они теряют алгебраичность и приобретают особенности, не связанные с существом задачи (см. §4 п. 2). Прежде чем привести уравнения движения в более приемлемой форме, сохраняющей основные свойства канонической записи, остановимся на инвариантном изложении гамильтоновой механики.

При инвариантном построении гамильтонова формализма (следуя П. Дираку) исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона 1, определенных для функций, заданных на некотором многообразии M с координатами x=(x1,,xn). Требуется, чтобы эти скобки удовлетворяли следующим условиям:
1.{λF1+μF2,G}=λ{F1,G}+μ{F2,G},λ,μR билинейность, 2.{F,G}={G,F} кососимметричность, 3.{F1F2,G}=F1{F2,G}+F2{F1,G} правило Лейбница, 4.{{H,F},G}+{{G,H},F}+{{F,G},H}=0 тождество Якоби. 

Скобку Пуассона {,} мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие M, на котором она задана — пуассоновым многообразием.

В приведенном определении мы отказались от требования невырожденности, (т. е. для любой функции F(x)ot const существует Got const, {F,G}ot0 ), которое заведомо выполнено для канонической структуры (1.2), что позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем. В наших рассмотрениях пуассонова структура может оказаться вырожденной и обладать функциями Казимира Fk(x), коммутирующими со всеми переменными xi и, стало быть, с любыми функциями — G(x) на M:{Fk,G}=0. Функции Казимира называют также центральными функциями, казимирами или аннуляторами.

Свойства 14 позволяют записать скобку Пуассона функций F и G в явном координатном виде
{F,G}=i,j{xi,xj}FxiGxj.

Базисные скобки Jij={xi,xj} называются структурными функциями пуассонова многообразия M относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат x=(x1,,xn)[7,135]. Они образуют структурную матрицу (тензор) J=Jij размера n×n.
Если
J=(0EE0),E=δij,

то получаем каноническую скобку Пуассона, определяемую формулой (1.2).
Структурная матрица J(x) удовлетворяет следующим условиям, вытекающим из 14 :
I. кососимметричность:
Jij(x)=Jji(x),
II. тождество Якоби:
l=1n(JilJjkxl+JklJijxl+JjlJkixl)=0.

Поэтому, например, всякая постоянная кососимметрическая матрица Jij задает пуассонову структуру.

Инвариантный объект, определяемый тензором J является бивектором (бивекторным полем):
J(dF,dG)=Jij(x)FxiGxj,

где dF — ковектор с компонентами Fxi.
Векторное поле XH={x,H} определяет на многообразии (произвольной размерности) гамильтонову систему, которая в компонентной записи имеет вид
x˙i=XHi={xi,H}=jJij(x)Hxj.

Функция H=H(x) при этом также называется гамильтонианом (функцией Гамильтона.

Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношениeм
[XH,XF]=X{H,F}.

Несложно также проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование (фазовый поток), сохраняющее скобки Пуассона.

Функция F(x) называется первым интегралом системы, если ее производная вдоль системы равна нулю F˙=XH(F)=0, это условие эквивалентно тому, что {F,H}=0.
Система уравнений
F1(x)=0,,Fk(x)=0

задает систему инвариантных соотношений (определяющих инвариантное многообразие), если {Fi,H}=0 на многообразии, определяемом условиями (1.10).

Невырожденная скобка. Симплектическая структура. Если скобка Пуассона является невырожденной, то ей однозначно сопоставляется замкнутая невырожденная 2-форма. Действительно, для любой гладкой функции F операция XF={F,} является дифференцированием и задает некоторый касательный вектор на M. Используя 14, в этом случае можно показать, что в таком виде можно представить каждый касательный вектор.
Определим 2-форму ω2 по формуле
ω2(XG,XF)={F,G}.

Из аксиом 14 следует, что она билинейна, кососимметрична, невырождена и замкнута. Эта 2-форма называется симплектической структурой, а многообразие M — симплектическим многообразием.

В координатном представлении форма ω2 имеет вид i,jωijdxidxj, где ωij=Jij1, в каноническом случае (1.6) ω2=idpidqi. К такому виду по теореме Дарбу [135] приводится локально всякая симплектическая структура. В следующем разделе мы сформулируем эту теорему в более общей форме.

Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои (листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования.

ЗАМЕЧАНИЕ. В динамике твердого тела для поиска интегралов, частных решений и анализа устойчивости обычно используется алгебраическая форма уравнений движения. Она также является предпочтительной при их численном интегрировании, вследствие того, что каноническая форма содержит особенности, связанные с вырождением локальных переменных в отдельных точках, например, углов Эйлера в полюсах сферы Пуассона, см. §§2,3).

Для вопросов качественного анализа и построения теории возмущений обычно используется каноническая форма записи, так как для нее эти методы наиболее развиты и алгоритмизованы.

Рангом пуассоновой структуры в точке xM называется ранг структурного тензора в этой точке (очевидно, что он четен). Под рангом пуассоновой структуры на всем многообразии M понимают максимальный ранг, который она имеет в некоторой точке xM. Для симплектических многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален.

Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных пуассоновых многообразий [31,135].

Теорема 1. Пусть (M,{,}) — пуассоново многообразие размерности n, и в точке xM ранг скобки {,} локально постоянен и равен 2r

(рангу пуассоновой структуры). Тогда существует локальная система (канонических) координат x1,,xr,y1,,yr,z1,,zn2r, в которой скобки Пуассона имеют вид
{xi,xj}={yi,yj}={xi,zk}={yi,zk}={zk,zl}=0,{xi,yj}=δij,

где 1i,jr,1k,ln2r.
В указанных координатах симплектический лист задается уравнениями zi=ci,(ci= const ), а симплектическая структура на нем задается формой ω=idxidyi.

Через точки, для которых ранг скобки Пуассона не максимален (меньше 2r ), проходят сингулярные симплектические листы (подробнее см. [31]). Системы на сингулярных симплектических листах также часто встречаются в механике [31,141].

2. Скобка Ли-Пуассона

Один из самых важных примеров пуассоновых структур связан с алгебрами Ли. Пусть cijk — структурные константы алгебры g в базисе v1,,vn. Скобка Ли-Пуассона пары функций F,H, заданных на некотором (другом) линейном пространстве V с координатами x=(x1,,xn) и базисом ω1,,ωn, определяется формулой
{F,H}=i,j=1nJij(x)FxiHxj,

где Jij(x)=kcijkxk — линейный по xk структурный тензор. Все необходимые тождества 14 (см. п. 1) для структурного тензора можно получить из свойств структурных констант алгебры Ли:
1. cijk=cjik,
2. m(cimlcjkm+ckmlcijm+cjmlckim)=0.
Симплектические листы структуры Ли-Пуассона, как известно из теории алгебр Ли, представляют собой орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы Ли (см. [6,7,135] ). Формальное изложение и соответствующее доказательство имеется, например, в [6]. Уравнения Гамильтона для структуры Ли-Пуассона в покомпонентной записи имеют

вид
x˙i={xi,H}=k,jcijkxkHxj.

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнения (1.12) можно записать также в более инвариантном бескоординатном виде
x˙=addH(x),xg,

где adξ,(ξg) — оператор коприсоединенного представления алгебры Ли g:adξ:gg.

В динамике твердого тела скобка Ли-Пуассона встречается наиболее часто. Это связано с тем, что конфигурационное пространство системы, как правило, является некоторой комбинацией естественных групп Ли (SO(3),E(3),). Однако при редукции по циклическим переменным могут возникнуть нелинейные скобки Пуассона (см. §§1,2 гл. 4).

Обратимся теперь к выводу уравнений движения твердого тела из основных динамических принципов.

1
Оглавление
email@scask.ru