1. Движение точки по сфере и эллипсоиду ( $n=2,3$ ). Аналогия с динамикой волчка
Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в случае шарового тензора инерции $\mathbf{A}=\lambda \mathbf{E}, \lambda=$ const, $\mathbf{E}=\left\|\delta_{i j}\right\|$ в потенциальном (обобщенно-потенциальном) поле изоморфны уравнениям движения материальной точки по поверхности трехмерной сферы $S^{3}$ в аналогичном поле. Эта аналогия была установлена в $[18,89]$ (см. также [31]). При этом в осесимметричном поле $V=V(\gamma)$ динамика шарового волчка на нулевой постоянной площадей $(M, \gamma)=0$ эквивалентна движению материальной точки на двумерной сфере $S^{2}$. Оказывается, что эта аналогия справедлива и в многомерном случае, если воспользоваться сингулярными орбитами $e(n)$, она подробно обсуждается в [31].
Здесь мы рассмотрим лишь реальное твердое тело и двумерную и трехмерную сферы, однако приведем даже более общую аналогию, рассмотрев движение точки не по сферам $S^{2}, S^{3}$, а по эллипсоидам $E^{2}, E^{3}$. Между динамикой твердого тела, теперь уже не шарового, а трехосного и движением точки по эллипсоиду в потенциальных полях также существует вза-
имосвязь, имеющая теперь характер траекторного изоморфизма. Частным случаем является аналогия, отмеченная в § 1 гл. 3 между интегрируемыми задачами Якоби о геодезических и случаем Клебша в уравнениях Кирхгофа. Как показано в [31], она справедлива также для случая Клебша на $e(4)$ и задачи Якоби на трехмерном эллипсоиде $E^{3}$. Рассмотрим сначала двумерный случай.
Двумерный эллипсоид и сфера $\left(E^{2}, S^{2}\right)$. Пусть точка движется в евклидовом пространстве с координатами $\boldsymbol{q}=\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)$ по поверхности эллипсоида $E^{2}$, заданного уравнением $(\boldsymbol{q}, \mathbf{B} \boldsymbol{q})=1, \mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями приводят к системе
\[
\ddot{\boldsymbol{q}}=\lambda \mathbf{B} \boldsymbol{q}-\frac{\partial V}{\partial \boldsymbol{q}}, \quad \text { где } \lambda=\frac{\left(\mathbf{B} \boldsymbol{q}, \frac{\partial V}{\partial \boldsymbol{q}}\right)-(\dot{\boldsymbol{q}}, \mathbf{B} \dot{\boldsymbol{q}})}{(\mathbf{B} \boldsymbol{q}, \mathbf{B} \boldsymbol{q})}
\]
(масса точки предполагается единичной). В избыточных канонических переменных $(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}) \in \mathbb{R}^{6}$ имеем гамильтониан $[8,31]$
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{p} \times \boldsymbol{n})^{2}+V(\boldsymbol{q}), \quad \boldsymbol{n}=\frac{\mathbf{B} \boldsymbol{q}}{\sqrt{(\mathbf{B} \boldsymbol{q}, \mathbf{B} \boldsymbol{q})}},
\]
здесь $n$ — нормаль к поверхности. Для системы (10.2) выполним каноническое преобразование $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q} \rightarrow \boldsymbol{p}^{\prime}, \boldsymbol{q}^{\prime}$, соответствующее сжатию вдоль главных осей эллипсоида: $\boldsymbol{q}^{\prime}=\mathbf{B}^{1 / 2} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}^{\prime}=\mathbf{B}^{-1 / 2} \boldsymbol{p}$ и перейдем к новым переменным по формулам
\[
\gamma=q^{\prime}, \quad M=p^{\prime} \times \boldsymbol{q}^{\prime} .
\]
В результате получается гамильтонова система, определенная скобкой $e(3)$, нулевым уровнем функции Казимира $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ и гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{det} \mathbf{B} \frac{(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})}{(\gamma, \mathbf{B} \gamma)}+V(\gamma), \quad \mathbf{A}=\mathbf{B}^{-1} .
\]
После замены времени $d \tau=\frac{\operatorname{det} \mathbf{B}}{(\gamma, \mathbf{B} \gamma)} d t$ и на уровне энергии $H=E=$ $=\frac{1}{2} c \operatorname{det} \mathbf{B}$ мы получим гамильтонову систему на $e(3)$ с гамильтонианом
\[
H^{\prime}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2}(\gamma, \mathbf{B} \gamma)\left(\frac{2 V(\gamma)}{\operatorname{det} \mathbf{B}}-c\right)
\]
и нулевым уровнем энергии $H^{\prime}=0$.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Справедливо более общее утверждение, согласно которому гамильтонова система на $e(3)$ вида
\[
H=\frac{F(\boldsymbol{M}, \gamma)}{G(\gamma)}+V(\gamma)
\]
на уровне энергии $H=h$ траекторно эквивалентна (после замены времени $d t=$ $=G(\gamma) d \tau$ ) системе на $e(3)$ с гамильтонианом
\[
H^{\prime}=F(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})+(V(\gamma)-h) G(\gamma)
\]
на нулевом уровне $H^{\prime}=0$.
В § 1 гл. 3 показано, что при таком траекторном (вследствие замены времени) изоморфизме задача Якоби изоморфна случаю Клебша на нулевой постоянной площадей. При $\mathbf{B}=\mathbf{E}$ имеем движение по сфере $S^{2}$ и гамильтониан (10.4) можно записать в виде
\[
H=\frac{1}{2} M^{2}+V(\gamma)
\]
который описывает движение шарового волчка при $(M, \gamma)=0$. Этот полный (без замены времени вдоль траектории) изоморфизм несложно понять из разпичных соображений, в частности, можно провести непосредственные вычисления в углах Эйлера.
Трехмерный эллипсоид и сфера $\left(E^{3}, S^{3}\right)$. Движение точки по трехмерному эллипсоиду $E^{3}$ уже не связано непосредственно с динамикой обычного трехмерного тела в каком-либо потенциальном поле. Аналогия возможна, если рассмотреть движение четырехмерного волчка, т.е. волчка на $e(4)$ (в $n$-мерном случае имеется взаимосвязь между $E^{n}$ и волчком на $e(n)[195,253])$. Мы не будем здесь останавливаться на ее описании, так как она носит формальный характер (см. [31]).
Более естественной является изоморфизм между движением точки на $S^{3}$ в некотором силовом поле и динамикой шарового волчка в аналогичном поле. При этом поле не предполагается обязательно осесимметричным, а система имеет три степени свободы.
Движение материальной точки по трехмерной сфере, заданной уравнением $\sum_{i=0}^{3} q_{i}^{2}=1$, в лагранжевом виде имеет вид
\[
\ddot{q}_{i}=-\frac{\partial V}{\partial q_{i}}+\lambda q_{i}, \quad \lambda=\sum_{i=0}^{3}\left(q_{i} \frac{\partial V}{\partial q_{i}}-\dot{q}_{i}^{2}\right), \quad i=0, \ldots, 3,
\]
где $V-$ потенциал.
В избыточных канонических переменных $(p, q)$ гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(p^{2}-\frac{(p, q)^{2}}{(q, q)}\right)+V(q),
\]
где через $(\cdot, \cdot)$ обозначено скалярное произведение четырехмерных векторов $p, q$.
Определим новые переменные $M_{i}, \lambda_{\mu}$ по формулам
\[
\begin{array}{c}
M_{i}=\frac{1}{2}\left(\pi_{i}-L_{i}\right), \quad \lambda_{\mu}=q_{\mu}, \\
L_{i}=\frac{1}{2} \varepsilon_{i j k} M_{j k}, \quad \pi_{i}=M_{0 i}, \quad \pi=\left(\pi_{1}, \pi_{2}, \pi_{3}\right), \quad \boldsymbol{L}=\left(L_{1}, L_{2}, L_{3}\right), \\
M_{\mu
u}=q_{\mu} p_{
u}-q_{
u} p_{\mu}, \quad i, j, k=1,2,3, \quad \mu,
u=0, \ldots, 3 .
\end{array}
\]
Несложно видеть, что переменные $M, \lambda$ коммутируют аналогично кватернионным переменным в динамике твердого тела (4.22) § 4 гл. 1, а функция Гамильтона (10.8) имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} M^{2}+V(\lambda)
\]
и описывает движение шарового волчка в произвольном потенциальном поле.
Для векторов $\pi, \boldsymbol{L}$ и $\boldsymbol{M}$ выполняются следующие соотношения
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\pi}=2\left(q_{0} \boldsymbol{q} \times \boldsymbol{M}+\boldsymbol{q}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{q})+q_{0}^{2} \boldsymbol{M}\right), \\
\boldsymbol{L}=2\left(q_{0} \boldsymbol{q} \times \boldsymbol{M}+\boldsymbol{q}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{q})-\boldsymbol{q}^{2} \boldsymbol{M}\right), \\
\boldsymbol{M}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\pi}-\boldsymbol{L}),
\end{array}
\]
задающие сингулярную орбиту в алгебре $e(4)$ (образованную переменными $\left(\boldsymbol{\pi}, \boldsymbol{L}, q_{0}, \boldsymbol{q}\right), \boldsymbol{q}=\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)$ ), гомеоморфную касательному расслоению к трехмерной сфере $T S^{3}$ (см. §3 гл. 5).
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для компонент $\boldsymbol{N}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\pi}+\boldsymbol{L}), \boldsymbol{N}=\left(N_{1}, N_{2}, N_{3}\right)$ и $\lambda$, также коммутирующих кватернионным образом на сингулярной сфере, справедливо $M^{2}=N^{2}$. В шаровом волчке они соответствуют проекциям кинетического момента на неподвижные оси. Простейшие формулы пересчета для $M, N, \pi, L$ следующие
\[
M=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\pi}-\boldsymbol{L}), \quad \boldsymbol{N}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\pi}+\boldsymbol{L}), \quad \boldsymbol{\pi}=\boldsymbol{M}+\boldsymbol{N}, \quad \boldsymbol{L}=\boldsymbol{N}-\boldsymbol{M} .
\]
Указанные аналогии с движением точки позволяют перенести на динамику твердого тела ряд интегрируемых задач (и вообще различных методов) небесной механики в пространствах постоянной кривизны (в частности, в $S^{2}$ и $S^{3}$ ). В книге [31] обсуждается общий формализм уравнений движения «искривленной» небесной механики, а также приводится ряд качественных отличий ее от обычной. Тем не менее большинство интегрируемых задач плоской небесной механики переносится на искривленную ситуацию. Они подробно рассмотрены в следующем параграфе.
Рассмотрим две интегрируемые системы на $S^{2}$ и $S^{3}$, одна из которых связана с различными вариациями относительно задач Якоби и Неймана, а другая является более новой и обладает дополнительным интегралом третьей степени. Для обсуждения первой задачи рассмотрим сначала аналог потенциала упругого осциллятора на сфере.
2. Гармонический осциллятор на $S^{2}, S^{3}$. Обобщение задач Неймана и Якоби
Гуковские центры на сфере. В плоском пространстве справедлива теорема Бертрана, согласно которой существует только два закона центральных сил, для которых все траектории являются замкнутыми. Один из них ньютоновский, а другой — гуковский, при этом замкнутые кривые всегда являются эллипсами. Подобное утверждение справедливо и для трехмерной сферы, если в качестве гуковского потенциала принять $V=\mu \operatorname{tg}^{2} \theta$, $\mu=$ const. Аналог ньютоновского потенциала $V=\mu \operatorname{ctg} \theta, \mu=$ const подробно рассмотрен в $§ 11$, где также приведены основные интегрируемые задачи «искривленной» небесной механики.
В избыточных координатах гуковский потенциал имеет вид $V=\frac{c}{q_{0}^{2}}-$ постоянно встречающихся сингулярных добавок в динамике твердого тела (см. § 7 гл. 5).
В плоском случае существует избыточный набор квадратичных интегралов, образующих так называемый «тензор Фрадкина» (по терминологии физиков) [68]. Соответствующий аналог можно рассмотреть и для сферы. Приведем сначала явные выражения для двумерной сферы в более общей ситуации — когда гуковские центры произвольной интенсивности находятся в трех взаимно перпендикулярных полюсах, а затем приведем соответствующие формулы для $n$-мерной сферы.
1. Двумерная сфера $S^{2}$. Уравнения Гамильтона на алгебре $e(3)$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}+\frac{1}{2} \sum \frac{c_{i}}{\gamma_{i}^{2}}=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}+\frac{1}{2} \sum c_{i} \frac{\gamma_{j}^{2}+\gamma_{k}^{2}}{\gamma_{i}^{2}}+\text { const }
\]
обладают на уровне $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$ тремя интегралами
\[
\begin{array}{c}
F_{1}=M_{1}^{2}+c_{2} \frac{\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{2}^{2}}+c_{3} \frac{\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{3}^{2}}, \quad F_{2}=M_{2}^{2}+c_{2} \frac{\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{1}^{2}}+c_{3} \frac{\gamma_{1}^{2}}{\gamma_{3}^{2}}, \\
F_{3}=M_{3}^{2}+c_{2} \frac{\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{1}^{2}}+c_{3} \frac{\gamma_{1}^{2}}{\gamma_{2}^{2}} .
\end{array}
\]
Коммутация этих интегралов на уровне $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ приводит к еще одному кубическому интегралу
\[
\begin{array}{c}
\left.\left\{F_{i}, F_{j}\right\}\right|_{(M, \gamma)=0}=(-1)^{(i j k)} 4 F_{0}, \\
F_{0}=M_{1} M_{2} M_{3}-\gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3}\left(c_{1} \frac{M_{1}}{\gamma_{1}^{3}}+c_{2} \frac{M_{2}}{\gamma_{2}^{3}}+c_{3} \frac{M_{3}}{\gamma_{3}^{3}}\right) .
\end{array}
\]
Любопытно отметить сходство этого интеграла с дополнительным интегралом в системе Гаффе, при однородной записи он допускает обобщение на весь пучок скобок $\mathscr{L}_{x}$ (см. далее).
2. $n$-мерная сфера $S^{n}$. В этом случае удобнее воспользоваться лагранжевыми уравнениями на сфере
\[
S^{n}=\{(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{q})=1\}, \quad \boldsymbol{q}=\left(q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}
\]
с неопределенным множителем. Если представить потенциал в виде $V(\boldsymbol{q})=$ $=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n} \frac{c_{i}}{q_{i}^{2}}$, то они будут иметь вид
\[
\ddot{q}_{i}=\frac{c_{i}}{q_{i}^{3}}+\lambda q_{i}, \quad i=0,1, \ldots, n, \quad \lambda=-\dot{\boldsymbol{q}}^{2}-2 V(\boldsymbol{q}) .
\]
В $2 n$-мерном фазовом пространстве имеется $n(n+1)$ квадратичных интеграла (являющихся непосредственным обобщением интегралов (10.14))
\[
F_{i j}=\left(\dot{q}_{i} q_{j}-\dot{q}_{j} q_{i}\right)^{2}+q_{i}^{2} \frac{c_{j}}{q_{j}^{2}}+q_{j}^{2} \frac{c_{i}}{q_{i}^{2}}, \quad i, j=0,1, \ldots, n .
\]
В такой форме они указаны В. В. Козловым, Ю. Н. Федоровым в [99]. Из них $(2 n-1)$ интеграла являются независимыми, что приводит к замкнутости всех траекторий. При этом система является суперинтегрируемой.
Обобщение задачи Неймана на $\boldsymbol{S}^{2}$.
Существенно ранее, в 1877 г., что не отметили авторы [99], на интегрируемость уравнений (10.16) обратил внимание E.Pосохатиус [263] даже для более общего случая — для потенциала
\[
V=\frac{1}{2} k(\mathbf{A} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{q})+\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n} \frac{c_{i}}{q_{i}^{2}},
\]
где $\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$. Система (10.18) представляет собой суперпозицию $n$-мерной системы Неймана (которая также может рассматриваться как анизотропный осциллятор) и набора аналогов гуковских осцилляторов, помещенных во взаимно ортогональных точках сферы.
Росохатиус установил интегрируемость системы (10.19) при помощи разделения в сферических координатах (аналогично $n$-мерной системе Неймана § 7 гл. 1). Представление Лакса и полный набор инволютивных интегралов указал Ю. Мозер в работе [128].
В качестве частного случая приведем соответствующие интегралы для трехмерной и двумерной сферы, последние из которых можно считать естественными обобщениями обычной системы Неймана и случаев Клебша уравнений Кирхгофа (§1 гл. 3). При этом необходимо требовать, чтобы $(M, \gamma)=0$, т. е. дополнительный интеграл является частным. На алгебрс $e(3)$ гамильтонианы и интсграл $\left.\{H, F\}\right|_{(M, \gamma)=0}=0$ можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}+\frac{1}{2} k(\mathbf{A} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma})+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \frac{c_{i}}{\gamma_{i}^{2}} \\
F=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})-\frac{1}{2} k \operatorname{det} \mathbf{A}(\mathbf{A} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma})+\frac{1}{2} \sum_{i, j, k} a_{i}\left(\frac{c_{j} \gamma_{k}^{2}}{\gamma_{j}^{2}}+\frac{c_{k} \gamma_{j}^{2}}{\gamma_{k}^{2}}\right), \\
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \quad k, c_{i}=\text { const. }
\end{array}
\]
В более симметричном виде это семейство можно представить следующим образом
\[
\begin{array}{c}
L_{1}=k \gamma_{1}^{2}+\frac{1}{a_{1}-a_{2}}\left(M_{3}^{2}+c_{1} \frac{\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{1}^{2}}+c_{2} \frac{\gamma_{1}^{2}}{\gamma_{2}^{2}}\right)+\frac{1}{a_{1}-a_{3}}\left(M_{2}^{2}+c_{1} \frac{\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{1}^{2}}+c_{3} \frac{\gamma_{1}^{2}}{\gamma_{3}^{2}}\right), \\
L_{2}=k \gamma_{2}^{2}+\frac{1}{a_{2}-a_{1}}\left(M_{3}^{2}+c_{2} \frac{\gamma_{1}^{2}}{\gamma_{2}^{2}}+c_{1} \frac{\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{1}^{2}}\right)+\frac{1}{a_{2}-a_{3}}\left(M_{1}^{2}+c_{2} \frac{\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{2}^{2}}+c_{3} \frac{\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{3}^{2}}\right), \\
L_{3}=k \gamma_{3}^{2}+\frac{1}{a_{3}-a_{1}}\left(M_{2}^{2}+c_{3} \frac{\gamma_{1}^{2}}{\gamma_{3}^{2}}+c_{1} \frac{\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{1}^{2}}\right)+\frac{1}{a_{3}-a_{2}}\left(M_{1}^{2}+c_{3} \frac{\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{3}^{2}}+c_{2} \frac{\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{2}^{2}}\right), \\
a_{i}, c_{i}=\text { const. }
\end{array}
\]
Отметим, что добавление в (10.18) потенциала задачи Неймана $(k
eq 0)$ снимает вырождение и траектории перестают быть замкнутыми. Кроме того, можно сказать, что если динамически симметричные, но не шаровые волчки, типа Горячева-Чаплыгина и Ковалевской, при $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$ допускают добавление лишь одного сингулярного слагаемого $\frac{c}{\gamma_{3}^{2}}$, соответствующего выделенной оси симметрии, то (шаровой) случай Клебша (задача Неймана) допускает сразу три (взаимно ортогональных) слагаемых.
Обобщение задачи Якоби на $\boldsymbol{E}^{2}$.
Оказывается, что близкие по форме слагаемые могут быть добавлены в задачу Якоби о геодезических на эллипсоиде. Приведем вид гамильтониана и дополнительного интеграла для двумерного случая, т.е. для гамильтоновой системы (10.4) на $e(3)$ и на уровне $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2} \frac{(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})}{(\mathbf{A} \gamma, \gamma)}+\frac{k}{2}(\mathbf{A} \gamma, \gamma)+\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{3} \frac{c_{i}}{a_{i} \gamma_{i}^{2}}, \\
F=\frac{(\mathbf{A} \boldsymbol{M} \times \gamma)^{2}}{(\mathbf{A} \gamma, \gamma)}+(\mathbf{A} \gamma, \gamma)\left(k-\sum_{i=0}^{3} \frac{c_{i}}{a_{\imath}^{2} \gamma_{2}^{2}}\right) .
\end{array}
\]
Интеграл $F$ обобщает интеграл Иоахимсталя, в избыточных переменных на сфере он приведен в [94]. На эллипсоиде в $\mathbb{R}^{3}$ с уравнением $\left(\boldsymbol{q}, \mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{q}\right)=1$ потенциал (10.21) соответствует
\[
U(\boldsymbol{q})=\frac{1}{2} k(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{q})+\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{3} \frac{c_{i}}{q_{i}^{2}},
\]
т. е. суперпозиции обычной (евклидовой) упругой пружины и некоторых сингулярных членов. Случай $c_{i}=0, k
eq 0$ был известен еще Якоби. На уровне $(M, \gamma)=0$ система (10.21) траекторно изоморфна некоторому шаровому волчку в поле потенциала четвертой степени по $\gamma$ и более сложного сингулярного потенциала. В связи с разделением переменных на $S^{2}$ (и вообще на $S^{n}$ ) можно поставить вопрос о полиномиальных потенциалах, для которых система является разделимой. В полиномиальном случае он разрешен в $[18,283]$. Соответствующие системы, описывающие движение шарового волчка, как правило, не являются физически реализуемыми.
Обобщение системы Неймана на $S^{3}$.
Рассмотрим систему Неймана с сингулярными слагаемыми на $S^{3}$, а также соответствующий шаровой
волчок. В кватернионных переменных $\boldsymbol{M}, \lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ (10.9) гамильтониан имеет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}+\frac{1}{2} k(\mathbf{A} \boldsymbol{\lambda}, \boldsymbol{\lambda})+\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{3} \frac{c_{i}}{\lambda_{i}^{2}} \\
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) .
\end{array}
\]
Дополнительные интегралы представим в симметричном виде с помощью избыточного инволютивного семейства, аналогичного (10.20),
\[
\begin{aligned}
G_{0}= & k \lambda_{0}^{2}+\frac{\pi_{1}^{2}+c_{0} \lambda_{0}^{-2} \lambda_{1}^{2}+c_{1} \lambda_{1}^{-2} \lambda_{0}^{2}}{a_{0}-a_{1}}+ \\
& +\frac{\pi_{2}^{2}+c_{0} \lambda_{0}^{-2} \lambda_{2}^{2}+c_{2} \lambda_{2}^{-2} \lambda_{0}^{2}}{a_{0}-a_{2}}+\frac{\pi_{3}^{2}+c_{0} \lambda_{0}^{-2} \lambda_{3}^{2}+c_{3} \lambda_{3}^{-2} \lambda_{0}^{2}}{a_{0}-a_{3}}, \\
G_{1}= & k \lambda_{1}^{2}+\frac{\pi_{1}^{2}+c_{1} \lambda_{1}^{-2} \lambda_{0}^{2}+c_{0} \lambda_{0}^{-2} \lambda_{1}^{2}}{a_{1}-a_{0}}+ \\
& +\frac{L_{3}^{2}+c_{1} \lambda_{1}^{-2} \lambda_{2}^{2}+c_{2} \lambda_{2}^{-2} \lambda_{1}^{2}}{a_{1}-a_{2}}-\frac{L_{2}^{2}+c_{1} \lambda_{1}^{-2} \lambda_{3}^{2}+c_{3} \lambda_{3}^{-2} \lambda_{1}^{2}}{a_{1}-a_{3}}, \\
G_{2}= & k \lambda_{2}^{2}+\frac{\pi_{2}^{2}+c_{2} \lambda_{2}^{-2} \lambda_{0}^{2}+c_{0} \lambda_{0}^{-2} \lambda_{2}^{2}}{a_{2}-a_{0}}+ \\
& +\frac{L_{3}^{2}+c_{2} \lambda_{2}^{-2} \lambda_{1}^{2}+c_{1} \lambda_{1}^{-2} \lambda_{2}^{2}}{a_{2}-a_{1}}-\frac{L_{1}^{2}+c_{2} \lambda_{2}^{-2} \lambda_{3}^{2}+c_{3} \lambda_{3}^{-2} \lambda_{2}^{2}}{a_{2}-a_{3}} \\
G_{3}= & k \lambda_{3}^{2}+\frac{\pi_{3}^{2}+c_{3} \lambda_{3}^{-2} \lambda_{0}^{2}+c_{0} \lambda_{0}^{-2} \lambda_{3}^{2}}{a_{3}-a_{0}}+ \\
& +\frac{L_{2}^{2}+c_{3} \lambda_{3}^{-2} \lambda_{1}^{2}+c_{1} \lambda_{1}^{-2} \lambda_{3}^{2}}{a_{3}-a_{1}}-\frac{L_{1}^{2}+c_{3} \lambda_{3}^{-2} \lambda_{2}^{2}+c_{2} \lambda_{2}^{-2} \lambda_{3}^{2}}{a_{3}-a_{2}}
\end{aligned}
\]
где $\pi_{i}, L_{i}$ определены формулами (10.9). Интегралы $G_{\mu}$ удовлетворяют двум соотношениям
\[
\sum_{\mu=0}^{3} G_{\mu}=k \lambda^{2}, \quad \sum_{\mu=0}^{3} a_{\mu} G_{\mu}=H,
\]
где $\lambda^{2}$ — норма кватерниона, а $H$ — гамильтониан (10.23).
3. Задача $n$ гуковских центров на сфере
Последний известный интегрируемый вариант из гуковских потенциалов $\frac{c_{i}}{\left(\gamma, r_{i}\right)^{2}}$, отличный от (10.18) тем, что гуковские центры притяжения $\boldsymbol{r}_{i}$, $i=1, \ldots, n$ помещены не по взаимно ортогональным осям, а произвольно располагаются на одном экваторе, приводит к системе, которую для простоты рассмотрим для случая двумерной сферы (т. е. соответствующей системы на $e(3)$ ).
Гамильтониан и дополнительный интеграл (при $(M, \gamma)=0$ ) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{c_{i}}{\left(\boldsymbol{r}_{i}, \gamma\right)^{2}}+U\left(\gamma_{3}\right), \\
F=M_{3}^{2}+\left(1-\gamma_{3}^{2}\right) \sum_{i=1}^{n} \frac{c_{i}}{\left(\boldsymbol{r}_{i}, \gamma\right)^{2}} .
\end{array}
\]
В выражении (10.25) присутствует произвольная функция $U\left(\gamma_{3}\right)$, которая означает добавление произвольного «центрального» поля, центр которого расположен на перпендикуляре к плоскости гуковских потенциалов (см. рис. 83). В частности, на полюс можно поместить еще один гуковский центр. В этом случае из результатов о редукции по переменной $\psi \pm \varphi$ (см. §7 гл. 5, §1 гл. 4) сразу следует, что интегрируема также пространственная задача, т.е. о движении точки на трехмерной сфере $S^{3}$ под действием $n$ гуковских центров, распоРис. 83 ложенных на экваторе.
Отметим, что евклидов аналог рассматриваемой задачи тривиален разделение возможно уже в декартовых координатах (получается $n$ линейных связанных осцилляторов). При этом расположение гуковских центров произвольно. В криволинейной ситуации, уже на двумерной сфере, задача о движении в поле трех произвольно расположенных гуковских центров не является интегрируемой. Хотя это строго не доказано, несложно сделать соответствующие эксперименты, демонстрирующие хаотическое поведение. Квадратичный интеграл $F$ в (10.25) связан с разделением задачи в сфериче-
ских координатах $(\theta, \varphi)$. Действительно, гамильтониан $H$ можно записать следующим образом
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2}\left(p_{\theta}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}\right)+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{c_{i}}{\sin ^{2} \theta \cos ^{2}\left(\varphi-\varphi_{i}\right)}+U(\theta)= \\
& =\frac{1}{2} p_{\theta}^{2}+\frac{1}{2 \sin ^{2} \theta}\left(p_{\varphi}^{2}+\sum_{i=1}^{n} \frac{c_{i}}{\cos ^{2}\left(\varphi-\varphi_{i}\right)}\right)+U(\theta),
\end{aligned}
\]
где $\theta, \varphi$ — координаты движущейся материальной точки, а $\varphi_{i}$ задает положение $i$-го гуковского центра на экваторе (рис. 83). Выражение в скобках и представляет собой дополнительный интеграл движения (10.25). Заметим также, что если гуковские центры расположены не на большом круге сферы, то задача уже не интегрируема.
4. Система Гаффе
В заключении рассмотрим довольно экзотическую систему на $S^{2}\left\{\gamma^{2}=1\right\}$ с потенциалом $U=\varepsilon\left(\gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3}\right)^{-2 / 3}, \varepsilon=$ const, недавно найденную и исследованную Б. Гаффе $[213,214]$. Гамильтониан и интеграл (при $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ ) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}\right)-\frac{1}{2} \frac{a^{2}\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}\right)}{\left(\gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3}\right)^{2 / 3}} \\
F=M_{1} M_{2} M_{3}+a^{2}\left(\frac{M_{1}}{\gamma_{1}}+\frac{M_{2}}{\kappa_{2}}+\frac{M_{3}}{\gamma_{3}}\right)\left(\gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3}\right)^{1 / 3} .
\end{array}
\]
Несмотря на отдельные частные результаты $[214,277]$, явного интегрирования системы (10.26) до сих пор не выполнено. Сумма $\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}$, равная единице, сохранена в (10.26) для однородности.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. L — A-пара для системы (10.26) приведена в [277]. Она имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \mathbf{L}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}] \\
\mathbf{L}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda & M_{3}+a y_{3} & M_{2}-a y_{2} \\
M_{3}-a y_{3} & \lambda & M_{1}+a y_{1} \\
2+a y_{2} & M_{1}-a y_{1} & \lambda
\end{array}\right), \\
\mathbf{A}=\frac{2 a}{3}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y})\left(\begin{array}{ccc}
0 & y_{3}^{-1} & y_{2}^{-1} \\
y_{3}^{-1} & 0 & y_{1}^{-1} \\
y_{2}^{-1} & y_{1}^{-1} & 0
\end{array}\right),
\end{array}
\]
где $\boldsymbol{y}=\frac{\gamma}{\left(\gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3}\right)^{1 / 3}}$.
Отметим также, что интегрируемость системы и вид интегралов (10.26) сохраняется на всем пучке скобок (аналогично случаю Горячева-Чаплыгина)
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=x \varepsilon_{i j k} M_{k}
\]
и на нулевом уровне $(M, \gamma)=0$.
