1. Движение точки по сфере и эллипсоиду ( $n=2,3$ ). Аналогия с динамикой волчка
Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в случае шарового тензора инерции $\mathbf{A}=\lambda \mathbf{E},\lambda =$ const, $\mathbf{E}=\Vert {\delta }_{ij}\Vert$ в потенциальном (обобщенно-потенциальном) поле изоморфны уравнениям движения материальной точки по поверхности трехмерной сферы $S^3$ в аналогичном поле. Эта аналогия была установлена в $[18,89]$ (см. также [31]). При этом в осесимметричном поле $V=V(\gamma )$ динамика шарового волчка на нулевой постоянной площадей $(M,\gamma )=0$ эквивалентна движению материальной точки на двумерной сфере $S^2$. Оказывается, что эта аналогия справедлива и в многомерном случае, если воспользоваться сингулярными орбитами $e(n)$, она подробно обсуждается в [31].

Здесь мы рассмотрим лишь реальное твердое тело и двумерную и трехмерную сферы, однако приведем даже более общую аналогию, рассмотрев движение точки не по сферам $S^2,S^3$, а по эллипсоидам $E^2,E^3$. Между динамикой твердого тела, теперь уже не шарового, а трехосного и движением точки по эллипсоиду в потенциальных полях также существует вза-

имосвязь, имеющая теперь характер траекторного изоморфизма. Частным случаем является аналогия, отмеченная в § 1 гл. 3 между интегрируемыми задачами Якоби о геодезических и случаем Клебша в уравнениях Кирхгофа. Как показано в [31], она справедлива также для случая Клебша на $e(4)$ и задачи Якоби на трехмерном эллипсоиде $E^3$. Рассмотрим сначала двумерный случай.

Двумерный эллипсоид и сфера $(E^2,S^2)$. Пусть точка движется в евклидовом пространстве с координатами $\mathit{q}=(q_1,q_2,q_3)$ по поверхности эллипсоида $E^2$, заданного уравнением $(\mathit{q},\mathbf{B}\mathit{q})=1,\mathbf{B}=\mathrm{diag}(b_1,b_2,b_3)$. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями приводят к системе
$$\ddot{\mathit{q}}=\lambda \mathbf{B}\mathit{q}-\frac{\partial V}{\partial \mathit{q}},\text{ где }\lambda =\frac{(\mathbf{B}\mathit{q},\frac{\partial V}{\partial \mathit{q}})-(\dot{\mathit{q}},\mathbf{B}\dot{\mathit{q}})}{(\mathbf{B}\mathit{q},\mathbf{B}\mathit{q})}$$
(масса точки предполагается единичной). В избыточных канонических переменных $(\mathit{p},\mathit{q})\in {\mathbb{R}}^6$ имеем гамильтониан $[8,31]$
$$H=\frac{1}{2}(\mathit{p}\times \mathit{n}{)}^2+V(\mathit{q}),\mathit{n}=\frac{\mathbf{B}\mathit{q}}{\sqrt{(\mathbf{B}\mathit{q},\mathbf{B}\mathit{q})}},$$

здесь $n$ — нормаль к поверхности. Для системы (10.2) выполним каноническое преобразование $\mathit{p},\mathit{q}\to {\mathit{p}}^{\prime },{\mathit{q}}^{\prime }$, соответствующее сжатию вдоль главных осей эллипсоида: ${\mathit{q}}^{\prime }={\mathbf{B}}^{1/2}\mathit{q},{\mathit{p}}^{\prime }={\mathbf{B}}^{-1/2}\mathit{p}$ и перейдем к новым переменным по формулам
$$\gamma =q^{\prime },M=p^{\prime }\times {\mathit{q}}^{\prime }.$$

В результате получается гамильтонова система, определенная скобкой $e(3)$, нулевым уровнем функции Казимира $(\mathit{M},\mathit{\gamma })=0$ и гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}\det \mathbf{B}\frac{(\mathit{M},\mathbf{A}\mathit{M})}{(\gamma ,\mathbf{B}\gamma )}+V(\gamma ),\mathbf{A}={\mathbf{B}}^{-1}.$$

После замены времени $d\tau =\frac{\det \mathbf{B}}{(\gamma ,\mathbf{B}\gamma )}dt$ и на уровне энергии $H=E=$ $=\frac{1}{2}c\det \mathbf{B}$ мы получим гамильтонову систему на $e(3)$ с гамильтонианом
$$H^{\prime }=\frac{1}{2}(\mathit{M},\mathbf{A}\mathit{M})+\frac{1}{2}(\gamma ,\mathbf{B}\gamma )(\frac{2V(\gamma )}{\det \mathbf{B}}-c)$$

и нулевым уровнем энергии $H^{\prime }=0$.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Справедливо более общее утверждение, согласно которому гамильтонова система на $e(3)$ вида
$$H=\frac{F(\mathit{M},\gamma )}{G(\gamma )}+V(\gamma )$$

на уровне энергии $H=h$ траекторно эквивалентна (после замены времени $dt=$ $=G(\gamma )d\tau$ ) системе на $e(3)$ с гамильтонианом
$$H^{\prime }=F(\mathit{M},\mathit{\gamma })+(V(\gamma )-h)G(\gamma )$$

на нулевом уровне $H^{\prime }=0$.
В § 1 гл. 3 показано, что при таком траекторном (вследствие замены времени) изоморфизме задача Якоби изоморфна случаю Клебша на нулевой постоянной площадей. При $\mathbf{B}=\mathbf{E}$ имеем движение по сфере $S^2$ и гамильтониан (10.4) можно записать в виде
$$H=\frac{1}{2}{M}^2+V(\gamma )$$

который описывает движение шарового волчка при $(M,\gamma )=0$. Этот полный (без замены времени вдоль траектории) изоморфизм несложно понять из разпичных соображений, в частности, можно провести непосредственные вычисления в углах Эйлера.

Трехмерный эллипсоид и сфера $(E^3,S^3)$. Движение точки по трехмерному эллипсоиду $E^3$ уже не связано непосредственно с динамикой обычного трехмерного тела в каком-либо потенциальном поле. Аналогия возможна, если рассмотреть движение четырехмерного волчка, т.е. волчка на $e(4)$ (в $n$-мерном случае имеется взаимосвязь между $E^n$ и волчком на $e(n)[195,253])$. Мы не будем здесь останавливаться на ее описании, так как она носит формальный характер (см. [31]).

Более естественной является изоморфизм между движением точки на $S^3$ в некотором силовом поле и динамикой шарового волчка в аналогичном поле. При этом поле не предполагается обязательно осесимметричным, а система имеет три степени свободы.

Движение материальной точки по трехмерной сфере, заданной уравнением $\sum _{i=0}^3{q}_i^2=1$, в лагранжевом виде имеет вид
$${\ddot{q}}_i=-\frac{\partial V}{\partial q_i}+\lambda q_i,\lambda =\sum _{i=0}^3(q_i\frac{\partial V}{\partial q_i}-{\dot{q}}_i^2),i=0,\dots ,3,$$

где $V-$ потенциал.

В избыточных канонических переменных $(p,q)$ гамильтониан имеет вид
$$H=\frac{1}{2}(p^2-\frac{(p,q{)}^2}{(q,q)})+V(q),$$

где через $(\cdot ,\cdot )$ обозначено скалярное произведение четырехмерных векторов $p,q$.
Определим новые переменные $M_i,{\lambda }_{\mu }$ по формулам
$$\begin{array}{c}{M}_i=\frac{1}{2}({\pi }_i-L_i),{\lambda }_{\mu }=q_{\mu },\\ L_i=\frac{1}{2}{\epsilon }_{ijk}{M}_{jk},{\pi }_i=M_{0i},\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3),\mathit{L}=(L_1,L_2,L_3),\\ M_{\mu u}=q_{\mu }{p}_u-q_u{p}_{\mu },i,j,k=1,2,3,\mu ,u=0,\dots ,3.\end{array}$$

Несложно видеть, что переменные $M,\lambda$ коммутируют аналогично кватернионным переменным в динамике твердого тела (4.22) § 4 гл. 1, а функция Гамильтона (10.8) имеет вид
$$H=\frac{1}{2}{M}^2+V(\lambda )$$

и описывает движение шарового волчка в произвольном потенциальном поле.
Для векторов $\pi ,\mathit{L}$ и $\mathit{M}$ выполняются следующие соотношения
$$\begin{array}{c}\mathit{\pi }=2(q_0\mathit{q}\times \mathit{M}+\mathit{q}(\mathit{M},\mathit{q})+q_0^2\mathit{M}),\\ \mathit{L}=2(q_0\mathit{q}\times \mathit{M}+\mathit{q}(\mathit{M},\mathit{q})-{\mathit{q}}^2\mathit{M}),\\ \mathit{M}=\frac{1}{2}(\mathit{\pi }-\mathit{L}),\end{array}$$

задающие сингулярную орбиту в алгебре $e(4)$ (образованную переменными $(\mathit{\pi },\mathit{L},q_0,\mathit{q}),\mathit{q}=(q_1,q_2,q_3)$ ), гомеоморфную касательному расслоению к трехмерной сфере $T{S}^3$ (см. §3 гл. 5).

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для компонент $\mathit{N}=\frac{1}{2}(\mathit{\pi }+\mathit{L}),\mathit{N}=(N_1,N_2,N_3)$ и $\lambda$, также коммутирующих кватернионным образом на сингулярной сфере, справедливо $M^2=N^2$. В шаровом волчке они соответствуют проекциям кинетического момента на неподвижные оси. Простейшие формулы пересчета для $M,N,\pi ,L$ следующие
$$M=\frac{1}{2}(\mathit{\pi }-\mathit{L}),\mathit{N}=\frac{1}{2}(\mathit{\pi }+\mathit{L}),\mathit{\pi }=\mathit{M}+\mathit{N},\mathit{L}=\mathit{N}-\mathit{M}.$$

Указанные аналогии с движением точки позволяют перенести на динамику твердого тела ряд интегрируемых задач (и вообще различных методов) небесной механики в пространствах постоянной кривизны (в частности, в $S^2$ и $S^3$ ). В книге [31] обсуждается общий формализм уравнений движения «искривленной» небесной механики, а также приводится ряд качественных отличий ее от обычной. Тем не менее большинство интегрируемых задач плоской небесной механики переносится на искривленную ситуацию. Они подробно рассмотрены в следующем параграфе.

Рассмотрим две интегрируемые системы на $S^2$ и $S^3$, одна из которых связана с различными вариациями относительно задач Якоби и Неймана, а другая является более новой и обладает дополнительным интегралом третьей степени. Для обсуждения первой задачи рассмотрим сначала аналог потенциала упругого осциллятора на сфере.

2. Гармонический осциллятор на $S^2,S^3$. Обобщение задач Неймана и Якоби
Гуковские центры на сфере. В плоском пространстве справедлива теорема Бертрана, согласно которой существует только два закона центральных сил, для которых все траектории являются замкнутыми. Один из них ньютоновский, а другой — гуковский, при этом замкнутые кривые всегда являются эллипсами. Подобное утверждение справедливо и для трехмерной сферы, если в качестве гуковского потенциала принять $V=\mu {\mathrm{tg}}^2\theta$, $\mu =$ const. Аналог ньютоновского потенциала $V=\mu \mathrm{ctg}\theta ,\mu =$ const подробно рассмотрен в $\S 11$, где также приведены основные интегрируемые задачи «искривленной» небесной механики.

В избыточных координатах гуковский потенциал имеет вид $V=\frac{c}{q_0^2}-$ постоянно встречающихся сингулярных добавок в динамике твердого тела (см. § 7 гл. 5).

В плоском случае существует избыточный набор квадратичных интегралов, образующих так называемый «тензор Фрадкина» (по терминологии физиков) [68]. Соответствующий аналог можно рассмотреть и для сферы. Приведем сначала явные выражения для двумерной сферы в более общей ситуации — когда гуковские центры произвольной интенсивности находятся в трех взаимно перпендикулярных полюсах, а затем приведем соответствующие формулы для $n$-мерной сферы.

1. Двумерная сфера $S^2$. Уравнения Гамильтона на алгебре $e(3)$ с гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}{\mathit{M}}^2+\frac{1}{2}\sum \frac{c_i}{{\gamma }_i^2}=\frac{1}{2}{\mathit{M}}^2+\frac{1}{2}\sum c_i\frac{{\gamma }_j^2+{\gamma }_k^2}{{\gamma }_i^2}+\text{ const }$$

обладают на уровне $(\mathit{M},\gamma )=0$ тремя интегралами
$$\begin{array}{c}{F}_1=M_1^2+c_2\frac{{\gamma }_3^2}{{\gamma }_2^2}+c_3\frac{{\gamma }_2^2}{{\gamma }_3^2},F_2=M_2^2+c_2\frac{{\gamma }_3^2}{{\gamma }_1^2}+c_3\frac{{\gamma }_1^2}{{\gamma }_3^2},\\ F_3=M_3^2+c_2\frac{{\gamma }_2^2}{{\gamma }_1^2}+c_3\frac{{\gamma }_1^2}{{\gamma }_2^2}.\end{array}$$

Коммутация этих интегралов на уровне $(\mathit{M},\mathit{\gamma })=0$ приводит к еще одному кубическому интегралу
$$\begin{array}{c}{\{F_i,F_j\}|}_{(M,\gamma )=0}=(-1{)}^{(ijk)}4F_0,\\ F_0=M_1{M}_2{M}_3-{\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3(c_1\frac{M_1}{{\gamma }_1^3}+c_2\frac{M_2}{{\gamma }_2^3}+c_3\frac{M_3}{{\gamma }_3^3}).\end{array}$$

Любопытно отметить сходство этого интеграла с дополнительным интегралом в системе Гаффе, при однородной записи он допускает обобщение на весь пучок скобок ${\mathcal{L}}_x$ (см. далее).
2. $n$-мерная сфера $S^n$. В этом случае удобнее воспользоваться лагранжевыми уравнениями на сфере
$$S^n=\{(\mathit{q},\mathit{q})=1\},\mathit{q}=(q_0,q_1,\dots ,q_n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}$$

с неопределенным множителем. Если представить потенциал в виде $V(\mathit{q})=$ $=\frac{1}{2}\sum _{i=0}^n\frac{c_i}{q_i^2}$, то они будут иметь вид
$${\ddot{q}}_i=\frac{c_i}{q_i^3}+\lambda q_i,i=0,1,\dots ,n,\lambda =-{\dot{\mathit{q}}}^2-2V(\mathit{q}).$$

В $2n$-мерном фазовом пространстве имеется $n(n+1)$ квадратичных интеграла (являющихся непосредственным обобщением интегралов (10.14))
$$F_{ij}={({\dot{q}}_i{q}_j-{\dot{q}}_j{q}_i)}^2+q_i^2\frac{c_j}{q_j^2}+q_j^2\frac{c_i}{q_i^2},i,j=0,1,\dots ,n.$$

В такой форме они указаны В. В. Козловым, Ю. Н. Федоровым в [99]. Из них $(2n-1)$ интеграла являются независимыми, что приводит к замкнутости всех траекторий. При этом система является суперинтегрируемой.

Обобщение задачи Неймана на ${\mathit{S}}^2$.
Существенно ранее, в 1877 г., что не отметили авторы [99], на интегрируемость уравнений (10.16) обратил внимание E.Pосохатиус [263] даже для более общего случая — для потенциала
$$V=\frac{1}{2}k(\mathbf{A}\mathit{q},\mathit{q})+\frac{1}{2}\sum _{i=0}^n\frac{c_i}{q_i^2},$$

где $\mathbf{A}=\mathrm{diag}(a_0,a_1,\dots ,a_n)$. Система (10.18) представляет собой суперпозицию $n$-мерной системы Неймана (которая также может рассматриваться как анизотропный осциллятор) и набора аналогов гуковских осцилляторов, помещенных во взаимно ортогональных точках сферы.

Росохатиус установил интегрируемость системы (10.19) при помощи разделения в сферических координатах (аналогично $n$-мерной системе Неймана § 7 гл. 1). Представление Лакса и полный набор инволютивных интегралов указал Ю. Мозер в работе [128].

В качестве частного случая приведем соответствующие интегралы для трехмерной и двумерной сферы, последние из которых можно считать естественными обобщениями обычной системы Неймана и случаев Клебша уравнений Кирхгофа (§1 гл. 3). При этом необходимо требовать, чтобы $(M,\gamma )=0$, т. е. дополнительный интеграл является частным. На алгебрс $e(3)$ гамильтонианы и интсграл ${\{H,F\}|}_{(M,\gamma )=0}=0$ можно записать в виде
$$\begin{array}{c}H=\frac{1}{2}{\mathit{M}}^2+\frac{1}{2}k(\mathbf{A}\mathit{\gamma },\mathit{\gamma })+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^3\frac{c_i}{{\gamma }_i^2}\\ F=\frac{1}{2}(\mathit{M},\mathbf{A}\mathit{M})-\frac{1}{2}k\det \mathbf{A}(\mathbf{A}\mathit{\gamma },\mathit{\gamma })+\frac{1}{2}\sum _{i,j,k}{a}_i(\frac{c_j{\gamma }_k^2}{{\gamma }_j^2}+\frac{c_k{\gamma }_j^2}{{\gamma }_k^2}),\\ \mathbf{A}=\mathrm{diag}(a_1,a_2,a_3),k,c_i=\text{ const. }\end{array}$$

В более симметричном виде это семейство можно представить следующим образом
$$\begin{array}{c}{L}_1=k{\gamma }_1^2+\frac{1}{a_1-a_2}(M_3^2+c_1\frac{{\gamma }_2^2}{{\gamma }_1^2}+c_2\frac{{\gamma }_1^2}{{\gamma }_2^2})+\frac{1}{a_1-a_3}(M_2^2+c_1\frac{{\gamma }_3^2}{{\gamma }_1^2}+c_3\frac{{\gamma }_1^2}{{\gamma }_3^2}),\\ L_2=k{\gamma }_2^2+\frac{1}{a_2-a_1}(M_3^2+c_2\frac{{\gamma }_1^2}{{\gamma }_2^2}+c_1\frac{{\gamma }_2^2}{{\gamma }_1^2})+\frac{1}{a_2-a_3}(M_1^2+c_2\frac{{\gamma }_3^2}{{\gamma }_2^2}+c_3\frac{{\gamma }_2^2}{{\gamma }_3^2}),\\ L_3=k{\gamma }_3^2+\frac{1}{a_3-a_1}(M_2^2+c_3\frac{{\gamma }_1^2}{{\gamma }_3^2}+c_1\frac{{\gamma }_3^2}{{\gamma }_1^2})+\frac{1}{a_3-a_2}(M_1^2+c_3\frac{{\gamma }_2^2}{{\gamma }_3^2}+c_2\frac{{\gamma }_3^2}{{\gamma }_2^2}),\\ a_i,c_i=\text{ const. }\end{array}$$

Отметим, что добавление в (10.18) потенциала задачи Неймана $(keq0)$ снимает вырождение и траектории перестают быть замкнутыми. Кроме того, можно сказать, что если динамически симметричные, но не шаровые волчки, типа Горячева-Чаплыгина и Ковалевской, при $(\mathit{M},\gamma )=0$ допускают добавление лишь одного сингулярного слагаемого $\frac{c}{{\gamma }_3^2}$, соответствующего выделенной оси симметрии, то (шаровой) случай Клебша (задача Неймана) допускает сразу три (взаимно ортогональных) слагаемых.

Обобщение задачи Якоби на ${\mathit{E}}^2$.
Оказывается, что близкие по форме слагаемые могут быть добавлены в задачу Якоби о геодезических на эллипсоиде. Приведем вид гамильтониана и дополнительного интеграла для двумерного случая, т.е. для гамильтоновой системы (10.4) на $e(3)$ и на уровне $(\mathit{M},\mathit{\gamma })=0$
$$\begin{array}{l}H=\frac{1}{2}\frac{(\mathbf{A}\mathit{M},\mathit{M})}{(\mathbf{A}\gamma ,\gamma )}+\frac{k}{2}(\mathbf{A}\gamma ,\gamma )+\frac{1}{2}\sum _{i=0}^3\frac{c_i}{a_i{\gamma }_i^2},\\ F=\frac{(\mathbf{A}\mathit{M}\times \gamma {)}^2}{(\mathbf{A}\gamma ,\gamma )}+(\mathbf{A}\gamma ,\gamma )(k-\sum _{i=0}^3\frac{c_i}{a_{ı}^2{\gamma }_2^2}).\end{array}$$

Интеграл $F$ обобщает интеграл Иоахимсталя, в избыточных переменных на сфере он приведен в [94]. На эллипсоиде в ${\mathbb{R}}^3$ с уравнением $(\mathit{q},{\mathbf{A}}^{-1}\mathit{q})=1$ потенциал (10.21) соответствует
$$U(\mathit{q})=\frac{1}{2}k(\mathit{q},\mathit{q})+\frac{1}{2}\sum _{i=0}^3\frac{c_i}{q_i^2},$$
т. е. суперпозиции обычной (евклидовой) упругой пружины и некоторых сингулярных членов. Случай $c_i=0,keq0$ был известен еще Якоби. На уровне $(M,\gamma )=0$ система (10.21) траекторно изоморфна некоторому шаровому волчку в поле потенциала четвертой степени по $\gamma$ и более сложного сингулярного потенциала. В связи с разделением переменных на $S^2$ (и вообще на $S^n$ ) можно поставить вопрос о полиномиальных потенциалах, для которых система является разделимой. В полиномиальном случае он разрешен в $[18,283]$. Соответствующие системы, описывающие движение шарового волчка, как правило, не являются физически реализуемыми.

Обобщение системы Неймана на $S^3$.
Рассмотрим систему Неймана с сингулярными слагаемыми на $S^3$, а также соответствующий шаровой

волчок. В кватернионных переменных $\mathit{M},{\lambda }_0,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ (10.9) гамильтониан имеет вид
$$\begin{array}{c}H=\frac{1}{2}{\mathit{M}}^2+\frac{1}{2}k(\mathbf{A}\mathit{\lambda },\mathit{\lambda })+\frac{1}{2}\sum _{i=0}^3\frac{c_i}{{\lambda }_i^2}\\ \mathbf{A}=\mathrm{diag}(a_0,a_1,a_2,a_3).\end{array}$$

Дополнительные интегралы представим в симметричном виде с помощью избыточного инволютивного семейства, аналогичного (10.20),
$$\begin{array}{rl}{G}_0=& k{\lambda }_0^2+\frac{{\pi }_1^2+c_0{\lambda }_0^{-2}{\lambda }_1^2+c_1{\lambda }_1^{-2}{\lambda }_0^2}{a_0-a_1}+\\ & +\frac{{\pi }_2^2+c_0{\lambda }_0^{-2}{\lambda }_2^2+c_2{\lambda }_2^{-2}{\lambda }_0^2}{a_0-a_2}+\frac{{\pi }_3^2+c_0{\lambda }_0^{-2}{\lambda }_3^2+c_3{\lambda }_3^{-2}{\lambda }_0^2}{a_0-a_3},\\ G_1=& k{\lambda }_1^2+\frac{{\pi }_1^2+c_1{\lambda }_1^{-2}{\lambda }_0^2+c_0{\lambda }_0^{-2}{\lambda }_1^2}{a_1-a_0}+\\ & +\frac{L_3^2+c_1{\lambda }_1^{-2}{\lambda }_2^2+c_2{\lambda }_2^{-2}{\lambda }_1^2}{a_1-a_2}-\frac{L_2^2+c_1{\lambda }_1^{-2}{\lambda }_3^2+c_3{\lambda }_3^{-2}{\lambda }_1^2}{a_1-a_3},\\ G_2=& k{\lambda }_2^2+\frac{{\pi }_2^2+c_2{\lambda }_2^{-2}{\lambda }_0^2+c_0{\lambda }_0^{-2}{\lambda }_2^2}{a_2-a_0}+\\ & +\frac{L_3^2+c_2{\lambda }_2^{-2}{\lambda }_1^2+c_1{\lambda }_1^{-2}{\lambda }_2^2}{a_2-a_1}-\frac{L_1^2+c_2{\lambda }_2^{-2}{\lambda }_3^2+c_3{\lambda }_3^{-2}{\lambda }_2^2}{a_2-a_3}\\ G_3=& k{\lambda }_3^2+\frac{{\pi }_3^2+c_3{\lambda }_3^{-2}{\lambda }_0^2+c_0{\lambda }_0^{-2}{\lambda }_3^2}{a_3-a_0}+\\ & +\frac{L_2^2+c_3{\lambda }_3^{-2}{\lambda }_1^2+c_1{\lambda }_1^{-2}{\lambda }_3^2}{a_3-a_1}-\frac{L_1^2+c_3{\lambda }_3^{-2}{\lambda }_2^2+c_2{\lambda }_2^{-2}{\lambda }_3^2}{a_3-a_2}\end{array}$$

где ${\pi }_i,L_i$ определены формулами (10.9). Интегралы $G_{\mu }$ удовлетворяют двум соотношениям
$$\sum _{\mu =0}^3{G}_{\mu }=k{\lambda }^2,\sum _{\mu =0}^3{a}_{\mu }{G}_{\mu }=H,$$

где ${\lambda }^2$ — норма кватерниона, а $H$ — гамильтониан (10.23).

3. Задача $n$ гуковских центров на сфере

Последний известный интегрируемый вариант из гуковских потенциалов $\frac{c_i}{{(\gamma ,r_i)}^2}$, отличный от (10.18) тем, что гуковские центры притяжения ${\mathit{r}}_i$, $i=1,\dots ,n$ помещены не по взаимно ортогональным осям, а произвольно располагаются на одном экваторе, приводит к системе, которую для простоты рассмотрим для случая двумерной сферы (т. е. соответствующей системы на $e(3)$ ).

Гамильтониан и дополнительный интеграл (при $(M,\gamma )=0$ ) имеют вид
$$\begin{array}{c}H=\frac{1}{2}{\mathit{M}}^2+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\frac{c_i}{{({\mathit{r}}_i,\gamma )}^2}+U\left({\gamma }_3\right),\\ F=M_3^2+(1-{\gamma }_3^2)\sum _{i=1}^n\frac{c_i}{{({\mathit{r}}_i,\gamma )}^2}.\end{array}$$

В выражении (10.25) присутствует произвольная функция $U\left({\gamma }_3\right)$, которая означает добавление произвольного «центрального» поля, центр которого расположен на перпендикуляре к плоскости гуковских потенциалов (см. рис. 83). В частности, на полюс можно поместить еще один гуковский центр. В этом случае из результатов о редукции по переменной $\psi \pm \phi$ (см. §7 гл. 5, §1 гл. 4) сразу следует, что интегрируема также пространственная задача, т.е. о движении точки на трехмерной сфере $S^3$ под действием $n$ гуковских центров, распоРис. 83 ложенных на экваторе.

Отметим, что евклидов аналог рассматриваемой задачи тривиален разделение возможно уже в декартовых координатах (получается $n$ линейных связанных осцилляторов). При этом расположение гуковских центров произвольно. В криволинейной ситуации, уже на двумерной сфере, задача о движении в поле трех произвольно расположенных гуковских центров не является интегрируемой. Хотя это строго не доказано, несложно сделать соответствующие эксперименты, демонстрирующие хаотическое поведение. Квадратичный интеграл $F$ в (10.25) связан с разделением задачи в сфериче-

ских координатах $(\theta ,\phi )$. Действительно, гамильтониан $H$ можно записать следующим образом
$$\begin{array}{rl}H& =\frac{1}{2}(p_{\theta }^2+\frac{p_{\phi }^2}{{\sin }^2\theta })+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\frac{c_i}{{\sin }^2\theta {\cos }^2(\phi -{\phi }_i)}+U(\theta )=\\ & =\frac{1}{2}{p}_{\theta }^2+\frac{1}{2{\sin }^2\theta }(p_{\phi }^2+\sum _{i=1}^n\frac{c_i}{{\cos }^2(\phi -{\phi }_i)})+U(\theta ),\end{array}$$

где $\theta ,\phi$ — координаты движущейся материальной точки, а ${\phi }_i$ задает положение $i$-го гуковского центра на экваторе (рис. 83). Выражение в скобках и представляет собой дополнительный интеграл движения (10.25). Заметим также, что если гуковские центры расположены не на большом круге сферы, то задача уже не интегрируема.

4. Система Гаффе

В заключении рассмотрим довольно экзотическую систему на $S^2\{{\gamma }^2=1\}$ с потенциалом $U=\epsilon {\left({\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3\right)}^{-2/3},\epsilon =$ const, недавно найденную и исследованную Б. Гаффе $[213,214]$. Гамильтониан и интеграл (при $(\mathit{M},\mathit{\gamma })=0$ ) имеют вид
$$\begin{array}{l}H=\frac{1}{2}(M_1^2+M_2^2+M_3^2)-\frac{1}{2}\frac{a^2({\gamma }_1^2+{\gamma }_2^2+{\gamma }_3^2)}{{\left({\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3\right)}^{2/3}}\\ F=M_1{M}_2{M}_3+a^2(\frac{M_1}{{\gamma }_1}+\frac{M_2}{{\kappa }_2}+\frac{M_3}{{\gamma }_3}){\left({\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3\right)}^{1/3}.\end{array}$$

Несмотря на отдельные частные результаты $[214,277]$, явного интегрирования системы (10.26) до сих пор не выполнено. Сумма ${\gamma }_1^2+{\gamma }_2^2+{\gamma }_3^2$, равная единице, сохранена в (10.26) для однородности.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. L — A-пара для системы (10.26) приведена в [277]. Она имеет вид
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\mathbf{L}=[\mathbf{L},\mathbf{A}]\\ \mathbf{L}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & M_3+a{y}_3& M_2-a{y}_2\\ M_3-a{y}_3& \lambda & M_1+a{y}_1\\ 2+a{y}_2& M_1-a{y}_1& \lambda \end{array}\right),\\ \mathbf{A}=\frac{2a}{3}(\mathit{y},\mathit{y})\left(\begin{array}{ccc}0& y_3^{-1}& y_2^{-1}\\ y_3^{-1}& 0& y_1^{-1}\\ y_2^{-1}& y_1^{-1}& 0\end{array}\right),\end{array}$$

где $\mathit{y}=\frac{\gamma }{{\left({\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3\right)}^{1/3}}$.

Отметим также, что интегрируемость системы и вид интегралов (10.26) сохраняется на всем пучке скобок (аналогично случаю Горячева-Чаплыгина)
$$\{M_i,M_j\}={\epsilon }_{ijk}{M}_k,\{M_i,{\gamma }_j\}={\epsilon }_{ijk}{\gamma }_k,\{{\gamma }_i,{\gamma }_j\}=x{\epsilon }_{ijk}{M}_k$$

и на нулевом уровне $(M,\gamma )=0$.