В этой главе мы остановимся на вопросах, связанных с существованием для различных форм уравнений движения твердого тела, приведенных в § 4 гл. 1 линейных по моментам $M$ (или, что эквивалентно, по угловым скоростям $\boldsymbol{\omega}$, обобщенным импульсам $p_{\theta}, p_{\varphi}, p_{\psi}$ и пр.) первых интегралов. Как известно в гамильтоновой механике $[6,8]$, линейные интегралы связаны с наличием циклической переменной и с возможностью понижения порядка. Для канонической и лагранжевой формы записи метод понижения порядка был разработан Э. Раусом (и часто называется редукцией Рауса). В книге [31] мы предложили более специализировавший алгоритм редукции (приведения) при наличии линейных интегралов. Он позволяет при проведении редукции не переходить к каноническому виду и сохраняет алгебраическую форму уравнений движения. При этом в приведенной системе переменных видоизменяется не только гамильтониан, но и скобка Пуассона, которая может стать нелинейной. В некоторых случаях, указанных далее, редуцированная система оказывается эквивалентной, казалось бы, совершенно другой системе, т. е. мы имеем здесь некоторый метод нахождения изоморфных задач в динамике, который также переносится на соответствующие интегрируемые задачи.

В этом параграфе мы сформулируем несколько теорем относительно понижения порядка для трех различных типичных линейных интегралов и соответствующих циклических переменных. Далее мы сосредоточимся на обратной процедуре, связанной с перенесением результатов, касающихся приведенной системы, на общие уравнения. При помощи этой схемы из интегрируемых семейств для приведенной системы (с двумя степенями свободы) можно получить интегрируемые случаи более общих уравнений движения твердого тела в потенциальном поле (см. §4 гл. 3), т. е. для системы с тремя степенями свободы. Кроме того, на этом пути удается понять смысл различных добавок, носящих сингулярный характер, типа $\frac{a}{\gamma_{3}^{2}}, a=\mathrm{const}$

в обобщениях интегрируемых случаев. Их ввел Д.Н.Горячев при исследовании и обобщении случаев Горячева-Чаплыгина и Ковалевской. Фактически, долгое время их механический смысл оставался неясным, несмотря на некоторые «квантовомеханические» объяснения. В работе [31] они были интерпретированы как результаты редукции. Кроме этой главы, с родственными вопросами можно ознакомиться в гл. 3 (§4), гл. 5 (§ 7).

Отметим, что линейные интегралы в общих уравнениях динамики твердого тела вокруг неподвижной точки изучались Д.Н.Горячевым в работе [62]. В ней он привел три типичные рассмотренные ниже возможности, которые, в некотором смысле, являются единственными (доказательство последнего, видимо, не является простым). В §3, §4 соответствующие редукции применены к линейным инвариантным соотношениям, систематическое введение которых в динамику принадлежит Т. Леви-Чивита, который также пытался использовать их в динамике твердого тела (наряду с небесной механикой) [113]. Однако наиболее явное и значительное развитие идей Леви-Чивита получается при рассмотрении инвариантных соотношений типа Гесса, которые, как оказывается, имеются у многих родственных задач динамики твердого тела. В этом случае также существует некоторая циклическая переменная, возможно понижение порядка и имеется аналогия со случаем Лагранжа и его обобщениями. Из нее, в частности, вытекает ряд качественных особенностей движения обобщенных случаев Гесса (например, наблюдение Н. Е. Жуковского о движении центра масс по закону сферического маятника в случае Гесса), типичных для движения тяжелого симметричного гироскопа.

Как известно, существование первых интегралов связано с наличием некоторого поля симметрий и с возможностью понижения порядка – по крайней мере локально. Это известная теорема Нётер, использование которой для гамильтоновых систем с линейными по импульсам интегралами связано с некоторыми упрощениями. Для простоты мы рассмотрим каноническую ситуацию, хотя рассуждения без труда переносятся и на общие уравнения Пуанкаре-Четаева, в частности, на уравнения динамики твердого тела в матричных реализациях групп Ли (задающих конфигурационные пространства).

Действительно, для систем на кокасательном расслоении $T M$ с канонической структурой $\left\{q_{i}, p_{j}\right\}=\delta_{i j}$ наличие линейного по импульсам интеграла
\[
F=\sum_{i} v_{i}(\boldsymbol{q}) p_{i}, \quad\{F, H\}=0
\]

приводит к фазовому потоку, задаваемому гамильтонианом $F$
\[
\frac{d \boldsymbol{q}}{d s}=\frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{p}}=v(\boldsymbol{q}), \quad \frac{d \boldsymbol{p}}{d s}=-\frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{q}}
\]

и определяющему действие однопараметрической группы симметрий гамильтониана $H$. При этом система уравнений на конфигурационном пространстве $M$ отделяется
\[
\frac{d \boldsymbol{q}}{d s}=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{q})
\]

Вблизи неособой точки поле (1.3) можно выпрямить и представить в некоторых координатах $Q_{1}, \ldots, Q_{n-1}, Q_{n}$ в форме
\[
\frac{d Q_{1}}{d s}=\ldots=\frac{d Q_{n-1}}{d s}=0, \quad \frac{d Q_{n}}{d s}=1 .
\]

Очевидно, что канонический импульс $P_{n}$, соответствующий координате $Q_{n}$, совпадает с интегралом (1.1) $F=P_{n}$, а вследствие соотношения $\left\{H, P_{n}\right\}=$ $=\frac{\partial H}{\partial Q_{n}}=0$ координата $Q_{n}-$ циклическая, т. е. достигнуто понижение порядка.

В описанных далее понижениях порядка, которые уже выполняются глобально и алгебраическим образом, мы действуем по почти аналогичной схеме. По имеющемуся линейному интегралу записываются системы (1.2) и (1.3). Вследствие того, что система (1.3) отделяется, оказывается несложным указать ее первые интегралы, а также интегралы совместной системы (1.3).

Руководящей идеей далее является использование этого набора интегралов, как правило избыточного, в качестве новых переменных для первоначальной системы. Если алгебра новых переменных относительно скобок Пуассона является замкнутой (но, вообще говоря, нелинейной) и гамильтониан выражается только через эти переменные, то мы получаем новую гамильтонову систему, для которой циклический интеграл (1.1) является функцией Казимира, ранг скобок Пуассона падает на две единицы, т. е. система является приведенной. Преимущества описанной процедуры редукции, сохраняющей алгебраичность системы и ее различные динамические приложения рассматриваются в нашей книге [31]. Здесь мы только остановимся на ее использование в динамике твердого тела в трех различных вариантах, описываемых приведенными ниже теоремами.

Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки в обобщенно-потенциальном поле, т. е. кроме потенциальных имеются также гироскопические силы, описываемые векторным потенциалом и приводящие к линейным по $M$ слагаемым в гамильтониане
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{W})+U,
\]

где функции $\boldsymbol{U}, \boldsymbol{W}=\left(W_{1}, W_{2}, W_{3}\right)$, задающие обобщенный потенциал, предполагаются зависящими от всех переменных $\boldsymbol{q}$, задающих положение твердого тела. Ими могут быть углы Эйлера $\theta, \varphi, \psi$, направляющие косинусы $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ и параметры Родрига-Гамильтона $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$. В зависимости от системы переменных используется соответствующая система уравнений, описывающих движение (см. §3 гл. 1). Для наибольшей общности мы будем предполагать также $\mathbf{A}=\mathbf{A}(\boldsymbol{q})$, что необходимо для изучения скольжения тела по плоскости и для гироскопа в кардановом подвесе. Здесь и далее $\boldsymbol{N}=\left(N_{1}, N_{2}, N_{3}\right)$ – проекции вектора кинетического момента на неподвижные оси.

1. Классический интеграл площадей $N_{3}=(M, \gamma)=c=$ const

Симметрии, приводящие к такому интегралу, являются естественными, они связаны с инвариантностью обобщенного потенциала относительно вращений вокруг некоторой неподвижной оси. К таким осесимметричным полям относятся однородные – в частности, поле тяжести.

Циклической переменной является угол прецессии $\psi$, и уравнения движения могут быть представлены на алгебре $e(3)$.

Гамильтониан (1.4) в этом случае можно записать, выбирая в качестве образующих переменные $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ и $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$, задающие орт симметрии поля в неподвижном пространстве
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{W}(\theta, \varphi))+U(\theta, \varphi)= \\
& =\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{W}(\gamma))+U(\gamma),
\end{aligned}
\]

где
\[
\gamma_{1}=2\left(\lambda_{1} \lambda_{3}-\lambda_{0} \lambda_{2}\right), \quad \gamma_{2}=2\left(\lambda_{0} \lambda_{1}+\lambda_{2} \lambda_{3}\right), \quad \gamma_{3}=\lambda_{0}^{2}-\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2} .
\]

Скобка Пуассона в переменных ( $\boldsymbol{M}, \gamma$ ) определяется алгеброй $e(3)$ (см. § 1 гл. 2). Симплектический лист алгебры $e(3):\left\{\gamma^{2}=1,(\boldsymbol{M}, \gamma)=c\right\}$ диффеоморфен кокасательному расслоению к двумерной сфере $S^{2}=\left\{\gamma^{2}=1\right\}$. Эта сфера, являющаяся конфигурационным пространством приведенной (по $\psi$ ) системы, называется сферой Пуассона.

При $c
eq 0$ при понижении порядка появляются дополнительные гироскопические члены, содержащие особенность, которая может быть интерпретирована как некоторый монополь. В работе [133] введение монополя рассматривают как неканоническое искажение скобки Пуассона.

Здесь мы произведем редукцию на нулевую постоянную площадей в алгебраической форме, не меняя самой скобки – в этом случае особенность, соответствующая монополю, появится только в гамильтониане.

Теорема 4. Уравнения движения тела с гамильтонианом (1.5) на уровне интеграла $N_{3}=$ с эквивалентны уравнениям Гамильтона на е(3) на нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$ с гамильтонианом
\[
\begin{aligned}
H= & \frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{W})+c \frac{a_{1} \gamma_{1} M_{1}+a_{2} \gamma_{2} M_{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}+ \\
& +\frac{c^{2}}{2} \frac{a_{1} \gamma_{1}^{2}+a_{2} \gamma_{2}^{2}}{\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right)^{2}}+\frac{c\left(W_{1} \gamma_{1}+W_{2} \gamma_{2}\right)}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}+U(\gamma) .
\end{aligned}
\]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Достаточно произвести преобразование $(M, \gamma) \rightarrow(\boldsymbol{M}, \gamma)$, которое сохраняет структуру алгебры $е(3)$ и переводит интеграл $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=c$ в $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$. Оно имеет вид
\[
\begin{aligned}
M_{1} \rightarrow M_{1}-c \frac{\gamma_{1}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}, \quad M_{2} & \rightarrow M_{2}-c \frac{\gamma_{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}, \quad M_{3} \rightarrow M_{3}, \\
\gamma & \rightarrow \gamma .
\end{aligned}
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 1. При $c=0$ и $W \equiv 0$ приведенная система является натуральной, монополь отсутствует.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Преобразование (1.7) было впервые указано нами в книге [31]. При этом мы старались усовершенствовать преобразование $M \rightarrow M+c \boldsymbol{\gamma}$, $c=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$, применяемое в [133] для сведения на нулевую константу площадей, которое, однако, не сохраняет структуру $e(3)$.

Динамическое значение доказанного утверждения состоит в том, что в отличие от классического и хорошо известного локального понижения порядка методом Рауса по углу прецессии мы получаем все дополнительные слагаемые, возникающие при редукции, в алгебраическом виде. При этом, вследствие $(M, \gamma)=0$, приведенная система с двумя степенями свободы описывает движение некоторой изображающей точки (задаваемой ортом

вертикали) на сфере (Пуассона) в обобщенно-потенциальном поле (даже при $\boldsymbol{W} \equiv 0$, при этом $c
eq 0$ ), в метрике, определяемой формой кинетической энергии. Для перехода к каноническим переменным в гамильтониане (1.6) следует произвести подстановку
\[
\begin{array}{c}
M_{1}=-p_{\varphi} \operatorname{ctg} \theta \sin \varphi+p_{\theta} \cos \varphi, M_{2}=-p_{\varphi} \operatorname{ctg} \theta \cos \varphi-p_{\theta} \sin \varphi, M_{3}=p_{\varphi}, \\
\gamma_{1}=\sin \theta \sin \varphi, \quad \gamma_{2}=\sin \theta \cos \varphi, \quad \gamma_{3}=\cos \theta,
\end{array}
\]

для которой $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$, а между $p_{\theta}, p_{\varphi}, \theta, \varphi$ имеются канонические правила коммутации. При этом $\theta$ и $\varphi$ представляют собой сферические координаты на сфере Пуассона. Алгебраическая форма записи (1.6), а также ее аналоги для других циклических переменных позволяет, в отличие от канонической формы записи, заметить различные аналогии между задачами, указать связи между интегрируемыми случаями, глубже понять алгебраическую природу соответствующих первых интегралов.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. При $a_{1}=a_{2}$ гамильтониан (1.6) упрощается (с учетом $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0)$
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{W})+U(\gamma)-\frac{c M_{3} \gamma_{3}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}+\frac{c^{2}}{2\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right)}+\frac{c\left(W_{1} \gamma_{1}+W_{2} \gamma_{2}\right)}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}} \text {. }
\]

2. Интеграл $N_{3}-M_{3}=(M, \gamma)-M_{3}=c=\mathrm{const}$

Этот интеграл соответствует циклической переменной $\psi-\varphi$ (аналогично рассматривается $N_{3}+M_{3}$ и $\psi+\varphi$ ), его впервые рассматривал Д. Н. Горячев [62]. Соответствующие симметрии уже не являются достаточно физически очевидными и связаны как с самим силовым полем в пространстве, так и с динамическими характеристиками твердого тела. При этом тело является динамически симметричными. Гамильтониан (1.4) в этом случае допускает запись в виде
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)+2 \frac{M_{1} \lambda_{1}+M_{2} \lambda_{2}}{\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}} W_{1}\left(\lambda_{0}, \lambda_{3}\right)+ \\
+2 \frac{M_{2} \lambda_{1}-M_{1} \lambda_{2}}{\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}} W_{2}\left(\lambda_{0}, \lambda_{3}\right)-2 M_{3} W_{3}\left(\lambda_{0}, \lambda_{3}\right)+U(\theta, \varphi+\psi),
\end{array}
\]

где $a$ является некоторой произвольной постоянной. Введем новую систему переменных
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=2 \frac{M_{1} \lambda_{1}+M_{2} \lambda_{2}}{\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}}, \quad K_{2}=2 \frac{M_{2} \lambda_{1}-M_{1} \lambda_{2}}{\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}}, \quad K_{3}=-2 M_{3}, \\
s_{1}=\lambda_{3}, \quad s_{2}=\lambda_{0}, \quad s_{3}=\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}},
\end{array}
\]

которые коммутируют между собой следующим образом
\[
\begin{array}{c}
\left\{K_{3}, K_{1}\right\}=K_{2}, \quad\left\{K_{2}, K_{3}\right\}=K_{1}, \quad\left\{K_{1}, K_{2}\right\}=K_{3}+\frac{s_{3}(s, \boldsymbol{K})}{s_{3}^{2}}, \\
\left\{K_{i}, s_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} s_{k}, \quad\left\{s_{i}, s_{j}\right\}=0
\end{array}
\]

и образуют замкнутую алгебру относительно нелинейной скобки Пуассона, порождаемой соотношениями (1.11), которая является вырожденной и обладает функциями Казимира
\[
F_{1}=s_{3}(s, \boldsymbol{K})=(\boldsymbol{M}, \gamma)-M_{3}=c, \quad F_{2}=(s, s)=1 .
\]

Однопараметрическое преобразование
\[
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{K}-\alpha \frac{s}{s_{3}}, \quad \alpha=\mathrm{const}
\]

сохраняет скобку (1.11), при этом
\[
s_{3}(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{s})=s_{3}(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{s})-\alpha .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Преобразование (1.13), как и система (1.10), были также указаны нами в книге [31] и в работе [30].

Если зафиксировать интеграл $(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{s}) s_{3}=c$ и выбрать $\alpha=c$, это приведет вследствие $s_{3}(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{s})=0$ к исчезновению нелинейных членов в скобке (1.11), которая теперь определяется алгеброй $e(3)$. При этом гамильтониан (1.11) перепишется в виде
\[
\begin{aligned}
H= & \frac{1}{8}\left(L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+a L_{3}^{2}\right)+(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{W}(\boldsymbol{s}))+U(\boldsymbol{s})+ \\
& +c \frac{(\boldsymbol{s}, \boldsymbol{W}(\boldsymbol{s}))}{s_{3}^{2}}+\frac{1}{2} \frac{c^{2}}{s_{3}^{2}}+c(a-1) L_{3} .
\end{aligned}
\]

Таким образом доказана

Теорема 5. Система с тремя степенями свободы (1.9) и на уровне циклического интеграла $N_{3}-M_{3}=$ с при понижении порядка переходит в систему на е (3) с нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{s})=0$ и функцией Гамильтона (1.14).

Заметим, что при описанной редукции в гамильтониане (1.14) при $c
eq 0$ возникают дополнительные слагаемые, одно из которых можно интерпретировать как гиростатический момент, направленный вдоль оси динамической симметрии и сингулярное слагаемое, введенное в динамику Д.Н.Горячевым [63, 64].

Если в динамике твердого тела симметрийное происхождение интеграла $F=N_{3} \pm M_{3}$ неочевидно, то его смысл легко понять из аналогии с небесной механикой искривленного пространства, точнее, с движением материальной точки по сферам $S^{2}, S^{3}$ (см. § 11 гл. 5). Этот интеграл как раз соответствует проекции кинетического момента частицы на неподвижную ось, относительно которой потенциал сохраняет осевую симметрию.

3. Интеграл $M_{3}=c=$ const (интеграл Лагранжа)

При этом твердое тело должно быть динамически симметричным, а силовое поле инвариантным относительно оси динамической симметрии. Соответствующая циклическая переменная в этом случае – угол Гамильтониан удобнее записать в направляющих косинусах $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)+\left(M_{1} \alpha_{1}+M_{2} \alpha_{2}\right) W_{1}^{(\alpha)}(\theta, \psi)+ \\
+\left(M_{1} \alpha_{2}-M_{2} \alpha_{1}\right) W_{2}^{(\alpha)}(\theta, \psi)+\ldots+M_{3} W_{3}(\theta, \psi)+U(\theta, \psi),
\end{array}
\]

где опущены линейные по $M_{1}, M_{2}$ слагаемые, содержащие $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$. Введем новые переменные, коммутирующие с $M_{3}$, определяющие редуцированную систему
\[
\begin{array}{c}
N_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}), \quad N_{2}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta}), \quad N_{3}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}), \\
\boldsymbol{p}=\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right) .
\end{array}
\]

Геометрический смысл этих переменных очевиден: вектор $N$ составлен из компонент кинетического момента в неподвижной системе координат, а $\boldsymbol{p}$ – компоненты вектора оси симметрии в той же системе.

Коммутационные соотношения для образующих (1.16) соответствуют алгебре $e(3)$ (см. § 3 гл. 1). Ее функции Казимира имеют вид
\[
F_{1}=\boldsymbol{p}^{2}=1, \quad F_{2}=(\boldsymbol{N}, \boldsymbol{p})=\boldsymbol{p}^{2} M_{3}=c .
\]

Линейные по $M$ слагаемые в гамильтониане (1.15) могут быть найдены из следующих соотношений
\[
\begin{array}{ll}
M_{1} \alpha_{1}+M_{2} \alpha_{2}=N_{1}-p_{1} M_{3}, & M_{1} \alpha_{2}-M_{2} \alpha_{1}=p_{2} N_{3}-p_{3} N_{2}, \\
M_{1} \beta_{1}+M_{2} \beta_{2}=N_{2}-p_{2} M_{3}, & M_{1} \beta_{2}-M_{2} \beta_{1}=p_{3} N_{1}-p_{1} N_{3}, \\
M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}=N_{3}-p_{3} M_{3}, & M_{1} \gamma_{2}-M_{2} \gamma_{1}=p_{1} N_{2}-p_{2} N_{1} .
\end{array}
\]

Отбрасывая постоянные слагаемые, гамильтониан приведенной системы можно представить в форме
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{N}^{2}+\left(\boldsymbol{N}, \boldsymbol{W}^{(1)}\right)+\left(\boldsymbol{p} \times \boldsymbol{N}, \boldsymbol{W}^{(2)}\right)+ \\
+c\left(W_{3}(\boldsymbol{p})-\left(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{W}^{(1)}\right)\right)+U(\boldsymbol{p}), \\
\boldsymbol{W}^{(1)}(\boldsymbol{p})=\left(W_{1}^{(\alpha)}, W_{1}^{(\beta)}, W_{1}^{(\gamma)}\right), \quad \boldsymbol{W}^{(2)}(\boldsymbol{p})=\left(W_{2}^{(\alpha)}, W_{2}^{(\beta)}, W_{2}^{(\gamma)}\right) .
\end{array}
\]

Редукция по интегралу $M_{3}=$ const и переменные (1.16) уже использовались нами в § 4 гл. 3 для установления взаимосвязи между задачей Бруна при условии динамической симметрии и интегрируемым случаем Клебша уравнений Кирхгофа.

4. Поднятие интегрируемых систем

Наибольший интерес представляет обратная задача – получение новых интегрируемых случаев трехстепенной системы (1.4) из имеющихся интегрируемых случаев гамильтоновых уравнений на $e(3)$, определяющих приведенную двухстепенную систему. Здесь мы укажем также, каким образом интегрируемые системы на нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{s})=0$ алгебры $e(3)$ могут быть подняты до общей интегрируемой системы (1.4), обладающей линейным интегралом $M_{3} \pm N_{3}$. Сформулируем сначала один общий результат, доказательство которого получается прямой проверкой.

Теорема 6. 1. Пусть на алгебре е(3) задана интегрируемая $n р и(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{s})=0$ система с функцией Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2}\left(L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+a L_{3}^{2}\right)+(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{W})+U(s)
\]
(т. е. имеется некоторый частный дополнительный первый интеграл).
Тогда при помощи преобразований
\[
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{K}-\alpha \frac{\boldsymbol{s}}{s_{3}}
\]

и замены (1.10) получим систему на кватернионной алгебре скобок переменных $M, \lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ (§3 гл. 1 формула (3.11)), интегрируемую на фиксированном уровне интеграла $N_{3}-M_{3}=\alpha$ с функцией Гамильтона
\[
H^{\prime}=H-\alpha \frac{\lambda_{3} W_{1}+\lambda_{0} W_{2}+\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}} W_{3}}{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}-\frac{1}{2} \frac{\alpha^{2}}{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}+\alpha(a-1) M_{3} .
\]

2. Если константы в гамильтониане $H$ можно подобрать таким образом, что $H^{\prime}$ не зависит от $\alpha$, то система (1.19) является интегрируемой при произвольном значении линейного интеграла $N_{3}-M_{3}$. При этом в дополнительном интеграле после преобразований (1.18) и замены (1.10) необходимо положить $\alpha=\left(M_{1} \lambda_{1}+M_{2} \lambda_{2}+M_{1} \lambda_{2}-M_{2} \lambda_{1}-\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}} M_{3}\right)$.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичное поднятие интегрируемых случаев может быть выполнено при помощи линейных интегралов $M_{3}=$ const и $N_{3}=$ const. Однако получающиеся при этом обобщения интегрируемых случаев содержат слагаемые, линейные по скоростям, не имеющие прямого механического истолкования.
Проиллюстрируем теорему 6 на двух примерах.

Обобщение семейства Яхьи-Ковалевской.
В работе Х. Яхьи [285] приведен частный случай интегрируемости $(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{s})=0$, обобщающий случай Ковалевской с гамильтонианом
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+2\left(L_{3}+\xi\right)^{2}\right)+ \\
+a \frac{s^{2}}{s_{3}^{2}}+c_{1} s_{1}+c_{2} s_{2}+2 b_{1} s_{1} s_{2}+b_{2}\left(s_{2}^{2}-s_{1}^{2}\right) .
\end{array}
\]

и дополнительным интегралом, приведенном в § 7 гл. 5, см. формулу (7.4). После преобразования
\[
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{K}-\alpha \frac{\boldsymbol{s}}{s_{3}}
\]

получим гамильтониан в форме
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}+2 K_{3}^{2}\right)+c_{1} s_{1}+c_{2} s_{2}+2 b_{1} s_{1} s_{1}+b_{2}\left(s_{2}^{2}-s_{1}^{2}\right)+ \\
+(2 \xi-\alpha) K_{3}+\frac{1}{2} \frac{2 a s^{2}-2 \alpha s_{3}(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{s})+\alpha^{2} s^{2}}{s_{3}^{2}}
\end{array}
\]

который определяет интегрируемую систему с нелинейной скобкой (1.11) на симплектическом листе, задаваемым соотношением
\[
s_{3}(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{s})=\alpha, \quad \boldsymbol{s}^{2}=1 .
\]

Кроме того, поскольку структура гамильтониана (1.21) не изменилась в числителе последнего слагаемого стоит функция Казимира, которая эквивалентна константе, можно заключить, что гамильтониан (1.20) определяет общий случай интегрируемости на нелинейной скобке (1.11). Для того чтобы получить интеграл на произвольном листе, переопределим константы

в гамильтониане и интеграле по правилу
\[
\xi \rightarrow \xi+\frac{\alpha}{2}, \quad a \rightarrow a+\frac{\alpha^{2}}{2}
\]

и положим
\[
\alpha=\frac{s_{3}(\boldsymbol{K}, s)}{s^{2}} .
\]

В результате получим дополнительный интеграл, который уже является общим, в виде
\[
\begin{array}{c}
F_{2}=\left(K_{1}^{2}-K_{2}^{2}-2 \frac{K_{1} s_{1}-K_{2} s_{2}}{s_{3}} F_{0}-2 a \frac{s_{1}^{2}-s_{2}^{2}}{s_{3}^{2}}-2 c_{1} s_{1}+2 c_{2} s_{2}-2 b_{2} s_{3}^{2}\right)^{2}+ \\
+4\left(K_{1} K_{2}-F_{0} \frac{M_{1} s_{2}+M_{2} s_{1}}{s_{3}}-2 a \frac{s_{1} s_{2}}{s_{3}^{2}}-c_{1} s_{2}-c_{2} s_{1}+b_{1} s_{3}^{2}\right)^{2}+ \\
+4\left(2 \xi+F_{0}\right)\left[-\left(K_{3}+2 \xi\right)\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}+2 F_{0} K_{3}+2 a \frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+2 s_{3}^{2}}{s_{3}^{2}}\right)-\right. \\
-2 F_{0}\left(c_{1} s_{1}+c_{2} s_{2}+2 b_{1} s_{1} s_{2}-b_{2}\left(s_{1}^{2}-s_{2}^{2}\right)\right)+ \\
\left.+2 s_{3}\left(c_{1} K_{1}+c_{2} K_{2}+b_{1}\left(K_{1} s_{2}+K_{2} s_{1}\right)-b_{2}\left(K_{1} s_{1}-K_{2} s_{2}\right)\right)\right] \\
F_{0}=\frac{s_{3}(\boldsymbol{K}, s)}{s^{2}} .
\end{array}
\]

Подставляя в (1.20) и (1.23) выражения $(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{s}$ ) через моменты $\boldsymbol{M}$ и кватернионные параметры $\lambda$ (1.10), получаем общую интегрируемую систему на кватернионной скобке в переменных $M, \lambda$ с линейными интегралом $F_{1}=(\boldsymbol{M}, \gamma)-M_{3}$ и интегралом четвертой степени (1.23). Частный случай системы (1.20) и соответствующий интеграл (1.23) в упрощенном виде приведен нами в $\S 4$ гл. 4.

ЗАМЕЧАНИЕ 5. Интеграл (1.23) может быть записан в направляющих косинусах при помощи соотношений
\[
\begin{array}{c}
\frac{K_{1} s_{1}-K_{2} s_{2}}{s_{3}}=2 \frac{M_{1} \alpha_{3}+M_{2} \beta_{3}}{1-\gamma_{3}}, \quad \frac{K_{1} s_{2}+K_{2} s_{1}}{s_{3}}=2 \frac{M_{1} \beta_{3}-M_{2} \alpha_{3}}{1-\gamma_{3}}, \\
K_{1}^{2}-K_{2}^{2}=\frac{\left(\alpha_{1}-\beta_{2}\right)\left(M_{1}^{2}-M_{2}^{2}\right)+2\left(\alpha_{2}+\beta_{1}\right) M_{1} M_{2}}{1-\gamma_{3}} \\
2 K_{1} K_{2}=\frac{\left(\alpha_{2}+\beta_{1}\right)\left(M_{1}^{2}-M_{2}^{2}\right)-2\left(\alpha_{1}-\beta_{2}\right) M_{1} M_{2}}{1-\gamma_{3}}
\end{array}
\]

Обобщенное семейство Горячева-Чаплыгина.
Рассмотрим аналогичное обобщение интегрируемого случая Горячева – Чаплыгина на нулевом листе с сингулярными слагаемыми [63] (см. § 7 гл. 5). Гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+4 L_{3}^{2}\right)+\xi L_{3}+\frac{a s^{2}}{s_{3}^{2}}+b_{1} s_{1}+b_{2} s_{2} .
\]

После преобразований $\boldsymbol{L}=\boldsymbol{K}-\alpha \frac{\boldsymbol{s}}{s_{3}}, \alpha=$ const, отбрасывая несущественные постоянные, получим преобразованный гамильтониан в виде
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}+4 K_{3}^{2}\right)+b_{1} s_{1}+b_{2} s_{2}+ \\
+(\xi-3 \alpha) K_{3}+\frac{1}{2} \frac{2 a s^{2}-2 \alpha s_{3}(\boldsymbol{K}, s)+\alpha^{2} s^{2}}{s_{3}^{2}} .
\end{array}
\]

По аналогии с предыдущим случаем получаем, что система (1.25) определяет общий случай интегрируемости на нелинейной (и соответственно кватернионной в переменных $\boldsymbol{M}, \lambda$ ) скобке с интегралом третьей степени вида
\[
F=\left(K_{3}+\frac{1}{2} \xi\right)\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}+2 a \frac{s^{2}}{s_{3}^{2}}\right)-s_{3}\left(b_{1} K_{1}+b_{2} K_{2}\right) .
\]

Интересно отметить, что интеграл не меняет своей формы по сравнению с его видом для алгебры $e(3)$ (см. $\S 5$ гл. 2).

В заключение заметим, что процедуры приведения и поднятия, описанные в этом разделе, используются нами в § 4 гл. 3 и § 4 гл. 5 для анализа кватернионных уравнений Эйлера-Пуассона и их интегрируемых случаев.