Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике В силу особого математического и прикладного значения уравнений Эйлера-Пуассона, изучение их интегрируемых случаев привело к ряду работ, в которых эти случаи были обобщены в разных направлениях. Одним из них является добавление в гамильтониан гиростатического момента и дополнительных потенциальных слагаемых. Другое возможное обобщение связано с тем, что случаи интегрируемости рассматриваются на пучке скобок Пуассона. Наконец, можно рассмотреть самый общий случай – когда дополнительные параметры появляотся как в гамильтониане, так и в скобках Пуассона. В качестве оправдания рассмотрения таких задач, т. е. включения интегрируемого случая в более общее интегрируемое семейство укажем, что оно помогает глубже понять его динамическое происхождение, а также отделить специфические свойства (например, возможность интегрирования в эллиптических функциях), не типичные для всех представителей семейства. Другие интересные физические обобщения на случай суперпозиции различных силовых полей рассмотрены в §4 гл. 3, §§ 1, 4 гл. 4 (см. также $[31,21]$ ). Известны также их обобщения на кватернионные уравнения Эйлера-Пуассона (§4 гл. 3). 1. Обобщение случая Ковалевской Первое обобщение принадлежит С. А. Чаплыгину [178], который на нулевом уровне интеграла площадей $(M, \gamma)$ рассмотрел суперпозицию случая Ковалевской и своего случая в уравнениях Кирхгофа. Д.Н.Горячев добавил [64] в это семейство сингулярное слагаемое вида $\frac{a}{\gamma_{3}^{2}}$, не ссылаясь на более ранний результат Чаплыгина. Последнее связано, видимо, с тем, что Чаплыгин и Горячев рассматривали разные задачи (уравнения Кирхгофа и движение тела с неподвижной точкой в потенциальных полях соответственно), а в их время взаимосвязь между ними не была отчетлива понята. Между прочим, в работе [63] Д.Н.Горячев добавил аналогичное сингулярное слагаемое в случай Горячева-Чаплыгина. В обоих случаях он решает обратную задачу динамики. 1. Первое обобщение связывает случай Ковалевской и случай Чаплыгина в единое интегрируемое семейство на нулевом уровне $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$. Наиболее общий гамильтониан имеет вид Соответствующий интеграл четвертой степени можно представить в форме с помощью поворота вокруг оси $O x_{3}$ можно исключить один из параметров $r_{1}, r_{2}, b_{1}, b_{2}$ (традиционно полагают $b_{1}=0$ ). Семейство (7.1) использовано нами в § 1 гл. 4 для построения наиболее общего интегрируемого семейства для кватернионных уравнений (4.24) гл. 1, для которых получается общий случай интегрируемости с линейным интегралом и интегралом четвертой степени. Наиболее общее семейство (7.1) было указано Х. Яхьей [286]. Более ранние результаты, содержащие дополнительные ограничения на свободные параметры в (7.1) принадлежит Д.Н.Горячеву $(\lambda=0)$ [63] и С. А. Чаплыгину ( $a=0, \lambda=0)$ [175]. 2. Другое обобщение на нулевом уровне постоянной площадей, предложенное X. Яхьей [285], связано с добавлением двух различных сингулярных добавок. Гамильтониан и интеграл имеют вид при этом на нулевой константе площадей частный интеграл имеет вид: Отметим, что в работе X. Яхьи [285] интеграл $F$ указан неверно, хотя, возможно, это и связано со странной опечаткой. Интересно отметить, что при $a=0$ этот случай является общим случаем интегрируемости (и не связан с нулсвым уровнсм интсграла площадсй). 3. Другое направление обобщений связано с изменением структуры скобок Пуассона, возможно, с соответствующим изменением формы гамильтониана (см. §2, гл. 3). Рассмотрим следующее однопараметрическое семейство скобок Пуассона – пучок $\mathscr{L}_{x}$ : где $x=$ const – параметр. При $x=1$ скобка (7.3) соответствует алгебре $s o(4)$, при $x=0-e(3)$, при $x=-1-s o(1,3)$. Полагая $x= \pm R^{2}, \gamma \rightarrow R \gamma$ и устремляя $R$ к бесконечности, получим ретракцию от алгебр $s o(4)$ и $s o(1,3)$ к $e(3)$. их постоянный всюду в дальнейшем обозначим $F_{1}=c_{1}, F_{2}=c_{2}$. Дополнительный интеграл несколько видоизменяется (в него входит параметр пучка $x$ ), его можно представить в следующей форме здесь $k_{1}=M_{1}^{2}-M_{2}^{2}-2 \mu \gamma_{1}+\mu^{2} x, k_{2}=2\left(M_{1} M_{2}-\mu \gamma_{2}\right)$. Бифуркационный анализ системы (7.5) (как при $\lambda=0$, так и при $\lambda Отметим, что коммутатор $\left\{k_{1}, k_{2}\right\}$, входящий также в выражение интеграла (7.6) при гиростатическом параметре $\lambda$, имеет структуру, сходную с интегралом Горячева-Чаплыгина Этот факт пока не имеет разумного объяснения. Укажем только, что между волчками Ковалевской и Горячева-Чаплыгина имеется также несколько странная взаимосвязь на уровне пар Лакса, отмеченная в [193]. При $\lambda=0$ для системы (7.5) существует аналог частного (периодического) решения Делоне при $k_{1}=k_{2}=0$, в этом случае коммутатор (7.7) на уровне инвариантных соотношений $k_{1}=k_{2}=0$ также задает интеграл третьей степени (см. также § 4 гл. 2). 4. Интерпретация Г.К. Суслова интегрируемости волчка Ковалевской. Г.К.Суслов указал в своем известном учебнике [163] систему трех новых переменных для волчка Ковалевской, которые в некотором новом времени изменяются весьма простым образом – их траекторией является эллипс, получающийся пересечением цилиндра с плоскостью. Его рассуждения обобщаются на случай системы (7.5) при $\lambda=0$ и $x Действительно, если положить то для них получаются простые уравнения которые заменой времени $d \tau=M_{3} d t$ сводятся к линейным. Эти уравнения обладают интегралами задающими указанный эллипс в пространстве переменных $\left(k_{1}, k_{2}, z\right)$. где $\alpha_{1}=1-x a_{1}, \alpha_{2}=1-x a_{2}, a_{1}, a_{2}=$ const. Результат об интегрируемости системы при $\lambda ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнения движения для $F$ можно представить в форме где $f(M, \gamma)$ – некоторая (полиномиальная) функция от $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}$. Таким образом, при $a_{1}=a_{2}$ этот случай становится общим случаем интегрируемости, соответствующий гиростатическому обобщению случая Ковалевской. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Обобщения случаев интегрируемости с сингулярными добавками (см. предыдущий пункт) на пучке $\mathscr{L}_{x}$ до сих пор не найдены. 2. Обобщение случая Горячева-Чаплыгина В этом разделе мы приведем аналогичные случаю Ковалевской обобщения случая Горячева-Чаплыгина. Отметим, что обобщение на пучок (7.3) связано с введением на нем аналога переменных Андуайе-Депри, которые оказываются разделяющими для всех представителей пучка. Эта идея нахождения аналога случая Горячева-Чаплыгина принадлежит авторам [34, 197], она также проходит при наличии гиростата (но не сингулярного члена, для которого переменные Андуайе-Депри уже не являются разделяющими). 1. Рассмотрим сначала обобщение, при котором к гамильтониану добавляется гиростатический момент и сингулярное слагаемое где $\lambda, \mu, a=$ const. При этом дополнительный интеграл также имеет третью степень по моментам Сам Д.Н.Горячев в работе [63] указал обобщение (7.10) при нулевом гиростатическом моменте $\lambda=0$ (при $\lambda 2. Для получения обобщения случая Горячева-Чаплыгина на пучок скобок (7.3) построим на нем аналог переменных Андуайе-Депри. Положим компоненту $M_{3}$ равной одной из импульсных переменных Канонически сопряженная ей координата $l(\{l, L\}=1)$ на подалгебре $s o(3)$ с образующими $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ может быть найдена путем интегрирования гамильтонова потока с функцией Гамильтона $\mathscr{H}=L$ Отсюда с учетом коммутационного соотношения $\left\{M_{2}, M_{2}\right\}=-M_{3}$ находим где $G^{2}=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}$ – функция Казимира подалгебры $s o(3)$. где $g$ – переменная канонически сопряженная $G$. здесь $c_{2}=x \boldsymbol{M}^{2}+\gamma^{2}$, а через $H$ – традиционно обозначена постоянная площадей $c_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$. Таким образом, (7.11), (7.13), (7.15) задают симплектические координаты на всем пучке $\mathscr{L}_{x}$, которые при $x=0, c=1$ переходят в известные координаты Андуайе-Депри в динамике твердого тела. 3. Используя (7.11), (7.15), найдем обобщение случая Горячева-Чаплыгина частной интегрируемости для пучка $\mathscr{L}_{x}$. Выберем гамильтониан в форме где $a, \lambda$-константы. Система (7.16) допускает разделение переменных. Действительно, выполним каноническую замену переменных При этом гамильтониан (7.16) может быть представлен в форме Выражая гамильтониан (7.16) с помошью (7.11), (7.13), (7.15) в переменных $\boldsymbol{M}, \gamma$ при нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{M}, \gamma)=H=0$, находим Дополнительный интеграл в этом случае имеет вид Для алгебры $e(3)$ имеем $|\gamma|=1$ и получаем классический случай Горячева-Чаплыгина, для которого указанный метод разделения переменных был предложен $B$. В. Козловым [92]. При $x 3. Случай Горячева В заключение приведем один экзотический частный интегрируемый случай, не имеющий непосредственного отношения к уравнениям Эйле$\mathrm{pa}-$ Пуассона, но обладающий интегралом третьей степени, близким к интегралу Горячева-Чаплыгина. Он был указан Д.Н.Горячевым [63] и при $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$ гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид
|
1 |
Оглавление
|