В силу особого математического и прикладного значения уравнений Эйлера-Пуассона, изучение их интегрируемых случаев привело к ряду работ, в которых эти случаи были обобщены в разных направлениях. Одним из них является добавление в гамильтониан гиростатического момента и дополнительных потенциальных слагаемых. Другое возможное обобщение связано с тем, что случаи интегрируемости рассматриваются на пучке скобок Пуассона. Наконец, можно рассмотреть самый общий случай — когда дополнительные параметры появляотся как в гамильтониане, так и в скобках Пуассона. В качестве оправдания рассмотрения таких задач, т. е. включения интегрируемого случая в более общее интегрируемое семейство укажем, что оно помогает глубже понять его динамическое происхождение, а также отделить специфические свойства (например, возможность интегрирования в эллиптических функциях), не типичные для всех представителей семейства.

Другие интересные физические обобщения на случай суперпозиции различных силовых полей рассмотрены в §4 гл. 3, §§ 1, 4 гл. 4 (см. также $[31,21]$ ). Известны также их обобщения на кватернионные уравнения Эйлера-Пуассона (§4 гл. 3).

1. Обобщение случая Ковалевской

Первое обобщение принадлежит С. А. Чаплыгину [178], который на нулевом уровне интеграла площадей $(M, \gamma)$ рассмотрел суперпозицию случая Ковалевской и своего случая в уравнениях Кирхгофа. Д.Н.Горячев добавил [64] в это семейство сингулярное слагаемое вида $\frac{a}{\gamma_{3}^{2}}$, не ссылаясь на более ранний результат Чаплыгина. Последнее связано, видимо, с тем, что Чаплыгин и Горячев рассматривали разные задачи (уравнения Кирхгофа

и движение тела с неподвижной точкой в потенциальных полях соответственно), а в их время взаимосвязь между ними не была отчетлива понята. Между прочим, в работе [63] Д.Н.Горячев добавил аналогичное сингулярное слагаемое в случай Горячева-Чаплыгина. В обоих случаях он решает обратную задачу динамики.

1. Первое обобщение связывает случай Ковалевской и случай Чаплыгина в единое интегрируемое семейство на нулевом уровне $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$. Наиболее общий гамильтониан имеет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+\lambda M_{3}+ \\
+r_{1} \gamma_{1}+r_{2} \gamma_{2}+2 b_{1} \gamma_{1} \gamma_{2}+b_{2}\left(\gamma_{2}^{2}-\gamma_{1}^{2}\right)+\frac{1}{2} \frac{a}{\gamma_{3}^{2}}, \\
\quad \lambda, r_{1}, r_{2}, b_{1}, b_{2}, a=\text { const. }
\end{array}
\]

Соответствующий интеграл четвертой степени можно представить в форме
\[
\begin{aligned}
F= & \left(M_{1}^{2}-M_{2}^{2}-a \frac{\gamma_{1}^{2}-\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{3}^{2}}-2 r_{1} \gamma_{1}+2 r_{2} \gamma_{2}-2 b_{2} \gamma_{3}^{2}\right)^{2}+ \\
& +4\left(M_{1}^{2} M_{2}^{2}-a \frac{\gamma_{1} \gamma_{2}}{\gamma_{3}^{2}}-r_{1} \gamma_{2}-r_{2} \gamma_{1}+b_{1} \gamma_{3}^{2}\right)^{2}- \\
& -4 \lambda\left(M_{3}+\lambda\right)\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a\left(1+\frac{1}{\gamma_{3}^{2}}\right)\right)+ \\
& +8 \lambda \gamma_{3}\left(M_{1}\left(r_{1}+b_{1} \gamma_{2}-b_{2} \gamma_{1}\right)+M_{2}\left(r_{2}+b_{1} \gamma_{1}+b_{2} \gamma_{2}\right)\right)
\end{aligned}
\]

с помощью поворота вокруг оси $O x_{3}$ можно исключить один из параметров $r_{1}, r_{2}, b_{1}, b_{2}$ (традиционно полагают $b_{1}=0$ ).

Семейство (7.1) использовано нами в § 1 гл. 4 для построения наиболее общего интегрируемого семейства для кватернионных уравнений (4.24) гл. 1, для которых получается общий случай интегрируемости с линейным интегралом и интегралом четвертой степени.

Наиболее общее семейство (7.1) было указано Х. Яхьей [286]. Более ранние результаты, содержащие дополнительные ограничения на свободные параметры в (7.1) принадлежит Д.Н.Горячеву $(\lambda=0)$ [63] и С. А. Чаплыгину ( $a=0, \lambda=0)$ [175].

2. Другое обобщение на нулевом уровне постоянной площадей, предложенное X. Яхьей [285], связано с добавлением двух различных сингулярных

добавок. Гамильтониан и интеграл имеют вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+r_{1} \gamma_{1}+r_{2} \gamma_{2}+\frac{\varepsilon}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}}+\frac{1}{2} \frac{a}{\gamma_{3}^{2}}, \\
a, \varepsilon, r_{1}, r_{2}=\mathrm{const},
\end{array}
\]

при этом на нулевой константе площадей частный интеграл имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
F=\left(M_{1}^{2}-M_{2}^{2}-2 r_{1} \gamma_{1}+2 r_{2} \gamma_{2}-\frac{a\left(\gamma_{1}^{2}-\gamma_{2}^{2}\right)}{\gamma_{3}^{2}}\right)^{2}+ \\
+4\left(M_{1} M_{2}-r_{1} \gamma_{2}-r_{2} \gamma_{1}-\frac{a \gamma_{1} \gamma_{2}}{\gamma_{3}^{2}}\right)^{2}+ \\
+4 \varepsilon\left(\frac{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}}+\frac{\varepsilon}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}+\frac{a \sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}}{\gamma_{3}^{2}}\right) . \\
\end{array}
\]

Отметим, что в работе X. Яхьи [285] интеграл $F$ указан неверно, хотя, возможно, это и связано со странной опечаткой. Интересно отметить, что при $a=0$ этот случай является общим случаем интегрируемости (и не связан с нулсвым уровнсм интсграла площадсй).

3. Другое направление обобщений связано с изменением структуры скобок Пуассона, возможно, с соответствующим изменением формы гамильтониана (см. §2, гл. 3).

Рассмотрим следующее однопараметрическое семейство скобок Пуассона — пучок $\mathscr{L}_{x}$ :
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=-x \varepsilon_{i j k} M_{k},
\]

где $x=$ const — параметр. При $x=1$ скобка (7.3) соответствует алгебре $s o(4)$, при $x=0-e(3)$, при $x=-1-s o(1,3)$.

Полагая $x= \pm R^{2}, \gamma \rightarrow R \gamma$ и устремляя $R$ к бесконечности, получим ретракцию от алгебр $s o(4)$ и $s o(1,3)$ к $e(3)$.
Скобка (7.3) имеет две квадратичные функции Казимира
\[
F_{1}=(\boldsymbol{M}, \gamma), \quad F_{2}=x(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\gamma, \gamma),
\]

их постоянный всюду в дальнейшем обозначим $F_{1}=c_{1}, F_{2}=c_{2}$.
Классический случай Ковалевской (§4 гл. 2) допускает обобщение на пучок скобок, причем также сохраняется возможность добавить гиростат
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+\lambda M_{3}+\mu \gamma_{1} .
\]

Дополнительный интеграл несколько видоизменяется (в него входит параметр пучка $x$ ), его можно представить в следующей форме
\[
\begin{aligned}
F= & k_{1}^{2}+k_{2}^{2}-\lambda\left\{k_{1}, k_{2}\right\}-4 \lambda^{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)= \\
= & \left(M_{1}^{2}-M_{2}^{2}-2 \mu \gamma_{1}+\mu^{2} x\right)^{2}+4\left(M_{1} M_{2}-\mu \gamma_{2}\right)^{2}- \\
& -4 \lambda\left(M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+\mu^{2} x\right)-2 \mu M_{1} \gamma_{3}\right)-4 \lambda^{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right),
\end{aligned}
\]

здесь $k_{1}=M_{1}^{2}-M_{2}^{2}-2 \mu \gamma_{1}+\mu^{2} x, k_{2}=2\left(M_{1} M_{2}-\mu \gamma_{2}\right)$.
При $\lambda=0$ это обобщение было указано в работах И. В. Комарова [104, 239], его интегрирование с помощью обобщенного метода Ковалевской выполнено нами в [34, 197] (см. также §8 гл. 5). Интегрируемость системы (7.5) при $\lambda
eq 0$ указана авторами, по-видимому, впервые (см. также $[34,197])$, ее явное интегрирование до сих пор не выполнено.

Бифуркационный анализ системы (7.5) (как при $\lambda=0$, так и при $\lambda
eq 0$ ) также не выполнен, и вопрос о (траекторном, топологическом) изоморфизме систем при $x=0$ и при $x
eq 0$ остаегся открытым. Можно лишь показать, что они не переводятся друг в друга при помощи неоднородного вещественного линейного преобразования. Вопрос о бигамильтоновости и наличии спектрального представления Лакса здесь также остается открытым.

Отметим, что коммутатор $\left\{k_{1}, k_{2}\right\}$, входящий также в выражение интеграла (7.6) при гиростатическом параметре $\lambda$, имеет структуру, сходную с интегралом Горячева-Чаплыгина
\[
\left\{k_{1}, k_{2}\right\}=4\left(M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+\mu^{2} x\right)-2 \mu M_{1} \gamma_{3}\right) .
\]

Этот факт пока не имеет разумного объяснения. Укажем только, что между волчками Ковалевской и Горячева-Чаплыгина имеется также несколько странная взаимосвязь на уровне пар Лакса, отмеченная в [193].

При $\lambda=0$ для системы (7.5) существует аналог частного (периодического) решения Делоне при $k_{1}=k_{2}=0$, в этом случае коммутатор (7.7) на уровне инвариантных соотношений $k_{1}=k_{2}=0$ также задает интеграл третьей степени (см. также § 4 гл. 2).

4. Интерпретация Г.К. Суслова интегрируемости волчка Ковалевской. Г.К.Суслов указал в своем известном учебнике [163] систему трех новых переменных для волчка Ковалевской, которые в некотором новом времени изменяются весьма простым образом — их траекторией является эллипс, получающийся пересечением цилиндра с плоскостью. Его рассуждения обобщаются на случай системы (7.5) при $\lambda=0$ и $x
eq 0$.

Действительно, если положить
\[
\begin{array}{c}
k_{1}=M_{1}^{2}-M_{2}^{2}-2 \mu \gamma_{1}+\mu^{2} x, \quad k_{2}=2\left(M_{1} M_{2}-\mu \gamma_{2}\right), \\
z=M_{1}^{2}+M_{3}^{2},
\end{array}
\]

то для них получаются простые уравнения
\[
\dot{k}_{1}=2 M_{3} k_{2}, \quad \dot{k}_{2}=-2 M_{3} k_{1}, \quad \dot{z}=M_{3} k_{2},
\]

которые заменой времени $d \tau=M_{3} d t$ сводятся к линейным. Эти уравнения обладают интегралами
\[
h=z-\frac{1}{2} k_{1}+\mu^{2} x=\mathrm{const}, \quad k^{2}=k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=\mathrm{const},
\]

задающими указанный эллипс в пространстве переменных $\left(k_{1}, k_{2}, z\right)$.
5. «Суперпозиция» случаев Ковалевской и Чаплыгина. Существует обобщение интегрируемых случаев Ковалевской и Чаплыгина (с гиростатом), включающее их в единое семейство на всем пучке $\mathscr{L}_{x}$. В этом случае аналог константы площадей также полагается равным нулю $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$, т. е. указапое обобщение является частным случаем иптегрируемости. Гамильтониан удобнее представить в форме [21]
\[
\begin{aligned}
H= & \frac{1}{2}\left(\alpha_{2} M_{1}^{2}+\alpha_{1} M_{2}^{2}+\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) M_{3}^{2}\right)-\lambda M_{3}+ \\
& +r_{1} \gamma_{1}+r_{2} \gamma_{2}-\frac{1}{2}\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(\gamma_{1}^{2}-\gamma_{2}^{2}\right),
\end{aligned}
\]

где $\alpha_{1}=1-x a_{1}, \alpha_{2}=1-x a_{2}, a_{1}, a_{2}=$ const. Результат об интегрируемости системы при $\lambda
eq 0$ является новым.
Интеграл в этом случае имеет вид
\[
\begin{aligned}
F= & k_{1}^{2}+\alpha_{1} \alpha_{2} k_{1}^{2}-\lambda\left\{k_{1}, k_{2}\right\}-4 \lambda^{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right), \\
k_{1}= & \alpha_{1} M_{1}^{2}-\alpha_{2} M_{2}^{2}-\left(a_{1}-a_{2}\right) \gamma_{3}^{2}-2\left(\gamma_{1} r_{1}-\gamma_{2} r_{2}\right)+x \frac{\alpha_{1} r_{1}^{2}-\alpha_{2} r_{2}^{2}}{\alpha_{1} \alpha_{2}}, \\
k_{2}= & M_{1} M_{2}-2 \frac{\alpha_{1} r_{1} \gamma_{2}+\alpha_{2} r_{2} \gamma_{1}}{\alpha_{1} \alpha_{2}}+2 x \frac{r_{1} r_{2}}{\alpha_{1} \alpha_{2}}, \\
\left\{k_{1}, k_{2}\right\}= & 4 M_{3}\left(\alpha_{1} M_{1}^{2}-\alpha_{2} M_{2}^{2}-x \frac{\alpha_{1} r_{1}^{2}+\alpha_{2} r_{2}^{2}}{\alpha_{1} \alpha_{2}}\right)- \\
& -4 \gamma_{3}\left(\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(M_{1} \gamma_{1}-M_{2} \gamma_{2}\right)-2\left(M_{1} r_{1}+M_{2} r_{2}\right)\right) .
\end{aligned}
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнения движения для $F$ можно представить в форме
\[
\dot{F}=\{F, H\}=\left(a_{1}-a_{2}\right)(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}) f(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}) .
\]

где $f(M, \gamma)$ — некоторая (полиномиальная) функция от $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}$. Таким образом, при $a_{1}=a_{2}$ этот случай становится общим случаем интегрируемости, соответствующий гиростатическому обобщению случая Ковалевской.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Обобщения случаев интегрируемости с сингулярными добавками (см. предыдущий пункт) на пучке $\mathscr{L}_{x}$ до сих пор не найдены.

2. Обобщение случая Горячева-Чаплыгина

В этом разделе мы приведем аналогичные случаю Ковалевской обобщения случая Горячева-Чаплыгина. Отметим, что обобщение на пучок (7.3) связано с введением на нем аналога переменных Андуайе-Депри, которые оказываются разделяющими для всех представителей пучка. Эта идея нахождения аналога случая Горячева-Чаплыгина принадлежит авторам [34, 197], она также проходит при наличии гиростата (но не сингулярного члена, для которого переменные Андуайе-Депри уже не являются разделяющими).

1. Рассмотрим сначала обобщение, при котором к гамильтониану добавляется гиростатический момент и сингулярное слагаемое
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+4 M_{3}^{2}\right)+\lambda M_{3}+\mu \gamma_{1}+\frac{1}{2} \frac{a}{\gamma_{3}^{2}},
\]

где $\lambda, \mu, a=$ const. При этом дополнительный интеграл также имеет третью степень по моментам
\[
F=\left(M_{3}+\frac{\lambda}{2}\right)\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+\frac{a}{\gamma_{3}^{2}}\right)-\mu M_{1} \gamma_{3} .
\]

Сам Д.Н.Горячев в работе [63] указал обобщение (7.10) при нулевом гиростатическом моменте $\lambda=0$ (при $\lambda
eq 0$, $a=0$ оно было указано Л.Н.Сретенским [159]). В полной форме обобщение (7.10) было предложено И.В.Комаровым и В.Б.Кузнецовым [105], которые также привели некоторую квантовомеханическую интерпретацию сингулярного слагаемого.

2. Для получения обобщения случая Горячева-Чаплыгина на пучок скобок (7.3) построим на нем аналог переменных Андуайе-Депри.

Положим компоненту $M_{3}$ равной одной из импульсных переменных
\[
L=M_{3} .
\]

Канонически сопряженная ей координата $l(\{l, L\}=1)$ на подалгебре $s o(3)$ с образующими $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ может быть найдена путем интегрирования гамильтонова потока с функцией Гамильтона $\mathscr{H}=L$
\[
\begin{array}{c}
\frac{d M_{1}}{d l}=\left\{M_{1}, L\right\}=M_{2}, \quad \frac{d M_{2}}{d l}=\left\{M_{2}, L\right\}=-M_{1}, \\
\frac{d M_{3}}{d l}=\left\{M_{3}, L\right\}=0 .
\end{array}
\]

Отсюда с учетом коммутационного соотношения $\left\{M_{2}, M_{2}\right\}=-M_{3}$ находим
\[
M_{1}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l, \quad M_{2}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l,
\]

где $G^{2}=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}$ — функция Казимира подалгебры $s o(3)$.
Положим $G$ в качестве второй импульсной переменной и построим канонически сопряженную ей координату $g$. Для этого выберем $H=G$ в качестве нового гамильтониана, тогда соответствующий ей поток на всем пучке $\mathscr{L}_{x}$ имеет вид
\[
\frac{d \boldsymbol{M}}{d g}=0, \quad \frac{d \gamma}{\dot{d} g}=\frac{1}{G} \gamma \times M,
\]

где $g$ — переменная канонически сопряженная $G$.
Согласно (7.14) $M$ не зависит от $g$, а для $\gamma$ при помощи уравнений (7.14) и функций Казимира (7.4) находим
\[
\begin{array}{c}
\gamma=\frac{H}{G^{2}} \boldsymbol{M}+\frac{\alpha}{G}\left(\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{e}_{3} \sin g+G \boldsymbol{M} \times\left(\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{e}_{3}\right) \cos g\right), \\
\alpha^{2}=\frac{c_{2}-x G^{2}-\frac{H^{2}}{G^{2}}}{G^{2}-L^{2}}, \quad e_{3}=(0,0,1),
\end{array}
\]

здесь $c_{2}=x \boldsymbol{M}^{2}+\gamma^{2}$, а через $H$ — традиционно обозначена постоянная площадей $c_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$.

Таким образом, (7.11), (7.13), (7.15) задают симплектические координаты на всем пучке $\mathscr{L}_{x}$, которые при $x=0, c=1$ переходят в известные координаты Андуайе-Депри в динамике твердого тела.

3. Используя (7.11), (7.15), найдем обобщение случая Горячева-Чаплыгина частной интегрируемости для пучка $\mathscr{L}_{x}$. Выберем гамильтониан в форме
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2}\left(G^{2}+3 L^{2}\right)+\lambda L+a\left(\cos l \cos g+\frac{L}{G} \sin l \sin g\right),
\]

где $a, \lambda$-константы.
По сравнению с [92] в (7.16) добавлено линейное по $L$ слагаемое, интерпретируемое на алгебре $e(3)$ как компонента гиростатического момента.

Система (7.16) допускает разделение переменных. Действительно, выполним каноническую замену переменных
\[
L=p_{1}+p_{2}, \quad G=p_{1}-p_{2}, \quad q_{1}=l+g, \quad q_{2}=l-g .
\]

При этом гамильтониан (7.16) может быть представлен в форме
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2} \frac{p_{1}^{3}-p_{2}^{3}}{p_{1}-p_{2}}-\lambda \frac{p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{p_{1}-p_{2}}+\frac{a}{p_{1}-p_{2}}\left(p_{1} \sin q_{1}+p_{2} \sin q_{2}\right) .
\]

Выражая гамильтониан (7.16) с помошью (7.11), (7.13), (7.15) в переменных $\boldsymbol{M}, \gamma$ при нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{M}, \gamma)=H=0$, находим
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+4 M_{3}^{2}\right)+\lambda M_{3}+\mu \frac{\gamma_{1}}{|\gamma|} .
\]

Дополнительный интеграл в этом случае имеет вид
\[
F=\left(M_{3}+\frac{\lambda}{2}\right)\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)-\mu M_{1} \frac{\gamma_{3}}{|\gamma|} .
\]

Для алгебры $e(3)$ имеем $|\gamma|=1$ и получаем классический случай Горячева-Чаплыгина, для которого указанный метод разделения переменных был предложен $B$. В. Козловым [92]. При $x
eq 0$ семейство (7.19), (7.20) было найдено авторами [34, 197].

3. Случай Горячева

В заключение приведем один экзотический частный интегрируемый случай, не имеющий непосредственного отношения к уравнениям Эйле$\mathrm{pa}-$ Пуассона, но обладающий интегралом третьей степени, близким к интегралу Горячева-Чаплыгина. Он был указан Д.Н.Горячевым [63] и при

$(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$ гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+\frac{4}{3} M_{3}^{2}\right)-\frac{3}{4}\left(\frac{b_{1}}{3} \gamma_{1}+b_{2}\right) \gamma_{3}^{-2 / 3} \\
F=\frac{8}{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right) M_{3}+\frac{64}{27} M_{3}^{3}+\left(\left(2 M_{1}-\frac{4}{3} \frac{M_{3} \gamma_{1}}{\gamma_{3}}\right) b_{1}-4 \frac{b_{2} M_{3}}{\gamma_{3}}\right) \gamma_{3}^{1 / 3}, \\
b_{1}, b_{2}=\text { const. }
\end{array}
\]