1. Гиростат
Уравнения Эйлера-Пуассона (1.6) можно обобщить, если ввести постоянный гиростатический момент, моделируемый, например, уравновешенным ротором, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижно закрепленной в твердом теле. Такая система называется уравновешенным гиростатом. Аналогичный момент возникает при рассмотрении движения твердого тела с многосвязными полостями, содержащими идеальную несжимаемую жидкость, допускающими возможность возникновения ненулевой циркуляции [78] (см. § 2 гл. 5).

При таком обобщении уравнения (1.6) остаются без изменения, а в гамильтониане (1.4) появляется линейное по моментам слагаемое:
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})-(\boldsymbol{r}, \gamma)-(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{M}),
\]

где $k$ – некоторый постоянный вектор, возникающий вследствие наличия ротора.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнения движения гиростата, представляющие собой уравнения Гамильтона на алгебре $e(3)$ с гамильтонианом (7.1), физически могут быть получены из теоремы о кинетическом моменте, которая применяется для полного момента всей системы
\[
\mathfrak{M}=\boldsymbol{M}+\boldsymbol{k}, \quad \frac{\tilde{d} \mathfrak{M}}{d t}=\frac{d \mathfrak{M}}{d t}+\boldsymbol{\omega} \times \mathfrak{M}=\boldsymbol{F},
\]

где $\boldsymbol{M}$ – кинетический момент твердого тела без ротора, $\boldsymbol{k}$ – в общем случае зависящий от времени $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k}(t)$ – кинетический момент ротора, $\boldsymbol{F}$ – момент внешних сил, а $\frac{\tilde{d}}{d t}, \frac{d}{d t}$ – производные вектора в неподвижной и подвижной системах координат. При этом зависимость $\boldsymbol{k}(t)$ поддерживается принудительно (например, при помощи электрических моторчиков), что не нарушает условий применимости теоремы (7.2). Этого нельзя сказать про теорему о сохранении энергии вследствие притока энергии извне, обеспечивающей принудительное вращение. В рассматриваемом нами случае $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\gamma}$, а ротор вращается с постоянной скоростью $\boldsymbol{k}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}_{0}=$ const. Более подробное обсуждение гиростатов – систем с внутренними циклическими движениями, имеется в книгах $[113,57]$.

Оказывается, что все случаи из таблицы 2.1 гл. $3, \S 2$ могут быть интегрируемым образом обобщены при дополнительных ограничениях на вектор $k$, т. е. на положение гиростата в твердом теле (см. таблицу 2.2).

Таблица 2.2

2. Случай Жуковского-Вольтерра

Рассмотрим подробнее динамику твердого тела с гиростатом в отсутствии поля. При этом уравнения для $M$ отделяются и интегрируются независимо. Представим их в форме
\[
\dot{M}=M \times \mathbf{A}(M-k) .
\]

Гамильтониан и дополнительный интеграл также не зависят от конфигурационных переменных, их можно представить в виде
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{k}, \mathbf{A}(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{k}))=h, \quad F=\boldsymbol{M}^{2}=f
\]
(гамильтониан (7.3) отличается от (7.1) заменой $k \rightarrow \mathbf{A} k$ и постоянным слагаемым). Следовательно, траектория в пространстве $\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right.$ ) представляет собой пересечение сферы с эллипсоидом, центры которых не совпадают. Эти кривые являются непосредственным обобщением полодий задачи Эйлера (§2 гл. 2), но имеют гораздо более сложный вид (рис. 64).
Рис. 64. Полодии задачи Жуковского – Вольтерра.
Ветви бифуркационной диаграммы на плоскости интегралов (7.3) $(h, f)$ удобно представить в параметрическом виде. Его несложно получить из условия зависимости интегралов (7.3) [170]
\[
\begin{array}{l}
h=\frac{t^{2}}{2}\left(\frac{a_{1} k_{1}^{2}}{\left(a_{1}-t\right)^{2}}+\frac{a_{2} k_{2}^{2}}{\left(a_{2}-t\right)^{2}}+\frac{a_{3} k_{3}^{2}}{\left(a_{3}-t\right)^{2}}\right), \\
f=\frac{a_{1}^{2} k_{1}^{2}}{\left(a_{1}-t\right)^{2}}+\frac{a_{2}^{2} k_{2}^{2}}{\left(a_{2}-t\right)^{2}}+\frac{a_{3}^{2} k_{3}^{2}}{\left(a_{3}-t\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Пусть $a_{1}>a_{2}>a_{3}>0$, тогда при изменении $t$ от $-\infty$ до $+\infty$ бифуркационная кривая разбивается на четыре ветви, соответствующие из-

Рис. 65. Бифуркационная диаграмма случая Жуковского-Вольтерра на плоскости интегралов $h=H$ и $f=\boldsymbol{M}^{2}$ на различных масштабах. Заштрихована область нефизических значений интегралов. Кроме указанных кривых слева область возможного движения ограничена вертикальной прямой $f=c^{2}, c=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$, так что $f>c^{2}$. Устойчивые ветви отмечены сплошными линиями, неустойчивые – пунктирными.

менению $t$ в следующих интервалах (см. рис. 65):
I. $t \in\left(-\infty, a_{3}\right)$ – нижняя ветвь,
II. $t \in\left(a_{1}, a_{2}\right)$ – вторая снизу ветвь с точкой возврата,
III. $t \in\left(a_{2}, a_{1}\right)$ – третья снизу ветвь также с точкой возврата,
IV. $t \in\left(a_{1}, \infty\right)$ – верхняя ветвь.

Верхняя и нижняя ветвь сходятся непрерывно в точке $t=\infty$.
Рис. 65 a) наглядно показывает, как при стремлении $k \rightarrow 0$ диаграмма переходит в диаграмму случая Эйлера-Пуансо (см. рис. 17).

Если рассматривать уравнения движения только для переменных $M_{1}$, $M_{2}, M_{3}$ (которые отделяются) вне зависимости от позиционных переменных $\gamma$, то вышеперечисленными ветвями бифуркационная диаграмма ис-

Рис. 66. Бифуркационная диаграмма для случаев, когда вектор гиростатического момента лежит в главной плоскости.
a) $k_{1}=0$, в этом случае сливается верхняя часть ветви III с ветвью IV, (то есть ветвь III начинается из «середины» ветки IV),
b) $k_{2}=0$ сливаются средние две части ветвей II и III,
c) $k_{3}=0$ сливаются нижние ветви (аналогично случаю а).

черпывается. Для полной системы переменных ( $M, \gamma$ ) на диаграмме добавляется вертикальная прямая $f=c^{2}$, где $c=(\boldsymbol{M}, \gamma)$, причем движение возможно лишь при условии $f>c^{2}$.

На прямой $f=c^{2}$ лежат движения твердого тела, для которых момент тела в неподвижном пространстве вертикален:
\[
M=c \gamma .
\]

Из этого соотношения следует, что для вектора $\gamma$ на сфере Пуассона траектория также представляет собой полодии, конгруэнтные приведенным на рис. 64, получающиеся при пересечении сферы с эллипсоидом:
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}\left(\gamma-\frac{\boldsymbol{k}}{c}, \mathbf{A}\left(\gamma-\frac{\boldsymbol{k}}{c}\right)\right)=\frac{h}{c^{2}}, \\
\gamma^{2}=1 .
\end{array}
\]

Если вектор $k$ лежит в одной из главных плоскостей, то соответствующая пара ветвей на бифуркационной диаграмме сливается (см. рис. 66), если же $k$ направлен вдоль главной оси эллипсоида инерции, то сливается две пары ветвей.

Устойчивость ветвей диаграммы показана на рис. 65 , она была исследована в линейном приближении еще В. Вольтеррой, наиболее полные результаты получены в $[150,57]$. Некоторым общим выводом по устойчивости является то, что добавление ротора приводит к двукратному увеличению как устойчивых стационарных движений, так и неустойчивых. При этом неустойчивые решения исчезают при малых $h, c$, соответствующих быстрому вращению ротора.

Разделение переменных для случая Жуковского-Вольтерра. Случай Жуковского-Вольтерра был проинтегрирован в эллиптических функциях В. Вольтерра в [280] (см. также [57]). Н. Е. Жуковский указал лишь дополнительный интеграл и исследовал различные механические постановки задачи [78] (см. также [129]). Разделение может быть наиболее просто выполнено в переменных Андуайе-Депри [80], так как гамильтониан (7.1) при $r=0$ имеет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(L^{2}+\delta\left(G^{2}-L^{2}\right) \cos ^{2} l\right)- \\
-\lambda_{1} \sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l-\lambda_{2} \sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l-\lambda_{3} L,
\end{array}
\]

где $\delta=\frac{a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}, \lambda_{i}=\frac{a_{i} k_{i}}{a_{3}-a_{1}}, i=1,2,3$.
Как следует из (7.7), переменная $g$ циклическая. Явное решение сводится к квадратуре, содержащей полином, который необходимо выразить через эллиптические интегралы стандартных видов. В §8 гл. 5 разобрана более геометрическая процедура явного решения.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Уравнения свободного гиростата рассматривались на заре квантовой механики в связи с проблемой спектров молекул. Так, в книге М. Борна [39] принимается, что «адекватная модель молекулы не есть просто волчок, но что она представляет жесткое тело, в котором как бы замуровано маховое колесо с крепкими подшипниками». При этом твердое тело играет роль системы ядер, а маховик роль импульса электронов. Крамерс и Паули, пользуясь этой моделью, не совсем успешно пытались построить теорию спектров молекул, обладающих произвольно расположенным импульсом электронов.

Явное решение В. Вольтерра. Для получения явного решения в эллиптических функциях В. Вольтерра использовал проективные координаты
\[
M_{i}=\frac{z_{i}}{z_{4}}, \quad i=1,2,3
\]

и линейное невырожденное преобразование
\[
z_{r}=\sum_{s=1}^{4} C_{r s} \xi_{s}, \quad r=1,2,3,4,
\]

которое приводит уравнения движения к виду
\[
\begin{array}{l}
\xi_{4} \dot{\xi}_{i}-\xi_{i} \dot{\xi}_{4}=\left(\lambda_{k}-\lambda_{j}\right) \xi_{j} \xi_{k} / C, \\
\dot{\xi}_{i} \xi_{j}-\dot{\xi}_{j} \xi_{i}=\left(\lambda_{k}-\lambda_{4}\right) \xi_{k} \xi_{4} / C,
\end{array}
\]

где $C=\operatorname{det}\left\|C_{r s}\right\|$, а коэффициенты $C_{r s}$ определяются как решения уравнения четвертой степени, в которые входят константы интегралов.

Система (7.10) обладает той же структурой, что и дифференциальные соотношения для четырех сигма-функций Вейерштрасса $\sigma_{1}(u), \sigma_{2}(u)$, $\sigma_{3}(u), \sigma_{4}(u)$ комплексного аргумента $u$, причем $\lambda_{i}$ выражаются через параметры дифференциального уравнения для $\wp$-функции Вейерштрасса.

Это соображение является ключевым в обширной работе В. Вольтерpa [280]. Мы не будем приводить здесь подробных вычислений, а ограничимся лишь замечаниями о недостатках такого «явного» решения. Уравнения четвертой степени для коэффициентов матрицы $C_{r s}$, определяющей преобразование (7.9), не решается явно. Вследствие этого все дальнейшие рассуждения носят лишь формальный комплексный характер, сходный с теоремами существования. Практически из самого решения нельзя сделать каких-либо полезных динамических выводов. Все результаты, полученные после Вольтерра (по устойчивости, топологический анализ и пр.) [57, 150], не используют его явных квадратур. Видимо, здесь не совсем правильной является постановка задачи о сведении, несмотря ни на какие трудности, к эллиптическим функциям, которые являются мало приспособленными для такого сорта задач. Аналогичные проблемы имеются с «решениями» Кёттера $[234,236]$ для случаев Клебша и Стеклова. Хотя на них и приходится ссылаться при написании работ, они совсем бесполезны для динамики и практически не используются. Вообще, излишняя тяга к комплексным методам способна из очень естественных механических задач сделать сверхсложные и нерешаемые проблемы алгебраической геометрии [134].

3. Явное интегрирование остальных случаев

В обобщениях случая Ковалевской и Горячева-Чаплыгина гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии. Разделение переменных для случая Сретенского (обобщение Горячева-Чаплыгина) указано в $[158,159]$. В § 7 гл. 5 оно получено нами другим способом и на целом пучке скобок Пуассона. По-видимому, гиростатическое обобщение Яхьи-Комарова случая Ковалевской до сих пор не проинтегрировано в квадратуpax. В § 7 гл. 5 мы распространим этот случай на пучок скобок Пуассона и предъявим соответствующие дополнительные интегралы.

Второй случай Сретенского, обобщающий интеграл Гесса, может быть проинтегрирован по общей схеме, разобранной нами далее в § 3 гл. 3. Отметим также результат Л. Гаврилова [216], утверждающий, что общие случаи интегрируемости, приведенные в таблице (2.2), исчерпывают все возможности существования у системы (7.1) дополнительного алгебраического интеграла движения.