Главная > ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (А.В.Борисов, И.С.Мамаев)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. Гиростат
Уравнения Эйлера-Пуассона (1.6) можно обобщить, если ввести постоянный гиростатический момент, моделируемый, например, уравновешенным ротором, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижно закрепленной в твердом теле. Такая система называется уравновешенным гиростатом. Аналогичный момент возникает при рассмотрении движения твердого тела с многосвязными полостями, содержащими идеальную несжимаемую жидкость, допускающими возможность возникновения ненулевой циркуляции [78] (см. § 2 гл. 5).

При таком обобщении уравнения (1.6) остаются без изменения, а в гамильтониане (1.4) появляется линейное по моментам слагаемое:
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})-(\boldsymbol{r}, \gamma)-(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{M}),
\]

где $k$ – некоторый постоянный вектор, возникающий вследствие наличия ротора.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнения движения гиростата, представляющие собой уравнения Гамильтона на алгебре $e(3)$ с гамильтонианом (7.1), физически могут быть получены из теоремы о кинетическом моменте, которая применяется для полного момента всей системы
\[
\mathfrak{M}=\boldsymbol{M}+\boldsymbol{k}, \quad \frac{\tilde{d} \mathfrak{M}}{d t}=\frac{d \mathfrak{M}}{d t}+\boldsymbol{\omega} \times \mathfrak{M}=\boldsymbol{F},
\]

где $\boldsymbol{M}$ – кинетический момент твердого тела без ротора, $\boldsymbol{k}$ – в общем случае зависящий от времени $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k}(t)$ – кинетический момент ротора, $\boldsymbol{F}$ – момент внешних сил, а $\frac{\tilde{d}}{d t}, \frac{d}{d t}$ – производные вектора в неподвижной и подвижной системах координат. При этом зависимость $\boldsymbol{k}(t)$ поддерживается принудительно (например, при помощи электрических моторчиков), что не нарушает условий применимости теоремы (7.2). Этого нельзя сказать про теорему о сохранении энергии вследствие притока энергии извне, обеспечивающей принудительное вращение. В рассматриваемом нами случае $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\gamma}$, а ротор вращается с постоянной скоростью $\boldsymbol{k}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}_{0}=$ const. Более подробное обсуждение гиростатов – систем с внутренними циклическими движениями, имеется в книгах $[113,57]$.

Оказывается, что все случаи из таблицы 2.1 гл. $3, \S 2$ могут быть интегрируемым образом обобщены при дополнительных ограничениях на вектор $k$, т. е. на положение гиростата в твердом теле (см. таблицу 2.2).

Таблица 2.2

2. Случай Жуковского-Вольтерра

Рассмотрим подробнее динамику твердого тела с гиростатом в отсутствии поля. При этом уравнения для $M$ отделяются и интегрируются независимо. Представим их в форме
\[
\dot{M}=M \times \mathbf{A}(M-k) .
\]

Гамильтониан и дополнительный интеграл также не зависят от конфигурационных переменных, их можно представить в виде
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{k}, \mathbf{A}(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{k}))=h, \quad F=\boldsymbol{M}^{2}=f
\]
(гамильтониан (7.3) отличается от (7.1) заменой $k \rightarrow \mathbf{A} k$ и постоянным слагаемым). Следовательно, траектория в пространстве $\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right.$ ) представляет собой пересечение сферы с эллипсоидом, центры которых не совпадают. Эти кривые являются непосредственным обобщением полодий задачи Эйлера (§2 гл. 2), но имеют гораздо более сложный вид (рис. 64).
Рис. 64. Полодии задачи Жуковского – Вольтерра.
Ветви бифуркационной диаграммы на плоскости интегралов (7.3) $(h, f)$ удобно представить в параметрическом виде. Его несложно получить из условия зависимости интегралов (7.3) [170]
\[
\begin{array}{l}
h=\frac{t^{2}}{2}\left(\frac{a_{1} k_{1}^{2}}{\left(a_{1}-t\right)^{2}}+\frac{a_{2} k_{2}^{2}}{\left(a_{2}-t\right)^{2}}+\frac{a_{3} k_{3}^{2}}{\left(a_{3}-t\right)^{2}}\right), \\
f=\frac{a_{1}^{2} k_{1}^{2}}{\left(a_{1}-t\right)^{2}}+\frac{a_{2}^{2} k_{2}^{2}}{\left(a_{2}-t\right)^{2}}+\frac{a_{3}^{2} k_{3}^{2}}{\left(a_{3}-t\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Пусть $a_{1}>a_{2}>a_{3}>0$, тогда при изменении $t$ от $-\infty$ до $+\infty$ бифуркационная кривая разбивается на четыре ветви, соответствующие из-

Рис. 65. Бифуркационная диаграмма случая Жуковского-Вольтерра на плоскости интегралов $h=H$ и $f=\boldsymbol{M}^{2}$ на различных масштабах. Заштрихована область нефизических значений интегралов. Кроме указанных кривых слева область возможного движения ограничена вертикальной прямой $f=c^{2}, c=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$, так что $f>c^{2}$. Устойчивые ветви отмечены сплошными линиями, неустойчивые – пунктирными.

менению $t$ в следующих интервалах (см. рис. 65):
I. $t \in\left(-\infty, a_{3}\right)$ – нижняя ветвь,
II. $t \in\left(a_{1}, a_{2}\right)$ – вторая снизу ветвь с точкой возврата,
III. $t \in\left(a_{2}, a_{1}\right)$ – третья снизу ветвь также с точкой возврата,
IV. $t \in\left(a_{1}, \infty\right)$ – верхняя ветвь.

Верхняя и нижняя ветвь сходятся непрерывно в точке $t=\infty$.
Рис. 65 a) наглядно показывает, как при стремлении $k \rightarrow 0$ диаграмма переходит в диаграмму случая Эйлера-Пуансо (см. рис. 17).

Если рассматривать уравнения движения только для переменных $M_{1}$, $M_{2}, M_{3}$ (которые отделяются) вне зависимости от позиционных переменных $\gamma$, то вышеперечисленными ветвями бифуркационная диаграмма ис-

Рис. 66. Бифуркационная диаграмма для случаев, когда вектор гиростатического момента лежит в главной плоскости.
a) $k_{1}=0$, в этом случае сливается верхняя часть ветви III с ветвью IV, (то есть ветвь III начинается из «середины» ветки IV),
b) $k_{2}=0$ сливаются средние две части ветвей II и III,
c) $k_{3}=0$ сливаются нижние ветви (аналогично случаю а).

черпывается. Для полной системы переменных ( $M, \gamma$ ) на диаграмме добавляется вертикальная прямая $f=c^{2}$, где $c=(\boldsymbol{M}, \gamma)$, причем движение возможно лишь при условии $f>c^{2}$.

На прямой $f=c^{2}$ лежат движения твердого тела, для которых момент тела в неподвижном пространстве вертикален:
\[
M=c \gamma .
\]

Из этого соотношения следует, что для вектора $\gamma$ на сфере Пуассона траектория также представляет собой полодии, конгруэнтные приведенным на рис. 64, получающиеся при пересечении сферы с эллипсоидом:
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}\left(\gamma-\frac{\boldsymbol{k}}{c}, \mathbf{A}\left(\gamma-\frac{\boldsymbol{k}}{c}\right)\right)=\frac{h}{c^{2}}, \\
\gamma^{2}=1 .
\end{array}
\]

Если вектор $k$ лежит в одной из главных плоскостей, то соответствующая пара ветвей на бифуркационной диаграмме сливается (см. рис. 66), если же $k$ направлен вдоль главной оси эллипсоида инерции, то сливается две пары ветвей.

Устойчивость ветвей диаграммы показана на рис. 65 , она была исследована в линейном приближении еще В. Вольтеррой, наиболее полные результаты получены в $[150,57]$. Некоторым общим выводом по устойчивости является то, что добавление ротора приводит к двукратному увеличению как устойчивых стационарных движений, так и неустойчивых. При этом неустойчивые решения исчезают при малых $h, c$, соответствующих быстрому вращению ротора.

Разделение переменных для случая Жуковского-Вольтерра. Случай Жуковского-Вольтерра был проинтегрирован в эллиптических функциях В. Вольтерра в [280] (см. также [57]). Н. Е. Жуковский указал лишь дополнительный интеграл и исследовал различные механические постановки задачи [78] (см. также [129]). Разделение может быть наиболее просто выполнено в переменных Андуайе-Депри [80], так как гамильтониан (7.1) при $r=0$ имеет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(L^{2}+\delta\left(G^{2}-L^{2}\right) \cos ^{2} l\right)- \\
-\lambda_{1} \sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l-\lambda_{2} \sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l-\lambda_{3} L,
\end{array}
\]

где $\delta=\frac{a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}, \lambda_{i}=\frac{a_{i} k_{i}}{a_{3}-a_{1}}, i=1,2,3$.
Как следует из (7.7), переменная $g$ циклическая. Явное решение сводится к квадратуре, содержащей полином, который необходимо выразить через эллиптические интегралы стандартных видов. В §8 гл. 5 разобрана более геометрическая процедура явного решения.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Уравнения свободного гиростата рассматривались на заре квантовой механики в связи с проблемой спектров молекул. Так, в книге М. Борна [39] принимается, что «адекватная модель молекулы не есть просто волчок, но что она представляет жесткое тело, в котором как бы замуровано маховое колесо с крепкими подшипниками». При этом твердое тело играет роль системы ядер, а маховик роль импульса электронов. Крамерс и Паули, пользуясь этой моделью, не совсем успешно пытались построить теорию спектров молекул, обладающих произвольно расположенным импульсом электронов.

Явное решение В. Вольтерра. Для получения явного решения в эллиптических функциях В. Вольтерра использовал проективные координаты
\[
M_{i}=\frac{z_{i}}{z_{4}}, \quad i=1,2,3
\]

и линейное невырожденное преобразование
\[
z_{r}=\sum_{s=1}^{4} C_{r s} \xi_{s}, \quad r=1,2,3,4,
\]

которое приводит уравнения движения к виду
\[
\begin{array}{l}
\xi_{4} \dot{\xi}_{i}-\xi_{i} \dot{\xi}_{4}=\left(\lambda_{k}-\lambda_{j}\right) \xi_{j} \xi_{k} / C, \\
\dot{\xi}_{i} \xi_{j}-\dot{\xi}_{j} \xi_{i}=\left(\lambda_{k}-\lambda_{4}\right) \xi_{k} \xi_{4} / C,
\end{array}
\]

где $C=\operatorname{det}\left\|C_{r s}\right\|$, а коэффициенты $C_{r s}$ определяются как решения уравнения четвертой степени, в которые входят константы интегралов.

Система (7.10) обладает той же структурой, что и дифференциальные соотношения для четырех сигма-функций Вейерштрасса $\sigma_{1}(u), \sigma_{2}(u)$, $\sigma_{3}(u), \sigma_{4}(u)$ комплексного аргумента $u$, причем $\lambda_{i}$ выражаются через параметры дифференциального уравнения для $\wp$-функции Вейерштрасса.

Это соображение является ключевым в обширной работе В. Вольтерpa [280]. Мы не будем приводить здесь подробных вычислений, а ограничимся лишь замечаниями о недостатках такого «явного» решения. Уравнения четвертой степени для коэффициентов матрицы $C_{r s}$, определяющей преобразование (7.9), не решается явно. Вследствие этого все дальнейшие рассуждения носят лишь формальный комплексный характер, сходный с теоремами существования. Практически из самого решения нельзя сделать каких-либо полезных динамических выводов. Все результаты, полученные после Вольтерра (по устойчивости, топологический анализ и пр.) [57, 150], не используют его явных квадратур. Видимо, здесь не совсем правильной является постановка задачи о сведении, несмотря ни на какие трудности, к эллиптическим функциям, которые являются мало приспособленными для такого сорта задач. Аналогичные проблемы имеются с «решениями» Кёттера $[234,236]$ для случаев Клебша и Стеклова. Хотя на них и приходится ссылаться при написании работ, они совсем бесполезны для динамики и практически не используются. Вообще, излишняя тяга к комплексным методам способна из очень естественных механических задач сделать сверхсложные и нерешаемые проблемы алгебраической геометрии [134].

3. Явное интегрирование остальных случаев

В обобщениях случая Ковалевской и Горячева-Чаплыгина гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии. Разделение переменных для случая Сретенского (обобщение Горячева-Чаплыгина) указано в $[158,159]$. В § 7 гл. 5 оно получено нами другим способом и на целом пучке скобок Пуассона. По-видимому, гиростатическое обобщение Яхьи-Комарова случая Ковалевской до сих пор не проинтегрировано в квадратуpax. В § 7 гл. 5 мы распространим этот случай на пучок скобок Пуассона и предъявим соответствующие дополнительные интегралы.

Второй случай Сретенского, обобщающий интеграл Гесса, может быть проинтегрирован по общей схеме, разобранной нами далее в § 3 гл. 3. Отметим также результат Л. Гаврилова [216], утверждающий, что общие случаи интегрируемости, приведенные в таблице (2.2), исчерпывают все возможности существования у системы (7.1) дополнительного алгебраического интеграла движения.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru