Рассмотрим следующий случай интегрируемости, который представляет значительный интерес как с точки зрения классической механики, так и технических приложений. Основные закономерности движения волчка Лагранжа составляют содержание приближенной (прикладной) теории гироскопа.

Для рассматриваемого случая тело является динамически симметричным $a_{1}=a_{2}$, а центр масс находится на оси динамической симметрии $r_{1}=r_{2}=0$. Дополнительный интеграл имеет вид $F_{3}=M_{3}=$ const.

Приведение к одной степени свободы. Интегрирование случая Лагранжа наиболее просто производится с помощью углов Эйлера $\theta, \varphi, \psi$ и сопряженных им канонических импульсов $p_{\theta}, p_{\varphi}, p_{\psi}$. Действительно, записывая функцию Лагранжа (см. (4.28) гл. 1), находим, что переменные $\varphi, \psi$ циклические, а соответствующие им импульсы – интегралы движения:
\[
p_{\varphi}=M_{3}=\text { const }, \quad p_{\psi}=(\boldsymbol{M}, \gamma)=\text { const. }
\]

Исключая из интеграла энергии системы циклические переменные, находим
\[
h=\frac{I_{1}}{2} \dot{\theta}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{2 I_{3}}+\frac{\left(p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta\right)^{2}}{2 I_{1} \sin ^{2} \theta}+m g l \cos \theta,
\]

где значения констант циклических интегралов $p_{\psi}=(\boldsymbol{M}, \gamma), p_{\varphi}=M_{3}$ можно считать параметрами.

Без ограничения общности положим $I_{1}=1, m g l=1$ (это достигается выбором единиц измерения длины и времени), тогда из выражения (3.1) находим квадратуру для угла нутации
\[
\dot{\theta}^{2}=2 h-a p_{\varphi}^{2}-\frac{\left(p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta\right)^{2}}{\sin ^{2} \theta}-2 \cos \theta, \quad a=I_{3}^{-1} .
\]

Для переменной $u=\gamma_{3}=\cos \theta$ из соотношения (3.2) получаем эллиптическую квадратуру (см. также [119]).
\[
\begin{array}{c}
\dot{u}= \pm \sqrt{R(u)}, \\
R(u)=2\left(h^{\prime}-u\right)\left(1-u^{2}\right)-\left(p_{\psi}-p_{\varphi} u\right)^{2}, \\
h^{\prime}=h-\frac{a p_{\varphi}^{2}}{2}=\text { const. }
\end{array}
\]

Зависимость $u(t)$ выражается через эллиптические функции. Функция $f(u)$ называется гироскопической и представляет собой кубический полином. В общем случае она имеет вид, показанный на рис. 20. Аналогичная квадратура с полиномом $R(u)$, возможно, более высоких степеней имеется и для различных обобщений случая Лагранжа, допускающих интеграл $M_{3}=$ const.

Рис. 20. Вил гироскопической функции вопчка Лагранжа. Неспожно показать, что $u_{3} \geqslant 1$.

Динамика полной системы. Для определения движения полной системы необходимо по известному закону движения $u(t)$ выполнить квадратуры для угла прецессии $\psi$ и угла собственного вращения $\varphi$ :
\[
\dot{\psi}=\frac{p_{\psi}-p_{\varphi} u}{1-u^{2}}, \quad \dot{\varphi}=(a-1) p_{\varphi}+\frac{p_{\varphi}-p_{\psi} u}{1-u^{2}} .
\]

Движение апекса – точки, лежащей на оси динамической симметрии, описывается сферическими углами $\theta, \psi$. Траектория апекса всегда заключена между двумя параллелями, широта которых определяется гироскопической функцией (3.3) (см. рис. 20) и принадлежит к одному из трех типов, приведенных на рис. $21,22,23$.

При некоторых значениях интегралов гироскопическая функция касается горизонтальной оси в точке $u=1$. Этому соответствует асимптотическое (апериодическое) движение волчка Лагранжа, ось симметрии в этом случае стремится к вертикальному положению при $t \rightarrow \pm \infty$ (см. рис. 24). Явные формулы для него мы привели в § 9 гл. 5.

Рис. 21. $\dot{\psi}$ не меняет знак
Рис. 22. $\dot{\psi}$ сохраняет

во время движения, ни-
где не обращаясь в нуль. знак, периодически обращаясь в нуль.

Рис. 24. Движение апекса центра масс волчка Лагранжа в неподвижном пространстве для асимптотического движения. Это движение впервые было указано Клейном и Зоммерфельдом [238].

1. Бифуркационная диаграмма и геометрический анализ движения

Тип движения волчка Лагранжа (вид траектории) полностью определяется значениями интегралов движения $h, p_{\varphi}, p_{\psi}$. В дальнейшем для констант интегралов мы также используем обозначения $p_{\varphi}=p, p_{\psi}=c$.

Рассмотрим трехмерное пространство, точками которого являются значения первых интегралов $\left(h, p_{\varphi}, p_{\psi}\right.$ ). Поскольку вид траектории волчка Лагранжа полностью определяется значениями интегралов $h, p_{\varphi}, p_{\psi}$ пространств может быть разбито на различные области, каждой из которых соответствует свой тип движения. Так, область «разрешенных значений» интегралов составляет те точки пространства, для которых соответствующая гироскопическая функция (3.3) обладает положительными значениями на отрезке $u \in[-1,1]$ (см. рис. 20). Граница этой области – «поверхность

Рис. 25. Поверхность регулярных прецессий в пространстве интегралов энергии $-h$, площадей $-c$ и Лагранжа $-p\left(I_{1}=1, I_{3}=5\right)$.

регулярных прецессий» – при этих значениях интегралов гироскопическая функция (3.3) касается снизу оси Ou на отрезке $[-1,1]$. В этом случае волчок совершает регулярную прецессию – апекс равномерно вращается вокруг вертикали, сохраняя постоянный угол наклона, и тело равномерно вращается вокруг собственной оси. Общий вид поверхности регулярных прецессий и ее сечения различными плоскостями $p_{\varphi}=$ const и $p_{\psi}=$ const приведены на рис. $25,27,28,26$. На рисунках хорошо заметны два ребра в плоскостях $p_{\varphi} \pm p_{\psi}=0$ (одно из ребер $p_{\varphi}-p_{\psi}=0$ не доходит до начала координат и начинается в точке $p_{\varphi}=p_{\psi}=2$ ). При малых отклонениях от условия кратности корней получается псевдорегулярная прецессия, для которой также имеется нутация оси динамической симметрии.

2. Различные приведенные системы (по $\psi$ и $\varphi$ )

Движение апекса волчка Лагранжа в абсолютном пространстве (рис. 21) может быть получено из канонических уравнений движения волчка в углах Эйлера после редукции Рауса по углу собственного вращения $\varphi$,

Рис. 26. Изображено сечение поверхности регулярных прецессий (рис. 25) плоскостью $h=0$, а также указаны линии точек возврата апекса оси динамической симметрии ( $\dot{\theta}=\dot{\psi}=0$ ) и апекса на сфере Пуассона ( $\dot{\theta}=\dot{\varphi}=0$ ). В узкой заштрихованной области траектория имеет петли как на сфере Пуассона, так и в абсолютном пространстве. В остальных областях петли возможны лишь в абсолютном пространстве либо отсутствуют вовсе.

который является циклическим. Редукция тех же уравнений по углу прецессии $\psi$ приводит уже к уравнениям Эйлера-Пуассона. Они описывают эволюцию орта вертикали в системе координат, жестко связанной с волчком и представляют самостоятельный интерес с физической точки зрения. Другими словами, эта система описывает движение «апекса» абсолютного пространства в неинерциальной системе, связанной с движущимся волчком. Траектории этого апекса на соответствующей сфере (это – обычная сфера Пуассона) вполне аналогичны траекториям апекса оси динамической симметрии в неподвижном пространстве (рис. 21, 22, 23), однако для конкретного движения поведение различных апексов, как правило, отличается, что проявляется в наличии или отсутствии петель у траекторий апексов (см. рис. 21, 23). Точнее, возможны ситуации, иллюстрируемые на рис. 26. Указанная нами картина движения в связанной с телом системе координат, полезна для понимания поведения угла собственного вращения, исключаемого из рассмотрения в большинстве курсов механики.

Для реабилитации неполноты стандартного анализа можно привести известную концепцию Герца [58], предложившего считать угол собствен-

Рис. 27. Бифуркационная диаграмма на плоскости $(h, p)$ при различных постоянных значениях $c\left(I_{1}=1, I_{3}=5\right)$.

ного вращения ненаблюдаемым, а наличие соответствующих циклических движений связывать со «скрытыми массами и параметрами», приводящими к изменениям в потенциальной энергии. Если такую же точку зрения отстаивать для неинерциального наблюдателя, то соответствующие скрытые массы и параметры следует приписать абсолютному пространству.

3. Бигамильтоновость

Случай Лагранжа характеризуется дополнительной симметрией – для него существует вторая согласованная пуассонова структура [31] (то есть система является бигамильтоновой). Действительно, уравнения движения могут быть получены, если определить функцию Гамильтона в виде
\[
H=(a-1) M_{3}\left(\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+\gamma_{3}\right)+\left(M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}+M_{3} \gamma_{3}\right),
\]
\[
a=\text { const }
\]

и скобку Пуассона –
\[
\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{M_{1}, M_{2}\right\}=1, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=0,
\]

обладающую аннуляторами $F_{1}=M_{3}, F_{2}=(\gamma, \gamma)$.

Рис. 28. Бифуркационная диаграмма на плоскости $(h, c)$ при различных постоянных значениях $p\left(I_{1}=1, I_{3}=5\right)$.

Уравнения в гамильтоновой форме со скобкой (3.5) и гамильтонианом (3.6) могут быть полезными при изучении возмущений волчка Лагранжа при помощи обобщенно-потенциальных и диссипативных воздействий.

4. Исторические комментарии

Лагранж указал свой случай интегрируемости во II томе «Аналитической механики», где также изложил общую схему его интегрирования. Несколько позже (1815 г.) эту задачу также разрешил Пуассон, добавив к аналитическим выкладкам Лагранжа рисунки траектории движения апекса (аналогичные рис. 21-23), которые далее стали приводиться почти во всех учебниках по механике.

После создания теории абелевых функџий и интегрирования случая Эйлера, Якоби попытался получить аналогичные квадратуры для волчка Лагранжа. Однако, его работа осталась незавершенной. Различные формы общего решения (то есть выражения для угловых скоростей и всех направляющих косинусов или углов Эйлера) в тэта-функџиях содержатся в книгах Ф. Клейна и А. Зоммерфельда [238], Э. Уиттекера [167], А. С. Домогарова [73], В. Д. МакМиллана [120]. Видимо, общее решение одним из первых получил А. Гринхилл

(A. G. Greenhill) [220]. Все найденные квадратуры очень сложны и практически не используются.

Якоби также пытался дать полную геометрическую картину движения по аналогии с интерпретаџией Пуансо случая Эйлера. Им было сформулировано утверждение, которое он привел без доказательства, заключающееся в том, что движение волчка Лагранжа может быть разложено на два движения типа Пуансо – прямое и обратное. Доказательство этого утверждения привел Е. Лоттнер в 1882 г., издатель посмертных трудов Якоби. Мы не обсуждаем этого результата и его усовершенствований, предложенных Дарбу, Альфаном и Гессом, вследствие их чрезмерной сложности и искусственности $[120,163]$. Они также не способны дать ясное впечатление о картине движения, как и аналитические выражения.

Наиболее полное и физически ясное описание движения волчка Лагранжа имеется в книгах К. Магнуса [119] и Р. Граммеля [66]. Здесь мы придали их рассуждениям более инвариантную форму, а также снабдили их наглядными трехмерными иллюстраџиями. В некотором смысле они показывают реальную сложность в классификаџии различных движений осесимметричного волчка.

Отметим также, что в работах $[134,165]$ приведены бифуркаџионные кривые, не все из которых совпадают с нашими. Но если в работе [165] это вызвано лишь краткостью изложения, при котором не ставится задача получить полный анализ движения, то в книге М. Оден [134] часть кривых, видимо, не совсем правильна. Здесь сложно сделать окончательные выводы в силу того, что книга [134], несмотря на название, посвящена не прояснению реального движения волчков, а «объяснению» хорошо известных фактов с дополнительным их отягощением – формализмом комплексной алгебраической геометрии.