В двух следующих параграфах мы последовательно рассмотрим ряд вопросов, связанных с существованием, качественным анализом и явным интегрированием систем динамики твердого тела, допускающих инвариантное соотношение типа Гесса. Это соотношение является линейным по моментам $M$ и анализ условий его существования близок к обобщениям случая Лагранжа, рассмотренным в §2. Оказывается также, что для этих двух динамических проблем имеется сходство в движении определенных характерных точек тела и в вопросах редукции. Далее мы приведем также явную квадратуру для различных переменных, характеризующих движение. В этом параграфе мы рассмотрим классическую ситуацию гамильтоновых уравнений на алгебре $e(3)$ (типа Эйлера-Пуассона). В §4 мы приведем несколько обобщений, связанных с суперпозицией нескольких полей, а также рассмотрим более сложные задачи на алгебре $e(3)$ – скольжение тела по плоскости, движение в кардановом подвесе и уравнения Чаплыгина.

1. Потенциальная система на алгебре $e(3)$. Циклическая координата
Пусть на алгебре $e(3)$ задан гамильтониан вида
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+U(\gamma)
\]

где $\mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$. Рассмотрим также поверхность уровня кинетической энергии в пространстве моментов – гирационный эллипсоид
\[
(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})=\text { const. }
\]

Положим, что $a_{1}<a_{2}<a_{3}$, тогда у эллипсоида (3.2) существует два круговых сечения, проходящих через среднюю ось. Обозначим направляющий вектор оси, перпендикулярной круговому сечению через $\boldsymbol{n}$. Справедливо следующее несложное наблюдение.

Если потенциальная энергия $U(\gamma)$ инвариантна относительно вращений тела вокруг оси $\boldsymbol{n}$, то уравнение $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{n})=0$ задает инвариантное соотношение Гесса системы (3.1).

В явном виде это условие можно представить в форме
\[
\left(\sqrt{a_{2}-a_{1}}\left(\gamma_{2} \frac{\partial}{\partial \gamma_{3}}-\gamma_{3} \frac{\partial}{\partial \gamma_{2}}\right) \pm \sqrt{a_{3}-a_{2}}\left(\gamma_{1} \frac{\partial}{\partial \gamma_{2}}-\gamma_{2} \frac{\partial}{\partial \gamma_{1}}\right)\right) U(\gamma)=0
\]

Интеграл Гесса соответственно имеет вид
\[
\sqrt{a_{2}-a_{1}} M_{1} \pm \sqrt{a_{3}-a_{2}} M_{3}=0 .
\]

Разные знаки соответствуют различным круговым сечениям эллипсоида (3.2).

Случай Гесса во многом аналогичен случаю Лагранжа и связан с наличием у системы (3.1) циклической переменной (явная симметрия гамильтониана относительно вращений) на одном из уровней некоторого «циклического» интеграла. Для того чтобы показать это явно, запишем гамильтониан (3.1) в системе координат, для которой одна из осей $O x_{3}$ совпадет с осью, перпендикулярной круговому сечению эллипсоида (3.2) (см. рис. 57, гл. 2)
\[
H=\frac{1}{2}\left(a_{1}^{\prime}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+a_{3}^{\prime} M_{3}^{2}+2 b M_{3} M_{1}\right)+U\left(\gamma_{3}\right) .
\]

Такая система координат уже не является главной. Матрица перехода к новым координатам (из системы главных осей) может быть выражена через компоненты матрицы А по формулам
\[
\mathbf{U}=\left(\begin{array}{ccc}
\sqrt{\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{3}-a_{1}}} & 0 & \mp \sqrt{\frac{a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}} \\
0 & 1 & 0 \\
\pm \sqrt{\frac{a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}} & 0 & \sqrt{\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{3}-a_{1}}}
\end{array}\right) .
\]

Интеграл Гесса (3.4) при этом принимает вид
\[
M_{3}=0 .
\]

Легко видеть, что гамильтониан (3.5) на уровне $M_{3}=0$ совпадает с гамильтонианом Лагранжа $\S 1,2$ гл. 3 , поэтому для описания приведенной системы, описывающей динамику угла нутации апекса оси $n$, перпендикулярной круговому сечению гирационного эллипсоида, мы можем воспользоваться переменными (2.6) $\boldsymbol{K}=\left(K_{1}, K_{2}\right), \boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}\right)$,
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=\frac{M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}}, \quad K_{2}=\frac{M_{1} \gamma_{2}-M_{2} \gamma_{1}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}}, \\
\sigma_{1}=\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}, \quad \sigma_{2}=\gamma_{3},
\end{array}
\]

которые на уровне $M_{3}=0$ задают замкнутую систему уравнений
\[
\begin{aligned}
\dot{K}_{1} & =\frac{1}{\sigma_{1}} a_{1}^{\prime} K_{1} K_{2} \sigma_{2}, & \dot{K}_{2} & =-\frac{1}{\sigma_{1}} a_{1}^{\prime} K_{1}^{2} \sigma_{2}-\sigma_{1} \frac{\partial U}{\partial \sigma_{2}}, \\
\dot{\sigma}_{1} & =a_{1}^{\prime} K_{2} \sigma_{2}, & \dot{\sigma}_{2} & =a_{1}^{\prime} K_{2} \sigma_{1},
\end{aligned}
\]

гамильтониан (3.5) теперь можно записать в виде
\[
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{K}^{2}-\mu \sigma_{2}+\frac{1}{2} M_{3}\left(a_{3}^{\prime} M_{3}+2 b M_{1}\right) .
\]

Квадратура для $\sigma_{2}$ задается уравнением (2.11) (при $c=0$ ). Интересно отметить, что угол прецессии $\psi$ в этом случае (как и в случае Лагранжа, см. гл. $3, \S 1$ ) полностью определяется решением приведенной системы:
\[
\dot{\psi}=a_{1}^{\prime} \frac{K_{1}}{\sigma_{1}}
\]

и не зависит от квадратуры для угла собственного вращения $\varphi(t)$. Это обстоятельство использовал Н. Е. Жуковский для описания движения центра масс в обычном случае Гесса (см. далее).

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Понижение порядка при наличии линейных по импульсам инвариантных соотношений подробно изучал Т. Леви – Чивита, его основные результаты содержатся в известном учебнике [113]. Однако при применении своих результатов к динамике твердого тела он не обратил внимания на случай Гесса, сосредоточившись на более частном классе инвариантных соотношений, определяемых вращением Штауде. Леви-Чивита и Либман исследовали также вопрос о существовании линейных интегралов при движении тела в потенциальном поле.

2. Классический случай Гесса

Разберем более подробно случай Гесса в уравнениях Эйлера-Пуассона, для которого в (3.5) положим $U=\widetilde{\mu} \gamma_{3}, \widetilde{\mu}=$ const, $a_{1}^{\prime}=1, a_{3}^{\prime}=a_{3}$, $b=a_{13}$. Динамика полной системы на совместном уровне соотношения Гесса $M_{3}=0$, постоянной площадей $M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}=c$ и энергии $H=h$ описывается последовательными квадратурами
\[
\begin{array}{c}
\dot{\gamma}_{3}^{2}=2\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)\left(h-\widetilde{\mu} \gamma_{3}-\frac{c^{2}}{1-\gamma_{3}^{2}}\right), \quad \dot{\psi}=\frac{c}{1-\gamma_{3}^{2}}, \\
\dot{\varphi}=a_{13} M_{1}+\frac{c}{1-\gamma_{3}^{2}}, \quad i=-a_{13} K \sin l+\widetilde{\mu} \frac{c}{K^{2}}, \quad K=2\left(h-\widetilde{\mu} \gamma_{3}\right),
\end{array}
\]

где $K^{2}=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}$, а $l$ – одна из переменных Андуайе-Депри, определяемая соотношениями $M_{1}=K \sin l, M_{2}=K \cos l$.

Используя первые две квадратуры, Н.Е.Жуковский [79] показал, что центр масс твердого тела движется по закону сферического маятника. Для нахождения угла собственного вращения $\varphi$, как показывают последние два уравнения в (3.9), необходимо разрешить уравнение для $l$ с зависящими явно от времени коэффициентами. Такой метод решения, видимо, ранее не приводился. Обычно, следуя П. А. Некрасову [131], определение собственного вращения сводят к решению уравнения типа Рикатти.

Действительно, для комплексной переменной $z=M_{1}+i M_{2}$ легко получить
\[
e^{-i \varphi}=-\frac{\dot{\gamma}_{3}+i c}{\sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}} \frac{z}{K^{2}},
\]

что приводит для $z$ к нелинейному уравнению первого порядка
\[
\dot{z}+\frac{i a_{13}}{2} z^{2}+\mu \frac{\dot{\gamma}_{3}+i c}{K^{2}} z+\frac{1}{2} i a_{13} K=0 .
\]

Для оправдания нашего решения отметим более простой вид последнего (3.9) по сравнению с (3.10). Оно еще более упрощается при $c=0$.

Жуковский в [79] также указал еще несколько геометрических фактов относительно динамики полной системы в случае Гесса.

Оказывается, что траектория движения средней оси гирационного эллипсоида в каждый момент времени образует постоянный угол $\theta$ с плоскостью кругового сечения
\[
\sin \theta=\frac{a_{2}}{\sqrt{a_{2}\left(a_{1}+a_{3}\right)-a_{1} a_{3}}} .
\]

С помощью этого результата можно показать, что при нулевой постоянной площадей $c=0$ средняя ось инерции движется по локсодроме. Вследствие такого характерного движения Жуковский ввел название локсодромического маятника (Гесса), указал практические условия осуществления такого движения и сделал механическую модель для его наблюдения [79].

Рассмотрим случай локсодромического маятника ( $c=0$ ) более подробно (см. рис. 70). Из соотношений (3.9) находим
\[
\dot{\gamma}_{3}^{2}=2\left(h-\tilde{\mu} \gamma_{3}\right)\left(1-\gamma_{3}^{2}\right), \quad \dot{\psi}=0, \quad \ln \left(\operatorname{tg} \frac{l}{2}\right)= \pm a_{13} K,
\]

а также два соответствующих случая:

$\boldsymbol{h}>\tilde{\boldsymbol{\mu}}$. Центр масс вращается по главному кругу (т. к. $\psi=$ const). При этом средняя ось движется по всей локсодроме, см. рис. 18. В этом случае на фазовом портрете (рис. $70 \mathrm{e}, \mathrm{f}$ ), который содержит также хаотические траектории, решение Гесса разделяет два «несмешивающихся» стохастических слоя (см. также рис. 58). Фактически решение Гесса в этом случае нереализуемо, вследствие неустойчивости траектория сваливается в тот или другой слой.
При $h \rightarrow \infty$ (либо $\widetilde{\mu} \rightarrow 0$ ) все сводится к обычному случаю Эйлера, при этом решение Гесса стремится к сепаратрисе перманентного вращения вокруг средней оси [92].
$h<\widetilde{\mu}$. Центр масс совершает плоские колебания по закону физического маятника, а средняя ось движется согласно (3.11) по отрезку локсодромы. Решение при этом периодическое в абсолютном пространстве (одночастотное, как и решение Горячева, §5 гл. 2). На фазовом портрете (см. рис. $70 \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ) соотношение Гесса задает инвариантную кривую, целиком заполненную неподвижными точками, которая располагается внутри регулярного слоения.
При $c
eq 0$ исследование движения является существенно сложным и не может быть выполнено аналитическим образом. На рис. 71 приведена серия фазовых портретов, которые иллюстрируют эффект расхождения стохастических слоев (при уменьшении энергии $h$ ) вблизи решения Гесса, которое приобретает устойчивость.
При этом динамика абсолютного движения для малых энергий является трехчастотной, при увеличении энергии – движение по одной переменной будет носить асимптотический характер и остается всего две частоты.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если рассматривать возмущения задачи Эйлера-Пуансо при условиях Гесса, то оказывается, что пара сепаратрис, исходящих из неустойчивых перманентных вращений, не расщепляется при возмущении [92] (см. рис. $70 \mathrm{f}, 71 \mathrm{~h}$ ). При этом интеграл (3.4) и определяет особый тор, заполненный двояко-асимптотическими траекториями, приближающимися к некоторым неустойчивым периодическим решениям, которые при $\widetilde{\mu} \rightarrow 0$ переходят в перманентные вращения вокруг средней оси. Такое описание динамики приведенной системы не противоречит результату Жуковского о квазипериодическом движении центра масс тела (3.9), так как система, описывающая движение центра масс, получается редукцией не по углу прецессии, а по углу собственного вращения вокруг оси, перпендикулярной круговому сечению.

Исторический комментарий. Свой интеграл Гесс получил при поиске различных форм уравнений движения тяжелого твердого тела, имеющих раз-

Рис. 70. Фазовый портрет при условиях Гесса и нулевой постоянной площадей ( $H=$ $\left.=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+\frac{2}{3} M_{2}^{2}+\frac{1}{2} M_{3}^{2}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}} \gamma_{1}+\frac{1}{\sqrt{6}} \gamma_{3}, \tilde{\mu}=h_{c}\right)$. На рисунках хорошо видно, что тор, соответствующий интегралу Гесса при малых энергиях, расположен в регулярном слоении. Серым цветом обозначается физически невозможная область значений переменных.

личные преимущества по сравнению с уравнениями Эйлера-Пуассона [228]. Ему, по-видимому, также принадлежит идея использования не главных осей. С уравнениями в форме Гесса можно познакомится по книгам $[9,59]$. Условия

Рис. 71. Фазовый портрет при условиях Гесса и ненулевой постоянной площадей $c=1\left(H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+\frac{2}{3} M_{3}^{2}+\frac{1}{2} M_{3}^{2}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}} \gamma_{1}+\frac{1}{\sqrt{6}} \gamma_{3}\right)$. Также, как и выше, при больших $h$ решение Гесса разделяет два стохастических слоя, а при малых $h$ лежит в регулярном слоении.

существования интеграла Гесса получил также Г. Г. Аппельрот, пытаясь восполнить пробелы в анализе Ковалевской [3]. В исследовании самой Ковалевской этот случай был пропущен, что не повлияло на правильность ее результатов решение при условиях Гесса ветвится на комплексной плоскости времени [3]. Тем не менее, случай Гесса иногда называют случаем Гесса – Аппельрота. Как уже было отмечено, геометрический анализ и моделирование волчка Гесса было предложено Жуковским [79], развернутый аналитический мемуар по явному решению (сведению к уравнению Рикатти) принадлежит Некрасову [131]. На связь между инвариантными соотношениями Гесса и парой нерасщепившихся сепаратрис возмущенной задачи Эйлера-Пуансо указал В. В. Козлов [92].

В уравнениях Кирхгофа аналог случая Гесса (см. следующий параграф) был замечен Чаплыгиным [178] (который сразу использовал неглавные оси), а из условия расщепления сепаратрис он же был получен в [98]. Для этого аналога справедливы большинство геометрических и аналитических динамических выводов, указанных для обычного случая Гесса.