В этом параграфе приведем явные формулы для двоякоасимптотических движений в интегрируемых системах, которые выражаются через элементарные (гиперболические и тригонометрические) функции. Эти формулы необходимы для анализа возмущенной системы, когда двоякоасимптотические поверхности расщепляются и величина этого расщепления в первом

порядке по малому параметру получается из вычисления несобственного интеграла Пуанкаре-Мельникова вдоль двоякоасимптотических траекторий интегрируемой системы. Кроме того, эти решения представляют собственный интерес, поскольку практически только для них можно сделать вывод о поведении системы из анализа явных формул. В остальных случаях явные формулы для решения в тэта-функциях не позволяют сказать о решении практически ничего.

Наиболее подробно динамические эффекты, приводящие к неинтегрируемости и связанные с расщеплением сепаратрис, рассмотрены в книге В. В. Козлова [97].

Случай Эйлера.
В § 2 гл. 2 было показано, что неустойчивыми периодическими решениями являются перманентные вращения тела вокруг средней оси эллипсоида инерции. Приведем здесь двоякоасимптотические решения для полной системы (переменные $\mathit{M},\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma })$. Для упрощения выражений и исключения лишних параметров выберем специальную систему координат в неподвижном пространстве, для которой ось $OZ$ направлена вдоль вектора кинетического момента (который сохраняется в абсолютном пространстве, см. рис. 81). В этом случае в системе главных осей тела имеем
$${\mathit{M}}^2=f=\mathrm{const},(\mathit{M},\mathit{\alpha })=(\mathit{M},\mathit{\beta })=0,(\mathit{M},\mathit{\gamma })=\sqrt{f},$$

а зависимость этих величин от времени имеет вид
$$\begin{array}{c}M=(\frac{\sqrt{f}{b}_{32}}{b_{31}}\frac{1}{\mathrm{ch}\alpha t},\pm \sqrt{f}\mathrm{th}\alpha t,\frac{\sqrt{f}{b}_{21}}{b_{31}}\frac{1}{\mathrm{ch}\alpha t})\\ \mathit{\alpha }=(-\frac{b_{21}}{b_{31}}\cos \omega t-\frac{b_{32}}{b_{31}}\mathrm{th}\alpha t\sin \omega t,\pm \frac{\sin \omega t}{\mathrm{ch}\alpha },\mp \frac{b_{32}}{b_{31}}\cos \omega t\pm \frac{b_{21}}{b_{31}}\mathrm{th}\alpha t\sin \omega t)\\ \mathit{\beta }=(\frac{b_{21}}{b_{31}}\sin \omega t-\frac{b_{32}}{b_{31}}\mathrm{th}\alpha t\cos \omega t,\pm \frac{\cos \omega t}{\mathrm{ch}\alpha t},\pm \frac{b_{32}}{b_{31}}\sin \omega t\pm \frac{b_{21}}{b_{31}}\mathrm{th}\alpha t\cos \omega t)\\ \gamma =(\frac{b_{32}}{b_{31}}\frac{1}{\mathrm{ch}\alpha t},\pm \mathrm{th}\alpha t,\pm \frac{b_{21}}{b_{31}}\frac{1}{\mathrm{ch}\alpha t})\end{array}$$

где $b_{ij}=\sqrt{a_i-a_j},a_1<a_2<a_3$ — обратные моменты инерции, $\alpha =$ $=\sqrt{f(a_3-a_2)(a_2-a_1)},\omega =a_2\sqrt{f}-$ угловая скорость перманентного вращения вокруг средней оси. Различные знаки плюс и минус соответствуют вращениям вокруг средней оси в разных направлениях, которые определяют два разных неустойчивых периодических решения приведенной системы. Двоякоасимптотические решения сматываются с одного периодического решения и наматываются на второе.

Апекс средней оси эллипсоида инерции в неподвижном пространстве задается вектором $\mathit{p}=({\alpha }_2,{\beta }_2,{\gamma }_2)$, как несложно показать с помощью (9.1), он двигается по локсодроме — кривой на сфере, составляющей постоянный угол ${\theta }_0$ с меридианами, проходящими через точки пересечения с осью $OZ$ (см. рис. 18 гл. 2), причем
$$\cos {\theta }_0=\frac{b_{32}{b}_{21}}{\sqrt{a_2{a}_3+a_1{a}_2-a_3{a}_1}}.$$

Кроме того, угол прецессии средней оси меняется с постоянной угловой скоростью, равной $\omega =a_2\sqrt{f}$ — скорости перманентных вращений вокруг средней оси.

При исслсдовании возмущсний случая Эйлсра, в которыс добавлястся потенциал, симметричный относительно вращений вокруг неподвижной в пространстве оси $\mathit{n}=(n_1,n_2,n_3)$, двоякоассимптотические решения для случая Эйлера в уравнениях Кирхгофа, где вектор $\gamma$ имеет смысл импульсивной силы (см. §1 гл. 3).

Явные выражения для двоякоасимптотических движений были применены к изучению интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона и Кирхгофа в ситуации полной динамической несимметрии (см. [97]).

Случай Лагранжа.
Для волчка Лагранжа, гамильтониан которого представим в форме (см. §3 гл. 2)
$$H=\frac{1}{2}(M_1^2+M_2^2+a{M}_3^2)+\mu {\gamma }_3,$$

существует вращение вокруг вертикальной оси
$$M_1=M_2=0,M_3=\text{ const, }{\gamma }_1={\gamma }_2=0,{\gamma }_3=1,$$

отвечающее положению равновесия (а не периодической орбите) приведенной системы, которое будет неустойчивым при выполнении условия Маиевского $|(\mathit{M},\mathit{\gamma })|=|c|<2\sqrt{\mu }$. Явные формулы двоякоасимптотических

решений для равномерных вертикальных вращений следующие:
$$\begin{array}{c}{M}_1=\frac{2\alpha }{\mathrm{ch}\alpha t}\cos \beta t,M_2=\frac{2\alpha }{\mathrm{ch}\alpha t}\sin \beta t,M_3=\mathrm{const},\\ {\gamma }_1=\frac{\alpha c}{\mu \mathrm{ch}\alpha t}\cos \beta t-\frac{2{\alpha }^2\mathrm{sh}\alpha t}{\mu {\mathrm{ch}}^2\alpha t}\sin \beta t,\\ {\gamma }_2=\frac{\alpha c}{\mu \mathrm{ch}\alpha t}\sin \beta t+\frac{2{\alpha }^2\mathrm{sh}\alpha t}{\mu {\mathrm{ch}}^2\alpha t}\cos \beta t,\\ {\gamma }_3=1-\frac{2{\alpha }^2}{\mu {\mathrm{ch}}^2\alpha t}\end{array}$$

где $\alpha =\frac{1}{2}\sqrt{4\mu -c^2},\beta =\frac{1}{2}c(2\theta -1)$.
Асимптотические решения (9.3) были впервые отмечены Клейном и Зоммерфельдом [238]. Ненулевые характеристические показатели для решения (9.2) равны $\pm \alpha \pm i\beta$. При $M_{30}eq0$ и выполнении условия Маиевского $\alpha \beta eq0$ и приведенное равновесие будет иметь тип седло-фокус. Оказывается, что при возмущении волчка Лагранжа неустойчивое равновесие не исчезает, но вместо сдвоенных асимптотических поверхностей (9.3) возникают трансверсальные гомоклинные траектории, препятствующие существованию дополнительного аналитического интеграла [97].

Траектория апекса оси симметрии волчка Лагранжа задается уравнением [66]
$$\psi =\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{4{\alpha }^2-2\mu u}}{c}\right)-\frac{c}{2\alpha }\mathrm{arcth}\left(\frac{\sqrt{4{\alpha }^2-2\mu u}}{2\alpha }\right),$$

где $u=1-\cos \theta$, а $\theta ,\psi -$ углы нутации и прецессии. Подставляя (9.3) в (9.4), находим зависимость прецессии от времени
$$\psi =-\frac{1}{2}ct+\mathrm{arctg}\left(\frac{2\alpha }{c}\mathrm{th}\alpha t\right).$$

При больших $t$ второе слагаемое мало отличается от константы, и, следовательно, ось волчка прецессирует с постоянной скоростью. Тем не менее, визуально это почти не заметно, т. к. она занимает фактически вертикальное положение ${\gamma }_3\to 1$ (см. рис. 24 гл. 2).

Аналогичные формулы можно записать для обобщений случая Лагранжа в уравнениях Кирхгофа (§1 гл. 3) и Пуанкаре-Жуковского (§2 гл. 3).

Случай Жуковского-Вольтерра.
Приведем вид двоякоасимптотических движений в пространстве моментов $(M_1,M_2,M_3$ ). В этом случае, как показано в § 7 гл. 5, траектории, представляющие собой пересечения квадрик
$$\frac{1}{2}(\mathit{M},\mathbf{A}\mathit{M})+(\mathit{M},\mathit{K})=h,{\mathit{M}}^2=f,$$

лежат на некотором конусе. Для асимптотических траекторий вершина этого конуса лежит на поверхностях (9.5) и решение может быть получено в элементарных функциях [57]. Наиболее простое решение получается в случае, когда имеется ненулевой гиростатический момент только вдоль средней оси: $\mathit{K}=(0,k,0)$. Двоякоасимптотические решения при этом можно представить в форме
$$\begin{array}{c}{M}_3=\frac{x\sqrt{f}\sin \phi }{\frac{1}{2}\sqrt{(a_2+x)(a_3+x)}(\frac{a_1}{a_1+x}{\cos }^2\phi +\frac{a_2}{a_2+x}{\sin }^2\phi +\frac{a_3}{a_3+x})},\\ M_1=-\sqrt{\frac{a_3+x}{a_1+x}}{M}_3\cos \phi ,M_2=-(a_2+x)\sqrt{f}+\sqrt{\frac{a_3+x}{a_2+x}}{M}_3\sin \phi ,\\ \ln \left(\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}\right)=\pm \sqrt{(a_1+x)(a_3+x)f}(t-t_0),\end{array}$$

где $x=\pm \frac{k}{\sqrt{f}}-a_2$.
Решение для вектора $\gamma$ и других направляющих косинусов в явном виде неизвестно.

Комментарии. 1.
Для случаев Ковалевской и Горячева — Чаплыгина возможные аналитические представления для асимптотических решений указаны в $\mathrm{\S }4,\mathrm{\S }5$ гл. 2. Ни одно из этих решений пока не было использовано для изучения неинтегрируемости.

2. В работе [242] указаны явные аналитические выражения для асимптотических решений к неподвижной точке в случае Клебша. Оказывается, что в общем случае $(\mathit{M},\gamma )=ceq0$ в этой задаче существует три типа неподвижных точек: эллиптические, типа седло-центр и седлового типа. В последнем случае характеристические показатели при определенных $c$ имеют вид $\pm (\alpha +i\beta )$, $\alpha ,\beta \in \mathbb{R},\alpha \beta =0$ и ситуация аналогична задаче Лагранжа. Указанные двоякоасимптотические решения были использованы для изучения возмущений случая Клебша в работе [114]. Отметим, что как замечено Деванеем [203] при $c=0$, сепаратрисы к гиперболической точке трансверсально пересекаются, что, тем не менее, не противоречит интегрируемости системы Неймана, а условие $\beta =0$, возникающее в этом случае, создает дополнительные сложности при исследовании возмущенной ситуации.

Рис. 82. Движение средней оси эллипсоида инерции гиростата Жуковского-Вольтерра при асимптотических движениях к перманентным вращениям в разные стороны вокруг средней оси.