В этом параграфе приведем явные формулы для двоякоасимптотических движений в интегрируемых системах, которые выражаются через элементарные (гиперболические и тригонометрические) функции. Эти формулы необходимы для анализа возмущенной системы, когда двоякоасимптотические поверхности расщепляются и величина этого расщепления в первом

порядке по малому параметру получается из вычисления несобственного интеграла Пуанкаре-Мельникова вдоль двоякоасимптотических траекторий интегрируемой системы. Кроме того, эти решения представляют собственный интерес, поскольку практически только для них можно сделать вывод о поведении системы из анализа явных формул. В остальных случаях явные формулы для решения в тэта-функциях не позволяют сказать о решении практически ничего.

Наиболее подробно динамические эффекты, приводящие к неинтегрируемости и связанные с расщеплением сепаратрис, рассмотрены в книге В. В. Козлова [97].

Случай Эйлера.
В § 2 гл. 2 было показано, что неустойчивыми периодическими решениями являются перманентные вращения тела вокруг средней оси эллипсоида инерции. Приведем здесь двоякоасимптотические решения для полной системы (переменные $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})$. Для упрощения выражений и исключения лишних параметров выберем специальную систему координат в неподвижном пространстве, для которой ось $O Z$ направлена вдоль вектора кинетического момента (который сохраняется в абсолютном пространстве, см. рис. 81). В этом случае в системе главных осей тела имеем
\[
\boldsymbol{M}^{2}=f=\mathrm{const}, \quad(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha})=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta})=0, \quad(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=\sqrt{f},
\]

а зависимость этих величин от времени имеет вид
\[
\begin{array}{c}
M=\left(\frac{\sqrt{f} b_{32}}{b_{31}} \frac{1}{\operatorname{ch} \alpha t}, \pm \sqrt{f} \operatorname{th} \alpha t, \frac{\sqrt{f} b_{21}}{b_{31}} \frac{1}{\operatorname{ch} \alpha t}\right) \\
\boldsymbol{\alpha}=\left(-\frac{b_{21}}{b_{31}} \cos \omega t-\frac{b_{32}}{b_{31}} \operatorname{th} \alpha t \sin \omega t, \pm \frac{\sin \omega t}{\operatorname{ch} \alpha}, \mp \frac{b_{32}}{b_{31}} \cos \omega t \pm \frac{b_{21}}{b_{31}} \operatorname{th} \alpha t \sin \omega t\right) \\
\boldsymbol{\beta}=\left(\frac{b_{21}}{b_{31}} \sin \omega t-\frac{b_{32}}{b_{31}} \operatorname{th} \alpha t \cos \omega t, \pm \frac{\cos \omega t}{\operatorname{ch} \alpha t}, \pm \frac{b_{32}}{b_{31}} \sin \omega t \pm \frac{b_{21}}{b_{31}} \operatorname{th} \alpha t \cos \omega t\right) \\
\gamma=\left(\frac{b_{32}}{b_{31}} \frac{1}{\operatorname{ch} \alpha t}, \pm \operatorname{th} \alpha t, \pm \frac{b_{21}}{b_{31}} \frac{1}{\operatorname{ch} \alpha t}\right)
\end{array}
\]

где $b_{i j}=\sqrt{a_{i}-a_{j}}, a_{1}<a_{2}<a_{3}$ – обратные моменты инерции, $\alpha=$ $=\sqrt{f\left(a_{3}-a_{2}\right)\left(a_{2}-a_{1}\right)}, \omega=a_{2} \sqrt{f}-$ угловая скорость перманентного вращения вокруг средней оси. Различные знаки плюс и минус соответствуют вращениям вокруг средней оси в разных направлениях, которые определяют два разных неустойчивых периодических решения приведенной системы. Двоякоасимптотические решения сматываются с одного периодического решения и наматываются на второе.

Апекс средней оси эллипсоида инерции в неподвижном пространстве задается вектором $\boldsymbol{p}=\left(\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}\right)$, как несложно показать с помощью (9.1), он двигается по локсодроме – кривой на сфере, составляющей постоянный угол $\theta_{0}$ с меридианами, проходящими через точки пересечения с осью $O Z$ (см. рис. 18 гл. 2), причем
\[
\cos \theta_{0}=\frac{b_{32} b_{21}}{\sqrt{a_{2} a_{3}+a_{1} a_{2}-a_{3} a_{1}}} .
\]

Кроме того, угол прецессии средней оси меняется с постоянной угловой скоростью, равной $\omega=a_{2} \sqrt{f}$ – скорости перманентных вращений вокруг средней оси.

При исслсдовании возмущсний случая Эйлсра, в которыс добавлястся потенциал, симметричный относительно вращений вокруг неподвижной в пространстве оси $\boldsymbol{n}=\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\right)$, двоякоассимптотические решения для случая Эйлера в уравнениях Кирхгофа, где вектор $\gamma$ имеет смысл импульсивной силы (см. §1 гл. 3).

Явные выражения для двоякоасимптотических движений были применены к изучению интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона и Кирхгофа в ситуации полной динамической несимметрии (см. [97]).

Случай Лагранжа.
Для волчка Лагранжа, гамильтониан которого представим в форме (см. §3 гл. 2)
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)+\mu \gamma_{3},
\]

существует вращение вокруг вертикальной оси
\[
M_{1}=M_{2}=0, \quad M_{3}=\text { const, } \quad \gamma_{1}=\gamma_{2}=0, \quad \gamma_{3}=1,
\]

отвечающее положению равновесия (а не периодической орбите) приведенной системы, которое будет неустойчивым при выполнении условия Маиевского $|(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})|=|c|<2 \sqrt{\mu}$. Явные формулы двоякоасимптотических

решений для равномерных вертикальных вращений следующие:
\[
\begin{array}{c}
M_{1}=\frac{2 \alpha}{\operatorname{ch} \alpha t} \cos \beta t, \quad M_{2}=\frac{2 \alpha}{\operatorname{ch} \alpha t} \sin \beta t, \quad M_{3}=\mathrm{const}, \\
\gamma_{1}=\frac{\alpha c}{\mu \operatorname{ch} \alpha t} \cos \beta t-\frac{2 \alpha^{2} \operatorname{sh} \alpha t}{\mu \operatorname{ch}^{2} \alpha t} \sin \beta t, \\
\gamma_{2}=\frac{\alpha c}{\mu \operatorname{ch} \alpha t} \sin \beta t+\frac{2 \alpha^{2} \operatorname{sh} \alpha t}{\mu \operatorname{ch}^{2} \alpha t} \cos \beta t, \\
\gamma_{3}=1-\frac{2 \alpha^{2}}{\mu \operatorname{ch}^{2} \alpha t}
\end{array}
\]

где $\alpha=\frac{1}{2} \sqrt{4 \mu-c^{2}}, \beta=\frac{1}{2} c(2 \theta-1)$.
Асимптотические решения (9.3) были впервые отмечены Клейном и Зоммерфельдом [238]. Ненулевые характеристические показатели для решения (9.2) равны $\pm \alpha \pm i \beta$. При $M_{30}
eq 0$ и выполнении условия Маиевского $\alpha \beta
eq 0$ и приведенное равновесие будет иметь тип седло-фокус. Оказывается, что при возмущении волчка Лагранжа неустойчивое равновесие не исчезает, но вместо сдвоенных асимптотических поверхностей (9.3) возникают трансверсальные гомоклинные траектории, препятствующие существованию дополнительного аналитического интеграла [97].

Траектория апекса оси симметрии волчка Лагранжа задается уравнением [66]
\[
\psi=\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{4 \alpha^{2}-2 \mu u}}{c}\right)-\frac{c}{2 \alpha} \operatorname{arcth}\left(\frac{\sqrt{4 \alpha^{2}-2 \mu u}}{2 \alpha}\right),
\]

где $u=1-\cos \theta$, а $\theta, \psi-$ углы нутации и прецессии. Подставляя (9.3) в (9.4), находим зависимость прецессии от времени
\[
\psi=-\frac{1}{2} c t+\operatorname{arctg}\left(\frac{2 \alpha}{c} \operatorname{th} \alpha t\right) .
\]

При больших $t$ второе слагаемое мало отличается от константы, и, следовательно, ось волчка прецессирует с постоянной скоростью. Тем не менее, визуально это почти не заметно, т. к. она занимает фактически вертикальное положение $\gamma_{3} \rightarrow 1$ (см. рис. 24 гл. 2).

Аналогичные формулы можно записать для обобщений случая Лагранжа в уравнениях Кирхгофа (§1 гл. 3) и Пуанкаре-Жуковского (§2 гл. 3).

Случай Жуковского-Вольтерра.
Приведем вид двоякоасимптотических движений в пространстве моментов $\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right.$ ). В этом случае, как показано в § 7 гл. 5, траектории, представляющие собой пересечения квадрик
\[
\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{K})=h, \quad \boldsymbol{M}^{2}=f,
\]

лежат на некотором конусе. Для асимптотических траекторий вершина этого конуса лежит на поверхностях (9.5) и решение может быть получено в элементарных функциях [57]. Наиболее простое решение получается в случае, когда имеется ненулевой гиростатический момент только вдоль средней оси: $\boldsymbol{K}=(0, k, 0)$. Двоякоасимптотические решения при этом можно представить в форме
\[
\begin{array}{c}
M_{3}=\frac{x \sqrt{f} \sin \varphi}{\frac{1}{2} \sqrt{\left(a_{2}+x\right)\left(a_{3}+x\right)}\left(\frac{a_{1}}{a_{1}+x} \cos ^{2} \varphi+\frac{a_{2}}{a_{2}+x} \sin ^{2} \varphi+\frac{a_{3}}{a_{3}+x}\right)}, \\
M_{1}=-\sqrt{\frac{a_{3}+x}{a_{1}+x}} M_{3} \cos \varphi, \quad M_{2}=-\left(a_{2}+x\right) \sqrt{f}+\sqrt{\frac{a_{3}+x}{a_{2}+x}} M_{3} \sin \varphi, \\
\ln \left(\operatorname{tg} \frac{\varphi}{2}\right)= \pm \sqrt{\left(a_{1}+x\right)\left(a_{3}+x\right) f}\left(t-t_{0}\right),
\end{array}
\]

где $x= \pm \frac{k}{\sqrt{f}}-a_{2}$.
Решение для вектора $\gamma$ и других направляющих косинусов в явном виде неизвестно.

Комментарии. 1.
Для случаев Ковалевской и Горячева – Чаплыгина возможные аналитические представления для асимптотических решений указаны в $\S 4, \S 5$ гл. 2. Ни одно из этих решений пока не было использовано для изучения неинтегрируемости.

2. В работе [242] указаны явные аналитические выражения для асимптотических решений к неподвижной точке в случае Клебша. Оказывается, что в общем случае $(\boldsymbol{M}, \gamma)=c
eq 0$ в этой задаче существует три типа неподвижных точек: эллиптические, типа седло-центр и седлового типа. В последнем случае характеристические показатели при определенных $c$ имеют вид $\pm(\alpha+i \beta)$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}, \alpha \beta=0$ и ситуация аналогична задаче Лагранжа. Указанные двоякоасимптотические решения были использованы для изучения возмущений случая Клебша в работе [114]. Отметим, что как замечено Деванеем [203] при $c=0$, сепаратрисы к гиперболической точке трансверсально пересекаются, что, тем не менее, не противоречит интегрируемости системы Неймана, а условие $\beta=0$, возникающее в этом случае, создает дополнительные сложности при исследовании возмущенной ситуации.

Рис. 82. Движение средней оси эллипсоида инерции гиростата Жуковского-Вольтерра при асимптотических движениях к перманентным вращениям в разные стороны вокруг средней оси.