Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим частный интегрируемый случай Горячева-Чаплыгина, для которого вектор кинетического момента лежит в горизонтальной плоскости, т. е. $(M, \gamma)=0$. Он реализуется почти при тех же ограничениях на динамические параметры, что и случай Ковалевской, но отношение моментов инерции теперь равно не двум, а четырем $-\frac{a_{3}}{a_{1}}=4$. Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид: 1. Явное интегрирование Переменные типа Ковалевской, приводящие систему к уравнениям Абеля — Якоби были указаны С.А.Чаплыгиным [174]. Они определяются формулами и удовлетворяют уравнениям где $h, f$ — постоянные интегралов энергии и Чаплыгина ( $H=h, F=f$ ). 2. Бифуркационная диаграмма и фазовый портрет Используя функции $P_{1}(u), P_{2}(v)$, из условия кратности корней этих полиномов несложно построить бифуркационную диаграмму [170]. На плоскости $(f, h)$ она состоит из трех ветвей (рис. 46): Рис. 46. Бифуркационная диаграмма случая Горячева — Чаплыгина. Серым цветом заштрихована нефизическая область интегралов. Указаны также два уровня энергии, для которых построены фазовые портреты (см. рис. 47, 48). Буквами $A_{i}, B_{i}, C_{i}, \ldots$ обозначены периодические решения и сепаратрисы, которые аналогично обозначены на фазовых портретах. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Отсутствие явных аналитических выражений для асимптотических решений также является препятствием к исследованию возмущенной системы. Отметим, что Н. И. Мерцалов в работе [126] сделал утверждение об интегрируемости уравнений волчка Горячева — Чаплыгина при $c=(\boldsymbol{M}, \gamma) Рис. 47. Фазовый портрет случая Горячева — Чаплыгина при $h=0.3$ (сечение плоскостью $g=\pi / 2$ ). Буквами $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). Точке $B_{1}$ на бифуркационной диаграмме, для которой $f=0$, соответствует, во-первых, два маятниковых периодических решения (они расположены на фазовом портрете в полюсах сферы $L / G= \pm 1$ и в точке $l=0, L / G=0$ ) и, во-вторых, целая прямая $L / G=0, l Рис. 48. Фазовый портрет случая Горячева — Чаплыгина при $h=1.3$ (сечение плоскостью $g=\pi / 2$ ). Буквами $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}, F_{2}$ отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). По сравнению с предыдущим портретом добавились неустойчивые решения (и сепаратрисы к ним) $D_{2}$ и $F_{2}$. Также, как и выше, точке $B_{2}$ на бифуркационной диаграмме соответствует четыре вращательных периодических решения (вращения в экваториальной и меридиональной плоскости с учетом направления) — это точки $L / G= \pm 1$ и $l=0, \pi$, $L / G=0$, а также прямая $L / G=0$, которая целиком заполнена периодическими решениями (решения Горячева) приведенной системы (см. п. 3). Рис. 49. Возмущение случая Горячева-Чаплыгина при фиксированной энергии $(h=1.5$ ) и увеличении константы площадей (приведено сечение плоскостью $g=\pi / 2$, серым цветом закрашены области невозможности движения). На рисунках видно, что вблизи сепаратрис возникает стохастический слой, который сначала увеличивается; затем уменьшается вместе с областью возможного движения. Любопытно, что при дальнейшем увеличении $c$, ОВД уменьшается вместе со стохастическим слоем до полного исчезновения. a) Движение $\gamma$ при $f=0$ и $h=-0.5$ (различные типы маятникового движения). Рис. 50. «Решение Горячева» представляет собой целый тор, заполненный периодическими решениями приведенной системы $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}$ (т. н. резонанс $1: 1$ ), при $h<1$ (рис. а) это решения маятникового типа, а при $h>1$ (рис. b) — вращательного. На этом и следующем рисунке приведены траектории на сфере Пуассона, соответствующие различным решениям на этом торе. 3. Визуализация особо замечательных решений Среди периодических решений в задаче Горячева-Чаплыгина особое место занимает решение Горячева. На бифуркационной диаграмме оно находится на прямой $f=0$, помимо него на этой прямой располагаются также периодические решения уравнений Эйлера-Пуассона, соответствующие колебаниям (при $h<1$ ) и вращениям ( $h>1$ ) твердого тела в плоскостях $O x y$ и $O x z$, происходящие по закону физического маятника. Остановимся подробнее на решении Горячева и решениях, расположенных на ветвях II и III (см. рис. 46). Решение Горячева [65]. Для этого решения имеются два дополнительных инвариантных соотношения [72] В эти соотношения входит произвольная константа $b$, которая, таким об- Рис. 51. Этот рисунок иллюстрирует поведение главных осей твердого тела в неподвижной системе координат для решений Горячева при фиксированной энергии $h<1$ ( $h=-0.7)$. Хорошо видно, что это — периодические решения в абсолютном пространстве, которые при изменении параметра $b$ переходят от колебаний в плоскости Oxy к колебаниям в плоскости $O x z$. (Буквами $x, y, z$ обозначены оси, связанные с телом.) разом, параметризует целое семейство периодических решений: в фазовом пространстве — это вырожденный тор, заполненный периодическими решениями. Соотношения (5.3) были указаны Д.Н.Горячевым, после чего С. А. Чаплыгин моментально сообразил, что условие $f=0$ является слишком жестким, и получил решение (5.2) в общепринятой форме. При $h<1$ и при изменении $b$ от 0 до $b_{\max }$ решение переходит от колебания в экваториальной плоскости к колебанию в меридианальной плоскости (рис. 50). Рис. 52. Рисунок, иллюстрирующий квазипериодическое движение в абсолютном пространстве (показано движение главной оси $O y$ ) для решения Горячева при $h>1$ $(h=1.7)$. Рис. 53. Движение орта вертикали $\gamma$ на сфере Пуассона для устойчивого периодического движения в случае Горячева — Чаплыгина при различных значениях энергии. На фазовом портрете (см. рис. 47) это прямая $L / G=0$ и соединяющий ее с полюсами меридиан. При $h>1$ и при изменении $b$ от 0 до $b_{\max }$ решение переходит от одного вращения в экваториальной плоскости в другое (в противоположном направлении, рис. 48). Рис. 54. Движение орта вертикали $\gamma$ на сфере Пуассона для неустойчивого периодического решения в случае Горячева — Чаплыгина при различных значениях энергии. Рис. 55. Движение апексов главных осей тела в неподвижном пространстве в случае Горячева — Чаплыгина для устойчивого периодического решения, расположенного на ветви III рис. 46, при двух различных значениях энергии $h_{1}, h_{2}$ с разных точек зрения. Буквами $x_{i}, y_{i}, z_{i}, i=1,2$ обозначены траектории соответствующих осей, относящихся к одной и той же энергии. Движение апекса на сфере Пуассона приведено на рис. 50. Замечательным феноменом, ранее не отмечавшимся, является то, что для решений Горячева в абсолютном пространстве при $h<1$ движение является периодическим колебательного типа (см. рис. 51). А при $h>1$ соответствующее движение — квазипериодическое двухчастотное (рис. 52). Все указанные факты практически невозможно увидеть непосредственно из аналитического решения, которсе впервые было получено Горячевым в очень громоздкой форме [65]. Несмотря на некоторые упрощения, имеющиеся, например, в [72], явные формулы лишь частично позволяют дать представления об обнаруженных на компьютере движениях. Устойчивые и неустойчивые периодические решения уравнений Эйлера-Пуассона для случая Горячева-Чаплыгина располагаются на бифуркационной диаграмме на ветвях III и II соответственно (см. рис. $46,53-56)$. Численные исследования показывают, что движения полной системы в абсолютном пространстве, соответствующие этим решениями, также периодические при любых значениях энергии (см. рис. 55, 56). Этот факт ранее, повидимому, не отмечался в литературе и отражает специфику динамики твердого тела на нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ (ср. с решениями Делоне для случая Ковалевской, §4 п. 3). Вместо формального доказательства мы приводим серию рисунков, наглядно подтверждающих это утверждение. На них представлены траектории системы как на сфере Пуассона, так и траекторий апексов в абсолютном пространстве, большинство из них достаточно сложны. Рис. 56. Движение апексов главных осей тела в неподвижном пространстве в случае Горячева — Чаплыгина для неустойчивого периодического решения, расположенного на ветви II рис. 46, при одном значении энергии. Буквами $x, y, z$ обозначены траектории соответствующих осей. (Движения при других значениях энергии качественно не отличаются, поэтому мы их не приводим.) Общим выводом относительно случая Горячева — Чаплыгина является наблюдение, что при его анализе мы имеем дело с любопытными колебательными (вращательными) движениями в абсолютном пространстве, т.е. можно говорить о некотором сложном маятнике. Однако область применения таких колебаний пока не очень ясна. Отметим также сравнительную простоту движений волчка Горячева-Чаплыгина по сравнению с волчком Ковалевской. Немногочисленные аналитические результаты, полученные при изучении случая Горячева-Чаплыгина, неспособны дать наглядное представление о движении. Компьютерное исследование движения, наоборот, обнаруживает замечательные его свойства, типичные также для родственных интегрируемых систем.
|
1 |
Оглавление
|