Рассмотрим частный интегрируемый случай Горячева-Чаплыгина, для которого вектор кинетического момента лежит в горизонтальной плоскости, т. е. $(M, \gamma)=0$. Он реализуется почти при тех же ограничениях на динамические параметры, что и случай Ковалевской, но отношение моментов инерции теперь равно не двум, а четырем $-\frac{a_{3}}{a_{1}}=4$. Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+4 M_{3}^{2}\right)-x \gamma, \\
F=M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+x M_{1} \gamma_{3} .
\end{array}
\]

1. Явное интегрирование

Переменные типа Ковалевской, приводящие систему к уравнениям Абеля – Якоби были указаны С.А.Чаплыгиным [174]. Они определяются формулами
\[
M_{1}^{2}+M_{2}^{2}=4 u v, \quad M_{3}=u-v
\]

и удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\frac{d u}{\sqrt{P_{1}(u)}}-\frac{d v}{\sqrt{P_{2}(v)}}=0, \\
\frac{2 u d u}{\sqrt{P_{1}(u)}}+\frac{2 v d v}{\sqrt{P_{2}(v)}}=d t, \\
P_{1}(u)=-\left(u^{3}-\frac{1}{2}(h-x) u-\frac{1}{4} f\right)\left(u^{3}-\frac{1}{2}(h+x) u-\frac{1}{4} f\right), \\
P_{2}(v)=-\left(v^{3}-\frac{1}{2}(h-x) v+\frac{1}{4} f\right)\left(v^{3}-\frac{1}{2}(h+x) v+\frac{1}{4} f\right),
\end{array}
\]

где $h, f$ – постоянные интегралов энергии и Чаплыгина ( $H=h, F=f$ ).
ЗАмечаниЕ. При введении переменных $u, v$ Чаплыгин, по существу, построил систему переменных Андуайе – Депри, точнее, связанных с ними соотношениями $L=u-v, G=u+v$ [92]. В § 8 гл. 5 с помощью анализа переменных АндуайеДепри для пучка скобок Пуассона, включающего алгебры $s o(4), e(3), s o(3,1)$, построено обобщение случая Горячева – Чаплыгина и найдены соответствующие разделяющие переменные.

2. Бифуркационная диаграмма и фазовый портрет

Используя функции $P_{1}(u), P_{2}(v)$, из условия кратности корней этих полиномов несложно построить бифуркационную диаграмму [170]. На плоскости $(f, h)$ она состоит из трех ветвей (рис. 46):
I. $f=0, \quad h>-1$,
II. $h=\frac{3}{2} t^{2}+1, \quad f=t^{3}, \quad t \in(-\infty,+\infty)$,
III. $h=\frac{3}{2} t^{2}-1, \quad f=t^{3}, \quad t \in(-\infty,+\infty)$.
К первому классу (I) относятся три периодических решения:
1) вращения и колебания в экваториальной плоскости эллипсоида инерции ( $\left.M_{1}=M_{3}=0, \gamma_{2}=0\right)$;

Рис. 46. Бифуркационная диаграмма случая Горячева – Чаплыгина. Серым цветом заштрихована нефизическая область интегралов. Указаны также два уровня энергии, для которых построены фазовые портреты (см. рис. 47, 48). Буквами $A_{i}, B_{i}, C_{i}, \ldots$ обозначены периодические решения и сепаратрисы, которые аналогично обозначены на фазовых портретах.
2) вращения и колебания в меридиональной плоскости эллипсоида инерции ( $\left.M_{1}=M_{2}=0, \gamma_{3}=0\right)$;
3) частные решения Горячева, соответствующие $f=0$.
К сожалению, решения, лежащие на ветках II, III, практически совсем не изучены. Фазовые портреты, соответствующие различным значениями энергии, приведены на рис. 47, 48.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Отсутствие явных аналитических выражений для асимптотических решений также является препятствием к исследованию возмущенной системы. Отметим, что Н. И. Мерцалов в работе [126] сделал утверждение об интегрируемости уравнений волчка Горячева – Чаплыгина при $c=(\boldsymbol{M}, \gamma)
eq 0$. Как показывают компьютерные эксперименты, представленные на рис. 49, это утверждение является ошибочным, и вблизи неустойчивых многообразий при $c
eq 0$ возникает стохастический слой, приводящий к неинтегрируемости.

Рис. 47. Фазовый портрет случая Горячева – Чаплыгина при $h=0.3$ (сечение плоскостью $g=\pi / 2$ ). Буквами $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). Точке $B_{1}$ на бифуркационной диаграмме, для которой $f=0$, соответствует, во-первых, два маятниковых периодических решения (они расположены на фазовом портрете в полюсах сферы $L / G= \pm 1$ и в точке $l=0, L / G=0$ ) и, во-вторых, целая прямая $L / G=0, l
eq 0$ также заполненная периодическими решениями (решение Горячева) маятникового типа (см. также п. 3).

Рис. 48. Фазовый портрет случая Горячева – Чаплыгина при $h=1.3$ (сечение плоскостью $g=\pi / 2$ ). Буквами $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}, F_{2}$ отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). По сравнению с предыдущим портретом добавились неустойчивые решения (и сепаратрисы к ним) $D_{2}$ и $F_{2}$. Также, как и выше, точке $B_{2}$ на бифуркационной диаграмме соответствует четыре вращательных периодических решения (вращения в экваториальной и меридиональной плоскости с учетом направления) – это точки $L / G= \pm 1$ и $l=0, \pi$, $L / G=0$, а также прямая $L / G=0$, которая целиком заполнена периодическими решениями (решения Горячева) приведенной системы (см. п. 3).

Рис. 49. Возмущение случая Горячева-Чаплыгина при фиксированной энергии $(h=1.5$ ) и увеличении константы площадей (приведено сечение плоскостью $g=\pi / 2$, серым цветом закрашены области невозможности движения). На рисунках видно, что вблизи сепаратрис возникает стохастический слой, который сначала увеличивается; затем уменьшается вместе с областью возможного движения. Любопытно, что при дальнейшем увеличении $c$, ОВД уменьшается вместе со стохастическим слоем до полного исчезновения.

a) Движение $\gamma$ при $f=0$ и $h=-0.5$ (различные типы маятникового движения).
b) Движение $\gamma$ при $f=0$ и $h=1.5$ (различные типы вращательного движения).

Рис. 50. «Решение Горячева» представляет собой целый тор, заполненный периодическими решениями приведенной системы $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}$ (т. н. резонанс $1: 1$ ), при $h<1$ (рис. а) это решения маятникового типа, а при $h>1$ (рис. b) – вращательного. На этом и следующем рисунке приведены траектории на сфере Пуассона, соответствующие различным решениям на этом торе.

3. Визуализация особо замечательных решений

Среди периодических решений в задаче Горячева-Чаплыгина особое место занимает решение Горячева. На бифуркационной диаграмме оно находится на прямой $f=0$, помимо него на этой прямой располагаются также периодические решения уравнений Эйлера-Пуассона, соответствующие колебаниям (при $h<1$ ) и вращениям ( $h>1$ ) твердого тела в плоскостях $O x y$ и $O x z$, происходящие по закону физического маятника. Остановимся подробнее на решении Горячева и решениях, расположенных на ветвях II и III (см. рис. 46).

Решение Горячева [65]. Для этого решения имеются два дополнительных инвариантных соотношения [72]
\[
M_{1}^{2}+M_{2}^{2}=b M_{1}^{2 / 3}, \quad f=M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+M_{1} \gamma_{3}=0, \quad(b>0) .
\]

В эти соотношения входит произвольная константа $b$, которая, таким об-

Рис. 51. Этот рисунок иллюстрирует поведение главных осей твердого тела в неподвижной системе координат для решений Горячева при фиксированной энергии $h<1$ ( $h=-0.7)$. Хорошо видно, что это – периодические решения в абсолютном пространстве, которые при изменении параметра $b$ переходят от колебаний в плоскости Oxy к колебаниям в плоскости $O x z$. (Буквами $x, y, z$ обозначены оси, связанные с телом.)

разом, параметризует целое семейство периодических решений: в фазовом пространстве – это вырожденный тор, заполненный периодическими решениями. Соотношения (5.3) были указаны Д.Н.Горячевым, после чего С. А. Чаплыгин моментально сообразил, что условие $f=0$ является слишком жестким, и получил решение (5.2) в общепринятой форме. При $h<1$ и при изменении $b$ от 0 до $b_{\max }$ решение переходит от колебания в экваториальной плоскости к колебанию в меридианальной плоскости (рис. 50).

Рис. 52. Рисунок, иллюстрирующий квазипериодическое движение в абсолютном пространстве (показано движение главной оси $O y$ ) для решения Горячева при $h>1$ $(h=1.7)$.

Рис. 53. Движение орта вертикали $\gamma$ на сфере Пуассона для устойчивого периодического движения в случае Горячева – Чаплыгина при различных значениях энергии.

На фазовом портрете (см. рис. 47) это прямая $L / G=0$ и соединяющий ее с полюсами меридиан. При $h>1$ и при изменении $b$ от 0 до $b_{\max }$ решение переходит от одного вращения в экваториальной плоскости в другое (в противоположном направлении, рис. 48).

Рис. 54. Движение орта вертикали $\gamma$ на сфере Пуассона для неустойчивого периодического решения в случае Горячева – Чаплыгина при различных значениях энергии.

Рис. 55. Движение апексов главных осей тела в неподвижном пространстве в случае Горячева – Чаплыгина для устойчивого периодического решения, расположенного на ветви III рис. 46, при двух различных значениях энергии $h_{1}, h_{2}$ с разных точек зрения. Буквами $x_{i}, y_{i}, z_{i}, i=1,2$ обозначены траектории соответствующих осей, относящихся к одной и той же энергии.

Движение апекса на сфере Пуассона приведено на рис. 50. Замечательным феноменом, ранее не отмечавшимся, является то, что для решений Горячева в абсолютном пространстве при $h<1$ движение является периодическим колебательного типа (см. рис. 51). А при $h>1$ соответствующее движение – квазипериодическое двухчастотное (рис. 52).

Все указанные факты практически невозможно увидеть непосредственно из аналитического решения, которсе впервые было получено Горячевым в очень громоздкой форме [65]. Несмотря на некоторые упрощения, имеющиеся, например, в [72], явные формулы лишь частично позволяют дать представления об обнаруженных на компьютере движениях.

Устойчивые и неустойчивые периодические решения уравнений Эйлера-Пуассона для случая Горячева-Чаплыгина располагаются на бифуркационной диаграмме на ветвях III и II соответственно (см. рис. $46,53-56)$. Численные исследования показывают, что движения полной системы в абсолютном пространстве, соответствующие этим решениями, также периодические при любых значениях энергии (см. рис. 55, 56). Этот факт ранее, повидимому, не отмечался в литературе и отражает специфику динамики твердого тела на нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ (ср. с решениями Делоне для случая Ковалевской, §4 п. 3). Вместо формального доказательства мы приводим серию рисунков, наглядно подтверждающих это утверждение. На них представлены траектории системы как на сфере Пуассона, так и траекторий апексов в абсолютном пространстве, большинство из них достаточно сложны.

Рис. 56. Движение апексов главных осей тела в неподвижном пространстве в случае Горячева – Чаплыгина для неустойчивого периодического решения, расположенного на ветви II рис. 46, при одном значении энергии. Буквами $x, y, z$ обозначены траектории соответствующих осей. (Движения при других значениях энергии качественно не отличаются, поэтому мы их не приводим.)

Общим выводом относительно случая Горячева – Чаплыгина является наблюдение, что при его анализе мы имеем дело с любопытными колебательными (вращательными) движениями в абсолютном пространстве, т.е. можно говорить о некотором сложном маятнике. Однако область применения таких колебаний пока не очень ясна. Отметим также сравнительную простоту движений волчка Горячева-Чаплыгина по сравнению с волчком Ковалевской. Немногочисленные аналитические результаты, полученные при изучении случая Горячева-Чаплыгина, неспособны дать наглядное представление о движении. Компьютерное исследование движения, наоборот, обнаруживает замечательные его свойства, типичные также для родственных интегрируемых систем.