Нейтральный ферромагнетик намагничивается вдоль оси вращения, в этом заключается квантовомеханический эффект Барнетта. При этом магнитный момент $\boldsymbol{B}$ связан с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$ соотношением $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{\omega}$, где $\boldsymbol{\Lambda}_{1}$ – некоторый симметрический линейный оператор. Аналогичный момент возникает при вращении сверхпроводящего твердого тела (эффект Лондона). Если тело вращается вокруг неподвижной точки в однородном магнитном поле с напряженностью $H$, то на тело действуют магнитные силы с напряженностью $\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{H}$. Обозначив $\gamma=\boldsymbol{H}$, уравнения движения можно записать в виде [156]
\[
\begin{array}{c}
\dot{M}=M \times \mathbf{A} M+\mathbf{\Lambda} M \times \gamma, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \mathbf{A} M, \\
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \quad \boldsymbol{\Lambda}=\mathbf{\Lambda}_{1} \mathbf{A}, \quad \mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) .
\end{array}
\]

В общем случае уравнения (5.1), видимо, не являются гамильтоновыми и т. к. они обладают стандартной инвариантной мерой и двумя тривиальными интегралами
\[
F_{1}=(\boldsymbol{M}, \gamma)=c_{1}, \quad F_{2}=\gamma^{2}=1,
\]

то для их интегрируемости (по теореме Эйлера – Якоби) не хватает еще двух независимых интегралов.

Как показано в [90] уравнения (5.1) являются гамильтоновыми в двух случаях: при $\boldsymbol{\Lambda}=\lambda \mathbf{A}$ и при $\boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}^{2}, \lambda_{2}^{2}, \lambda_{3}^{2}\right), \mathbf{A}=\mathbf{E}-$ они приводятся к уравнениям Кирхгофа на алгебре $e(3)$ (§1, гл. 3). Причем в последнем случае уравнения (5.1) заведомо интегрируемы. Рассмотрим эти случаи последовательно.
1. В. А. Самсонов [156]. Пусть $\boldsymbol{\Lambda}=\lambda \mathbf{A}$, тогда уравнения (5.1) допускают еще один интеграл
\[
F_{3}=(\mathbf{A} M, \boldsymbol{M}) .
\]

Как показано В. В. Козловым [90] в этом случае уравнения (5.1) приводятся к уравнениям Кирхгофа на $e(3)$ (см. §1, гл. 3) с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\widetilde{\mathbf{A}} \widetilde{\boldsymbol{M}}, \widetilde{\boldsymbol{M}})+(\widetilde{\mathbf{B}} \widetilde{\boldsymbol{M}}, \widetilde{\gamma})+\frac{1}{2}(\widetilde{\mathbf{C}} \widetilde{\boldsymbol{\gamma}}, \widetilde{\gamma})
\]

где $\widetilde{\mathbf{A}}=\mathbf{A}, \widetilde{\mathbf{B}}=-\lambda \mathbf{A}, \widetilde{\mathbf{C}}=\lambda^{2} \mathbf{A}$. Переменные $\widetilde{\boldsymbol{M}}, \widetilde{\gamma}$ получаются из $\boldsymbol{M}, \gamma$ при помощи простого линейного преобразования
\[
\widetilde{M}=M+\lambda \gamma, \quad \widetilde{\gamma}=\gamma .
\]

При условии осевой симметрии $a_{1}=a_{2}$ уравнения (5.1) интегрируются, еще один дополнительный интеграл, указанный в [156] при такой замене имеет вид
\[
F_{4}=\widetilde{M}_{3}=M_{3}+\lambda \gamma_{3}=\mathrm{const}
\]

и соответствующий случай интегрируемости просто является случаем Кирхгофа (§1 гл. 3).
2. В. В. Козлов [90]. Нетривиальный случай интегрируемости с двумя квадратичными интегралами был указан в [90] при условиях $a_{1}=a_{2}=$ $=a_{3}=1, \boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}^{2}, \lambda_{2}^{2}, \lambda_{3}^{2}\right)$. Допо.ннительные интегралы в этом случае
\[
F_{3}=(\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}), \quad F_{4}=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}-(\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{M}, \gamma)+\frac{1}{2} \operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda}\left(\boldsymbol{\Lambda}^{-1} \gamma, \gamma\right) .
\]

При помощи любопытной линейной замены, предложенной Л.Е.Веселовой [55] этот случай интегрируемости может быть сведен к случаю Клебша. Она имеет вид
\[
\begin{array}{c}
L_{i}=\frac{1}{2} \sqrt{\lambda_{j}^{-1}+\lambda_{k}^{-1}}\left(\lambda_{i} M_{i}+\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2} \gamma_{i}\right), \\
p_{i}=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{\lambda_{j}^{-1}+\lambda_{k}^{-1}}}\left(\lambda_{i} M_{i}-\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2} \gamma_{i}\right), \\
i, j, k=1,2,3 \text { (по циклу). }
\end{array}
\]

В этих переменных уравнения движения принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \boldsymbol{L}}{d \tau}=\boldsymbol{L} \times \mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{L}+\boldsymbol{p} \times \mathbf{J} \boldsymbol{p}, \quad \frac{d \boldsymbol{p}}{d \tau}=\boldsymbol{p} \times \mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{L} \\
\mathbf{J}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{2}^{-1}+\lambda_{3}^{-1}, \lambda_{3}^{-1}+\lambda_{1}^{-1}, \lambda_{1}^{-1}+\lambda_{2}^{-1}\right), \quad d t=\operatorname{det} \mathbf{J}^{1 / 2} d \tau
\end{array}
\]
т. е. определяют случай Клебша в уравнениях Кирхгофа на $e(3)$ (см. §1 гл. 3) с гамильтонианом и дополнительными интегралами вида
\[
\begin{array}{c}
I I-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{L}, \mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{L}\right)+\frac{1}{2}(\boldsymbol{p}, \mathbf{J} \boldsymbol{p}) \\
G_{1}=(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{p}), \quad G_{2}=\boldsymbol{p}^{2}, \quad G_{3}=\frac{1}{2} \boldsymbol{L}^{2}-\frac{1}{2} \operatorname{det} \mathbf{J}\left(\boldsymbol{p}, \mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{p}\right) .
\end{array}
\]

Связь между интегралами (5.7) и (5.2), (5.5) задается следующими соотношениями
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{4}\left(F_{3}+\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda} F_{2}\right), \quad G_{1}=\frac{1}{4}\left(F_{3}-\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda} F_{2}\right) \\
G_{2}=\frac{1}{4 \operatorname{det} \mathbf{J}}\left(-\operatorname{Tr} \mathbf{J} \operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2} F_{1}+\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2} \operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2} F_{2}+\frac{\operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2}}{\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2}} F_{3}+2 F_{4}\right) \\
G_{3}=\frac{1}{4 \operatorname{det} \mathbf{J}}\left(\mu_{1} F_{1}+\mu_{2} F_{2}+\mu_{3} F_{3}+\mu_{4} F_{4}\right) \\
\mu_{1}=\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2} \operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}^{-3 / 2}+2 \operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2} \operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}^{-1 / 2}-1 \\
\mu_{2}=\frac{1}{2}\left(\operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}+\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2} \operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2} \operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}^{-1}\right) \\
\mu_{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{\operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}}{\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda}}+\frac{\operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2} \operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}^{-1}}{\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2}}\right), \quad \mu_{4}=-\operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}^{-1}-3 \frac{\operatorname{Tr} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2}}{\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda}^{1 / 2}}
\end{array}
\]

Нулевой уровень интеграла площадей $G_{1}=(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{p})=0$ системы (5.6) соответствует задаче Неймана о движении точки по сфере в квадратичном потенциале ( 1 гл. 3), для которой возможно сведение к натуральной двухстепенной гамильтоновой системе с разделяющимися переменными ( $\$ 7$ гл. 1). В исходной системе (5.1) этому соответствует фиксированный уровень интеграла (5.5)
\[
F_{3}=(\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})=\operatorname{det} \boldsymbol{\Lambda} .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Преобразование (5.6) родственно преобразованию, использованному С.А.Чаплыгиным в неголономной задаче о качении динамически несимметричного шара [179] для сведения системы на нулевой уровень постоянной площадей, для которого возможно разделение переменных.

3. Укажем еще один случай, для которого существует хотя бы один интеграл. Действительно, при условии $\boldsymbol{\Lambda}=\lambda \mathbf{E}$ появляется интеграл $F_{3}=$ $=\boldsymbol{M}^{2}$. При дополнительном условии $a_{1}=a_{2}=a$ имеется еще один тривиальный линейный интеграл типа интеграла Лагранжа $F_{4}=a M_{3}+\gamma_{3}$.