Главная > ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (А.В.Борисов, И.С.Мамаев)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. Геометрическая интерпретация Пуансо

В этом параграфе мы приведем наиболее известные аналитические и геометрические результаты относительно случая Эйлера, для которого тело движется без влияния поля ( $r=0$ ), а гамильтониан (кинетическая энергия) и дополнительный интеграл, являющийся квадратом модуля кинетического момента, имеют вид
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M}), \quad F_{3}=\boldsymbol{M}^{2}=f=\text { const. }
\]

Пересечение поверхности постоянной энергии $H=h$ со сферой (2.1) в пространстве моментов $M$ представляют собой замкнутые пространственные кривые – полодии. Их вид на поверхности энергии $H=h$ приведен на рис. 14.

Геометрическая интерпретация случая Эйлера была дана Л. Пуансо в 1851 г. [257]. Согласно ее, эллипсоид инерции (эллипсоид энергии) с неподвижным центром $\frac{1}{2}\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}+I_{3} \omega_{3}^{2}\right)=h$ катится без проскальзывания по неподвижной в абсолютном пространстве плоскости,

Рис. 14. Полодии ( $a_{3}<a_{2}<a_{1}$ ). В общем случае представляют собой пространственные алгебраические кривые четвертого порядка. В двух особых случаях они представляют собой пересекающиеся эллипсы – сепаратрисы, которые заполнены двоякоасимптотическими движениями к неустойчивым перманентным движениям вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующих точкам пересечения эллипсов. Полодии вырождаются в точки для перманентных вращений вокруг малой и большой оси эллипсоида инерции, которые являются устойчивыми.

Рис. 15. Интерпретация Пуансо.
перпендикулярной вектору кинетического момента (рис. 15). Радиус-вектор точки контакта в этой интерпретации служит мгновенной осью вращения, а угловая скорость пропорциональна длине радиусвектора. При этом точка контакта на эллипсоиде чертит полодии (полоиды) (рис. 14), а на плоскости – герполодии (герполоиды) (см. рис. 16, 19).

2. Явное интегрирование и бифуркационный анализ

Явное интегрирование случая Эй.ера легко получается с помощью переменных Андуайе-Депри, в которых интеграл (2.1) является циклическим (см. подробнее §3, гл. 1, где также приведен фазовый портрет случая Эйлера). Приведем явные выражения для моментов $M$ в одной из четырех областей, разделенных сепаратрисами, на эллипсоиде энергии (см. рис. 14),

Рис. 16. Герполодия. Как указал Гесс $^{1}$, герполодия не может иметь точек перегиба. В общем случае герполодия – незамкнутая кривая. Этот (неверный) рисунок, приводимый во многих книгах, принадлежит самому Пуансо.

восходящие к Якоби, Кирхгофу, Гринхиллу (см., например, [124, 145])
\[
\begin{array}{c}
M_{1}=\sqrt{\frac{\left(f-2 h I_{3}\right) I_{1}}{I_{1}-I_{3}}} \operatorname{cn}(\tau, k), \quad M_{2}=\sqrt{\frac{\left(f-2 h I_{3}\right) I_{2}}{I_{2}-I_{3}}} \operatorname{sn}(\tau, k), \\
M_{3}=\sqrt{\frac{\left(2 h I_{1}-j\right) I_{3}}{I_{1}-I_{3}}} \operatorname{dn}(\tau, k),
\end{array}
\]

где
\[
k^{2}=\frac{\left(I_{1}-I_{2}\right)\left(f-2 h I_{3}\right)}{\left(I_{2}-I_{3}\right)\left(2 h I_{1}-f\right)}, \quad \tau=\sqrt{\frac{\left(I_{2}-I_{3}\right)\left(2 h I_{1}-f\right)}{I_{1} I_{2} I_{3}}}\left(t-t_{0}\right) .
\]

При переходе к другим областям нужно изменить соответствующие знаки и поменять местами dn и cn, а также видоизменить выражения для модуля эллиптических функций и униформизирующего параметра $\tau$ [124].

Движение в абсолютном пространстве. Явная зависимость направляющих косинусов от времени может быть получена следующим образом. Выберем неподвижную систему координат, один из ортов которой направлен вдоль вектора кинетического момента, неподвижного в абсолютном пространстве, а два других ему перпендикулярны
\[
\boldsymbol{M}=\sqrt{f} \boldsymbol{\alpha}, \quad(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0,
\]

где $f$ – постоянная интегрирования (2.1). Найдем зависимость от времени двух векторов $\alpha, \gamma$, а вектор $\boldsymbol{\beta}$ может быть достроен по ортогональности $(\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\alpha})$.

Вследствие постоянства величины $f$ вектор $\alpha$ находится из соотношений (2.2). Квадратуры для $\gamma$ могут быть легко получены при помощи сфероконических координат на сфере Пуассона $\gamma^{2}=1$. Действительно, в выбранной системе координат постоянная площадей равна нулю, а гамильтониан в случае Эйлера совпадает с дополнительным интегралом задачи Неймана с нулевым потенциалом. Следовательно, в сфероконических координатах переменные разделяются и можно воспользоваться формулами (7.17) гл. 1 (см. подробно $\S 7$ гл. 1).

Рис. 17. Бифуркационная диаграмма случая Эйлера-Пуансо на плоскости $(h, f)$. Серым цветом обозначены области невозможности движения. (Область интералов $f<c^{2}, c=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$ также недоступна).

ЗАМЕЧАНИЕ. Используя уравнение Пуассона $\dot{\gamma}=\gamma \times \mathbf{A} \boldsymbol{M}$, несложно выразить $M$ через $\gamma$ и $\dot{\gamma}$ при условии $(M, \gamma)=0$ :
\[
\boldsymbol{M}=\mathbf{A}^{-1} \frac{\dot{\gamma} \times \mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{\gamma}}{\left(\boldsymbol{\gamma}, A^{-1} \gamma\right)} .
\]

Бифуркационная диаграмма случая Эйлера-Пуансо на плоскости значений интегралов $h, f$ приведена на рис. 17. Она состоит из трех ветвей,

задаваемых уравнением $h=\frac{1}{2} a_{i} f, i=$ $=1,2,3$, которые соответствуют вращениям вокруг трех главных осей инерции. Неустойчивые вращения вокруг средней оси обозначены пунктиром, в этом случае средняя ось инерции тела в неподвижном пространстве описывает локсодромическую кривую (локсодрома) на сфере, поворачиваясь на $180^{\circ}$ (см. рис. 18). Напомним, что локсодрома составляет одинаковый угол со всеми меридианами. Двоякоасимптотические движения тела в случае Эйлера подробнее разобраны в $\S 9$ гл. 5.

Герполодия. Приведем дифференциальное уравнение герполодии, первые попытки изучить которую принадлежат Дарбу. Его (2) Рис. 18. Локсодромическая траектория апекса средней оси инерции тела при движении по сепаратрисе. Параметры: $\mathbf{A}=\operatorname{diag}(1,1.02,2.0)$. несложно получить, если воспользоваться параметрическим представлением полодии (где роль параметра играет квадрат расстояния $r^{2}$ от точки полодии до центра эллипсоида) и уравнениями движения. Мы здесь опускаем соответствующие выкладки, а приведем только окончательный результат (подробнее см. в [113]). В полярных координатах $\rho, \varphi$ с центром на пересечении вектора момента с неподвижной плоскостью в точке $Q$ (см. рис. 15), уравнение герполодии имеет вид
\[
\frac{d \zeta}{d \varphi}=\frac{2 h}{f} \frac{\zeta+k}{\zeta \sqrt{P(\zeta)}}, \quad \zeta=\rho^{2}
\]

где $k=\frac{1}{D} \prod_{i}\left(1-a_{i} D\right), D=\frac{f}{2 h}$. Функция $P(\zeta)$ представляет собой полином третьей степени:
\[
P=8 h l^{2} \prod_{i, j k}\left[\frac{a_{i}^{2}}{\left(a_{j}-a_{i}\right)\left(a_{k}-a_{i}\right)}\left(\zeta-\left(a_{j}+a_{k}-D a_{j} a_{k}\right)\right)\right],
\]

где $l=\sum_{i, j k} \frac{\left(a_{i}-a_{j}\right) a_{k}^{2}}{a_{1} a_{2} a_{3}}$. Решение уравнения (2.4) может быть получено в эллиптических квадратурах, качественные исследсвания полинома $P(\zeta)$ приводят к выводу, что вся полодия заключена между двумя граничными концентрическими окружностями, которых она попеременно касается, причем моменты касания соответствуют переходу вектора $\boldsymbol{\omega}$ через главные плоскости эллипсоида инерции. Герполодия не

имеет точек перегиба и точек возврата (Гесс). Для сепаратрисных движений она представляет собой спираль, бесконечно завивающуюся вокруг центра, но тем не менее имеющую конечную длину – она равна длине соответствующей дуги полодии. Типичные траектории герполодий приведены на рисунке 19. Их подробное исследование имеется в трактате Граммель [66], где, в зависимости от положения на бифуркационной диаграмме, выделяются эпициклоидальные и перициклоидальные движения Пуансо.

Рис. 19. Герполодии для случая Эйлера. a) Герполодия общего вида – квазипериодическая незамкнутая кривая. $b$ ) Герполодия, соответствующая сепаратрисе – кривая, бесконечно наматывающая к центру.

3. Комментарии
$\rho_{\text {азличные способы }}$ явного интегрирования уравнений движения свободного волчка имеются у Эйлера, Лагранжа, Кирхгофа, Кэли, Гринхилла и Якоби. Работы последнего $[231,232]$ являются наиболее интересными. В ней Якоби получил явные выражения в эллиптических функџиях не только для компонент угловой скорости, но и для всех (девяти) направляюших косинусов. Прилагая свои результаты к возмушенному движению, он построил (в рядах) систему оскулирующих переменных, близких к переменным типа действие-угол. Их современное введение, принадлежащее Ю.А.Садову [9, 92], использует фазовую интерпретаџию и переменные Андуайе – Депри. Первое использование эллиптических функџий для интегрирования случая Эйлера Г. Ламб в своем известном учебнике [112] приписывает некоему Руэбу (Rueb, 1834 г. [264]).

Лагранж в «Аналитической механике» также дал свое решение задачи Эйлера: «в это решение я внес всю ясность, и если можно так выразиться, все изящество, которое можно придать этому решению». При этом уже Лагранж считал этот случай слишком простым: «…поэтому я льшу себя надеждой, что меня не упрекнут за повторное рассмотрение настоящей проблемы». В его решении замечательным является то, что здесь впервые было явно показано существование трех главных осей инерџии у произвольного твердого тела (приводимость симметричной матриџы к диагональному виду) – хотя последнее и не имеет никакого отношения к самому случаю Эйлера. В решении Лагранжа также имеются эллиптические интегралы, но еџе не возникает идея их обращения – которая появляется уже у Якоби и достигает своего совершенства и определенной законченности у Вейерштрасса, Эрмита и Альфана.

Описанную геометрическую интерпретаџию движения, ставшую образџом «геометрического истолкования» движения в механике, кстати, уже не имеющую такую ясную форму для других интегрируемых случаев, пытался усовершенствовать уже сам Пуансо. Он предложил вторую геометрическую интерпретаџию, учитываюшую время, при которой связанный с телом конус катится по плоскости, перпендикулярной вектору кинетического момента и врашаюшейся с постоянной угловой скоростью. Дарбу и Кёнигс на основании второй интерпретаџии построили прибор, названный ими герполографом, предназначенный для демонстраџии движения тела по инерџии. Свои усовершенствования интерпретаџии Пуансо предложили также Якоби, Сильвестер, Мак-Куллах. Они, хотя и являются более обџими, но еще более искусственными. С ними можно ознакомиться по книгам $[113,61,163,120]$ и др. Эти результаты теперь имеют лишь историческое значение.

Для подтверждения закономерностей свободного движения Максвелл придумал модель волчка, носящего его имя. Эксперименты с ним описаны в книге Вебстера по математической физике [46], в которой теории волчка он отводит особую роль: «это вопрос чрезвычайной практической важности, в особенности для инженеров, но изучаюшие физику его часто избегают. Еше Максвелл обрашал внимание физиков на этот вопрос и создал замечательный прибор для демонстраџии соответствуюших явлений». Более ранний прибор, демонстрирующий вращение свободного волчка, принадлежит Бонненбергеру (1817г.).

С помошью волчка Максвелла удается убедиться в устойчивости или неустойчивости вращений относительно главных осей, а также в том, что движения, близкие к вращениям относительно средней оси, а значит, к сепаратрисам являются очень сложными и кажутся неупорядоченными и хаотическими. В действительности «настояџий» хаос з таких движениях появляется при добавлении возмущения, например, поля тяжести.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru