1. Геометрическая интерпретация Пуансо

В этом параграфе мы приведем наиболее известные аналитические и геометрические результаты относительно случая Эйлера, для которого тело движется без влияния поля ( $r=0$ ), а гамильтониан (кинетическая энергия) и дополнительный интеграл, являющийся квадратом модуля кинетического момента, имеют вид
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M}), \quad F_{3}=\boldsymbol{M}^{2}=f=\text { const. }
\]

Пересечение поверхности постоянной энергии $H=h$ со сферой (2.1) в пространстве моментов $M$ представляют собой замкнутые пространственные кривые – полодии. Их вид на поверхности энергии $H=h$ приведен на рис. 14.

Геометрическая интерпретация случая Эйлера была дана Л. Пуансо в 1851 г. [257]. Согласно ее, эллипсоид инерции (эллипсоид энергии) с неподвижным центром $\frac{1}{2}\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}+I_{3} \omega_{3}^{2}\right)=h$ катится без проскальзывания по неподвижной в абсолютном пространстве плоскости,

Рис. 14. Полодии ( $a_{3}<a_{2}<a_{1}$ ). В общем случае представляют собой пространственные алгебраические кривые четвертого порядка. В двух особых случаях они представляют собой пересекающиеся эллипсы – сепаратрисы, которые заполнены двоякоасимптотическими движениями к неустойчивым перманентным движениям вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующих точкам пересечения эллипсов. Полодии вырождаются в точки для перманентных вращений вокруг малой и большой оси эллипсоида инерции, которые являются устойчивыми.

Рис. 15. Интерпретация Пуансо.
перпендикулярной вектору кинетического момента (рис. 15). Радиус-вектор точки контакта в этой интерпретации служит мгновенной осью вращения, а угловая скорость пропорциональна длине радиусвектора. При этом точка контакта на эллипсоиде чертит полодии (полоиды) (рис. 14), а на плоскости – герполодии (герполоиды) (см. рис. 16, 19).

2. Явное интегрирование и бифуркационный анализ

Явное интегрирование случая Эй.ера легко получается с помощью переменных Андуайе-Депри, в которых интеграл (2.1) является циклическим (см. подробнее §3, гл. 1, где также приведен фазовый портрет случая Эйлера). Приведем явные выражения для моментов $M$ в одной из четырех областей, разделенных сепаратрисами, на эллипсоиде энергии (см. рис. 14),

Рис. 16. Герполодия. Как указал Гесс $^{1}$, герполодия не может иметь точек перегиба. В общем случае герполодия – незамкнутая кривая. Этот (неверный) рисунок, приводимый во многих книгах, принадлежит самому Пуансо.

восходящие к Якоби, Кирхгофу, Гринхиллу (см., например, [124, 145])
\[
\begin{array}{c}
M_{1}=\sqrt{\frac{\left(f-2 h I_{3}\right) I_{1}}{I_{1}-I_{3}}} \operatorname{cn}(\tau, k), \quad M_{2}=\sqrt{\frac{\left(f-2 h I_{3}\right) I_{2}}{I_{2}-I_{3}}} \operatorname{sn}(\tau, k), \\
M_{3}=\sqrt{\frac{\left(2 h I_{1}-j\right) I_{3}}{I_{1}-I_{3}}} \operatorname{dn}(\tau, k),
\end{array}
\]

где
\[
k^{2}=\frac{\left(I_{1}-I_{2}\right)\left(f-2 h I_{3}\right)}{\left(I_{2}-I_{3}\right)\left(2 h I_{1}-f\right)}, \quad \tau=\sqrt{\frac{\left(I_{2}-I_{3}\right)\left(2 h I_{1}-f\right)}{I_{1} I_{2} I_{3}}}\left(t-t_{0}\right) .
\]

При переходе к другим областям нужно изменить соответствующие знаки и поменять местами dn и cn, а также видоизменить выражения для модуля эллиптических функций и униформизирующего параметра $\tau$ [124].

Движение в абсолютном пространстве. Явная зависимость направляющих косинусов от времени может быть получена следующим образом. Выберем неподвижную систему координат, один из ортов которой направлен вдоль вектора кинетического момента, неподвижного в абсолютном пространстве, а два других ему перпендикулярны
\[
\boldsymbol{M}=\sqrt{f} \boldsymbol{\alpha}, \quad(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0,
\]

где $f$ – постоянная интегрирования (2.1). Найдем зависимость от времени двух векторов $\alpha, \gamma$, а вектор $\boldsymbol{\beta}$ может быть достроен по ортогональности $(\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\alpha})$.

Вследствие постоянства величины $f$ вектор $\alpha$ находится из соотношений (2.2). Квадратуры для $\gamma$ могут быть легко получены при помощи сфероконических координат на сфере Пуассона $\gamma^{2}=1$. Действительно, в выбранной системе координат постоянная площадей равна нулю, а гамильтониан в случае Эйлера совпадает с дополнительным интегралом задачи Неймана с нулевым потенциалом. Следовательно, в сфероконических координатах переменные разделяются и можно воспользоваться формулами (7.17) гл. 1 (см. подробно $\S 7$ гл. 1).

Рис. 17. Бифуркационная диаграмма случая Эйлера-Пуансо на плоскости $(h, f)$. Серым цветом обозначены области невозможности движения. (Область интералов $f<c^{2}, c=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$ также недоступна).

ЗАМЕЧАНИЕ. Используя уравнение Пуассона $\dot{\gamma}=\gamma \times \mathbf{A} \boldsymbol{M}$, несложно выразить $M$ через $\gamma$ и $\dot{\gamma}$ при условии $(M, \gamma)=0$ :
\[
\boldsymbol{M}=\mathbf{A}^{-1} \frac{\dot{\gamma} \times \mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{\gamma}}{\left(\boldsymbol{\gamma}, A^{-1} \gamma\right)} .
\]

Бифуркационная диаграмма случая Эйлера-Пуансо на плоскости значений интегралов $h, f$ приведена на рис. 17. Она состоит из трех ветвей,

задаваемых уравнением $h=\frac{1}{2} a_{i} f, i=$ $=1,2,3$, которые соответствуют вращениям вокруг трех главных осей инерции. Неустойчивые вращения вокруг средней оси обозначены пунктиром, в этом случае средняя ось инерции тела в неподвижном пространстве описывает локсодромическую кривую (локсодрома) на сфере, поворачиваясь на $180^{\circ}$ (см. рис. 18). Напомним, что локсодрома составляет одинаковый угол со всеми меридианами. Двоякоасимптотические движения тела в случае Эйлера подробнее разобраны в $\S 9$ гл. 5.

Герполодия. Приведем дифференциальное уравнение герполодии, первые попытки изучить которую принадлежат Дарбу. Его (2) Рис. 18. Локсодромическая траектория апекса средней оси инерции тела при движении по сепаратрисе. Параметры: $\mathbf{A}=\operatorname{diag}(1,1.02,2.0)$. несложно получить, если воспользоваться параметрическим представлением полодии (где роль параметра играет квадрат расстояния $r^{2}$ от точки полодии до центра эллипсоида) и уравнениями движения. Мы здесь опускаем соответствующие выкладки, а приведем только окончательный результат (подробнее см. в [113]). В полярных координатах $\rho, \varphi$ с центром на пересечении вектора момента с неподвижной плоскостью в точке $Q$ (см. рис. 15), уравнение герполодии имеет вид
\[
\frac{d \zeta}{d \varphi}=\frac{2 h}{f} \frac{\zeta+k}{\zeta \sqrt{P(\zeta)}}, \quad \zeta=\rho^{2}
\]

где $k=\frac{1}{D} \prod_{i}\left(1-a_{i} D\right), D=\frac{f}{2 h}$. Функция $P(\zeta)$ представляет собой полином третьей степени:
\[
P=8 h l^{2} \prod_{i, j k}\left[\frac{a_{i}^{2}}{\left(a_{j}-a_{i}\right)\left(a_{k}-a_{i}\right)}\left(\zeta-\left(a_{j}+a_{k}-D a_{j} a_{k}\right)\right)\right],
\]

где $l=\sum_{i, j k} \frac{\left(a_{i}-a_{j}\right) a_{k}^{2}}{a_{1} a_{2} a_{3}}$. Решение уравнения (2.4) может быть получено в эллиптических квадратурах, качественные исследсвания полинома $P(\zeta)$ приводят к выводу, что вся полодия заключена между двумя граничными концентрическими окружностями, которых она попеременно касается, причем моменты касания соответствуют переходу вектора $\boldsymbol{\omega}$ через главные плоскости эллипсоида инерции. Герполодия не

имеет точек перегиба и точек возврата (Гесс). Для сепаратрисных движений она представляет собой спираль, бесконечно завивающуюся вокруг центра, но тем не менее имеющую конечную длину – она равна длине соответствующей дуги полодии. Типичные траектории герполодий приведены на рисунке 19. Их подробное исследование имеется в трактате Граммель [66], где, в зависимости от положения на бифуркационной диаграмме, выделяются эпициклоидальные и перициклоидальные движения Пуансо.

Рис. 19. Герполодии для случая Эйлера. a) Герполодия общего вида – квазипериодическая незамкнутая кривая. $b$ ) Герполодия, соответствующая сепаратрисе – кривая, бесконечно наматывающая к центру.

3. Комментарии
$\rho_{\text {азличные способы }}$ явного интегрирования уравнений движения свободного волчка имеются у Эйлера, Лагранжа, Кирхгофа, Кэли, Гринхилла и Якоби. Работы последнего $[231,232]$ являются наиболее интересными. В ней Якоби получил явные выражения в эллиптических функџиях не только для компонент угловой скорости, но и для всех (девяти) направляюших косинусов. Прилагая свои результаты к возмушенному движению, он построил (в рядах) систему оскулирующих переменных, близких к переменным типа действие-угол. Их современное введение, принадлежащее Ю.А.Садову [9, 92], использует фазовую интерпретаџию и переменные Андуайе – Депри. Первое использование эллиптических функџий для интегрирования случая Эйлера Г. Ламб в своем известном учебнике [112] приписывает некоему Руэбу (Rueb, 1834 г. [264]).

Лагранж в «Аналитической механике» также дал свое решение задачи Эйлера: «в это решение я внес всю ясность, и если можно так выразиться, все изящество, которое можно придать этому решению». При этом уже Лагранж считал этот случай слишком простым: «…поэтому я льшу себя надеждой, что меня не упрекнут за повторное рассмотрение настоящей проблемы». В его решении замечательным является то, что здесь впервые было явно показано существование трех главных осей инерџии у произвольного твердого тела (приводимость симметричной матриџы к диагональному виду) – хотя последнее и не имеет никакого отношения к самому случаю Эйлера. В решении Лагранжа также имеются эллиптические интегралы, но еџе не возникает идея их обращения – которая появляется уже у Якоби и достигает своего совершенства и определенной законченности у Вейерштрасса, Эрмита и Альфана.

Описанную геометрическую интерпретаџию движения, ставшую образџом «геометрического истолкования» движения в механике, кстати, уже не имеющую такую ясную форму для других интегрируемых случаев, пытался усовершенствовать уже сам Пуансо. Он предложил вторую геометрическую интерпретаџию, учитываюшую время, при которой связанный с телом конус катится по плоскости, перпендикулярной вектору кинетического момента и врашаюшейся с постоянной угловой скоростью. Дарбу и Кёнигс на основании второй интерпретаџии построили прибор, названный ими герполографом, предназначенный для демонстраџии движения тела по инерџии. Свои усовершенствования интерпретаџии Пуансо предложили также Якоби, Сильвестер, Мак-Куллах. Они, хотя и являются более обџими, но еще более искусственными. С ними можно ознакомиться по книгам $[113,61,163,120]$ и др. Эти результаты теперь имеют лишь историческое значение.

Для подтверждения закономерностей свободного движения Максвелл придумал модель волчка, носящего его имя. Эксперименты с ним описаны в книге Вебстера по математической физике [46], в которой теории волчка он отводит особую роль: «это вопрос чрезвычайной практической важности, в особенности для инженеров, но изучаюшие физику его часто избегают. Еше Максвелл обрашал внимание физиков на этот вопрос и создал замечательный прибор для демонстраџии соответствуюших явлений». Более ранний прибор, демонстрирующий вращение свободного волчка, принадлежит Бонненбергеру (1817г.).

С помошью волчка Максвелла удается убедиться в устойчивости или неустойчивости вращений относительно главных осей, а также в том, что движения, близкие к вращениям относительно средней оси, а значит, к сепаратрисам являются очень сложными и кажутся неупорядоченными и хаотическими. В действительности «настояџий» хаос з таких движениях появляется при добавлении возмущения, например, поля тяжести.