При описании движения твердого тела используются различные системы переменных. Каждая система имеет свои преимущества и недостатки для каждой конкретной задачи. Так для поиска первых интегралов, исследования некоторых вопросов устойчивости и топологического анализа наиболее удобными являются такие переменные, в которых уравнения полиномиальны (или даже однородны). Для численного интегрирования, кроме простой системы дифференциальных уравнений желательно иметь наименьший порядок системы. Для качественного изучения, применения методов теории возмущений и нелинейной нормализации необходимы системы канонических переменных, наиболее отражающие специфику невозмущенной задачи. Здесь мы приводим основные наборы переменных, используемые в динамике твердого тела. На практике, особенно в приложениях к гироскопической технике, также используются различные комбинации и модификации этих систем, обладающих более специальными свойствами.

1. Углы Эйлера

Рассмотрим твердое тело, вращающееся в потенциальном силовом поле вокруг неподвижной точки $O$. Для описания его движения используются различные системы переменных. Конфигурационное пространство, представляющее собой множество всех положений твердого тела, является группой Ли $S O(3)$, и в качестве координат, определяющих положение твердого тела, можно взять, например, угль Эйлера $\theta, \varphi, \psi$ [9].

Для их введения расположим в точке $O$ вершины двух ортогональных трехгранников: неподвижного $O X Y Z$ и подвижного $O x y z$, жестко связанного с вращающимся твердым телом (рис. 1).

Первый поворот на угол $\psi$ (угол прецессии) вокруг оси $O Z$ переводит подвижный трехгранник $O x y z$ в положение $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. Второй поворот на угол $\theta$ (угол нутации) совершается вокруг оси $O x^{\prime}$, называемой линией узлов. Последний поворот на угол $\varphi$ (угол собственного вращения) вокруг оси $O z$ совмещает оба трехгранника. Таким образом, три поворота, определяемые углами Эйле-
Рис. 1. Углы Эйлера ра $\theta, \varphi, \psi$, позволяют полностью задать положение подвижного трехгранника относительно неподвижного. При этом проекции $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ на оси подвижного трехгранника Oxyz выражаются через углы Эйлера следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}=\dot{\psi} \sin \theta \sin \varphi+\dot{\theta} \cos \varphi, \\
\omega_{2}=\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi-\dot{\theta} \sin \varphi, \\
\omega_{3}=\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi} .
\end{array}
\]

Эти соотношения называются кинематическими формулами Эйлера. Используя (3.1), несложно записать функцию Лагранжа системы $L=$ $=L(\varphi, \psi, \theta, \dot{\varphi}, \dot{\psi}, \dot{\theta})$ (см. §6), при помощи которой определяются канонические импульсы (посредством преобразования Лежандра):
\[
p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}, \quad p_{\psi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}}, \quad p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} .
\]

2. Переменные Эйлера. Компоненты момента и направляющие косинусы
Рассмотрим другую систему переменных $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})$, где $\boldsymbol{M}=$ $=\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)-$ компоненты кинетического момента в осях связанной с телом системы координат $O x y z$, а $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ — единичные орты неподвижного пространства в проекциях на те же оси. Матрица направляющих косинусов (матрица поворота), определяющая положение твердого тела в неподвижном пространстве
\[
\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{lll}
\alpha_{1} & \beta_{1} & \gamma_{1} \\
\alpha_{2} & \beta_{2} & \gamma_{2} \\
\alpha_{3} & \beta_{3} & \gamma_{3}
\end{array}\right),
\]

является ортогональной и принадлежит группе $S O(3)$.

Очевидно, что
\[
\begin{array}{l}
(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})=(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma})=1, \\
(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma})=(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})=0,
\end{array}
\]

где круглые скобки повсюду в дальнейшем обозначают обычное скалярное произведение.

Учитывая эти соотношения, получим, что угловая скорость в проекциях на подвижный трехгранник $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right)$ может быть представлена как кососимметрическая матрица $\widetilde{\boldsymbol{\omega}}=\mathbf{Q}^{T}, \widetilde{\boldsymbol{\omega}}=\left\|\omega_{j k}\right\|$ с компонентами $\omega_{i j}=-\varepsilon_{i j k} \omega_{k}$.

Аналогичным образом, угловая скорость $\Omega=\left(\Omega_{1}, \Omega_{2}, \Omega_{3}\right)$ в проекциях на неподвижные оси $O X Y Z$ может быть получена из матрицы $\mathbf{Q}^{T} \dot{\mathbf{Q}}$.

Направления векторов угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{\Omega}$ в подвижном и неподвижном пространстве задают конические поверхности, названные Пуансо подвижным и неподвижным аксоидами. Само движение твердого тела в этом случае представляется как качение без скольжения подвижного аксоида по неподвижному, которые в каждый момент соприкасаются по мгновенной оси вращения. Если рассмотреть свободное движение тела (без неподвижной точки), то в соответствующей интерпретации движение будет представлять собой качение одного аксоида по другому с проскальзыванием вдоль некоторой оси, которая определяет мгновенное винтовое (пространственно-вращательное) движение. Если на образующих аксоидов отложить мгновенные значения угловых скоростей, то получим соответственно подвижные и неподвижные годографы, представляющие в общем случае сложные пространственные кривые.

Кинетический момент $M$ при помощи функции Лагранжа $L=$ $=L(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})$ выражается через угловую скорость по формуле
\[
M=\frac{\partial L}{\partial \omega} .
\]

Он связан с переменными Эйлера $\varphi, \psi, \theta, p_{\varphi}, p_{\psi}, p_{\theta}$ следующими соотношениями, получающимися из кинематических уравнений Эйлера (3.1), (3.2)
\[
\begin{aligned}
M_{1} & =\frac{\sin \varphi}{\sin \theta}\left(p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta\right)+p_{\theta} \cos \varphi, \\
M_{2} & =\frac{\cos \varphi}{\sin \theta}\left(p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta\right)-p_{\theta} \sin \varphi, \\
M_{3} & =p_{\varphi} .
\end{aligned}
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Наша терминология несколько отличается от принятого в динамике твердого физического определения момента $\boldsymbol{M}=\sum r_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i}$, которые совпадают, если $L=T-$ кинетическая энергия. Различия возникают при наличии гироскопических сил, приводящих в лагранжиане к слагаемым, линейным по обобщенным скоростям. При этом определение (3.4), происходящее из преобразования Четаева, является более удобным.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Связь направляющих косинусов (3.3) с углами Эйлера выражается матрицей
\[
\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \varphi \cos \psi-\cos \theta \sin \psi \sin \varphi & \cos \varphi \sin \psi+\cos \theta \cos \psi \sin \varphi & \sin \varphi \sin \theta \\
-\sin \varphi \cos \psi-\cos \theta \sin \psi \cos \varphi & -\sin \varphi \sin \psi+\cos \theta \cos \psi \cos \varphi & \cos \varphi \sin \theta \\
\sin \theta \sin \psi & -\sin \theta \cos \psi & \cos \theta
\end{array}\right)
\]

3. Кватернионные параметры Родрига-Гамильтона

Как было замечено еще К. Гауссом, положение твердого тела может быть однозначно определено с помощью множества кватернионов $\lambda=\lambda_{0}+\boldsymbol{i} \lambda_{1}+\boldsymbol{j} \lambda_{2}+\boldsymbol{k} \lambda_{3}$ с единичной нормой $\lambda_{0}^{2}+\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}=1$. Они образуют группу $S p(1)$, которая является универсальной накрывающей группы $S O(3)(S O(3) \approx S p(1) / \pm 1)$ [75]. Со способом введения таких избыточных координат, называемых в механике параметрами Родрига-Гамильтона, можно ознакомиться, например, в трактате Уиттекера [167]. Проясним геометрический смысл параметров $\lambda_{s}[108,167]$.
Рис. 2. Кватернионные параметры Родрига-Гамильтона.
Из кинематики известно, что из любого положения твердого тела, имеющего неподвижную точку $O$, можно перейти в заданное, совершая поворот

на угол $\chi$ относительно оси $O L$, связанной с телом (рис. 2). Ориентацию оси $O L$ зададим единичным вектором $e$. Положение некоторой точки тела определим радиус-вектором $\overrightarrow{O M}=\boldsymbol{r}$. Пусть после поворота вектор $\boldsymbol{r}$ оказывается в положении $\overrightarrow{O M}^{\prime}=r^{\prime}$. Вектор
\[
\boldsymbol{p}=\overrightarrow{O M}^{\prime}-\overrightarrow{O M}=\boldsymbol{r}^{\prime}-\boldsymbol{r}
\]

можно выразить через $r, e$ и $\chi$. Указанная связь определяется формулой Родрига
\[
\boldsymbol{p}=\frac{1}{1+\frac{1}{4} \theta^{2}} \boldsymbol{\theta} \times\left(\boldsymbol{r}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\theta} \times \boldsymbol{r}\right),
\]

где вектор
\[
\boldsymbol{\theta}=2 \operatorname{tg} \frac{\chi}{2} \boldsymbol{e}
\]

называется вектором конечного поворота. Этот вектор направлен по оси единичного вектора $e$ и равен по величине $2 \operatorname{tg}(\chi / 2)$.
Пусть
\[
\boldsymbol{e}=\boldsymbol{i} \cos \alpha^{\prime}+\boldsymbol{j} \cos \beta^{\prime}+\boldsymbol{k} \cos \gamma^{\prime},
\]

где $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$ — углы, образуемые вектором $\boldsymbol{e}$ с осями $x, y, z$.
Величины:
\[
\begin{array}{ll}
\lambda_{0}=\cos \frac{\chi}{2}, & \lambda_{1}=\cos \alpha^{\prime} \sin \frac{\chi}{2}, \\
\lambda_{2}=\cos \beta^{\prime} \sin \frac{\chi}{2}, & \lambda_{3}=\cos \gamma^{\prime} \sin \frac{\chi}{2}
\end{array}
\]

и есть параметры Родрига-Гамильтона. Параметр $\lambda_{0}$ равен косинусу половинного угла $\chi$, определяющего конәчный поворот тела. Остальные параметры $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ пропорциональны синусу половинного угла $\chi$, умноженному на косинусы углов, образуемых осью $O L$ с осями координат.

Имеется связь параметров Родрига-Гамильтона с углами Эйлера $\theta, \varphi, \psi:$
\[
\begin{array}{ll}
\lambda_{0}=\cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\psi+\varphi}{2}, & \lambda_{1}=\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\psi-\varphi}{2}, \\
\lambda_{2}=\sin \frac{\theta}{2} \sin \frac{\psi-\varphi}{2}, & \lambda_{3}=\cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\psi+\varphi}{2} .
\end{array}
\]

Направляющие косинусы $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ связаны с кватернионами квадратичными соотношениями, задающими параметризацию Кэли группы $S O(3)$,

при этом получается двулистное накрытие $S O(3)$ трехмерной сферой $S^{3}-$ кватернионам $\lambda_{i}$ и $-\lambda_{i}$ соответствует один и тот же элемент из $S O(3)$. Матрица направляющих косинусов (3.3) в кватернионном представлении имеет вид:
\[
\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_{0}^{2}+\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}-\lambda_{3}^{2} & 2\left(\lambda_{0} \lambda_{3}+\lambda_{1} \lambda_{2}\right) & 2\left(\lambda_{1} \lambda_{3}-\lambda_{0} \lambda_{2}\right) \\
2\left(\lambda_{1} \lambda_{2}-\lambda_{0} \lambda_{3}\right) & \lambda_{0}^{2}-\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}-\lambda_{3}^{2} & 2\left(\lambda_{0} \lambda_{1}+\lambda_{2} \lambda_{3}\right) \\
2\left(\lambda_{0} \lambda_{2}+\lambda_{1} \lambda_{3}\right) & 2\left(\lambda_{2} \lambda_{3}-\lambda_{0} \lambda_{1}\right) & \lambda_{0}^{2}-\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}
\end{array}\right)
\]

В индексной форме для компонент матрицы $\mathbf{Q}=\left\|Q_{i j}\right\|$ справедливо следующее выражение
\[
Q_{i j}=-2\left(\lambda_{i} \lambda_{j}+\left(\lambda_{0}^{2}-\frac{1}{2}\right) \delta_{i j}-\lambda_{0} \lambda_{k} \varepsilon_{i j k}\right) .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Связь между проекциями угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ и параметрами Родрига-Гамильтона имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}=2\left(\lambda_{0} \dot{\lambda}_{1}+\lambda_{3} \dot{\lambda}_{2}-\lambda_{2} \dot{\lambda}_{3}-\lambda_{1} \dot{\lambda}_{0}\right), \\
\omega_{2}=2\left(-\lambda_{3} \dot{\lambda}_{1}+\lambda_{0} \dot{\lambda}_{2}+\lambda_{1} \dot{\lambda}_{3}-\lambda_{2} \dot{\lambda}_{0}\right), \\
\omega_{3}=2\left(\lambda_{2} \dot{\lambda}_{1}-\lambda_{1} \dot{\lambda}_{2}+\lambda_{0} \dot{\lambda}_{3}-\lambda_{3} \dot{\lambda}_{0}\right) .
\end{array}
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Аналогично параметрам Родрига-Гамильтона можно рассматривать комплексные величины $\alpha, \beta, \gamma, \delta$, удовлетворяющие условию
\[
\alpha \delta-\beta \gamma=1,
\]

называемые параметрами Кэли-Клейна. Их можно рассматривать как компоненты комплексной матрицы вращения
\[
U=\left(\begin{array}{ll}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}\right)
\]

с определителем, равным единице.
Связь параметров Кэли-Клейна с параметрами Родрига-Гамильтона выражается формулами
\[
\alpha=\lambda_{0}+i \lambda_{3}, \quad \beta=-\lambda_{2}+i \lambda_{1}, \quad \gamma=\lambda_{2}+i \lambda_{1}, \quad \delta=\lambda_{0}-i \lambda_{3},
\]

а их выражение через углы Эйлера имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\alpha=\cos \frac{\theta}{2} e^{i \frac{\psi+\varphi}{2}}, \quad \beta=i \sin \frac{\theta}{2} e^{i \frac{\psi-\varphi}{2}}, \\
\gamma=i \sin \frac{\theta}{2} e^{-i \frac{\psi-\varphi}{2}}, \quad \delta=\cos \frac{\theta}{2} e^{-i \frac{\psi+\varphi}{2}} .
\end{array}
\]

4. Переменные Андуайе-Депри

Переменные Андуайе-Депри наиболее употребительны в теории возмущений и имеют динамическое происхождение, иллюстрируемое на рис. 3 (см. также [71, 92, 31]).
Рис. 3. Переменные Андуайе-Депри.
Здесь через $O X Y Z$ обозначен неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, Oxyz — подвижная система координат, жестко связанная с телом, $\Sigma$ — плоскость, проходящая через точку закрепления и перпендикулярная вектору кинетического момента волчка $M$ (3.5). В принятых обозначениях:
$L$ — проекция кинетического момента на подвижную ось $O z$;
$G$ — величина кинетического момента;
$H$ — проекция кинетического момента на неподвижную ось $O Z$;
$l$ — угол между осью $O x$ и линией пересечения $\Sigma$ с плоскостями $O x y$ и $O X Y$;
$g$ — угол между линиями пересечения $\Sigma$ с плоскостями $O x y$ и $O X Y$;
$h-$ угол между осью $O X$ и линией пересечения $\Sigma$ с плоскостью $O X Y$.
Выражения для компонент кинетического момента через переменные $L, G, H, l, g, h$ имеют вид
\[
M_{1}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l, M_{2}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l, M_{3}=L, \quad G^{2}=M^{2},
\]

то есть $L, l$ являются цилиндрическими координатами на двумерной сфере в пространстве моментов $M_{1}, M_{2}, M_{3}$.

Для компонент всех направляющих косинусов имеются следующие выражения, которые в полном объеме, видимо, отсутствуют в имеющейся литературе:
\[
\begin{aligned}
\alpha_{1}= & -\sin l \sin h \cos g \sin \tau \sin \zeta+\sin l \sin h \cos \tau \cos \zeta- \\
& -\sin l \sin g \cos h \sin \tau-\cos l \sin h \sin g \sin \zeta+\cos l \cos g \cos h, \\
\alpha_{2}= & \cos l \cos g \sin h \sin \tau \sin \zeta-\cos l \sin h \cos \tau \cos \zeta+ \\
& +\cos l \cos h \sin g \sin \tau-\sin l \sin g \sin \zeta \sin h+\sin l \cos h \cos g, \\
\alpha_{3}= & \sin h \cos \tau \cos g \sin \zeta+\sin h \sin \tau \cos \zeta+\cos \tau \sin g \cos h \\
\beta_{1}= & -(\sin l \cos h \cos g \sin \tau \sin \zeta-\sin l \cos h \cos \zeta \cos \tau- \\
& -\sin l \sin g \sin h \sin \tau+\cos l \cos h \sin g \sin \zeta+\cos l \cos g \sin h) \\
\beta_{2}= & \cos l \cos h \sin \tau \cos g \sin \zeta-\cos l \cos h \cos \zeta \cos \tau- \\
& -\cos l \sin g \sin h \sin \tau-\sin l \cos h \sin g \sin \zeta-\sin l \cos g \sin h, \\
\beta_{3}= & -\sin h \cos \tau \sin g+\cos \tau \cos g \sin \zeta \cos h+\sin \tau \cos \zeta \cos h \\
\gamma_{1}= & (\sin \zeta \cos \tau+\sin \tau \cos \zeta \cos g) \sin l+\cos \zeta \sin g \cos l \\
\gamma_{2}= & (\sin \zeta \cos \tau+\sin \tau \cos \zeta \cos g) \cos l-\cos \zeta \sin g \sin l \\
\gamma_{3}= & \sin \zeta \sin \tau-\cos \tau \cos \zeta \cos g
\end{aligned}
\]

где $\sin \tau=\frac{L}{G}, \sin \zeta=\frac{H}{G}$.
ЗАМЕЧАНИЕ 5. Выражение направляющих косинусов $\gamma_{i}$ через переменные Андуайе — Депри содержится в нескольких источниках $[9,92,28]$. В этом случае формулы обратного пересчета имеют вид $L=M_{3}, G=\sqrt{(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})}, l=\operatorname{arctg}\left(\frac{M_{1}}{M_{2}}\right)$, $g=\arcsin \left(\frac{M_{2} \gamma_{1}-M_{1} \gamma_{2}}{\sqrt{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}}}\right)$. Выражения для $\alpha_{3}, \beta_{3}$ могут быть просто получены из геометрических соображений. Для получения всех остальных направляющих косинусов необходимо воспользоваться коммутационными соотношениями (4.16), приведенными в следующем параграфе. Указанные нами в книге [31] выражения параметров $\lambda_{i}$ через переменные Андуайе-Депри не являются правильными. Выражения для них могут быть получены из соотношений
\[
\begin{array}{ll}
\lambda_{0}^{2}=\frac{1+\alpha_{1}+\beta_{2}+\gamma_{3}}{4}, & \lambda_{1}^{2}=\frac{1+\alpha_{1}-\beta_{2}-\gamma_{3}}{4}, \\
\lambda_{2}^{2}=\frac{1-\alpha_{1}+\beta_{2}-\gamma_{3}}{4}, & \lambda_{3}^{2}=\frac{1-\alpha_{1}-\beta_{2}+\gamma_{3}}{4},
\end{array}
\]

а сами $\lambda_{i}$ будут определены с точностью до знака.

5. Комментарии

Система переменных Андуайе — Депри не разбивается на позиџионную и чисто импульсную составляюшие подобно углам Эйлера и сопряженным им каноническим импульсам. Однако они очень удобны для применения метода теории возмушений, так как связаны с компонентами кинетического момента. В двух наиболее известных интегрируемых (невозмушенных) задачах динамики твердого тела — случаях Эйлера и Лагранжа — переменные $G$ и $L$ соответственно являются интегралами движения. Сходные системы «оскулируюших элементов», не обязательно являющихся каноническими, использовались еще Пуассоном, Шарлье, Андуайе и Тиссераном при построении теорий физической либраџии Луны и враџательного движения планет в небесной механике. Их введение в этом веке А. Депри в работе [71] преследовало џель прояснить фазовую геометрию случая Эйлера (см. §2 гл. 2) и позволило осознать их универсальный характер в динамике твердого тела — они использовались для применения методов качественного анализа в [92], где называются специальными каноническими переменными, и для численных исследований [28].

Систематическое исследование уравнений движения тяжелого гироскопа твердого тела в параметрах Родрига — Гамильтона (а также Кэли — Клейна) развивается в замечательной книге Ф. Клейна, А. Зоммерфельда «Теория волчка» [238] (разумеется, что основные результаты в этом вопросе принадлежат Ф. Клейну, см. также [237]). В то время еще не была известна гамильтонова структура этих уравнений (как уравнений на алгебре $\mathcal{\Lambda}_{\text {и }}$ ), тем не менее эти параметры оказались удобными как для явного интегрирования в эллиптических функџиях, так и для анализа различных частных решений. Близкую к кватернионам систему избыточных переменных (типа плюккеровых координат) в своей книге «Геометрия динамы» исследовал Э.Штуди. Он также вычислил в этих координатах кинетическую энергию твердого тела.