Дифференциальные уравнения, в том числе гамильтоновы, принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. В то же время, как заметил Дж. Биркгоф [13], «если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес.» В этом высказывании Биркгофа, считавшего динамическую проблему решенной, если предъявлен некоторый алгоритм для описания поведения всех ее траекторий, содержится указание на связь интегрируемости с особым, регулярным характером движения в фазовом пространстве.

Такая регулярность достигается при наличии у системы достаточного количества законов сохранения – первых интегралов, полей симметрий или других тензорных инвариантов.

Мы изложим здесь несколько основных подходов к интегрируемости гамильтоновых и общих дифференциальных уравнений, связанных с отысканием решений системы в квадратурах. Решить систему в квадратурах это представить ее решение с помощью конечного числа «алгебраических» операций (включая обращение функций) и «квадратур» – вычисления интегралов от известных функций. Различные аспекты интегрируемости освещены в обзорах [74, 136, 8] (см. также [97]).

1. Гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля – Арнольда

Следующая теорема связывает интегрируемость гамильтоновой системы в квадратурах с наличием достаточно большого набора ее первых интегралов.

Теорема 2. Предположим, что на симплектическом многообразии $M^{2 n}=(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ даны $n$ функций в инволюции
\[
F_{1}, \ldots, F_{n}:\left\{F_{i}, F_{j}\right\} \equiv 0, i, j=1, \ldots, n .
\]

Предположим также, что на $M_{f}$ – многообразии уровня интегралов $\left\{\boldsymbol{x} \in M^{2 n}: F_{i}=c_{i}, i=1, \ldots, n\right\}$ п фнкций $F_{i}$ независимы. Тогда:
1. $M_{f}$ – гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с функцией Гамильтона $H=F_{1}$.
2. Если многообразие $M_{f}$ связно и компактно, то оно диффеоморфно n-мерному тору (рис. 11)
\[
T^{n}=\left\{\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right) \bmod 2 \pi\right\}
\]

Рис. 11. Квазипериодическое движение на торе и на его развертке.

3. Фазовый поток с функцией Гамильтона $H$ определяет на $M_{f}$ условно-периодическое движение, т.е. в некоторых угловых координатах $\varphi=\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right)$ имеем уравнения
\[
\frac{d \boldsymbol{\varphi}}{d t}=\boldsymbol{\omega}, \quad \boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right)=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right) .
\]
4. Канонические уравнения с функцией Гамильтона $H$ интегрируются в квадратурах.

ЗАМЕЧАНИЕ. Эта теорема в упрощенном варианте (утверждается только интегрируемость в квадратурах) была сформулирована Буром и обобщена Ж. Лиувиллем. Ее классическое доказательство имеется, например, в трактате Э. Уиттекера [167]. Приведенная формулировка теоремы принадлежит В. И. Арнольду [6].

В рассматриваемом случае гамильтонова система называется интегрируемой по Лиувиллю (или вполне интегрируемой). Можно показать, что для такой системы в окрестности каждого тора существуют переменные, называемые «действие-угол» $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{\varphi} \bmod 2 \pi)=\left(I_{1}, \ldots, I_{n}, \varphi_{1} \bmod 2 \pi, \ldots, \varphi_{n}\right.$ $\bmod 2 \pi)$, в которых гамильтониан $H(\boldsymbol{I})$ не зависит от угловых переменных $\varphi \bmod 2 \pi$, а уравнения движения принимают вид
\[
\dot{\boldsymbol{I}}=-\frac{\partial H}{\partial \varphi}=0, \quad \dot{\boldsymbol{\varphi}}=\frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{I}}=\boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{I}),
\]

Следовательно, $\boldsymbol{I}(t)=\boldsymbol{I}_{0}, \boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{I})=\boldsymbol{\omega}\left(\boldsymbol{I}_{0}\right)=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)$.
Переменные действие $I$ «нумеруют» инвариантные торы $\mathbb{T}^{n}=M_{f}$ в $M^{2 n}$, а переменные угол $\varphi$ равномерно на них меняются, вообще говоря, с $n$ различными частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$. Такое движение называется квазипериодическим. Переменные действие-угол имеют большое значение в теории возмущений.

В некоторых случаях число независимых первых интегралов может быть больше чем $n=\frac{1}{2} \operatorname{dim} M^{2 n}$. При этом не все они находятся в инволюции и приводят к некоммутативной интегрируемости системы. В этом случае инвариантное многообразие $M_{f}$ в компактном случае является тором размерности, меньшей $n$ [132].

В динамике твердого тела встречаются как коммутативные, так и некоммутативные наборы интегралов. Последние имеют место для вырожденных систем, обладающих избыточными симметриями (динамически симметричных и шаровых волчков). В этих случаях говорят также, что система является суперинтегрируемой.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. По теореме Якоби, согласно которой скобка Пуассона двух интегралов снова является интегралом, их полное семейство образует некоторую, вообще говоря, бесконечномерную алгебру Ли. Один из таких примеров рассмотрен в приложении.

Исследование алгебры интегралов необходимо также при различных способах редукции системы, то есть приведению к меньшему числу степеней свободы (§1 гл. 4). Связь некоммутативной интегрируемости с редукцией Дирака обсуждается в книге [31] (см. также [32]).

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Предположение о компактности и связности $M_{f}$ обычно выполняется в динамике твердого тела, вследствие компактности конфигурационного пространства, например, являющегося группой $S O(3)$, и ограничений на импульсы, накладываемые интегралом энергии.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если на $M_{f}$ интегралы становятся зависимыми, то их общий уровень не является, вообще говоря, гладким многообразием. В пространстве постоянных первых интегралов $\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right.$ ) эти значения образуют бифуркационные поверхности, явный вид которых изучен для большинства известных интегрируемых систем [25] (см. гл. 2).

Теоретически интегрируемость гамильтоновой системы в квадратурах не обязательно может быть связана с наличием необходимого количества первых интегралов. Она может быть обусловлена полями симметрий, различными инвариантными формами и другими тензорными законами сохранения $[31,83]$. Содержательные примеры, однако, относятся лишь к частным сочетаниям таких тензорных инвариантов. Сейчас мы рассмотрим еще одну типичную ситуацию.

2. Теория последнего множителя. Теорема Эйлера-Якоби

Многие задачи динамики твердого тела могут быть проинтегрированы и другим, восходящими к Эйлеру и Якоби, способом. Речь идет о теории последнего множителя, в которой для интегрируемости системы в квадратуpax, кроме достаточного количества первых интегралов, необходимо установить существование некоторой инвариантной меры. Достоинством этого метода является то, что он может быть применен не только к гамильтоновым системам, но, вообще говоря, к произвольным, например, к неголономным. Ряд неголономных систем, имеющих нетривиальную меру и интегрируемых по теории последнего множителя, указал С. А. Чаплыгин [179]. В этой книге мы их не рассматриваем, но подчеркнем, что в XIX веке под интегрируемостью большинства задач динамики твердого тела понимали именно интегрируемость по Эйлеру-Якоби, так как гамильтонова структура,

например, уравнений Эйлера-Пуассона (см. § 1 гл. 2) не была отчетливо понята. Остановимся на этом методе более подробно.

Рассмотрим произвольную автономную систему дифференциальных уравнений в $\mathbb{R}^{n}$
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n},
\]

и пусть $g^{t}$ – ее фазовый поток. В общем случае для интегрируемости этой системы надо знать не менее чем $n-1$ первых интегралов. Однако, если уравнение (7.1) имеет интегральный инвариант с гладкой плотностью $\mu(\boldsymbol{x})$, то есть для любой измеримой области $D \subset \mathbb{R}^{n}$ и для всех $t$ выполнено
\[
\int_{g^{t}(D)} \mu(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{x}=\int_{D} \mu(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{x},
\]

то для интегрируемости системы (7.1) достаточно знать $n-2$ первых интеграла. Напомним, что по теореме Лиувилля гладкая функция $\mu: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ является плотностью интегрального инварианта $\int \mu(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{x}$ тогда и только тогда, когда
\[
\operatorname{div}(\mu \boldsymbol{v})=0 .
\]

Если $\mu(\boldsymbol{x})>0$ при всех $\boldsymbol{x}$, то формула (7.2) определяет некоторую ме$p y$ в $\mathbb{R}^{n}$, инвариантную относительно действия $g^{t}$. Наличие меры облегчает интегрирование дифференциальных уравнений. Эйлер назвал $\mu$ интегрирующим множителем (его называют также последним множителем).

Справедливо следующее утверждение – теорема Эйлера-Якоби о последнем множителе [8, 91].

Теорема 3. Предположим, что система (7.1) уравнений с интегрирующим множителем $\mu$ имеет $n-2$ первых интеграла $F_{1}, \ldots, F_{n-2}$. Пусть на инвариантном многообразии $M_{c}=\left\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}: F_{s}(\boldsymbol{x})=c_{s}, 1 \leqslant s \leqslant n-2\right\}$ функции $F_{1}, \ldots, F_{n-2}$ независимы. Тогда

1. решения уравнения (7.1), лежащие на $M_{c}$, находятся в квадратурах.
Если $L_{c}$ – связная компактная компонента множества уровня и $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})
eq 0$ на $L_{c}$, то
2. $L_{c}$ – гладкое многообразие, диффеоморфное двумерному тору,
3. на $L_{c}$ можно выбрать угловые координаты $\varphi_{1}, \varphi_{2} \bmod 2 \pi$ так, чтобы в этих переменных уравнение (7.1) на $L_{c}$ приняло следующий вид
\[
\dot{\varphi}_{1}=\frac{\lambda_{1}}{\Phi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)}, \quad \dot{\varphi}_{2}=\frac{\lambda_{2}}{\Phi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)},
\]

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}=$ const, а $\Phi$ – гладкая положительная функция, $2 \pi$-периодическая по $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$.

Функция $\Phi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$, задающая инвариантную меру, вообще говоря, не приводится к постоянной и движение на торе хотя и происходит по прямолинейным обмоткам (рис. 11), но неравномерно. Отметим, что в случае гамильтоновой системы такое приведение всегда возможно, что является следствием теоремы Лиувилля – Арнольда.

Для общих систем (7.1), например диссипативных, мера, как правило, заведомо отсутствует и установление их интегрируемости является отдельной проблемой ( 1 гл. 5). Общего метода здесь, видимо, не существует, и в зависимости от конкретных наборов законов сохранения (тензорных инвариантов), вообще говоря, не являющихся автономными, возможно различное поведение системы.

3. Разделение переменных. Метод Гамильтона-Якоби

Явное решение гамильтоновых уравнений в канонической форме в большинстве случаев может быть получено с помощью метода разделения переменных [183]. В этом случае задача интегрирования для $n$-степенной гамильтоновой системы сводится к отысканию решения уравнения Гамильтона-Якоби в частных производных
\[
H\left(\frac{\partial S}{\partial \boldsymbol{q}}, \boldsymbol{q}\right)=\alpha_{1}
\]

которое зависит от $n$ постоянных $S\left(\boldsymbol{q}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ и удовлетворяет условию невырожденности
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{i} \partial \alpha_{j}}\right\|
eq 0
\]

Рассмотрим функцию $S\left(\boldsymbol{q}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$, которая в этом случае называется полным интегралом уравнения (7.3), в качестве производящей функции канонического преобразования $(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) \rightarrow(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha})$ :
\[
\boldsymbol{p}=\frac{\partial S}{\partial \boldsymbol{q}}, \quad \boldsymbol{\beta}=\frac{\partial S}{\partial \boldsymbol{\alpha}} .
\]

Для новых канонических переменных $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ согласно (7.3) получим уравнения движения в виде $[183,128]$
\[
\dot{\alpha}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial \beta_{i}}=0, \quad \dot{\beta}_{i}=\frac{\partial H}{\partial \alpha_{i}}=\delta_{1 i}, \quad i=1, \ldots, n,
\]

где $\delta_{i j}$ – символ Кронекера. Эти уравнения легко интегрируются:
\[
\alpha_{i}=\alpha_{i}^{0}, \quad \beta_{i}=\delta_{1 i} t+\beta_{i}^{0},
\]

где $\alpha_{i}^{0}, \beta_{i}^{0}=$ const. Таким образом, (7.5) совместно с (7.4) задают решение канонических уравнений $\boldsymbol{q}(t), \boldsymbol{p}(t)$ в виде системы алгебраических уравнений.

Переменные разделяются, если удается подобрать координаты на конфигурационном пространстве, для которых полный интеграл представляется в виде
\[
S(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{\alpha})=\sum_{k=1}^{n} S_{k}\left(q_{k}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) .
\]

По Якоби метод разделения переменных состоит в том, что для задачи ищется такая система (вообще говоря, криволинейных) координат, в которых имеет место (7.6). Якоби также нашел одну замечательную замену, которая привела его к эллиптическим координатам и позволила проинтегрировать задачу о геодезических на эллипсоиде – даже в многомерном случае. Он также предложил обратить ситуацию и «найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена» [183].

ЗАМЕЧАНИЕ. Для вырожденных систем (с избыточным набором интегралов) может существовать несколько систем координат, в которых переменные разделяются, например, гармонический осциллятор, задача Кеплера и др.

В качестве примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере в квадратичном потенциале. Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. §1 гл. 3) и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются с использованием этих координат или их вырождений.

Геодезический поток на эллипсоиде (задача Якоби) [183]. Пусть эллипсоид в трехмерном пространстве $\mathbb{R}^{3}$ с декартовыми координатами $x_{1}$, $x_{2}, x_{3}$ задан уравнением
\[
\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}}+\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}}+\frac{x_{3}^{2}}{a_{3}}=1,
\]

где $a_{1}>a_{2}>a_{3}>0$ – квадраты главных полуосей.

Эллиптические координаты $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ в $\mathbb{R}^{3}$ определяются как корни кубического уравнения
\[
f(\lambda)=\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}-\lambda}+\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}-\lambda}+\frac{x_{3}^{2}}{a_{3}-\lambda}=1,
\]

причем $\lambda_{3}<a_{3}<\lambda_{2}<a_{2}<\lambda_{1}<a_{1}$.
Декартовы координаты выражаются через эллиптические при помощи вычетов функции $f(\lambda)(7.8)$ в точках $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ по формулам
\[
\begin{array}{c}
x_{1}^{2}=\frac{\left(a_{1}-\lambda_{1}\right)\left(a_{1}-\lambda_{2}\right)\left(a_{1}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{2}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{1}\right)}, \quad x_{2}^{2}=\frac{\left(a_{2}-\lambda_{1}\right)\left(a_{2}-\lambda_{2}\right)\left(a_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right)}, \\
x_{3}^{2}=\frac{\left(a_{3}-\lambda_{1}\right)\left(a_{3}-\lambda_{2}\right)\left(a_{3}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)} .
\end{array}
\]

В новых переменных эллипсоид (7.7) задается уравнением $\lambda_{3}=0$, при этом $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ задают систему ортогональных координат на нем. Переписывая гамильтониан свободного движения материальной точки единичной массы по эллипсоиду (7.7) в этих координатах, находим
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{2}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(g\left(\lambda_{1}\right) p_{1}^{2}+g\left(\lambda_{2}\right) p_{2}^{2}\right), \\
g(\lambda)=\left(a_{1}-\lambda\right)\left(a_{2}-\lambda\right)\left(a_{3}-\lambda\right),
\end{array}
\]

то есть переменные разделяются.
Используя выражение для канонических импульсов
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) \frac{\lambda_{1} \dot{\lambda}_{1}}{4\left(a_{1}-\lambda_{1}\right)\left(a_{2}-\lambda_{1}\right)\left(a_{3}-\lambda_{1}\right)}, \\
p_{2}=\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right) \frac{\lambda_{2} \dot{\lambda}_{2}}{4\left(a_{1}-\lambda_{2}\right)\left(a_{2}-\lambda_{2}\right)\left(a_{3}-\lambda_{3}\right)},
\end{array}
\]

получаем уравнения движения в форме
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \lambda_{1}}{\sqrt{R\left(\lambda_{1}\right)}}=\frac{d t}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}, \quad \frac{d \lambda_{2}}{\sqrt{R\left(\lambda_{2}\right)}}=\frac{d t}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}, \\
R(\lambda)=-\frac{\left(\lambda-\alpha_{1}\right)\left(\lambda-a_{1}\right)\left(\lambda-a_{2}\right)\left(\lambda-a_{3}\right)}{\lambda},
\end{array}
\]

где $\alpha_{1}$ – константа разделения, удовлетворяющая неравенствам $a_{3}<\alpha_{1}<a_{1}$. Уравнения (7.10) связывают с Абелем, Якоби и Ковалевской, использовавших их для интегрирования в эллиптических функциях.

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнения Абеля-Якоби (7.10) также записывают в несколько иной форме
\[
\frac{d \lambda_{1}}{\sqrt{R\left(\lambda_{1}\right)}}+\frac{d \lambda_{2}}{\sqrt{R\left(\lambda_{2}\right)}}=0, \quad \frac{\lambda_{1} d \lambda_{1}}{\sqrt{R\left(\lambda_{1}\right)}}+\frac{\lambda_{2} d \lambda_{2}}{\sqrt{R\left(\lambda_{2}\right)}}=d t
\]

Решения уравнения Гамильтона-Якоби в этом случае представляются в форме
\[
S\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\sqrt{\frac{\alpha_{2}}{2}}\left(\int \frac{\lambda_{1}-\alpha_{1}}{\sqrt{R\left(\lambda_{1}\right)}} d \lambda_{1}+\int \frac{\lambda_{2}-\alpha_{1}}{\sqrt{R\left(\lambda_{2}\right)}} d \lambda_{2}\right),
\]

где $\alpha_{2}=h-$ энергия. Траектория и закон движения могут быть найдены из алгебраических уравнений:
\[
\frac{\partial S}{\partial \alpha_{1}}=\beta_{1}, \quad \frac{\partial S}{\partial \alpha_{2}}=t+\beta_{2}, \quad \beta_{1}, \beta_{2}=\text { const. }
\]

Система с квадратичным потенциалом на сфере (задача Неймана) [251]. Пусть сфера в трехмерном пространстве задана уравнением
\[
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1,
\]

и потенциальная энергия частицы единичной массы в декартовых координатах имеет вид
\[
U(\boldsymbol{x})=\frac{1}{2}\left(a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+a_{3} x_{3}^{2}\right), \quad 0<a_{3}<a_{2}<a_{1} .
\]

Сфероконические координаты $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ на сфере (7.14) определяются как корни квадратного уравнения
\[
f(\lambda)=\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}-\lambda}+\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}-\lambda}+\frac{x_{3}^{2}}{a_{3}-\lambda}=0,
\]

удовлетворяющие неравенствам $a_{3}<\lambda_{2}<a_{2}<\lambda_{1}<a_{1}$. Выражения декартовых координат через сфероконические имеют вид
\[
x_{1}^{2}=\frac{\left(a_{1}-\lambda_{1}\right)\left(a_{1}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{2}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{1}\right)}, x_{2}^{2}=\frac{\left(a_{2}-\lambda_{1}\right)\left(a_{2}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right)}, x_{3}^{2}=\frac{\left(a_{3}-\lambda_{1}\right)\left(a_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)} .
\]

Гамильтониан частицы с потенциалом (7.15) в сфероконических координатах имеет вид
\[
\begin{aligned}
H & =\left(\frac{2\left(\lambda_{1}-a_{1}\right)\left(\lambda_{1}-a_{2}\right)\left(\lambda_{1}-a_{3}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}} p_{1}^{2}+\lambda_{1}\right)+ \\
& +\left(\frac{2\left(\lambda_{2}-a_{1}\right)\left(\lambda_{2}-a_{2}\right)\left(\lambda_{2}-a_{3}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} p_{2}^{2}+\lambda_{2}\right),
\end{aligned}
\]

где импульсы $p_{1}, p_{2}$, канонически сопряженные переменным $\lambda_{1}, \lambda_{2}$, выражаются через скорости по формулам
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=\frac{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) \dot{\lambda}_{1}}{4\left(\lambda_{1}-a_{1}\right)\left(\lambda_{1}-a_{2}\right)\left(\lambda_{1}-a_{3}\right)}, \\
p_{2}=\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right) \dot{\lambda}_{2}}{4\left(\lambda_{2}-a_{1}\right)\left(\lambda_{2}-a_{2}\right)\left(\lambda_{2}-a_{3}\right)} .
\end{array}
\]

Разделяя переменные, получаем уравнения Абеля-Якоби, определяющие эволюцию $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ :
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \lambda_{1}}{\sqrt{R\left(\lambda_{1}\right)}}=\frac{d t}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}, \quad \frac{d \lambda_{2}}{\sqrt{R\left(\lambda_{2}\right)}}=\frac{d t}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}, \\
R(\lambda)=-\left(\lambda^{2}+2 \alpha_{2} \lambda+2 \alpha_{1}\right)\left(\lambda-a_{1}\right)\left(\lambda-a_{2}\right)\left(\lambda-a_{3}\right),
\end{array}
\]

где $\alpha_{1}, \alpha_{2}=h-$ константы разделения. Решение уравнения ГамильтонаЯкоби имеет вид
\[
\begin{array}{l}
S\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\int \sqrt{-\frac{\lambda_{1}^{2}+2 \alpha_{2} \lambda_{1}+\alpha_{1}}{4\left(\lambda_{1}-a_{1}\right)\left(\lambda_{1}-a_{2}\right)\left(\lambda_{1}-a_{3}\right)}} d \lambda_{1}+ \\
+\int \sqrt{-\frac{\lambda_{2}^{2}+2 \alpha_{2} \lambda_{2}+\alpha_{1}}{4\left(\lambda_{2}-a_{1}\right)\left(\lambda_{2}-a_{2}\right)\left(\lambda_{2}-a_{3}\right)}} d \lambda_{2} .
\end{array}
\]

Комментарии. 1. Как правило, но отнюдь не всегда, для разделяющих переменных уравнения движения могут быть представлены в форме АбеляЯкоби (7.11). Известно, что любое решение для таких уравнений может быть представлено в тэта-функџиях (более фсрмально – линеаризировано при помощи преобразования Абеля на якобиане гиперэллиптической кривой). Со всеми подробностями такую линеаризаџию впервые выполнила С. В. Ковалевская для открытого ею случая. Она воспользовалась при этом только что разработанной

Розенхайном и Кенигсбергером теорией тэта-функџий двух переменных. Следствием такой линеаризаџии является замечательный факт, что общее решение системы продолжается до однозначных голоморфных функџий в комплексную область времени, т.е. в качестве особенностей решение имеет только полюса.

Выражение общего решения для большинства интегрируемых задач динамики твердого тела в однозначных эллиптических (в комплексном смысле) функџиях времени обусловлено тем, что обџий уровень первых интегралов, представляющий пересечение достаточно простых алгебраических поверхностей, типа квадрик, допускает продолжение в комплексную область до абелевых многообразий (абелевых торов), допускающих параметризаџию с помощью тэтафункџий. Она изучается в проективной и алгебраической геометрии, а сами системы называются алгебраически интегрируемыми. При этом общее решение может получиться однозначным не на комплексной плоскости времени, а на ее конечнолистном накрытии (см. случай Горячева – Чаплыгина, §5 гл. 2).

2. Задача о разделении переменных, отчетливо сформулированная К. Якоби в его «Лекџиях по динамике» (1842-43 гг.) [183], до сих пор является предметом серьезных исследований. Ж. Лиувилль и П.Штеккель нашли наиболее общие формы гамильтонианов; допускаюших разделение переменных. Причем оказалось, что если использовать только преобразования конфигураџионного пространства (точечные преобразования), то разделение переменных тесно связано с наличием полного набора интегралов, квадратичных по импульсам. Результаты такого сорта для натуральных систем с двумя степенями свободы были впервые указаны Дарбу, Уиттекером и Биркгофом [167, 13]. С современной точки зрения они обсуждаются в [137].

Отметим, что аналогичный результат для системы с линейными по импульсам интегралами заключается в том, что эти интегралы всегда оказываются связанными с существованием группы симметрий в конфигураџионном пространстве и с џиклической переменной. В этом случае, хотя бы локально, всегда возможно соответствующее понижение порядка.

Если рассматривать не только координатные, но и импульсные преобразования (т.е. общие преобразования фазового пространства), то задача в некотором смысле всегда становится разрешимой: по теореме Лиувилля – Арнольда вблизи неособого уровня первых интегралов всегда существуют переменные типа действие-угол, которые и являются разделяюшими. Другое дело в том, что эти переменные, как правило, различны для разных областей фазового пространства, разделенного особыми (критическими) инвариантными торами и их построение (даваемое при доказательстве теоремы) не является конструктивным. На практике, как правило, наоборот, переменные действие-угол строятся, если найдены какие-либо разделяющие переменные (см. §8 гл. 5).

Разделенные переменные, полученные путем расширенного фазового преобразования, известны для случаев Ковалевской и Горячева-Чаплыгина (см. $\S \S 4,5$ гл. 2, §8 гл. 5). Кстати, в этих случаях дополнительный интеграл имеет, соответственно, третью и четвертую степени по импульсам.

Если для натуральных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, обладаюших дополнительным квадратичным интегралом, сушествуют обшие соображения (см., например, Уиттекер [167], Биркгоф [13]), позволяющие конструктивно построить разделяющие переменные, то уже для ненатуральных двухстепенных систем, а также систем, обладающих дополнительным интегралом с более высокой ( $>2$ ) степенью по импульсам, разделение переменных является своего рода искусством. Для иногомерных систем вопрос о разделении еще более сложен. Здесь практически известно несколько многомерных обобщений двухстепенных систем (типа задач Якоби и Неймана), для которых имеются аналоги эллиптических и сфероконических координат). Более подробно вопрос о разделении переменных на $S^{n}$ рассмотрен в $[18,283]$.

3. Особыми аналитическими приемами, позволившими найти разделение переменных для ряда задач динамики твердого тела, включая неголономные системы, в совершенстве владел С.А.Чаплыгин. Известные работы С.В.Ковалевской [86, 87] также до сих пор остаются образџом непревзойденного аналитического мастерства. В двадџатом столетии техника точного интегрирования нахождения разделяющих преобразований была частично утеряна, а ее место заняла общая проџедура интегрирования с помошью методов обратной задачи рассеяния и нахождений представлений Лакса. В этом подходе считается, что задача является решенной, если предъявлено коммутаџионное представление Лакса (см. [31]) со спектральным параметром, позволяющим «в принџипе» получить общее решение в тэта-функџиях. С точки зрения алгебраической геометрии здесь идет речь о возможной линеаризаџии потока на многообразиях Прима (Якоби) и, исходя из анализа полюсных разложений (дивизоров), делается вывод о возможности представления решения в функџиях Римана, Бейкера – Ахиезера и пр.

Отметим, что такие общие утверждения, приводимые в большинстве $\rho а$ бот, посвященных нахождению пар Лакса [21, 136, 146], хотя и являются правильными, но и, в некотором смысле, бессодержательными, так как алгоритма построения такого решения не сушествует, во всяком случае задача является не менее сложной. Следует также отметить излишнюю формализованность такого сорта работ [146, 262], переутяжеленных жаргоном комплексной алгебраической геометрии (см. также недавнюю книгу [134]), любопытным их итогом его является то, что они не проясняют, а еще более усложняют идеи классиков. Новых разделяющих преобразований на этом пути указано не было.

4. Вместе с тем нахождение разделяющих переменных в интегрируемой системе очень полезно для изучения ее динамики. Оно позволяет изучить решения, устроенные наиболее просто (случаи вырождения или классы Аппельрота «особозамечательных» движений волчка Ковалевской), провести бифуркаџионный (топологический) и качественный анализ [92, 170], явно построить соответствующий набор переменных типа действие-угол. Последнее особенно важно для анализа возмущенной ситуаџии, а также для џелей квантования (например, в квазиклассическом приближении).

Итогом сказанному является то, что явное интегрирование и соответствующее разделение переменных для большинства задач динамики твердого тела были найдены классиками в конџе XIX – начале XX века. Почти все из них, в несколько модифиџированном виде, приводятся нами в §8 гл. 5. Вопрос о разделении переменных для многих болєе новых систем (гиростатические обобщения, многомерные волчки) до сих пор остается открытым. Возможно, что для решения этого вопроса следует несколько видоизменить саму идеологию метода Якоби и сделать его схему менее «жесткой». В качестве дополнительной информаџии, полезной при этом, по-видимому, следует использовать топологический анализ и комплексные аналитические методы.

Действительно, как для известных проинтегрированных задач критические уровни набора интегралов могут быть определены из условия кратности корней в характеристическом полиноме уравнений Абеля – Якоби, так и непосредственно из условия падения ранга интегрального многообразия, что позволяет, видимо, с некоторым произволом восстановить разделяюшее преобразование. Комплексные методы, основанные на изучении полнопараметрических лорановских разложений, видимо, также эффективны [243]. Они, как и спектральные представления Лакса способны дать представление о спектральной кривой в гиперэллиптическом случае, на этом пути можно однозначно восстановить разделяющие преобразования и получить уравнения Абеля – Якоби (М. Адлер, П. ван Мёрбеке $[186,188]$, П. Ванек [279]). Однако с помощью такого подхода пока также не удалось проинтегрировать ни одной новой системы.