1. Уравнение Ландау-Лифшица

В теории ферромагнетизма фундаментальную роль играет уравнение Ландау – Лифшица
\[
\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial t}=\boldsymbol{S} \times\left(\frac{\partial^{2} \boldsymbol{S}}{\partial x^{2}}+\mathbf{J} \boldsymbol{S}\right), \quad \boldsymbol{S}^{2}=1,
\]

описывающего эволюцию в пространстве и времени вектора намагниченности $\boldsymbol{S}(x, t) \in \mathbb{R}^{3}$, где $\mathbf{J}=\operatorname{diag}\left(J_{1}, J_{2}, J_{3}\right)$ – диагональная матрица, характеризующая анизотропию взаимодействия.

Решения (6.1) типа бегущей («кноидальной») волны, т.е. $\boldsymbol{S}(x, t)=$ $=\boldsymbol{q}(x-a t)(a=$ const – скорость волны $)$, удовлетворяют уравнению
\[
-a \dot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{q} \times(\ddot{\boldsymbol{q}}+\mathbf{J} \boldsymbol{q}), \quad \boldsymbol{q}^{2}=1,
\]

которое после умножения обеих частей векторно на $q$ принимает вид
\[
\ddot{\boldsymbol{q}}+a \dot{\boldsymbol{q}} \times \boldsymbol{q}=-\mathbf{J} \boldsymbol{q}+\lambda \boldsymbol{q}, \quad \boldsymbol{q}^{2}=1, \quad \lambda=(\boldsymbol{q}, \mathbf{J} \boldsymbol{q})-\dot{\boldsymbol{q}}^{2} .
\]

Введем полный угловой момент системы
\[
\boldsymbol{M}=\dot{\boldsymbol{q}} \times \boldsymbol{q}-a \boldsymbol{q},
\]

аналогичный использованному Вильсоном при квантовании монополя Дирака.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Впервые угловой момент (6.4) указал Пуанкаре, как векторный интеграл движения заряженной частицы в поле магнитного монополя (см. также [31]).

Несложно проверить, что коммутация между $\boldsymbol{M}$ и $\boldsymbol{q}$ определена алгеброй $e(3)$
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, q_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} q_{k}, \quad\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0 .
\]

При этом $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{q})=-a$, а гамильтониан системы имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{q}, \mathbf{J} \boldsymbol{q}) .
\]

Система (6.5)-(6.6) представляет собой случай Клебша уравнений Кирхгофа (см. §1 гл.3), который при $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{q})=-a=0$ (т.е. для стационарного решения типа стоящей волны) изоморфен системе Неймана. Эта аналогия была указана А.П.Веселовым в [51].

ЗАМЕЧАНИЕ. Кроме уравнений Ландау-Лифшица имеется еще одна система, связанная с асимметричным киральным $O_{3}$-полем, уравнения для которого имеют вид $\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \xi}=\boldsymbol{u} \times \mathbf{K} \boldsymbol{u}, \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial \eta}=\boldsymbol{v} \times \mathbf{K} \boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^{3}, \mathbf{K}\right.$ – диагональная матрица), автомодельные решения которой сводятся к интегрируемой системе Шоттки-Манакова (см. § 2 гл. 3). Действительно, как указано в [51], решения, зависящие лишь от $t=\xi+\eta$, удовлетворяют системе $\dot{\boldsymbol{u}}=\boldsymbol{u} \times \mathbf{K} \boldsymbol{v}, \dot{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{v} \times \mathbf{K} \boldsymbol{u}$, являющейся частным случаем уравнений свободного волчка на $S O(4)$.

2. Анизотропная XYZ-модель Гейзенберга

Рассмотрим гамильтонову систему на прямой сумме алгебр $s o(3)$ : $S_{1}, \ldots, S_{N}, S_{i} \in s o(3)$ с гамильтонианом
\[
H=-\sum_{n=1}^{N} \sum_{\alpha \beta} J_{\alpha \beta} \boldsymbol{S}_{n}^{\alpha} \boldsymbol{S}_{n+1}^{\beta},
\]

где векторы $S_{n}$ имеют смысл классических векторов спина, коммутирующих аналогично компонентам момента и нормированных условием $S_{n}^{2}=1$. Компоненты $J_{\alpha \beta}$ определяют тензор обменных констант, который предполагается диагональным и трехосным $\mathbf{J}=\operatorname{diag}\left(J_{1}, J_{2}, J_{3}\right), J_{3}>J_{2}>J_{1}>0$.

Эта система (6.7) называется анизогропной XYZ-моделью Гейзенберга (см. § 2 гл. 3).

Система (6.7) рассматривалась в классической и квантовой постановке. Задачи о стационарных решениях этой модели рассматривались в работах $[67,47]$ – в частности, в связи с нахождением волновых функций квантового гамильтониана. Еще более ранние исследования по последнему вопросу восходят к Бете, рассмотревшего изотропную XXX-модель, и к Бакстеру, построившему (в принципе) все собственные функции для полностью анизотропной XYZ цепочки квантовых спинов $1 / 2$. Для полностью анизотропной цепочки с произвольным спином пока получены лишь отдельные результаты [67].

Рассмотрим стационарные решения системы (6.7), представляющей собой по существу модель взаимодействующих волчков. Они удовлетворяют уравнению
\[
\boldsymbol{S}_{n} \times \mathbf{J}\left(\boldsymbol{S}_{n}+\boldsymbol{S}_{n+1}\right)=0, n=1, \ldots, N
\]

или
\[
\boldsymbol{S}_{n-1}+\boldsymbol{S}_{n+1}=\lambda_{n} \mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{S}_{n},
\]

где множитель $\lambda_{n}$ находится из условия $\left|\boldsymbol{S}_{n+1}\right|=1$. Действительно,
\[
1=\left|\boldsymbol{S}_{n+1}\right|^{2}=\left|-\boldsymbol{S}_{n-1}+\lambda_{n} \mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{S}_{n}\right|^{2}=\lambda_{n}^{2}\left|\mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{S}_{n}\right|^{2}-2 \lambda_{n}\left(\boldsymbol{S}_{n}, \mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{S}_{n}\right)+1
\]

и имеется две возможности: $\lambda_{n}=0$ и.ти
\[
\lambda_{n}=\frac{2\left(\boldsymbol{S}_{n-1}, \mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{S}_{n}\right)}{\left|\mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{S}_{n}\right|^{2}} .
\]

Первый случай обычно отбрасывается из физических соображений, а система (6.9)-(6.10) определяет некоторое дискретное отображение (двумерное), исследование которого представляет собственный теоретический интерес.

Несложно установить, что система (6.10) обладает первыми интегралами (т. е. функциями, инвариантными при отображении (6.9), (6.10)):
\[
F_{1}=\left(\boldsymbol{S}_{n}, \mathbf{J}^{-1} \boldsymbol{S}_{n+1}\right), \quad F_{2}=\left|\mathbf{J} \boldsymbol{S}_{n}\right|^{2}+\left|\mathbf{J} \boldsymbol{S}_{n+1}\right|^{2}-\left(\boldsymbol{S}_{n}, \mathbf{J} \boldsymbol{S}_{n+1}\right)^{2},
\]

которые, если ввести новые переменные по аналогии с заменой (6.4) (при $a=0$ ) $\boldsymbol{M}=\boldsymbol{S}_{n} \times \mathbf{J} \boldsymbol{S}_{n+1}, \boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{S}_{n}$, можно переписать в виде
\[
\begin{aligned}
\operatorname{det} \mathbf{J}^{2} F_{1}^{2} & =\left(\mathbf{J}^{2} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}\right)-\operatorname{det} \mathbf{J}^{2}\left(\mathbf{J}^{-2} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma}\right), \\
F_{2} & =\boldsymbol{M}^{2}+\left(\mathbf{J}^{2} \boldsymbol{\gamma}, \gamma\right) .
\end{aligned}
\]

При этом вследствие специального вида замены $F_{3}=(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$.

Интегралы (6.12) совпадают с интегралами системы Неймана (см. § 2 гл. 3), записанной в алгебре $e(3)$, определяемой переменными $\boldsymbol{M}, \gamma$ на нулевой постоянной площадей $(M, \gamma)=0$. Они указаны Я.И.Грановским и А.С.Жедановым [67]. В этом смысле систему (6.9)-(6.10) можно считать дискретным аналогом системы Неймана, а наличие интегралов (6.12) позволяет говорить об ее интегрируемости.

Это название оправдано также тем, что уравнение (6.8), почти эквивалентное (6.9)-(6.10), в континуальном пределе переходит в стационарное уравнение Ландау-Лифшица (см. (6.1))
\[
\boldsymbol{S} \times\left(\frac{d^{2} \boldsymbol{S}}{d x^{2}}+\mathbf{J} \boldsymbol{S}\right)=0, \quad \boldsymbol{S}^{2}=1,
\]

которое также можно представить в форме
\[
\frac{d^{2} \boldsymbol{S}}{d x^{2}}+\mathbf{J} \boldsymbol{S}=\lambda(x) \boldsymbol{S}, \quad \boldsymbol{S}^{2}=1,
\]

это уравнение, как показано в первом пункте, эквивалентно обычной непрерывной задаче Неймана.

Заметим, что дискретное уравнение Ландау-Лифшица представляет физический интерес в системах, когда континуальное приближение неприменимо, то есть когда решение существенно меняется на расстояниях порядка шага решетки.

Многомерные обобщения.
А. П. Веселовым был предложен многомерный аналог отображения (6.9)-(6.10), в котором векторы $S$ принадлежат $k$-мерной сфере $\boldsymbol{S}_{n} \in S^{k} \subset \mathbb{R}^{k+1}, \mathbf{J}=\operatorname{diag}\left(J_{0}, \ldots, J_{k}\right)$. Интегралы (6.12) для этого случая можно записать в удобной симметричной форме, если воспользоваться § 1 гл. 3 (интегралы К. Уленбек [278])
\[
F_{\alpha}(x, y)=x_{\alpha}^{2}+\sum_{\beta
eq \alpha} \frac{(\boldsymbol{x} \wedge \mathbf{J} \boldsymbol{y})_{\alpha \beta}^{2}}{J_{\alpha}^{2}-J_{\beta}^{2}}, \quad \sum_{\alpha=0}^{n} F_{\alpha}=1,
\]

где $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{S}_{n}, \boldsymbol{y}=\boldsymbol{S}_{n+1},(\boldsymbol{x} \wedge \boldsymbol{y})_{\alpha \beta}=x_{\alpha} y_{\beta}-x_{\beta} y_{\alpha}, \alpha=0,1, \ldots, n$. Эти интегралы также были указаны А.П.Веселовым в [47]. В [48] приведен дискретный аналог теоремы Лиувилля, который позволяет для интегралов (6.15) определить понятие инволютивности, придать отображению (6.9)-(6.10) смысл группового сдвига на лиувиллевых торах. Кроме того, в работе [48] указаны общие формулы для решения в тэта-функциях.

3. Эллипсоидальный бильярд и дискретные волчки

Как было замечено еще Дж. Биркгофом [13], задача Якоби о геодезических при стремлении к нулю одной из полуосей эллипсоида определяет некоторый интегрируемый бильярд (эллиптический бильярд). При этом точка движется внутри эллипса по прямой, а отскок происходит по идеальному закону: угол падения равен углу отражения, причем величина скорости не меняется. В $n$-мерном случае явные формулы для отображения типа (6.9)(6.10) имеют вид [47]
\[
\begin{array}{c}
\frac{\boldsymbol{q}_{k+1}-\boldsymbol{q}_{k}}{\left|\boldsymbol{q}_{k+1}-\boldsymbol{q}_{k}\right|}-\frac{\boldsymbol{q}_{k}-\boldsymbol{q}_{k-1}}{\left|\boldsymbol{q}_{k}-\boldsymbol{q}_{k-1}\right|}=\lambda_{k} \mathbf{A} \boldsymbol{q}_{k}, \\
\lambda_{k}=\frac{2\left(\mathbf{A} \boldsymbol{q}_{k}, \boldsymbol{q}_{k}-\boldsymbol{q}_{k-1}\right)}{\left.\left|\boldsymbol{q}_{k}-\boldsymbol{q}_{k-1}\right| \mathbf{A} \boldsymbol{q}_{k}\right|^{2}},
\end{array}
\]

причем $\left(\mathbf{A} \boldsymbol{q}_{k}, \boldsymbol{q}_{k}\right)=1, \boldsymbol{q}_{k} \in \mathbb{R}^{n+1}, \mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ – уравнение $n$-мерного эллипсоида. Отображение (6.16) обладает полным набором инволютивных (в смысле [48]) интегралов
\[
F_{\alpha}=p_{\alpha}^{2}+\sum_{\beta
eq \alpha} \frac{(\boldsymbol{p} \wedge \boldsymbol{q})_{\alpha \beta}^{2}}{b_{\beta}-b_{\alpha}}, \quad b_{\alpha}=a_{\alpha}^{-1}, \quad \boldsymbol{p}_{k}=\frac{\boldsymbol{q}_{k+1}-\boldsymbol{q}_{k}}{\left|\boldsymbol{q}_{k+1}-\boldsymbol{q}_{k}\right|} .
\]

В работе [48] получены также явные формулы для точек ударов в тэта-функциях.

В работах $[48,53]$ рассматривается $n$-мерный дискретный аналог уравнений Шоттки-Манакова (свободного волчка) на $S O(N)$.
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{M}_{k+1}=\boldsymbol{\omega}_{k} \boldsymbol{M}_{k} \boldsymbol{\omega}_{k}^{-1}, \quad \boldsymbol{M}_{k}=\boldsymbol{\omega}_{k}^{-1} \mathbf{I}-\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}_{k}, \quad \boldsymbol{\omega}_{k} \in \operatorname{so}(N), \\
\mathbf{I}=\operatorname{diag}\left(I_{1}, \ldots, I_{N}\right) .
\end{array}
\]

Для четырехмерного волчка соответствующее семейство первых интегралов можно явно выписать, пользуясь результатами § 2 гл. 3. В работе [53] обсуждаются также вопросы получения общего решения в тэта-функциях.

Комментарии. В последнее время появилось довольно много работ, посвященных дискретизаџиям классических случаев динамики твердого тела [207]. Существуют некоторые соображения из механики, аналогичные предельному переходу Биркгофа в задаче о геодезических, позволяющие от $(n+1)$-мерного волчка (на $S O(n+1)$ ) перейти к $n$-мерному $(S O(n)$ ). Однако џелесообразность и физический смысл таких постановок задач пока не

может быть вполне оправдан. Тем более, что реальные дискретизаџии, возникаюшие при применении разностных методов, не вписываются в эту схему, и, например, стандартное отображение Чирикова, используемое в качестве модельного примера для изучения хаотической динамики, получается дискретизаџией интегрируемой задачи о движении математического маятника. Возможно, что изучение таких дискретизаџий полезно для разработки численных методов интегрирования нелинейных систем.