Начнем с идеи П. Д. Лакса, которая была им предложена по другому поводу. Рассмотрим класс матриц, например, всех матриц Якоби вида
\[
L=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & a_{1} & 0 & & 0 & \\
a_{1} & 0 & a_{2} & & & \\
\cdot & \cdot & \cdot & & & \\
& \cdot & \cdot & \cdot & & \\
& & \cdot & \cdot & \cdot & \\
& 0 & & \cdot & \cdot & a_{n-1} \\
& 0 & & & a_{n-1} & 0
\end{array}\right)
\]

с положительными элементами $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$. Их собственные значения действительные и простые. Требуется найти все матрицы этого класса, имеющие один и тот же спектр. Можно было ожидать, что имеющихся параметров недостаточно, но поскольку
\[
K^{-1} L K=-L \quad \text { при } K=\operatorname{diag}(1,-1,+1, \cdots),
\]

для характеристического полинома
\[
\Delta_{n}(\lambda)=\operatorname{det}(\lambda I-L)
\]

имеем соотношение
\[
\Delta_{n}(\lambda)=(-1)^{n} \Delta_{n}(-\lambda) .
\]

Следовательно, вместе с $\lambda$ также и $-\lambda$ является собственным значением, $\lambda=0$ будет собственным значением при нечетном $n$. Таким образом, фиксирование собственных значений накладывает $[n / 2]$ условий, и размерность пространства изоспектральных матриц оказывается равной $n-[n / 2]$.

Для получения изоспектральных деформаций Лакс [10] рассматривал дифференциальные уравнения в форме
\[
\frac{d}{d t} L=B L-L B,
\]

где $L=L(t), t$ – параметр деформации. Матрица $B$ должна быть выбрана подходящим образом с тем, чтобы коммутатор $[B, L]$ имел нули всюду за исключением элементов на двух диагоналях, которые должны совпадать. В данном примере в качестве одного из возможных вариантов находим кососимметричную матрицу
\[
B=\left(\begin{array}{ccccccc}
0 & 0 & a_{1} a_{2} & 0 & & \\
0 & 0 & 0 & a_{2} a_{3} & & \\
& & \ddots & \ddots & & \\
-a_{1} a_{2} & 0 & \ddots & & & \\
& & & & & a_{n-2} a_{n-1} \\
& & & & 0 & 0 \\
& & & & -a_{n-2} a_{n-1} & 0 & 0
\end{array}\right),
\]

для которой дифференциальное уравнение (2.3) принимает вид
\[
\dot{a}_{k}=a_{k}\left(a_{k+1}^{2}-a_{k-1}^{2}\right), \quad k=1,2, \ldots, n-1,
\]

где формально $A_{0}=0=a_{n}$.
Очевидно, что (2.3) приводит к изоспектральным деформациям. Если решать дифференциальное уравнение
\[
\frac{d}{d t} U=B U, \quad U(0)=I,
\]

то (2.3) гарантирует, что
\[
\frac{d}{d t}\left(U^{-1} L U\right)=0,
\]

следовательно,
\[
U^{-1} L U=L(0) .
\]

Таким образом, собственные значения $L$ остаются постоянными под действием этой деформации. Коэффициенты $I_{k}$ характеристического многочлена
\[
\Delta_{n}(\lambda)=\lambda^{n}+I_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+I_{n}
\]

также являются интегралами движения, полиномиальными по $a_{1}^{2}$, $a_{2}^{2}, \ldots, a_{n-1}^{2}$. Согласно (2.2), только $
u=[n / 2]$ из них ненулевые, а остальные $I_{2}, I_{4}, \ldots, I_{2
u}$ действительно являются независимыми полиномами.
При
\[
a_{k}=\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} u_{k}}
\]

уравнения (2.4) принимают вид
\[
\dot{u}_{k}=\frac{1}{2}\left(e^{u_{k+1}}-e^{u_{k-1}}\right), \quad(k=1,2, \ldots, n-1),
\]

где формально $u_{0}=-\infty, u_{n}=-\infty$. Эти уравнения рассматривали Кац и ван Мербеке при дискретизации уравнения Кортевега-де Фриза $[8]^{1}$. Предложенные выкладки, конечно, не являются новыми; они совершенно аналогичны проведенным Флашкой [4]. Но мы будем использовать указанное представление (2.3) дифференциального уравнения (2.4) для описания его решений в виде рациональных функций от экспонент (раздел 6) и изучения задачи рассеяния, относящейся к (2.5) (раздел 7 ).

Кстати, уравнения (2.3) представляют собой не единственную деформацию $L$, сохраняющую спектр. Более того, все $B$, приводящие к таким деформациям, образуют ( $n-[n / 2]$ )-мерное пространство [12].