1. В этих неформальных лекциях мы рассмотрим некоторые интегрируемые гамильтоновы системы, возникшие в последнее время в связи с исследованием самых разных вопросов. Нашей целью будет обсуждение различных аспектов интегрируемости систем, таких, как представления групп, изоспектральная деформация, геометрический смысл. Поскольку этот предмет все еще далек от полного понимания и систематизации, мы рассмотрим много примеров, на первый взгляд никак не связанных между собой.

В самом деле, связи, подобные имеющейся между системой Калоджеро с потенциалом $q^{-2}(\S 4)$ и уравнением Кортевега-де Фриза, довольно неожиданны. Здесь мы опишем недавно обнаруженную, удивительную связь уравнения Хилла, имеющего конечнозонный потенциал, с геодезическими на эллипсоиде.

2. Дифференциальные уравнения механики могут быть записаны в гамильтоновой форме
\[
\dot{x}_{k}=\frac{\partial H}{\partial y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial x_{k}} \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

где $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}, y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ – координаты в фазовом пространстве $\mathbb{R}^{2 n}$ или открытом подмножестве $\mathbb{R}^{2 n}$. Таким образом, функция $H$ определяет векторное поле $X_{H}$ следующим образом:
\[
X_{H}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial H}{\partial y_{k}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}-\frac{\partial H}{\partial x_{k}} \frac{\partial}{\partial y_{k}}\right) .
\]

Для любой функции $F$ выражение
\[
X_{H} \boldsymbol{F}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial H}{\partial y_{k}} \frac{\partial F}{\partial x_{k}}-\frac{\partial H}{\partial x_{k}} \frac{\partial F}{\partial y_{k}}\right)=\{F, H\}
\]

антисимметрично по $F$ и $H$. Получившаяся функция называется скобкой Пуассона $F$ и $H$. Гамильтоновы системы образуют алгебру Ли и
\[
\left[X_{H}, X_{G}\right]=-X_{\{H, G\}} .
\]

Непостоянная функция $F$ называется интегралом $X_{H},{ }^{1}$ если
\[
X_{H} F=\{F, H\}=0 .
\]

В частности, $H$ есть интеграл $X_{H}$. Если $F$ является интегралом $X_{H}$, то $H$ – интеграл $X_{F}$.

Функции $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{r}$ называются коммутирующими или находящимися в инволюции, если
\[
\left\{F_{k}, F_{j}\right\}=0 \quad(k, j=1,2, \ldots, r) .
\]

Из определения легко вытекает, что векторные поля $X_{F_{k}}$ коммутируют между собой.
Если $\varphi=\varphi\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{r}\right), \psi=\psi\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{r}\right)$, то
\[
\left\{\varphi\left(F_{1}, \ldots, F_{r}\right), \psi\left(F_{1}, \ldots, F_{r}\right)\right\}=\sum_{k, j} \frac{\partial \varphi}{\partial \xi_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial \xi_{j}}\left\{F_{k}, F_{j}\right\} .
\]

Таким образом, если $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{r}$ находятся в инволюции, то то же самое можно сказать про любые функции от них.
Определение 1. Гамильтонова система (1), определенная в области $D \subset \mathbb{R}^{2 n}$, называется интегрируемой ${ }^{2}$, если существуют $n$ интегралов $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}$ в инволюции с линейно независимыми градиентами, т. е.
в $D$ мы имеем:
1) $\left\{H, F_{j}\right\}=0$;
2) $\left\{F_{k}, F_{j}\right\}=0$;
3) $d F_{1}, d F_{2}, \ldots, F_{n}$ линейно независимы.

ПРИмЕР 1. $H=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)$ определяет интегрируемую систему B $\mathbb{R}^{2 n}$ c
\[
F_{k}=x_{k}^{2}+y_{k}^{2} \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]

Пример 2. Если $H=H(y)$ не зависит от $x$, то система интегрируема, причем $F_{k}=y_{k}$.

Локально около любой точки, где $d H
eq 0$, любая система интегрируема; действительно, в соответствующих канонических координатах $H$ совпадает с $y_{1}$, что является частным случаем примера 2 .

В общем случае имеет смысл говорить об интегрируемости системы в области, инвариантной под действием потока, порожденного $X_{H}$.

Глобальная интегрируемость гамильтоновой системы в инвариантном открытом подмножестве или даже локальная в окрестности стационарной точки (т.е. там, где $d H=0$ ) является уже далеко не типичной ситуацией. Однако многие системы, встречающиеся в приложениях, очень близки к интегрируемым. Например, задача $n$ тел становится интегрируемой в пределе, когда все массы, кроме одной, стремятся к нулю. Получившаяся система представляет собой набор независимых кеплеровых систем.

Другой пример представляют системы вблизи стационарной точки, для определенности $x=y=0, d H(0)=0$. Предположим, что ряд Тейлора для $H$ начинается с
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)+\ldots,
\]
$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ – некоторые действительные числа.
По теореме Биркгофа локально можно аппроксимировать эту систему интегрируемыми в следующем смысле (см. [3], [4]).

Пусть $N$ – произвольное натуральное число. Предположим, что из условий
\[
\begin{array}{c}
j_{1} \alpha_{1}+\ldots+j_{n} \alpha_{n}=0, \\
\left|j_{1}\right|+\left|j_{2}\right|+\ldots+\left|j_{n}\right| \leqslant N, \quad j_{k} \text { – целье, }
\end{array}
\]

следует, что $j_{1}=j_{2}=\ldots=j_{n}=0$; тогда существуют канонические переменные $x_{1}^{*}, \ldots, x_{n}^{*}, y_{1}^{*}, \ldots, y_{n}^{*}$ такие, что
\[
H=\varphi\left(F_{1}, \ldots, F_{n}\right)+R_{N+1},
\]

где $R_{N+1}$ зануляется вместе со всеми производными порядка $\leqslant N$ в начале координат, а $F_{j}=x_{j}^{* 2}+y_{j}^{* 2}$.

Таким образом, если мы выбросим член $R_{N+1}$, система станет интегрируемой (строго говоря, надо вырезать подпространства $x_{k}^{*}=y_{k}^{*}=0$, где $d F_{j}$ линейно зависимы).

С другой стороны, можно показать, что в общем случае, даже если $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ рационально независимы, система не является интегрируемой ни в какой окрестности начала координат.

3. Структура интегрируемых систем особенно проста. При заданных интегралах рассмотрим многообразия $N_{n}$, определенные равенствами $F_{1}=c_{1}, \ldots, F_{n}=c_{n}$ для соответствующих констант $c_{1}, \ldots, c_{n}$.

Эти многообразия инвариантны не только относительно потока $X_{H}$ (в силу первого условия в определении 1), но и $X_{F_{j}}$ (в силу второго условия). Таким образом, $X_{F_{1}}, X_{F_{2}}, \ldots, X_{F_{n}}$ порождают касательное пространство $N_{n}$. Так как эти векторные поля коммутируют, каждая компонента $N_{n}$ топологически представляет собой цилиндр или, в компактном случае, тор. В последнем случае $D$ расслаивается на $n$-мерные торы.

По теореме, принадлежащей Арнольду ([1], [2]) и Йосту, около компактной компоненты $N_{n}$ можно ввести канонические координаты, назовем их снова $x, y$, так, что $H=H\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, равенство $y=0$ определяет $N_{n}$, а точки $(x, y)$, ( $\left.\widetilde{x}, y\right)$, для которых $x_{j}-\widetilde{x}_{j}$ кратны $2 \pi$, соответствуют одной и той же точке из $D$. Эти $y_{k}, x_{k}$ называются переменными действие-угол соответственно. Другими словами, пример 2 является типичным.

В примере 1 эти торы задаются равенствами $x_{k}^{2}+y_{k}^{2}=c_{k}$, если $c_{k}$ – положительные константы. Потоки, порожденные коммутирующими $X_{F_{1}}, \ldots, X_{F_{n}}$, представляют собой $n$ вращений в плоскостях $x_{k}, y_{k}$.

В переменных действие-угол дифференциальные уравнения имеют вид
\[
\dot{x}_{k}=H_{y_{k}}(y), \quad \dot{y}_{k}=0 .
\]

Таким образом, дифференциальные уравнения линейны на $N_{n}$. Еcли частоты $H_{y_{1}}, \ldots, H_{y_{n}}$ рационально независимы, то орбиты всюду плотны на $N_{n}$. Если одно решение на $N_{n}$ периодическое, то периодические и все остальные. Это происходит тогда и только тогда, когда $H_{y_{k}} / j_{k}=\rho$ не зависит от $k$ для некоторых целых чисел $j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n}$.

Таким образом, для интегрируемых систем периодические решения образуют ( $n-1$ )-мерные семейства. Доказательство того, что гамильтоновы системы обычно неинтегрируемы, основано на том факте, что в общем случае периодические решения на поверхности фиксированной энергии изолированы.