1. Геодезический поток на сфере $S^{n}$ :
\[
|x|=1,
\]

где $x=\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}$, описывается дифференциальным уравнением
\[
\ddot{x}=\lambda x,
\]

где множитель Лагранжа $\lambda$ определяется так, чтобы равенство $|x|=1$ было совместно с дифференциальным уравнением, т.е.
\[
\langle x, \dot{x}\rangle=0, \quad\langle x, \ddot{x}\rangle+|\dot{x}|^{2}=0 .
\]

Следовательно, умножая уравнение скалярно на $x$, получаем
\[
\lambda=-|\dot{x}|^{2},
\]

а уравнение принимает вид
\[
\ddot{x}=-|\dot{x}|^{2} x .
\]

Эта система может рассматриваться как гамильтонова:
\[
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial y}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial H}{\partial x}
\]

с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}|x|^{2}|y|^{2}
\]

при ограничении на касательное расслоение $|x|=1$
\[
\langle x, y\rangle=0 .
\]

Таким образом, мы имеем гамильтонову систему (2) в $\mathbb{R}^{2 n+2}$, которая после ограничения на касательное расслоение становится геодезическим потоком на сфере.
2. Мы хотим обобщить эту конструкцию на произвольную $n$-мерную поверхность, изометрически вложенную в $\mathbb{R}^{n+1}$ с обычной метрикой $d s^{2}=\sum_{
u=0}^{n} d x_{
u}^{2}$. Пусть $f(x)$ – гладкая функция в $\mathbb{R}^{n+1}$, которая

сперва будет предполагаться строго выпуклой и такая, что $f \rightarrow \infty$ при $|x| \rightarrow \infty$. Определим
\[
F(x, y)=\min _{t} f(x+t y)
\]

для $x, y \in \mathbb{R}^{n+1}$ и рассмотрим гамильтонову систему
\[
\dot{x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial F}{\partial x} .
\]

Имеет место очевидная

Лемма 1. Система (4) обладает интегралами $|y|^{2}$ и $F(x, y)$.
Мы ограничимся решениями (4) с $|y|=1, F=0$. Интерпретируем точку $(x, y),|y|=1$, в фазовом пространстве как прямую, проходящую через точку $x \in \mathbb{R}^{n+1}$ в направлении $y$. Таким образом, $(x, y)$ представляет направленную прямую $L=L(x, y)$ с отмеченной на ней точкой $x$. Мы будем предполагать, что градиент $f_{x}$ не обращается в нуль при $f=0$, так что $f=0$ задает гладкое многообразие.

Теорема 1. Если $x=x(t), y=y(t)$ – решения (4) $n р и|y|=1, F=0$, то прямая $L=L(x(t), y(t))$ касается повертности
\[
f(x)=0,
\]

а точка касания $\xi(t)$ прямой $L(x(t), y(t))$ с поверхностью $\{f=0\}$ движется по геодезической многообразия $\{f=0\}$.
Доказательство.
Пусть $s=s(x, y)$ определена так, что
\[
F(x, y)=f(x+s y),
\]
т. е. так, что $f(x+t y)$ имеет минимум при $t=s$. Тогда, очевидно, имеем
\[
\left\langle F_{x}, y\right\rangle=\left\langle f_{x}(\xi), y\right\rangle,
\]

где
\[
\xi=x+s(x, y) y .
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{l}
F_{x}=f_{x}(\xi)+\left\langle f_{x}(\xi), y\right\rangle s_{x}=f_{x}(\xi), \\
F_{y}=s f_{x}(\xi)+\left\langle f_{x}(\xi), y\right\rangle s_{y}=s(x, y) f_{x}(\xi) .
\end{array}
\]

Следовательно, дифференциальные уравнения (4) принимают вид
\[
\dot{x}=s f_{x}(\xi), \quad \dot{y}=-f_{x}(\xi) .
\]

Для точки $\xi=x+s y$ получаем
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\xi}=\dot{x}+s \dot{y}+\dot{s} y=\dot{s} y, \\
\dot{y}=-f_{x} .
\end{array}\right.
\]

Если использовать $s=s(x(t), y(t))$ в качестве независимой переменной, то получается
\[
\frac{d \xi}{d s}=y, \quad \frac{d y}{d s}=-\dot{s}^{-1} f_{x},
\]

или
\[
\frac{d^{2} \xi}{d s^{2}}=-\dot{s}^{-1} f_{x} .
\]

Последнее представляет собой дифференциальное уравнение для геодезической на $f=$ const, поскольку вторая производная $\xi$ ортогональна поверхности.
Если мы ограничимся $F=0$, то
\[
f(\xi)-f(x+s(x, y) y)-0,
\]
$\xi$ – точка касания прямой $x+t y$ с поверхностью $f=0$. Это доказывает утверждение.

Таким образом, мы можем представлять себе решения системы (4) при $H=0$ как движение прямых: прямые движутся таким образом, что остаются касательными к одной и той же геодезической на $f=0$. Отмеченная точка $x$ на этой прямой движется при этом перпендикулярно к самой прямой. Этот поток мы будем называть потоком прямых, связанным с $f(x)=0$.

3. Проведенные рассуждения показывают, что система (4) связана с геодезическим потоком на $f=0$. Мы проделаем все это более формально и рассмотрим подмногообразие в $\mathbb{R}^{2 n+n}$, заданное следующим образом:
\[
M=\left\{(x, y) \in R^{2 n+2} ;|y|^{2}=1,\left\langle f_{x}(x), y\right\rangle=0\right\} .
\]

Это симплектическое подмногообразие, как и вообще любое подмногообразие, определенное равенствами
\[
F_{1}=0, \quad F_{2}=0, \ldots, F_{2 r}=0,
\]

является симплектическим при условии
\[
\operatorname{det}\left\{F_{k}, F_{j}\right\}
eq 0,
\]

где $\{\cdot, \cdot\}$ — скобка Пуассона. В нашем случае
\[
\left\{|y|^{2}, f_{x}(x) y\right\}=-2\left\langle f_{x x}(x) y, y\right\rangle<0,
\]

поскольку мы предполагали $f$ строго выпуклой. Мы ограничим $H$ на это многообразие и обозначим это ограничение через $H^{M}$. Тогда $H^{M}$ определяет гамильтоново векторное поле $X_{M}$, касательное к $M$.

Рассмотрим общий вопрос об описании гамильтонового векторного поля $X_{M}$ на симплектическом многообразии $M$, определенном формулами (7) с гамильтонианом $H^{M}$, получающимся ограничением функции $H$ на $M$. Это векторное поле может быть получено из гамильтониана $H^{0}$ в объемлющем пространстве, который на $M$ совпадает с $H$, но в общем случае имеет другие частные производные. Действительно, векторное поле, определенное с помощью $H$, не обязано быть касательным к $M$. Положим
\[
H^{0}=H-\sum_{\rho=1}^{2 r} \lambda_{\rho} F_{\rho},
\]

где $\lambda_{\rho}$ определены так, что выполнены равенства
\[
\left\{H^{0}, F_{\sigma}\right\}=\left\{H, F_{\sigma}\right\}-\sum_{\rho=1}^{2 r} \lambda_{\rho}\left\{F_{\rho}, F_{\sigma}\right\}=0,
\]

которые обеспечивают касание векторного поля, определяемого с помощью $H^{0}$, многообразия $M$. Это векторное поле совпадает с $X_{M}$.
Применим этот подход к симплектическому многообразию
\[
F_{1}=\frac{1}{2}\left(|y|^{2}-1\right)=0, \quad F_{2}=\left\langle f_{x}(x), y\right\rangle=0
\]

и гамильтониану
\[
H=F(x, y)=\min _{t} f(x+t y) .
\]

Тогда
\[
H^{0}=H-\lambda_{1} F_{1}-\lambda_{2} F_{2}
\]

и в силу $\left\{H, F_{1}\right\}=0$ получаем $\lambda_{2}=0$. Из равенства $\left\{H^{0}, F_{2}\right\}=0$ имеем
\[
\lambda_{1}=\left\{H, F_{2}\right\} /\left\{F_{1}, F_{2}\right\} .
\]

Поток $X_{M}$, заданный формулами
\[
\dot{x}=H_{y}^{0}, \quad \dot{y}=-H_{x}^{0},
\]

ограниченный на $H^{0}=0$, может быть приведен к более простому виду введением нового параметра $\tau$ :
\[
-\frac{d \tau}{d t}=\lambda_{1}
\]

Дифференциальные уравнения принимают тогда вид
\[
\frac{d x}{d \tau}=-\lambda_{1}^{-1} H_{y}^{0}, \quad \frac{d y}{d \tau}=\lambda_{1}^{-1} H_{x}^{0} .
\]

На поверхности нулевой энергии $H^{0}=0$ можно просто заменить гамильтониан на
\[
K=-\lambda_{1}^{-1} H^{0}=-\lambda_{1}^{-1} H+F_{1} .
\]

Заметим, что на $M \min _{t} f(x+t y)=f(x)$, поскольку $\left\langle f_{x}, y\right\rangle=0$, так что на $M$
\[
H_{y}(x, y)=0, \quad H_{x}(x, y)=f_{x}(x) .
\]

Итак, на $M$
\[
K_{y}(x, y)=\frac{\partial}{\partial y} F_{1}=y,
\]

а дифференциальные уравнения для $X_{M}$ приводятся к виду
\[
\frac{d x}{d \tau}=y, \quad \frac{d y}{d \tau}=-\lambda_{1}^{-1} H_{x}=-\lambda_{1}^{-1} f_{x},
\]

или
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}=-\lambda_{1}^{-1} f_{x},
\]

которые снова совпадают с дифференциальными уравнениями для геодезических.

Следовательно, мы показали, что геодезический поток на $f=0$ получается из потока (4) ограничением гамильтониана (3) на симплектическое подмногообразие $M$, заданное формулами (6). Это верно с точностью до перепараметризации $t$.

4. Пример. Если $f(x)=\frac{1}{2}\left(|x|^{2}-1\right)$, то мы имеем дело с единичной сферой $S^{n}$.
Находим
\[
F(x, y)=\min _{t} f(x+t y)=\frac{1}{2}\left(\frac{|x|^{2}|y|^{2}-\langle x, y\rangle^{2}}{|y|^{2}}-1\right) .
\]

Затем ограничиваем $F$ на многообразие
\[
M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2 n+2} ;|y|=1,\langle x, y\rangle=0\right\}
\]

так, что
\[
F^{M}=\frac{1}{2}\left(|x|^{2}|y|^{2}-1\right),
\]

и окончательно, поскольку $\left\{F^{M},|y|^{2}\right\}=0, \quad\left\{F^{M},\langle x, y\rangle\right\}=0$ на $M$, получаем
\[
F^{0}=F^{M} .
\]

Итак, на $F^{0}=0$ уравнения
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=F_{y}^{0}=|x|^{2} y=y, \\
\dot{y}=-F_{x}^{0}=-|y|^{2} x=-x
\end{array}
\]

определяют геодезические на сфере.

5. Заметим, что многообразие (6) получается приведением фазового пространства $\mathbb{R}^{2 n+2}$ по интегралу $F_{1}=\frac{1}{2}\left(|y|^{2}-1\right.$ ) (в смысле $\S 3$ ).

Действительно, $F_{1}$ является интегралом, который соответствует одномерному групповому симплектическому действию
\[
(x, y) \rightarrow(x+t y, y),
\]

а группа $G$ есть группа действительных чисел $\mathbb{R}$. Таким образом, $\psi=F_{1}$ есть момент,
\[
\psi^{-1}(0)=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2 n+2} ;|y|=1\right\} .
\]

Группа $G_{0}$ оставляющая множество $F_{1}=0$ инвариантным, совпадает очевидным образом с полной группой $G=\mathbb{R}$. Для получения фактормногообразия $\psi^{-1}(0) / G_{0}$ мы выберем точку $x$ на прямой $x+t y$, для которой $\left\langle f_{x}, y\right\rangle=0$. Таким образом, $\psi^{-1}(0) / G_{0} \simeq M$, и мы приходим к следующему результату.

При редукции системы (4) относительно группового действия (11) получается с точностью до перепараметризации геодезический поток на $f(x)=$ const. Фиксация интеграла $F=0$ приводит к геодезическому потоку на касательном расслоении единичных векторов к $\{f=0\}$.

Обратно, мы можем рассматривать (4) как расширение геодезического потока в том смысле, что последний получается из (4) редукцией относительно группового симплектического действия.

Ясно, что имеется много таких расширений. Использование такого расширения аналогично использованию однородных координат для описания точек на сфере вместо сферических координат. При этом в однородных координатах надо принимать во внимание тождественность $x$ и $\lambda x$ при $\lambda
eq 0$. Подобным образом в гамильтониане следует исключить свободу действия группы.
6. В дальнейших целях нам необходимо несколько обобщить предыдущие результаты. Конечно, не обязательно требовать выпуклости функции $f$. Важно лишь, чтобы для некоторой точки $\xi=x+t^{*}(x, y) y$ на прямой $x+t y$ было выполнено $\left\langle f_{x}(\xi), y\right\rangle=0$. Полагая $\varphi(x, y)=f(\xi)$, получаем, что $\varphi(x, y)=c$ есть уравнение касательных к поверхности $f(x)=c$.

Поскольку параметризация нас не интересует, мы можем взять в качестве гамильтониана любую функцию $H(x, y, c)$, определяющую касательные к поверхности $f(x)=c$ равенством
\[
H(x, y, c)=0
\]

при условии, что $\frac{\partial}{\partial c} H(x, y, c)$ не обращается в нуль в этих точках.
В самом деле, поскольку $\varphi(x, y)$ получается решением
\[
H(x, y, \varphi(x, y))=0,
\]

мы имеем
\[
H_{x}+H_{c} \varphi_{x}=0, \quad H_{y}+H_{c} \varphi_{y}=0,
\]

и поэтому
\[
\dot{x}=H_{y}=-H_{c}^{-1} \varphi_{y}, \quad \dot{y}=-H_{x}=H_{c}^{-1} \varphi_{x},
\]

что совпадает с точностью до перепараметризации с рассмотренной выше системой.

7. Рассмотрим две поверхности $f(x)=0, g(x)=0$ с ненулевыми градиентами и предположим, что $\varphi(x, y), \psi(x, y)$ – гамильтонианы соответствующих потоков прямых. Выясним, когда эти потоки коммутируют.
Предположение. Если для любой прямой, касательной как к множеству $\{f=0\}$, так и $\{g=0\}$, имеет место равенство
\[
\left\langle f_{x}(\xi), g_{x}(\eta)\right\rangle=0
\]

где $\xi, \eta$ – точки касания, $f(\xi)=0, g(\eta)=0$, то $\{\varphi, \psi\}=0$ на $\varphi=$ $=\psi=0$, т.е. потоки коммутируют.
Доказательство.
Если прямая задана в виде $x+t y$, то
\[
\varphi(\xi, y)=f(\xi), \quad \varphi_{x}(\xi, y)=f_{x}(\xi), \quad \varphi_{y}(\xi, y)=t^{*} f_{x}(\xi)
\]

в точке касания $\xi=x+t^{*} y$. Следовательно,
\[
\{\varphi, \psi\}=\left\langle\varphi_{x}, \psi_{y}\right\rangle-\left\langle\varphi_{y}, \psi_{x}\right\rangle=\left(s^{*}-t^{*}\right)\left\langle f_{x}(\xi), g_{x}(\eta)\right\rangle=0 .
\]