1. Формулировка задачи.
Как было замечено ранее, спектр для почти периодических потенциалов может быть очень сложным и его природа еще не понята. Даже для такого простого потенциала, как
\[
q(x)=A \cos x+B \cos (\sqrt{2} x),
\]

неизвестно, является ли его спектр канторовым множеством, могут ли встретиться точечные собственные значения. В этом разделе мы изучим простейшие почти периодически потенциалы, для которых спектр очень прост и состоит из конечного числа интервалов. Чтобы определить все потенциалы, имеющие такую конечнозонную структуру, обратимся к обратной задаче. Наша цель будет достигнута путем сведения интересующего нас вопроса к механической задаче Неймана (3.11).
Зададим $2 N+1$ действительных чисел
\[
\lambda_{0}<\lambda<\ldots<\lambda_{2 N}
\]

и поставим задачу найти все действительные потенциалы, для которых спектр (4.1) может быть задан в виде
\[
\sigma(L)=\left[\lambda_{0}, \lambda_{1}\right] \cup\left[\lambda_{1}, \lambda_{2}\right] \cup \ldots \cup\left[\lambda_{2 N}, \infty\right) ;
\]

назовем эти $N+1$ интервалов «зонами», а дополнительные $N+1$ интервалов — «щелями».

Переформулируем задачу более строго. Для любого действительного потенциала $q$ функция Грина вещественна на части действительной числовой оси, которая принадлежит резольвентному множеству. Кроме того, положим $\operatorname{Im} G(x, x, ; \lambda)>0$ при $\operatorname{Im} \lambda>0$ для любого действительного потенциала. Предположим, что $G(x, x ; \lambda)$ допускает аналитическое продолжение внутрь зон, где является чисто мнимой. Для этого требуется, чтобы точка ветвления $\lambda_{j}$ имела второй порядок.

Сделаем следующие дальнейшие предположения. Искомый потенциал $q=q(x)$ имеет функцию Грина $G(x, y ; \lambda)$ голоморфную при $\operatorname{Im} \lambda>0$ и такую, что
\[
G(x, x ; \lambda) \text { — действительная в щелях, }
\]

чисто мнимая в зонах
и ведет себя как
\[
G(x, x ; \lambda) \sim \gamma_{j}\left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{-\frac{1}{2}} \quad \text { вблизи } \quad \lambda_{j} ; \quad \gamma_{j}
eq 0 .
\]

Последнее условие можно сформулировать как утверждение о том, что $G(x, x ; \lambda)$ — мероморфная функция на римановой поверхности, которая получается разрезанием двух комплексных плоскостей вдоль зон и склеиванием разрезов крест накрест; кроме того, $G(x, x ; \lambda)$ имеет простые полюсы в $\lambda_{j}$ и в $\infty$. Род этой римановой поверхности равен $N$.

Для полноты мы приведем свойства $G(x, x ; \lambda)$, которые всегда выполняются: $G(x, x ; \lambda)$ голоморфна при $\operatorname{Im} \lambda>0$ и удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
2 G\left(G^{\prime \prime}-2(q-\lambda) G\right)-G^{2}+1=0,
\]

которое мы вывели в (4.17), и имеет вид
\[
G(x, x ; \lambda) \sim \frac{1}{2 \sqrt{-\lambda}} \text { при } \quad \lambda \rightarrow-\infty .
\]

2. Представление $G(x, x ; \lambda)$ с помощью простых дробей.

Переобозначим конечные точки $\lambda_{j}$ как
\[
\left\{\begin{array}{ll}
\alpha_{j}=\lambda_{2 j-2}, & j=1,2, \ldots, n=N+1 \\
\beta_{j}=\lambda_{2 j-1}, & j=1,2, \ldots, n-1=N
\end{array}\right.
\]

где $N=n-1$ — род римановой поверхности. С помощью
\[
a(\lambda)=\prod_{j=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_{j}\right), \quad b(\lambda)=\prod_{j=1}^{n-1}\left(\lambda-\beta_{j}\right)
\]

построим
\[
\sqrt{-\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}}
\]

Это мероморфная функция на римановой поверхности. Выберем такую ветвь при $\operatorname{Im} \lambda>0$, которая имеет положительную мнимую часть в зонах, при стремлении сверху. Тогда в щелях эта функция является действительной. Если мы построим выражение
\[
-2 \sqrt{-\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}} G(x, x ; \lambda)=\Gamma(x, \lambda),
\]

то получим функцию, которая однозначна в комплексной плоскости, имеет простые полюсы в $\alpha_{j}$ и регулярна в $\beta_{j}$. Мы выбрали множитель -2 , чтобы эта функция вела себя как $\lambda^{-1}$ при $\lambda \rightarrow-\infty$ (см. (5.5))). Поэтому эта функция рациональна и допускает разложение на простые дроби
\[
\Gamma(x, \lambda)=-2 \sqrt{-\frac{b}{a}} G(x, x ; \lambda)=\sum_{j=1}^{n} \frac{r_{j}(x)}{\lambda-\alpha_{j}} .
\]

Кроме того, так как $\sqrt{-b / a}$ и $G$ имеют в зонах положительную мнимую часть, рассматриваемая функция положительна в зонах $\left[\alpha_{j}, \beta_{j}\right]$, $j=1,2, \ldots, n-1$ и $\left[\alpha_{n}, \infty\right]$. Это означает, что
\[
r_{j}(x)>0 \quad j=1,2, \ldots, n .
\]

Теорема 5.1. Если $G(x, y ; \lambda)$ — функция Грина для потенциала $q$ и $G$ удовлетворяет (5.7), то существует действительное решение $\psi_{j}$ уравнения
\[
L \psi_{j}=-\psi_{j}^{\prime \prime}+q \psi_{j}=\alpha_{j} \psi_{j}
\]
c
\[
r_{j}=\psi_{j}^{2} .
\]

Доказательство.
Если мы представим решения $\psi_{+}, \psi_{-}$предыдущего раздела в виде линейных комбинаций двух нормированных решений $\varphi_{1}=\varphi_{1}(x, \lambda)$, $\varphi_{2}=\varphi_{2}(x, \lambda)$ уравнения $(L-\lambda) \varphi=0$, нормированных, например, так, что
\[
\left(\begin{array}{ll}
\varphi_{1} & \varphi_{2} \\
\varphi_{1}^{\prime} & \varphi_{2}^{\prime}
\end{array}\right)_{x=0}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),
\]

то $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ — целые функции от $\lambda$ и из
\[
G(x, x ; \lambda)=\frac{\psi_{+} \psi_{-}}{\left[\psi_{+}, \psi_{-}\right]}
\]

следует, что
\[
r_{j}=A_{j} \varphi_{1}^{2}+2 B_{j} \varphi_{1} \varphi_{2}+C_{j} \varphi_{2}^{2},
\]

где $\lambda$ необходимо заменить на $\alpha_{j}$. Требуется показать, что
\[
A_{j} C_{j}-B_{j}^{2}=0 .
\]

Но это следует из дифференциального уравнения (5.4). Для $\Gamma(x, \lambda)$ это уравнение принимает вид
\[
2\left(\Gamma^{\prime \prime}-2(q-\lambda) \Gamma\right) \Gamma-\Gamma^{2}=4 \frac{b}{a} .
\]

Подставляя выражение (5.7) для $\Gamma$ и используя то, что функции $\varphi=\varphi_{1}, \varphi_{2}$ удовлетворяют уравнению $\left(L-\alpha_{j}\right) \varphi=0$, получим для коэффициентов при $\left(\lambda-\alpha_{j}\right)^{-2}$ (опуская индекс $j$ )
\[
\begin{array}{c}
4\left(A \varphi_{1}^{\prime 2}+2 B \varphi_{1}^{\prime} \varphi_{2}^{\prime}+C \varphi_{2}^{\prime 2}\right)\left(A \varphi_{1}^{2}+2 B \varphi_{1} \varphi_{2}+C \varphi_{2}^{2}\right)- \\
\quad-4\left(A \varphi_{1} \varphi_{2}^{\prime}+B\left(\varphi_{1} \varphi_{2}^{\prime}+\varphi_{1}^{\prime} \varphi_{2}\right)+C \varphi_{2} \varphi_{2}^{\prime}\right)^{2}= \\
=4\left(A C-B^{2}\right)\left(\varphi_{1} \varphi_{2}^{\prime}-\varphi_{1}^{\prime} \varphi_{2}\right)^{2}=4\left(A C-B^{2}\right) .
\end{array}
\]

Так как правая часть (5.11) имеет только простой полюс в $\lambda=\alpha_{j}$, то это влечет (5.10). Следовательно, если $A_{j}
eq 0$, то можно записать
\[
r_{j}=A_{j}^{-1}\left(A_{j} \varphi_{1}+B_{j} \varphi_{2}\right)^{2},
\]

и, основываясь на (5.8), получим $A_{j}>0$. Поэтому можем положить
\[
\psi_{j}=A_{j}^{-\frac{1}{2}}\left(A_{j} \varphi_{1}+B_{j} \varphi_{2}\right) .
\]

Если $A_{j}=0$, то также $B_{j}=0$ и $C_{j}>0$. В этом случае можно принять
\[
\psi_{j}=C_{j}^{\frac{1}{2}} \varphi_{2}
\]

что доказывает утверждение.
3. Связь с механической задачей.
Из теоремы 5.1 мы получаем важное представление для функции $\Gamma$, связанной посредством (5.7) с функцией Грина:
\[
\Gamma(x, \lambda)=\sum_{j=1}^{n} \frac{\psi_{j}^{2}(x)}{\lambda-\alpha_{j}} .
\]

Так как $\Gamma \sim \lambda^{-1}$ при $\lambda \rightarrow \infty$, можно заключить, что
\[
\sum_{j=1}^{n} \psi_{j}^{2}=1 .
\]

Кроме того, $\psi_{j}$ — решения уравнения $\left(L-\alpha_{j}\right) \psi_{j}=0$, которое мы запишем в виде
\[
\psi_{j}^{\prime \prime}=-\alpha_{j} \psi_{j}+q \psi_{j} .
\]

Последние два уравнения показывают, что мы можем интерпретировать $x_{j}=\psi_{j}(t)$ как компоненты вектора $x$, удовлетворяющего дифференциальному уравнению
\[
\ddot{x}=-A x+q(t) x, \quad A=\operatorname{diag}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right),
\]

где $x$ ограничен на единичную сферу, т. е. $\psi_{j}(t)$ являются компонентами решения задачи Неймана (3.11).

Напомним, что эта механическая система обладает интегралами (cм. (3.7))
\[
\Phi_{\lambda}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)=\left(1+Q_{\lambda}\left(\psi^{\prime}\right)\right) Q_{\lambda}(\psi)-Q_{\lambda}^{2}\left(\psi, \psi^{\prime}\right)
\]

где
\[
Q_{\lambda}(\psi)=\sum_{j=1}^{n} \frac{\psi_{j}^{2}}{\lambda-\alpha_{j}}=\Gamma
\]

что приводит к
\[
Q_{\lambda}\left(\psi, \psi^{\prime}\right)=\sum_{j=1}^{n} \frac{\psi_{j} \psi_{j}^{\prime}}{\lambda-\alpha_{j}}=\frac{1}{2} \Gamma^{\prime}
\]

Еще одно дифференцирование дает с учетом (5.13)
\[
1+Q_{\lambda}\left(\psi^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left(\Gamma^{\prime \prime}-2(q-\lambda) \Gamma\right) .
\]

Поэтому мы находим из дифференциального уравнения для $G$ или его эквивалентной формы (5.11) для Г, что
\[
\Phi_{\lambda}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)=\frac{1}{4}\left\{2\left(\Gamma^{\prime \prime}-2(q-\lambda)\right) \Gamma-\Gamma^{\prime 2}\right\}=\frac{b}{a} .
\]

Следовательно, решение $x=\left(\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{n}\right)$ из теоремы (5.1) соответствует решению механической задачи, удовлетворяющему соотношению
\[
\Phi_{\lambda}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)=\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)} .
\]

Иначе говоря, решение $\psi$ лежит на инвариантном многообразии, определпемом условилми $\Phi_{\beta_{j}}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)=0, j=0,2, \ldots, n-1$.
Теорема 5.2. Если $G(x, y ; \lambda)$ — функция Грина потенциала $q$ и если $G(x, x ; \lambda)$ удовлетворяет предположениям (5.2), (5.3), то она может быть представлена в следующем виде
\[
G(x, x ; \lambda)=-\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{a(\lambda)}{b(\lambda)}} \sum_{j=1}^{n} \frac{\psi_{j}^{2}(x)}{\lambda-\alpha_{j}},
\]

где $\psi=\left(\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{n}\right)$ — решение задачи Неймана (5.14), удовлетворяющее соотношению
\[
\Phi_{\lambda}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)=\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)} .
\]

Кроме того, потенцил $q=q(x)$ задается соотношением
\[
q(x)=2 \sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} \psi_{j}^{2}+\sum_{k=1}^{n-1} \beta_{k}-\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} .
\]

Достаточно проверить (5.16). Для этого мы воспользуемся асимптотическим продолжением (4.16), где $G_{1}=q / 2$. Сравнивая его с разложением правой части (5.15), находим (5.16).

4. Решение обратной задачи.
Наша задача будет решена, если мы докажем утверждение, обратное теореме 5.2.
Теорема 5.3. Если $\psi_{j}$ — любое решение задачи (5.14) $c$
\[
\Phi_{\lambda}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)=\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)},
\]

то функция $q(x)$, заданная соотношением (5.16), является потенциалом оператора (4.1) с зонным спектром (5.1).

Наметим ход доказательства — для заданной $\psi_{j}$ и $q$, определенной соотношением (5.16), имеем:
\[
\left(L-\alpha_{j}\right) \psi_{j}=0 .
\]

Но нам необходимы решения уравнения
\[
(L-\lambda) \psi=0
\]

для произвольного комплексного $\lambda$. Для этого определим $G(x, \lambda)=$ $=G(x, x ; \lambda)$ при помощи соотношения (5.15). Тогда соотношение (5.17) эквивалентно дифференциальному уравнению (5.4). Очевидно, что оно таюже удовлетворяет (5.5), и поэтому $G(x, \lambda)$ естественный кандидат для функции Грина на диагонали. Кроме того, покажем, что
\[
\operatorname{Im} G(x, \lambda)>0 \text { при } \operatorname{Im} \lambda>0 .
\]

По принципу максимума для гармонических функций, достаточно показать $\operatorname{Im} G(x, \lambda) \geqslant 0$ на действительной оси. В щелях имеем $\operatorname{Im} G(x, \lambda)=0$ в силу (5.15), так как оба множителя действительные. В зонах, тем не менее, $G(x, \lambda)$ чисто мнимая, и $\operatorname{Im} G(x, \lambda)>0$ при

$\alpha_{j}<\lambda<\alpha_{j}+\varepsilon$ и малого $\varepsilon>0$. Достаточно показать, что $G$ не имеет нулей в зоне. Это следует из уравнения (5.4), которое дает $G^{\prime}= \pm 1$ в нулях функции $G$, следовательно, $G$ также была бы действительной вблизи такого нуля, хотя на самом деле она чисто мнимая. Следовательно, нули $G$ должны лежать в щелях.

Для определения спектра $L$ мы должны найти функцию Грина $G(x, y ; \lambda)$ для $L$, так как мы пока не убедились, что $G(x, \lambda)$ связана с функцией $G(x, y ; \lambda)$ на диагонали. Для этого мы сначала покажем, что при $\operatorname{Im} \lambda>0$ выражение
\[
\varphi(x, \lambda)=\sqrt{G(x, \lambda)} \exp \left(-\frac{1}{2} \int_{0}^{x} G^{-1}(t, \lambda) d t\right)
\]

является решением уравнения (5.18). Заметим, что подынтегральное выражение вполне определено, как следует из (5.19).
Для проверки этого утверждения образуем выражения
\[
\frac{\varphi^{\prime}}{\varphi}=\frac{1}{2} \frac{G^{\prime}}{G}-\frac{1}{2} G^{-1}=\frac{1}{2} \frac{G^{\prime}-1}{G}
\]

и
\[
\frac{\varphi^{\prime \prime}}{\varphi}=\left(\frac{\varphi^{\prime}}{\varphi}\right)^{\prime}+\left(\frac{\varphi^{\prime}}{\varphi}\right)^{2}=\frac{1}{4 G^{2}}\left\{2 G G^{\prime \prime}-G^{2}+1\right\} .
\]

С учетом (5.4) это приводит к
\[
\frac{\varphi^{\prime \prime}}{\varphi}=\frac{1}{4 G^{2}} 4(q-\lambda) G^{2}=q-\lambda,
\]

что и доказывает наше утверждение.
Если бы мы могли показать, что при $\operatorname{Im} \lambda
eq 0$ функция
\[
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{2 x} \int_{0}^{x} G^{-1}(t, \lambda) d t=w(\lambda)
\]

удовлетворяет неравенству $\operatorname{Re} w(\lambda)<0$, то приведенное выше решение (5.20) будет принадлежать $L^{2}(0, \infty)$ и может быть использовано в качестве $\psi_{+}(x, \lambda)$. Аналогично находим
\[
\psi_{-}(x, \lambda)=\sqrt{G(x, \lambda)} \exp \left(\frac{1}{2} \int_{0}^{x} G^{-1}(t, \lambda) d t\right),
\]

и поэтому
\[
G(x, y ; \lambda)=\sqrt{G(x, \lambda) G(y, \lambda)} \exp \left(-\frac{1}{2} \int_{y}^{x} G^{-1}(t, \lambda) d t\right) \quad \text { при } \quad x>y .
\]

В частности, мы видим, что $G(x, x ; \lambda)$ согласуется с функцией, заданной соотношением (5.15). Тот факт, что $G(x, \lambda)$ действительна в щелях и чисто мнимая и неравная нулю функция в зонах подтверждает, что спектр состоит из зон.

Для доказательства неравенства $\operatorname{Re} w(\lambda)<0$ используем то, что потенциал $q$, построенный таким образом, является почти периодическим и поэтому решения $\psi_{+}, \psi_{-}$экспоненциально затухают при $x \rightarrow+\infty$ или $x \rightarrow-\infty$. Это следует из (4.15). Отсюда вытекает, что среднее значение $w(\lambda)$ экспоненты в (5.20) имеет отличную от нуля действительную часть. Так как $\operatorname{Re} w(\lambda)<0$ при $\lambda \rightarrow-\infty$, мы имеем $\operatorname{Re} w(\lambda)<0$ при $\operatorname{Im} \lambda
eq 0$. Это и завершает доказательство теоремы 5.3.
5. Конечнозонные потенциалы как почти периодические функции.

В разделе 3 мы показали, что решения задачи Неймана — квазипериодические функции в общем случае с $n-1=N$ основными частотами. Поэтому потенциалы $q$, определенные соотношением (5.16), квазипериодические. Естественно изучить показатель Флоке $w(\lambda)$ и $\alpha(\lambda)=\operatorname{Im} w(\lambda)$, которые введены в разделе 4 для таких потенциалов.
Теорема 5.4. Для приведенных выше потенциалов $q$, определенных соотношением (5.16),
\[
d w=\frac{p(\lambda)}{2 \sqrt{-a(\lambda) b(\lambda)}} d \lambda=\frac{p(\lambda) d \lambda}{2 \sqrt{-R(\lambda)}}
\]
— дифференциал третьего рода, где
\[
p(\lambda)=\lambda^{n-1}+\ldots
\]
— полином степени $n-1$.
Это следует непосредственно из формулы (4.14)
\[
\frac{d w}{d \lambda}=-\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{a}{b}} \sum_{j=1}^{n} \frac{M\left(\psi_{j}^{2}\right)}{\lambda-\alpha_{j}}=-\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{a}{b}} \frac{p}{a},
\]

где $p$ — полином степени $n-1$ со старшим коэффициентом
\[
\sum_{j=1}^{n} M\left(\psi_{j}^{2}\right)=1
\]
(см. (5.13)).
Во-вторых, изучим $\alpha(\lambda)=\operatorname{Im} w(\lambda)$ в зонах. Мы можем записать $G(x, \lambda)=i K(x, \lambda)$ при $K(x, \lambda)>0$ внутри зоны. Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
w(\lambda)=M\left(-\frac{1}{2 G}\right)=\frac{i}{2} M\left(K^{-1}\right), \\
w^{\prime}(\lambda)=M(G)=i M(K),
\end{array}
\]

и при $\alpha(\lambda)=\operatorname{Im} w(\lambda)$ получаем с помощью неравенства Шварца
\[
2 \alpha \frac{d \alpha}{d \lambda}=M\left(K^{-1}\right) M(K)>M(1)=1,
\]

Равенство выполняется только при условии $K=$ const, т.е. $G^{\prime}=0$, которое влечет $q=$ const. Следовательно, справедлива
Теорема 5.5. В зонах выполняется неравенство
\[
\frac{d\left(\alpha^{2}\right)}{d \lambda}>1 \text {. }
\]

Это неравенство, конечно, применимо не только в конечных зонах, но и во всех интервалах на действительной оси, где функция $G$ чисто мнимая, например, в периодическом случае, где мы можем использовать оценки для длины зоны.

6. Эллиптические координаты на сфере.
В конце раздела 3 мы ввели эллиптические координаты $\mu_{k}$ на сфере; теперь же мы рассмотрим их интерпретацию на спектральную задачу и выразим через них потенциал $q$.
Координаты $\mu_{k}$ были введены как нули функции
\[
Q_{\lambda}(\psi)=\sum_{j=1}^{n} \frac{\psi_{j}^{2}(x)}{\lambda-\alpha_{j}}=\frac{\prod_{k=1}^{n-1}\left(\lambda-\mu_{k}\right)}{a(\lambda)} .
\]

Вследствие (5.15) они совпадают с нулями функции Грина на диагонали $G(x, x ; \lambda)$. Они зависят от $x$ и ограничены щелями. Действительно, мы показали, что в зонах $G(x, x ; \lambda)
eq 0$. Кроме того, из (5.22) подержит один простой нуль. Следовательно, каждая щель ( $\beta_{j}, \alpha_{j+1}$ ), $j=1,2, \ldots, n-1$ содержит один нуль, или
\[
\beta_{j} \leqslant \mu_{j}(x) \leqslant \alpha_{j+1} .
\]

Потенциал $q=q(x)$ может быть выражен через эти переменные $\mu_{j}(x)$ по формуле
\[
q(x)-\alpha_{1}=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\alpha_{k+1}+\beta_{k}-2 \mu_{k}\right),
\]

которая была получена Мак-Кином и Трубовицем [18] в периодическом случае, также при наличии бесконечного числа щелей.

Для доказательства сравним коэффициенты при $\lambda^{-2}$ в разложении (5.22) при $\lambda \rightarrow \infty$. В результате будем иметь соотношение
\[
\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} \psi_{j}^{2}=\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}-\sum_{k=1}^{n-1} \mu_{k} .
\]

Если мы подставим это в выражение (5.16), то получим формулу (5.23).
Заметим, что члены правой части (5.23) лежат в интервале $\left[-\alpha_{k+1}+\beta_{k}, \alpha_{k+1}-\beta_{k}\right]$, так что мы получим простое ограничение для $q(x)-\alpha_{1}$ через полную длину щели:
\[
\left|q(x)-\alpha_{1}\right| \leqslant \sum_{k=1}^{n-1}\left|\alpha_{k+1}-\beta_{k}\right| .
\]

7. Альтернативный выбор точек ветвления.

В рассуждениях, приведенных выше, выбор $\alpha_{j}, \beta_{j}$ был весьма произвольным. Решающую роль играют точки ветвления $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 N}$ римановой поверхности
\[
Z=\sqrt{-R(\lambda)} ; \quad R(\lambda)=\prod_{j=0}^{2 N}\left(\lambda-\lambda_{j}\right) .
\]

Факторизацию
\[
R(\lambda)=a(\lambda) b(\lambda)=\prod_{j=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_{j}\right) \prod_{k=1}^{n-1}\left(\lambda-\beta_{k}\right),
\]

следуя (5.6), можно заменить любой другой факторизацией
\[
R(\lambda)=a^{*}(\lambda) b^{*}(\lambda)=\prod_{j=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_{j}^{*}\right) \prod_{k=1}^{n-1}\left(\lambda-\beta_{k}^{*}\right) .
\]

Так как функция Грина не зависит от этой факторизации, мы получим по аналогии с (5.15), что
\[
G(x, x ; \lambda)=-\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{a^{*}(\lambda)}{b^{*}(\lambda)}} \sum_{j=1}^{n} \frac{\psi_{j}^{* 2}}{\lambda-\alpha_{j}^{*}},
\]

где $\psi_{j}^{*}(x)$ — решения уравнения
\[
\left(\psi_{j}^{*}\right)^{\prime \prime}=\left(q-\alpha_{j}^{*}\right) \psi_{j}^{*} .
\]

Іоследнее выражение дает большое количество квадратичных соотношений между решениями $\psi_{j} ; \psi_{j}^{*}$ в различных точках ветвления.

Эта свобода выбора может быть использована для изучения тех невырожденных орбит механической задачи, которыми мы до сих пор пренебрегали. До сих пор мы ограничивались случаем, когда
\[
\alpha_{1}<\beta_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\beta_{n-1}<\alpha_{n},
\]

который эквивалентен условию (см.(5.17))
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{\lambda}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)=\sum_{j=1}^{n} \frac{F_{j}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)}{\lambda-\alpha_{j}}=\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}, \\
F_{j}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)>0 \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Если мы имеем другое расположение различных $\alpha_{j}, \beta_{k}$, то можно всегда свести его к приведенному выше случаю, выбирая $\alpha_{j}^{*}$, $\beta_{j}^{*}$ чередующимися и используя приведенные выше равенства.