(a) Предварительные замечания. На ранних этапах развития классической механики конечной целью было интегрирование дифференциальных уравнений движения явно или в квадратурах. Это привело к открытию различных «интегрируемых» систем, таких, как задача Эйлера о двух неподвижных центрах, задача Якоби о геодезических на эллипсоиде, волчок С. Ковалевской в поле тяжести с определенным соотношением главных моментов инерции – если приводить лишь некоторые нетривиальные примеры. Эти усилия и их кульминация в работе Якоби, который умело использовал метод разделения переменных в уравнениях в частных производных и уравнения Гамильтона-Якоби, связанные с механическими системами, позволили установить их интегрируемый характер.

Однако события приняли совершенно другой оборот, когда Пуанкаре показал, что большинство гамильтоновых систем не интегрируемы, и привел аргументы, указывающие на неинтегрируемость задачи трех тел. В том же «отрицательном» направлении лежит открытие Брунса несуществования алгебраических интегралов в задаче трех тел за исключением хорошо известных классических интегралов или их алгебраических функций. Другими словами, интегрируемость гамильтоновых систем не является их общим свойством; она разрушается при малых возмущениях гамильтониана.

Поэтому сейчас обсуждение этих исключительных интегрируемых систем кажется анахронизмом. Однако в последние годы были открыты

различные явления, которые тесно связаны с интегрируемыми гамильтоновыми системами, хотя и имеют совершенно другое происхождение. Одно из них относится к открытию Крускалом и др. [6] так называемых солитонов в уравнении Кортевега-де Фриза – волновых решений дифференциального уравнения в частных производных с сильно устойчивым поведением. Первоначально эти явления были обнаружены с помощью численных экспериментов и позднее связаны с существованием бесконечного числа законов сохранения, которые накладывают строгие ограничения на эволюцию решений. Если интерпретировать дифференциальное уравнение в частных производных, в данном случае уравнение Кортевега-де Фриза, как гамильтонову систему в бесконечномерном функциональном пространстве с определенной симплектической структурой и законами сохранения в качестве интегралов, то это можно рассматривать как пример интегрируемой системы с бесконечным числом степеней свободы. Такой подход был строго развит в работе Захарова и Фаддеева [15].

Совершенно независимо Калоджеро $[2,3]$ обнаружил, что квантовая задача $n$ материальных точек на прямой, взаимодействующих с потенциалом, пропорциональным обратным квадратам расстояний, может быть решена явно, и предположил, что соответствующая классическая задача может быть интегрируемой. Непосредственными вычислениями это было установлено Марчиоро для «задачи трех тел». Более того, Калоджеро применил свою формулу для изучения задачи рассеяния, связанной с $n$-частичной системой в рамках квантовой теории, и нашел, что рассеяние по существу тривиально в том смысле, что асимптотически частицы ведут себя как упруго отталкивающиеся материальные точки.
(b) Результаты. Наша цель – показать тесную алгебраическую связь между этими столь разными задачами. Однако, вместо изучения бесконечномерных задач, связанных с дифференциальными уравнениями в частных производных в одном случае и квантовой теорией в другом, мы ограничимся конечномерными системами. Как было показано Тода [13] и его последователями, уравнение Кортевега-де Фриза можно дискретизировать таким образом, что будет сохранена желаемая интегрируемость. Другая дискретизация, которая приводит к дифференциальным уравнениям
\[
\frac{d u_{k}}{d t}=\frac{1}{2}\left(e^{u_{k+1}}-e^{u_{k-1}}\right), \quad(k=1,2, \ldots, n-1),
\]

(где формально $e^{u_{0}}=0, e^{u_{n}}=0$ ), была предложена М. Кацом и II. ван Мербеке $[8,9]$. Несмотря на то, что данная система не является гамильтоновой системой, она может быть к ней сведена некоторым искусственным образом, как показано в [12]. Замечательно то, что существует $[n / 2]=
u$ полиномов $P_{\mu}$ от $u_{k}$ и $e^{u_{k}}$, являющихся интегралами движения, и если подставить решение дифференциальных уравнений, приведенных выше, то
\[
d P_{\mu} / d t=0 \quad(\mu=1,2, \ldots,
u) .
\]

Более того, все решения могут быть представлены в виде
\[
e^{u_{k}}=R_{k}(\eta),
\]

где $R_{k}$ — рациональные функции от
\[
\eta=\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{
u}\right) \quad \text { и } \quad \eta_{1}=e^{\alpha_{1} t}, \ldots, \eta_{
u}=e^{\alpha_{
u} t} .
\]

Конечно, эти рациональные функции в общем случае нельзя выписать явно, но этого представления достаточно, чтоб дать полное описание проблемы рассеяния, связанной с данной задачей (см. раздел 7 ).

Вместо квантовой задачи Калоджеро рассмотрим соответствующую классическую задачу, описываемую уравнениями
\[
\frac{d^{2} x_{k}}{d t^{2}}=-\frac{\partial U}{\partial x_{k}}, \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
U=\sum_{k<l}\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-2}, \quad k, l=1,2, \ldots, n,
\]

координаты $x_{k}$ материальных точек – различные действительные числа. Эта система, очевидно, гамильтонова с
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}+U,
\]

где $y_{k}$ – импульсы. Мы покажем, что данная гамильтонова система является интегрируемой, то есть обладает $n$ независимыми интегралами $I_{k}=I_{k}(x, y)$, глобально определенными в фазовом пространстве и находящимися в инволюции. В данном случае эти функции фактически

являются полиномами по $y_{k}$ и $\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-1}$. Используя этот результат, довольно легко проверить предположение Марчиоро: частицы имеют асимптотические скорости $\dot{x}_{k}( \pm \infty)$, удовлетворяющие равенствам
\[
\dot{x}_{k}(+\infty)=\dot{x}_{n+1-k}(-\infty) .
\]

Таким образом, после весьма сложного взаимодействия частицы ведут себя как свободные с переставленными скоростями, то есть первая частица имеет при $t \rightarrow \infty$ скорость последней $t \rightarrow-\infty$, и т.д.
В качестве третьего примера мы обсудим уравнение на окружности
\[
\frac{d^{2} x_{k}}{d t^{2}}=-\frac{\partial U}{\partial x_{k}}
\]
$\mathrm{c}$
\[
U=\frac{1}{2} \sum_{k
eq l(\bmod n)} \sin ^{-2}\left(x_{k}-x_{l}\right) .
\]

Здесь $x_{k}$ рассматриваются по модулю $\pi$ как координаты различных точек на окружности. Эти уравнения являются аналогом уравнений Сазерленда [14] в классической механике. Также будет показано, что данная гамильтонова система также является интегрируемой с $n$ интегралами $I_{k}$, представляющими собой полиномы по $y_{k}$ и $\operatorname{ctg}\left(x_{k}-x_{l}\right)$.

В отличие от предыдущих примеров, последняя задача имеет компактную энергетическую поверхность. Следовательно, поверхности $I_{k}=$ const $(k=1,2, \ldots, n)$ компактны и потому, как хорошо известно, являются торами, на которых решения квазипериодичны. Однако функциональные свойства этих решений еще не были удовлетворительно описаны.
(c) Метод Лакса. Все эти задачи объединяет связь с изоспектральными деформациями матриц, оставляющими их собственные значения постоянными, то есть с изоспектральными деформациями. Например, с (1.2) можно связать эрмитову матрицу $L$, с элементами $L_{k l}=y_{k} \delta_{k l}+i\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-1}\left(1-\delta_{k l}\right)$. Тогда (1.2) приводит к дифференциальному уравнению на $L=L(t)$, решения которого имеют постоянные собственные значения. Таким образом, собственные значения и, следовательно, их симметричные функции $I_{k}$ являются интегралами движения. Идея нахождения интегралов движения в виде собственных значений соответствующего линейного оператора $L$ была развита Лак-

сом [10] для уравнения Кортевега-де Фриза, где $L$ задается классическим оператором Штурма-Лиувилля
\[
-\frac{d^{2}}{d x^{2}}+q
\]

и потенциал $q$ должен деформироваться таким образом, чтобы спектр оставался неизменным. Данный вопрос тесно связан с обратной задачей определения спектра по потенциалу. Вместо того, чтобы развивать эти идеи во всей их общности, мы проиллюстрируем их на трех простых примерах, упомянутых выше.

В разделе 2 этот метод иллюстрируется для уравнений (1.1), хотя в этом нет ничего нового. Действительно, Флашка $[4,5]$ впервые заметил, что этот метод может быть применен к цепочке Тода, и данный пример представляет собой лишь незначительную вариацию на эту тему. В разделе 3 с той же точки зрения рассматривается уравнение (1.3), а в разделе 4 делаются выводы, относительно соответствующей задачи рассеяния. Система $n$ частиц на окружности рассмотрена в разделе 5 . Наконец, в разделах 6 и 7 обсуждаются обратная спектральная задача и задача рассеяния, связанные со специальными матрицами Якоби. Последняя приводит к интересному движению, в котором частицы разделяются на пары, каждая из которых обладает отличной от других асимптотической скоростью, в то время как две частицы одной пары имеют равные асимптотические скорости. Фазы рассеяния также могут быть определены с помощью соответствующих дифференциальных уравнений цепочки Тода для конечного числа частиц.
(d) Общие замечания. Данные задачи связаны со множеством тем, кроме касающихся динамических систем. То, что они имеют отношение к изоспектральным деформациям, указывает на связь со спектральной теорией и теорией рассеяния. Функциональный характер решений и рациональность интегралов относятся к теорий функций комплексного переменного. Однако алгебры Ли также играют здесь определенную роль; действительно, рассматриваемые уравнения по своей природе очень похожи на уравнения, изученные Арнольдом в [1], где он обобщил уравнения Эйлера вращения твердого тела на динамические системы с произвольной алгеброй Ли.

Многие из этих связей до сих пор не поняты, и мы надеемся, что изучение данных простых конечномерных систем приведет к дальней-

шим исследованиям, которые прояснят многие вопросы, оставшиеся открытыми.

Я хочу выразить свою благодарность Г.Флашке и Г. Галавотти за многочисленные полезные обсуждения в начале этой работы. Я особенно признателен Галавотти, который указал на работу Калоджеро и настоял на том, что классический аналог должен быть интегрируем.