1. Система, описывающая движение точки на сфере $S^{n}:|x|=1$ под действием квадратичного потенциала $U(x)=\frac{1}{2}\langle a x, x\rangle, \quad a=$ $=\operatorname{diag}\left(a_{0}, \ldots, a_{n}\right)$, является интегрируемой.

Для $n=2$ это было показано К. Нейманом в 1859 году [30], использовавшим метод Якоби разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Сначала мы будем действовать иначе и покажем, что эта система получается редукцией другой интегрируемой системы в $\mathbb{R}^{2(n+1)}$. Потом мы применим разделение переменных.
Уравнения движения имеют вид
\[
\ddot{x}_{
u}=-a_{
u} x_{
u}+\lambda x_{
u},
\]

где $\lambda$ определяется таким образом, что частица остается на сфере. Это приводит к выражению
\[
\lambda=\langle a x, x\rangle-|\dot{x}|^{2} .
\]

Подставляя (2) в (1), мы получим искомую нелинейную систему дифференциальных уравнений, интегрируемость которой мы хотим установить.
2. Сравним эту систему с гамильтоновой системой
\[
\dot{x}_{
u}=H_{y_{
u}}, \quad \dot{y}_{
u}=-H_{x_{
u}} \quad(
u=0,1, \ldots, n),
\]

где
\[
H=\frac{1}{2}\langle a x, x\rangle+\frac{1}{2}\left(|x|^{2}|y|^{2}-\langle x, y\rangle^{2}\right) .
\]

Заметим, что эта система имеет интеграл $|x|^{2}$, так как она инвариантна относительно симплектического действия $(x, y) \rightarrow(x, y+2 x s)$, порожденного $|x|^{2}$. Поэтому имеет смысл говорить о редукции системы по этому интегралу, который мы зафиксируем, полагая $|x|=1$. Стационарная подгруппа $G$ совпадает с $R$ и определяет действие $(x, y) \rightarrow(x, y+2 x s)$. Для описания фактор-многообразия
\[
\{(x, y) ;|x|=1\} / G
\]

выберем точку на прямой $y+2 x s$ с минимальным расстоянием от начала координат, получая при этом редуцированное многообразие в виде
\[
M=\{(x, y) ;|x|=1,\langle x, y\rangle=0\} .
\]

Для определения приведенного потока введем
\[
H^{0}=H-\mu\left(|x|^{2}-1\right)
\]

так, чтобы
\[
\left\{H^{0},|x|^{2}-1\right\}=\left\{H^{0},\langle x, y\rangle\right\}=0 .
\]

Первое условие, очевидно, выполнено, поскольку $|x|^{2}$ – интеграл $H$, а следовательно и $H^{0}$, второе дает
\[
\mu=\frac{1}{2}\langle a x, x\rangle,
\]

а поэтому
\[
\begin{aligned}
H^{0}=\frac{1}{2}\langle a x & , x\rangle-\frac{1}{2}\langle a x, x\rangle\left(|x|^{2}-1\right)+\frac{1}{2}\left(|x|^{2}|y|^{2}-\langle x, y\rangle^{2}\right)= \\
= & \frac{1}{2}\langle a x, x\rangle|x|^{2}-\langle a x, x\rangle\left(|x|^{2}-1\right)+\frac{1}{2}\left(|x|^{2}|y|^{2}-\langle x, y\rangle^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Отбрасывая член $\langle x, y\rangle^{2}$, градиент которого обращается в нуль на $M$, получаем
\[
H^{0}=\frac{1}{2}\left(|y|^{2}+\langle a x, x\rangle\right)|x|^{2}-\langle a x, x\rangle\left(|x|^{2}-1\right)
\]

и дифференциальные уравнения на $M$ в виде
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{
u}=H_{y_{
u}}^{0}=y_{
u}|x|^{2}=y_{
u}, \\
\dot{y}_{
u}=-H_{x_{
u}}=-\left(|y|^{2}+\langle a x, x\rangle\right) x_{
u}-a_{
u} x_{
u}+2\langle a x, x\rangle x_{
u}= \\
=-a_{
u} x_{
u}+\left(\langle a x, x\rangle-|y|^{2}\right) x_{
u},
\end{array}
\]

которые в точности совпадают с системой (1), (2).
Таким образом, мы показали: система (1), (2) получается из (3), (4) редукцией на многообразие $M$.

3. Система (3), (4) интегрируема и обладает рациональными интегралами
\[
F_{
u}(y, x)=x_{
u}^{2}+\sum_{\mu
eq
u} \frac{\left(x_{
u} y_{\mu}-x_{\mu} y_{
u}\right)^{2}}{a_{
u}-a_{\mu}} .
\]

Это функции из предыдущего параграфа с переставленными $x$ и $y$ и, следовательно, находящиеся в инволюции.

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что $H$ вида (4) является функцией $F_{0}, \ldots, F_{n}$. Но легко проверить, что
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{
u=0}^{n} a_{
u} F_{
u}(y, x) .
\]

Таким образом, эта система и геодезический поток на эллипсоиде тесно связаны, хотя и не эквивалентны. Если сделать «годографическое преобразование» $(x, y) \rightarrow(y,-x)$, то интегралы одной системы перейдут в интегралы другой. Одна описывается гамильтонианом вида
\[
\sum_{
u=0}^{n} a_{
u}^{-1} F_{
u}
\]

другая –
\[
\frac{1}{2} \sum_{
u=0}^{n} a_{
u} F_{
u} .
\]

Хотя эта задача исследовалась К.Нейманом еще в 1859 году, он не пришел к алгебраическим интегралам. Они были найдены К. Уленбеком [31] и Девани [32] много лет спустя.

4. Уравнения Гамильтона-Якоби. Мы покажем, как эта задача была решена Нейманом, следовавшим примеру Якоби, который

использовал разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Эта техника требует подходящего выбора системы координат. В данном случае это «эллиптические сферические координаты» (elliptische Kugel koordinaten), которые определяются следующим образом. Для заданных $a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{n}$ и $x=\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \prod_{
u=0}^{n} x_{
u}
eq 0$ определим $u_{j}=u_{j}(x)$ как решения уравнения
\[
\sum_{
u=0}^{n} \frac{x_{
u}^{2}}{z-a_{
u}}=\prod_{j=1}^{n}\left(z-u_{j}\right) / A(z) ; \quad A(z)=\prod_{
u=0}^{n}\left(z-a_{
u}\right),
\]

где $u_{j}$ разделяют $a_{
u}$ так, что
\[
a_{0}<u_{1}<a_{1}<\ldots<u_{n}<a_{n} .
\]

В соответствии с (9) имеем для $z=u_{j}(x)$ :
\[
\left\{\begin{aligned}
\sum_{
u=0}^{n} \frac{x_{
u}^{2}}{z-a_{
u}} & =0, \\
\sum_{
u=0}^{n} x_{
u}^{2} & =1 .
\end{aligned}\right.
\]

Таким образом, $u_{j}(x)$ могут рассматриваться как координаты на сфере. Равенство $z=u_{j}$ определяет пересечение сферы с одним из конфокальных конусов.

Из равенства (9) можно найти $x_{
u}^{2}$ в виде рационального выражения от $u_{j}$, например, вычисляя вычет
\[
x_{
u}^{2}=\frac{U\left(a_{
u}\right)}{A^{\prime}\left(a_{
u}\right)}, \quad \text { где } \quad U(z)=\prod_{j=1}^{n}\left(z-u_{j}\right) .
\]

Эти формулы выражают точку $x$ на сфере $S^{n}$ через $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}$.
Подобно эллиптическим координатам, $u_{j}$ образуют ортогональную систему координат. Действительно, можно показать, что
\[
\left\{\begin{aligned}
d s^{2} & =\sum_{
u=0}^{n}\left(d x_{
u}\right)^{2}=\sum_{j=1}^{n} g_{j} d u_{j}^{2}, \\
g_{j} & =-\frac{1}{4} \frac{U^{\prime}\left(u_{j}\right)}{A\left(u_{j}\right)} .
\end{aligned}\right.
\]

Для доказательства этого вычислим коэффициент при $d u_{j} d u_{k}$ в выражении для $d s^{2}$. Из формулы (10) имеем
\[
\frac{2 d x_{
u}}{x_{
u}}=\sum_{j=1}^{n} \frac{d u_{j}}{u_{j}-a_{
u}} .
\]

Отсюда для коэффициента при $d u_{j} d u_{k}$ получаем
\[
\frac{1}{4} \sum_{
u=0}^{n} \frac{x_{
u}^{2}}{\left(u_{j}-a_{
u}\right)\left(u_{k}-a_{
u}\right)}=\frac{1}{4\left(u_{j}-u_{k}\right)}\left(\sum_{
u=0}^{n} \frac{x_{
u}^{2}}{u_{k}-a_{
u}}-\sum_{
u=0}^{n} \frac{x_{
u}^{2}}{u_{j}-a_{
u}}\right)=0
\]

при $j
eq k$, а при $j=k$
\[
\begin{aligned}
g_{j} & =\frac{1}{4} \sum_{
u=0}^{n} \frac{x_{
u}^{2}}{\left(u_{j}-a_{
u}\right)^{2}}=-\left.\frac{1}{4} \frac{d}{d z} \sum_{
u=0}^{n} \frac{x_{
u}^{2}}{z-a_{
u}}\right|_{z=u_{j}}= \\
& =-\left.\frac{1}{4} \frac{d}{d z} \frac{U(z)}{A(z)}\right|_{z=u_{j}}=-\frac{1}{4} \frac{U^{\prime}\left(u_{j}\right)}{A\left(u_{j}\right)},
\end{aligned}
\]

что доказывает равенства (11) и ортогональный характер этих координат.

Для отыскания дифференциальных уравнений воспользуемся вариационным принципом
\[
\delta \int(T-V) d t=0,
\]

где, согласно (11),
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2}|\dot{x}|^{2}=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} g_{j} \dot{u}_{j}^{2}, \\
V=\frac{1}{2} \sum_{
u=0}^{n} a_{
u} x_{
u}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{
u=0}^{n} a_{
u}-\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} u_{j} .
\end{array}
\]

Второе равенство следует из сравнения коэффициентов при $z^{-2}$ в формуле (9). Если мы введем канонически сопряженные переменные $v_{j}$ :
\[
v_{j}=\frac{\partial T}{\partial \dot{u}_{j}}=g_{j} \dot{u}_{j},
\]

функция Гамильтона принимает вид
\[
H=T+V=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n}\left(g_{j}^{-1} v_{j}^{2}-u_{j}\right),
\]

где мы опустили несущественную константу $\frac{1}{2} \sum_{
u=0}^{n} a_{
u}$. Таким образом, уравнения движения приобретают вид
\[
\dot{u}_{j}=H_{v_{j}}, \quad \dot{v}_{j}=-H_{u_{j}},
\]

а уравнения Гамильтона Якоби
\[
H\left(u, \frac{\partial S}{\partial u}\right)=\text { const. }
\]

Более точно, мы ищем решение $S=S(u, \eta)$, зависящее от $\eta=$ $=\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}\right)$, уравнения
\[
H\left(u, \frac{\partial S}{\partial u}\right)=\eta_{1} .
\]

Тогда каноническое отображение $(u, v) \rightarrow(\xi, \eta)$, определяемое формулами
\[
v_{j}=\frac{\partial S}{\partial u_{j}}, \quad \xi_{j}=\frac{\partial S}{\partial \eta_{j}},
\]

переводит гамильтониан в $H=\eta_{1}$, а дифференциальнье уравнения – в
\[
\dot{\xi}_{j}=\delta_{j_{1}}, \quad \dot{\eta}_{j}=0 .
\]

Это – стандартное использование уравнений Гамильтона-Якоби.

5. Разделение переменных. Успех такого подхода зависит от того, удастся ли нам решить уравнение (13), которое принимает форму
\[
\sum_{j=1}^{n}\left(g_{j}^{-1}\left(\frac{\partial S}{\partial u_{j}}\right)^{2}-u_{j}\right)=2 \eta_{1},
\]

где $g_{j}$ определены в (11).

Для решения этого уравнения разделением переменных мы воспользуемся тождеством, которое часто применял Якоби. Пусть
\[
P(z)=\eta_{1} z^{n-1}+\eta_{2} z^{n-2}+\ldots+\eta_{n} ;
\]

тогда
\[
\sum_{j=1}^{n} \frac{P\left(u_{j}\right)}{U^{\prime}\left(u_{j}\right)}=\eta_{1}, \quad \sum_{j=1}^{n} \frac{u_{j}^{n}}{U^{\prime}\left(u_{j}\right)}=\sum_{j=1}^{n} u_{j} .
\]

Для доказательства этого заметим, что левая часть первого соотношения есть сумма вычетов
\[
\frac{1}{2 \pi i} \int \frac{P(z)}{U(z)} d z
\]

после чего первое равенство становится очевидным. Второе равенство доказывается аналогичным образом.

Перепишем уравнение (16), используя выражения для $g_{j}(11)$ и $B_{j}=-4 A\left(u_{j}\right) S_{u_{j}}^{2}:$
\[
\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{B_{j}}{U^{\prime}\left(u_{j}\right)}-u_{j}\right)-2 \eta_{1}=0 .
\]

Используя тождества (17), последнее может быть записано в виде
\[
\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{U^{\prime}\left(u_{j}\right)}\left(B_{j}-u_{j}^{n}-2 P\left(u_{j}\right)\right)=0 .
\]

Таким образом, мы можем решить это уравнение, приравнивая нулю каждый его член:
\[
B_{j}-u_{j}^{n}-2 P\left(u_{j}\right)=-4 A\left(u_{j}\right) S_{u_{j}}^{2}-u_{j}^{n}-2 P\left(u_{j}\right)=0 .
\]

Полагая
\[
Q(z)=z^{n}+2 \eta_{1} z^{n-1}+\ldots+2 \eta_{n},
\]

получаем, что уравнение распадается на $n$ уравнений вида
\[
\left(\frac{\partial S}{\partial u_{j}}\right)^{2}=-\frac{Q\left(u_{j}\right)}{4 A\left(u_{j}\right)},
\]

решение которых имеет вид
\[
S=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \int_{0}^{u_{j}} \sqrt{\frac{Q(z)}{-A(z)}} d z .
\]

Вводя многочлен $R(z)=-A(z) Q(z)$, приводим дифференциальные уравнения (15) к виду
\[
\left.\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \frac{z^{p}}{\sqrt{R(z)}}\right|_{z=u_{j}} \frac{d u_{j}}{d t}=\delta_{p, n-1} \quad(p=0,1, \ldots, n-1) .
\]

Ясно, что $\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}$ являются интегралами в инволюции, и интересно выяснить их отношение к рациональным интегралам, полученным ранее. Для этого запишем
\[
\frac{Q(z)}{A(z)}=\sum_{
u=0}^{n} \frac{M_{
u}}{z-a_{
u}}
\]

в виде суммы простых дробей. Очевидно, что коэффициенты $M_{
u}$ представляют собой функции от $\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}$ и, следовательно, являются инволютивными интегралами. Мы утверждаем, что $M_{
u}=F_{
u}$ – интегралы, полученные выше.
Дадим набросок доказательства. Поскольку как $Q(z) / A(z)$, так и
\[
\sum_{
u=0}^{n} \frac{F_{
u}}{z-a_{
u}}
\]

есть интегралы движения, то достаточно отождествить их в некоторой точке на орбите.

Для этого рассмотрим нули $Q(z): z=q_{j}$. В этих точках из уравнений (18) имеем $\dot{u}=0$, а следовательно, $\dot{x}=0$, и поэтому последнее выражение сводится к
\[
\sum_{
u=0}^{n} \frac{x_{
u}^{2}}{z-a_{
u}}=\frac{U(z)}{A(z)},
\]

которое обращается в нуль в точности при $z=u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}$. Из дифференциальных уравнений (18) легко получить, что $u_{j}=0$ только в том случае, когда $u_{j}$ совпадает с одним из корней $R(z)$ –

$a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$. Вследствие упорядоченности $\left(9^{\prime}\right)$ имеем $q_{j}=u_{j}$. Итак, рациональная функция (19) имеет те же нули и полюсы, что и (20), в случае, если $\dot{u}_{j}=0$. Поскольку оба выражения есть интегралы, они отличаются только множителем, который совпадает с 1 вследствие одинакового асимптотического поведения на бесконечности. Следовательно, мы имеем тождество
\[
\sum_{
u=0}^{n} \frac{F_{
u}}{z-a_{
u}}=\frac{Q(z)}{A(z)} .
\]

Эта формула показывает, что $F_{
u}$ есть функции $\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}$ и, следовательно, интегралы в инволюции.