Главная > ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ (Ю.Мозер)
<< Предыдущий параграф
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. Отображение Шварца-Кристоффеля.
Показатель Флоке $w=w(\lambda)$ для конечнозонного случая приводит к конформному отображению $\operatorname{Im} \lambda>0$ в область с разрезами. Из (4.15) следует, что область значений лежит во втором квадранте. Кроме того, $\alpha(\lambda)=\operatorname{Im} w(\lambda)$ постоянна в щелях (см. теорему 4.7). Так как $\alpha(\lambda)=0$ при действительных $\lambda \leqslant \lambda_{0}=\alpha_{1}$, эта часть действительной оси отображается на отрицательную действительную ось. Если воспользоваться тем, что функция $G(x, x ; \lambda)
eq 0$ и является чисто мнимой в зонах, то, как легко проверить, $w=w(\lambda)$ отображает область с разрезами на верхнюю полуплоскость, показанную на рисунке; $n-1$ зона конечной длины переходят в $n-1$ разрезов, а щели отображаются на части мнимой оси.
Рис. 5
Это отображение задается формулой Шварца-Кристоффеля
\[
w(\lambda)=\int_{\lambda_{0}}^{\lambda} p(\lambda)\left(-\prod_{j=0}^{2 N}\left(\lambda-\lambda_{j}\right)\right)^{-\frac{1}{2}} d \lambda,
\]

где $p(\lambda)$ – полином степени $n-1=N$, что согласуется с (5.21). Нули

полинома $p(\lambda)$ отображаются в концы разрезов. Из асимптотического поведения $w \sim-\sqrt{-\lambda}$ можно заключить, что отображение биективно.

Вместо задания $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 N}$ мы могли бы задать область, описываемую $\omega_{j}, h_{j}>0, j=1,2, \ldots, N=n-1$ и $\lambda_{0}=\alpha_{1}$, где $i \omega_{j}$ соответствует $w\left(\alpha_{j+1}\right)=w\left(\beta_{j}\right)$ и $h_{j}>0$ – «высоте» $j$-го разреза. По теореме Римана об отображении, существует единственное конформное отображение области с разрезами, описываемой $\omega_{j}, h_{j}(j=1,2, \ldots, n-1)$, на верхнюю полуплоскость, переводящее $w=0$ в $\lambda=\lambda_{0}=\alpha_{1}$, которое имеет асимптотическое поведение
\[
\lambda \sim-w^{2} \quad \text { или } \quad w \sim-\sqrt{-\lambda}
\]

на бесконечности. Очевидно, $\lambda_{0}=\alpha_{1}$ можно отнормировать на нуль с помощью трансляции так, чтобы спектр можно было бы описать $2 N$ положительными числами $\lambda_{j}-\lambda_{0}(j=1,2, \ldots, N)$ или, что эквивалентно, $2 N$ положительными числами $\omega_{j}, h_{j}$.

2. Базис частотного модуля.
Как нам известно из рассмотрения механической модели, конечнозонные потенциалы являются квазипериодическими, и частотный модуль $\mathscr{M}(q)$ в общем случае есть линейная оболочка $n-1=N$ частот.
Теорема 6.1. Дая конечнозонного потенииала $q=q(x)$ частотный модуль есть линейная оболочка частот $\omega_{j}=w\left(\beta_{j}\right), j=1,2, \ldots$, $n=N-1$.

Доказательство оказывается относительно простым, если воспользоваться отмеченной связью с механической задачей.

Пусть $\omega_{1}^{\prime}, \omega_{2}^{\prime}, \ldots, \omega_{N}^{\prime}$ – частотный базис модуля $\mathscr{M}(q)$, где мы предполагаем, во-первых, что рассматриваем общую ситуацию с $N$ рационально независимыми частотами. Тогда, как мы знаем из теоремы 4.7,
\[
2 i \omega_{k}=2 w\left(\beta_{k}\right)=i \sum_{
u=1}^{N} j_{
u k} \omega_{
u}^{\prime} \quad k=1,2, \ldots, N
\]

с целыми $j_{
u k}$. Разумеется, $\omega_{
u}^{\prime}$ определены с точностью до унимодулярного преобразования. Для определения этих целых чисел устремим высоты $h_{k}$ к нулю и проверим, что в этом случае частотный базис может быть приближенно задан формулами
\[
\begin{array}{c}
\omega_{
u}^{\prime} \sim 2 \sqrt{\alpha_{
u+1}-\alpha_{1}} \quad(
u=1,2, \ldots, n-1), \\
\omega_{
u} \sim \sqrt{\alpha_{
u+1}-\alpha_{1}},
\end{array}
\]

так, что в этом предельном случае мы можем положить $j_{
u k}=\delta_{
u k}$ в (6.1). Из непрерывной зависимости частот от $h_{k}$ и того, что $j_{
u k}$ целые числа, можно заключить, что $\omega_{k}^{\prime}=\omega_{k}$ образуют частотный базис и для положительных $h_{k}$. Рассуждая еще раз по непрерывности, мы можем освободиться от предположения, что $\omega_{
u}^{\prime}$ рационально независимы.

Остается доказать оценки (6.2) и (6.3). Последнее достаточно просто, так как при $h_{k} \rightarrow 0$ потенциал стремится к постоянному потенциалу
\[
q(x) \rightarrow \alpha_{1}
\]

и поэтому
\[
w(\lambda) \rightarrow-\left(\alpha_{1}-\lambda\right)^{\frac{1}{2}}
\]

Следовательно,
\[
i \omega_{
u}=w\left(\alpha_{
u+1}\right) \rightarrow-\left(\alpha_{1}-\alpha_{
u+1}\right)^{\frac{1}{2}}=i \sqrt{\alpha_{
u+1}-\alpha_{1}},
\]

что и доказывает (6.3).
Для проверки (6.2) требуется найти частотный базис для функции $q(x)$, при условии, что $h_{k}$ малы или $n-1$ длин щелей $\alpha_{
u+1}-\beta_{
u}$ стремятся к нулю.

Определим сначала решения механической задачи (5.14), которые соответствуют $\alpha_{
u+1}-\beta_{
u}=0$. Используя (5.17), мы получаем в этом предельном случае
\[
\Phi_{\lambda}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)=\sum_{j=1}^{n} \frac{F_{j}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)}{\lambda-\alpha_{j}}=\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}=\frac{1}{\lambda-\alpha_{1}},
\]

так как другие нули и полюсы попарно взаимно уничтожаются. Следовательно, мы имеем для этих решений
\[
F_{1}=1, \quad F_{2}=F_{3}=\ldots=F_{n}=0 .
\]

Используя явный вид (3.9) функции $F_{k}$, мы видим, что в силу неравенства $\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{n}$ все члены $F_{n}$ положительные, следовательно, $F_{n}=0$ означает, что $\psi_{n}=0$. По индукции мы заключаем $\psi_{2}=\psi_{3}=\ldots=\psi_{n}=0, \psi_{1}= \pm 1$. Следовательно, вектор $\psi=\psi(x)$ соответствует стационарному решению $\psi= \pm e_{1}$ уравнения (5.14).

Для изучения решений вблизи равновесного решения мы линеаризуем (5.14). Используя $\delta_{
u j}=\xi_{j}, j=2, \ldots, n$ в качестве локальных координат вблизи $\psi= \pm e_{1}$, находим из (5.14)
\[
\ddot{\xi}_{j}=\left(-\alpha_{j}+\alpha_{1}\right) \xi_{j}, \quad j=2, \ldots, n .
\]

Характеристические показатели чисто мнимые и равны $\pm i \sqrt{\alpha_{j}-\alpha_{1}}$ $(j=2, \ldots, n)$, а стационарное решение устойчиво. Решения являются линейными комбинациями
\[
\exp \left( \pm i \sqrt{\alpha_{j}-\alpha_{1}} x\right),
\]

с частотами $\sqrt{\alpha_{j}-\alpha_{1}}$. По формуле (5.16) частоты потенциала $q$ задаются формулами $\omega_{j}^{\prime}=2 \sqrt{\alpha_{j}-\alpha_{1}}$, что доказывает (6.2) и, следовательно, теорему 6.1.

Из теоремы 6.1 следует, что конечнозонный потенциал с периодом $l=\pi$ описывается целыми $\omega_{j}$. Действительно, это остается справедливым, даже если имеется бесконечно много щелей. В более общем смысле, эта теорема позволяет нам построить конечнозонные потенциалы с заданным частотным модулем.

3. Стационарные решения и их устойчивость.
Мы видели, что $\pm e_{1}$ – стационарные решения механической задачи. Легко видеть, что самые общие стационарные решения задаются собственными векторами $A=\operatorname{diag}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ т.е. $\psi= \pm e_{k}$. Для изучения их устойчивости вычислим $2(n-1)$ характеристических показателей
\[
\pm \sqrt{\alpha_{k}-\alpha_{
u}} ; \quad
u
eq k .
\]

Из этих показателей $2(k-1)$ – действительные, а остальные $2(n-k)$ чисто мнимые. Следовательно, $\pm e_{1}$ – единственные устойчивые стационарные решения, а $\pm e_{k}$ для $k \geqslant 2$ имеет неустойчивое многообразие $W_{-}\left( \pm e_{k}\right)$ размерности $k-1$ и устойчивое многообразие $W_{+}\left( \pm e_{k}\right)$ размерности $n-k$.

Ясно, что решения на устойчивом или неустойчивом многообразии приближаются к стационарному решению экспоненциально при $t \rightarrow+\infty, t \rightarrow-\infty$, соответственно. В любом случае эти решения не квазипериодические, и мы хотим изучить их роль для спектральной задачи.

Для этого заметим, что для $\psi= \pm e_{k}, \psi^{\prime}=0$ интегралы $F_{j}$ (см. (3.9)) удовлетворяют соотношениям
\[
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{F}_{j}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)=0 \quad \text { для } \quad j
eq k \\
\boldsymbol{F}_{k}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)=1
\end{array}\right.
\]

и, следовательно, с учетом (3.8)
\[
\Phi_{\lambda}\left(\psi^{\prime}, \psi\right)=\frac{1}{\lambda-\alpha_{k}} .
\]

Сравнивая это с (5.17), мы можем рассматривать это выражение как предельный случай, где
\[
\begin{array}{rll}
\beta_{
u}-\alpha_{
u} \rightarrow 0 & \text { при } &
u=1,2, \ldots, k-1, \\
\alpha_{
u+1}-\beta_{
u} \rightarrow 0 & \text { при } &
u=k, \ldots, n .
\end{array}
\]

Другими словами, мы сжимаем первые $k-1$ зон и последние $n-k$ щелей. В пределе мы получаем полубесконечный разрез от $\alpha_{k}$ до $+\infty$ и $k-1$ точек $\alpha_{
u}=\beta_{
u}$ при $
u \leqslant k-1$.

В результате получается риманова поверхность, которая является сферой с $k-1$ дырками. В этом случае дифференциалы первого рода могут быть проинтегрированы в логарифмах и мы сможем выписать соответствующие решения и потенциалы в явном виде.
\[
\alpha_{1}=\beta_{1} \quad \alpha_{k-1}=\beta_{k-1} \quad \alpha_{k}
\]

Ясно, что устойчивые и неустойчивые многообразия $W_{ \pm}\left(e_{k}\right)$ также лежат на интегральных многообразиях, заданных соотношениями (6.5), или, что эквивалентно, (6.6). Пользуясь явной формулой (3.9), можно заключить из (6.5), что на $W_{ \pm}\left(e_{k}\right)$ выполняются соотношения $\psi_{k+1}=\ldots=\psi_{n}=0, \psi_{k+1}^{\prime}=\ldots=\psi_{n}^{\prime}=0$, и достаточно изучить $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{k}$ в зависимости от $t$. Другими словами, задача сводится к движению материальной точки на ( $k-1$ )-мерной сфере и $n$ заменяется на $k$. Эквивалентная формулировка – достаточно рассмотреть случай $k=n$ и движение на $W_{ \pm}\left( \pm e_{n}\right)$.

4. Поток на неустойчивом многообразии $W_{+}\left(e_{n}\right)$.
Сначала может показаться неожиданным, что экспоненциально убывающее решение, устойчивое многообразие, может выступать как

предельный случай почти периодических решений. Но это явление легко иллюстрируется примером нелинейного маятника, заданного дифференциальным уравнением
\[
\ddot{y}=\varkappa^{2} \sin y,
\]

которое имеет интеграл
\[
G=\frac{\dot{y}^{2}}{2}+\varkappa^{2}(\cos y-1)=\frac{\dot{y}^{2}}{2}-2 \varkappa^{2} \sin ^{2} \frac{y}{2} .
\]

Знакомая фазовая картина линий уровня показывает, что решения для положительного или отрицательного $G$ – периодические, но для $G=0$ стремятся к неустойчивому равновесию $y=0(\bmod 2 \pi)$.
Рис. 6
Оказывается, что рассматриваемый пример нелинейного маятника соответствует движению в задаче Неймана для $n=2$. Действительно, в этом простом случае мы имеем движение на окружности
\[
\psi_{1}^{2}+\psi_{2}^{2}=1 .
\]

Если мы параметризуем эту окружность углом $\theta$ :
\[
\psi_{1}=\sin \theta, \quad \psi_{2}=\cos \theta,
\]

то дифференциальное уравнение принимает вид
\[
2 \ddot{\theta}=\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right) \sin 2 \theta,
\]

которое для $y=2 \theta, \varkappa^{2}=\alpha_{2}-\alpha_{1}$ совпадает с (6.7). Решения этого уравнения задаются эллиптическими интегралами, которые вырождаются на устойчивых и неустойчивых многообразиях $G=0$.
В этом случае мы имеем
\[
\dot{\theta}= \pm \varkappa \sin \theta, \quad \varkappa=\sqrt{\alpha_{2}-\alpha_{1}} .
\]

Проинтегрируем эти уравнения, вводя независимую переменную $\tau=$ $=\operatorname{tg} \theta / 2$ так, что
\[
\begin{array}{l}
\psi_{1}=\sin \theta=\frac{2 \tau}{1+\tau^{2}}, \\
\psi_{2}=\cos \theta=\frac{1-\tau^{2}}{1+\tau^{2}}, \\
\frac{d \tau}{d t}=\dot{\theta} \frac{1+\tau^{2}}{2}= \pm \varkappa \tau,
\end{array}
\]

или
\[
\tau=\tau(0) \exp ( \pm \varkappa t) .
\]

С точностью до сдвига фазы и перемены знака решения принимают следующий вид:
\[
\psi_{1}(t)=(\operatorname{ch} \varkappa)^{-1} ; \quad \psi_{2}(t)=\text { th } \varkappa t .
\]

Используем эти решения для спектральной задачи. Согласно (5.16) и $\alpha_{1}=\beta_{1}$ они дают потенциал
\[
q(t)=2\left(\alpha_{1} \psi_{1}^{2}+\alpha_{2} \psi_{2}^{2}\right)-\alpha_{2},
\]

или
\[
q(t)-\alpha_{2}=\frac{-2 \varkappa^{2}}{(\operatorname{ch} \varkappa t)^{2}}, \quad \varkappa^{2}=\alpha_{2}-\alpha_{1} .
\]

Это хорошо известный (безотражательный) потенциал, для которого спектр непрерывный в $\left[\alpha_{2}, \infty\right]$ и который имеет точечное собственное значение $\lambda=\alpha_{1}<\alpha_{2}$ с собственной функцией $\psi_{1}(t)$ (см. (6.8)). Заметим, что $\psi_{2}$, разумеется, является решением уравнения $\varphi^{\prime \prime}=(q-\lambda) \varphi$ при $\lambda=\alpha_{2}$, но $\psi_{2}$ не принадлежит $L^{2}(R)$, и поэтому $\lambda=\alpha_{2}$ не является собственным значением.

Эти формулы могут быть обобщены на произвольное $n$, и мы можем найти явные выражения (рациональные относительно показателей) для решений на $W_{ \pm}\left(e_{n}\right)$. Соответствующие потенциалы называются потенциалами Баргмана. Действительно, в этом случае мы начнем с формул для потенциала Баргмана и даже получим решения механической задачи.

5. Потенциалы Баргмана.
Воспользуемся явной формулой для безотражательных потенциалов с заданными отрицательными собственными значениями $-\varkappa_{1}^{2}, \ldots$, $-\varkappa_{N}^{2}$, где $0<\varkappa_{1}<\varkappa_{2}<\ldots<\varkappa_{N}$, которая была получена В. Баргманом.

Они могут быть записаны в виде
\[
\left\{\begin{aligned}
q & =-2\left(\frac{d}{d x}\right)^{2} \log \Delta, \\
\Delta & =\operatorname{det}\left(\delta_{i j}+\frac{\eta_{i} \eta_{j}}{\varkappa_{i}+\varkappa_{j}}\right) \quad i, j=1,2, \ldots, N, \\
\eta_{j} & =a_{j} \exp \left(-\varkappa_{j} x\right) .
\end{aligned}\right.
\]

Здесь $a_{1}, \ldots, a_{N}-N$ произвольных констант. Это – рациональные функции экспонент $\eta_{j}=a_{j} \exp \left(-\varkappa_{j} x\right)$. Первоначальный вывод этих формул был основан на теории Гельфанда и Левитана.

Другое представление может быть получено прямым вычислением при помощи непосредственной подстановки одного из собственных значений. Для этого представим приведенный выше потенциал $q$ в другой форме (подробности см. в [5]).
Положим
\[
\chi_{j}=\left\{\begin{array}{ll}
\operatorname{ch}\left(\varkappa_{j} x+\delta_{j}\right) & \text { при } j \text { нечетных }, \\
\operatorname{sh}\left(\varkappa_{j} x+\delta_{j}\right) & \text { при } j \text { четных },
\end{array}\right.
\]

и определим вронскиан
\[
W_{N}=W\left(\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots, \chi_{N}\right) .
\]

Если записать этот детерминант как полином от $\xi_{j}=\exp \left(\varkappa_{j} x+\delta_{j}\right)$ и $\xi_{j}^{-1}$, то можно найти, что его коэффициенты являются положительными и, следовательно $W_{N}>0$. (Объясняется это тем, что $\chi_{j}$ были выбраны попеременно как $\mathrm{ch}$, и sh). Нетрудно проверить, что $W_{N}$ связан с детерминантом $\Delta$ в (6.10) соотношением
\[
\Delta=2^{N} \prod_{i>j}\left(\varkappa_{i}-\varkappa_{j}\right) \prod_{j=1}^{N} \exp \left(\varkappa_{j} x+\delta_{j}\right) W_{N},
\]

где
\[
a_{j}=(-1)^{N-j} r^{\prime}\left(\varkappa_{j}\right) \exp \left(2 \delta_{j}\right) ; \quad r(z)=\prod_{i=1}^{N} \frac{z-\varkappa_{i}}{z+\varkappa_{i}} .
\]

Поэтому
\[
\left(\frac{d}{d x}\right)^{2} \log \Delta=\left(\frac{d}{d x}\right)^{2} \log W_{N},
\]

и можно представить $q$ формулой (6.10) с $W_{N}$ вместо $\Delta$.

Если положить
\[
\varphi(x, k)=\frac{W\left(\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots, \chi_{N}, \exp (k x)\right)}{W_{N}},
\]

где числитель – вронскиан от $N+1$ функций, то
\[
\left(\frac{d}{d x}\right)^{2} \varphi(x, k)=\left(q+k^{2}\right) \varphi(x, k) ;
\]

иначе говоря, мы имеем явную формулу для решения дифференциального уравнения с $\lambda=-k^{2}$. При $k
eq \varkappa_{j}$ находим асимптотическое поведение
\[
\varphi(x, k) \sim \prod_{j=1}^{N}\left(k-\varkappa_{j}\right) \exp (k x) \quad \text { при } \quad x \rightarrow \pm \infty .
\]

Но для $k=\varkappa_{j}$ эти решения квадратично интегрируемы и стремятся к нулю при $x \rightarrow \pm \infty$. Мы находим, что
\[
\varphi\left(x, \varkappa_{j}\right) \sim \text { const } \exp \left(-\varkappa_{j} x\right) \text { при } \quad x \rightarrow+\infty .
\]

При $k=\varkappa_{j}$ можно упростить формулу (6.13), приведя ее к виду
\[
\left\{\begin{array}{l}
\varphi\left(x, \varkappa_{j}\right)=c_{j} \frac{W\left(\chi_{1}, \ldots, \hat{\chi}_{j}, \ldots, \chi_{N}\right)}{W_{N}}, \\
c_{j}=\exp \left(\delta_{j}\right)(-1)^{j} \varkappa_{j} \prod_{
u
eq j}\left(\varkappa_{j}^{2}-\varkappa_{
u}^{2}\right),
\end{array}\right.
\]

где шляпка показывает, что $\hat{\chi}_{j}$ нужно опустить.
Можно утверждать, что функции
\[
\left\{\begin{aligned}
\psi_{j} & =b_{j} \psi\left(x, \varkappa_{j}\right) ; & b_{j} & =\frac{\exp \left(\delta_{j}\right)}{\varkappa_{j} \prod_{
u
eq j}\left|\varkappa_{j}^{2}-\varkappa_{
u}^{2}\right|^{\frac{1}{2}}} \\
\psi_{0} & =b_{0} \varphi(x, 0) ; & b_{0} & =\prod_{j=1}^{N} \varkappa_{j}^{-1}
\end{aligned}\right.
\]

являются решениями дифференциальных уравнений
\[
\psi_{j}^{\prime \prime}=\left(q+\varkappa_{j}^{2}\right) \psi_{j}, \quad j=1,2, \ldots, N
\]

и удовлетворяют соотношению
\[
\sum_{j=0}^{N} \psi_{j}^{2}=1
\]

Для доказательства заметим, что
\[
f(x, k)=\frac{\varphi(x, k)}{\prod\left(k-\varkappa_{j}\right)} \sim \exp (k x) \quad \text { при } \quad x \rightarrow \infty .
\]

Мы можем использовать $f(x, k), f(x,-k)$ как решения, спадающие, соответственно, при $x \rightarrow+\infty$ и при $x \rightarrow-\infty$, до нуля. Их вронскиан равен $-2 k$. Рассмотрим функцию
\[
\frac{f(x, k) f(x,-k)}{k}=\frac{\varphi(x, k) \varphi(x,-k)}{(-1)^{N} k \prod_{j=1}^{N}\left(k^{2}-\varkappa_{j}^{2}\right)},
\]

которая рациональна по $k$. При $k \rightarrow \infty$ она ведет себя, как $k^{-1}$, и поэтому
\[
1=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|k|=\mathbb{R}} \frac{f(x, k) f(x,-k)}{k} d k,
\]

если мы интегрируем по большой окружности. Если мы вычислим вычеты в $k= \pm \varkappa_{j}$ и воспользуемся тем, что
\[
\varphi\left(x,-\varkappa_{j}\right)=(-1)^{j} \exp \left(\delta_{j}\right) \varphi\left(x, \varkappa_{j}\right),
\]

то получим (6.18).
Формулы (6.17), (6.18) можно рассматривать как решение механической задачи. Если положить
\[
\alpha_{n}=0, \quad \alpha_{n-j}=-\varkappa_{j}^{2}, \quad j=1,2, \ldots, N=n-1,
\]

то увидим, что $\psi_{j}$ из (6.16) – решения задачи Неймана. Если говорить более точно, индексы должны идти в обратном порядке: $j \rightarrow n-j$. С учетом (6.14) можно заключить, что $\psi_{j} \sim \operatorname{const} \exp \left(\varkappa_{j} x\right)$, т. е. эти решения экспоненциально стремятся к $\psi_{j}= \pm \delta_{j n}$. Действительно, так как величины
\[
\varkappa_{j}=\sqrt{-\alpha_{n-j}}=\sqrt{\alpha_{n}-\alpha_{n-j}}
\]

являются характеристическими показателями при $e_{n}$, а решения (6.16) – решениями на устойчивом многообразии $W_{+}\left(e_{n}\right)$. Так как они зависят от $N=n-1$ параметров $\delta_{j}$, то представляют все решения, определяющие $W_{+}\left(e_{n}\right)$.

Итак мы нашли явные формулы для решений на устойчивом многообразии и увидели, что они являются рациональными функциями от экспонент $\exp \left(\varkappa_{j} x+\delta_{j}\right)$. Для $N=n-1=1$ это решения (6.8) при $\delta_{1}=0$. Соответствующие потенциалы $q(x)$ также рациональны и убывают до нуля при $x \rightarrow \pm \infty$.

Эта геометрическая картина ясно показывает, что затухающие потенциалы Баргмана получаются как предельные случаи квазипериодических потенциалов. Геометрически это соответствует особенностям слоения, заданного интегралами, вследствие линейной зависимости градиентов интегралов.

6. Фокусирующее свойство на $S^{2}$.
Для дальнейшего применения выпишем эти решения явно при $N=2$, т.е. для потока на двумерной сфере в $\mathbb{R}^{2}$. В этом случае находим
\[
\begin{array}{c}
\chi_{1}=\operatorname{ch}\left(\varkappa_{1} x+\delta_{1}\right), \quad \chi_{2}=\operatorname{sh}\left(\varkappa_{2} x+\delta_{2}\right), \\
W_{2}=\chi_{1} \chi_{2}^{\prime}-\chi_{1}^{\prime} \chi_{2}>0
\end{array}
\]

и
\[
\left\{\begin{array}{l}
\psi_{1}=-\sqrt{\varkappa_{2}^{2}-\varkappa_{1}^{2}} \frac{\chi_{2}}{W_{2}}, \\
\psi_{2}=\sqrt{\varkappa_{2}^{2}-\varkappa_{1}^{2}} \frac{\chi_{1}}{W_{2}}, \\
\psi_{0}=\frac{1}{\varkappa_{1} \varkappa_{2}} \frac{\varkappa_{2}^{2} \chi_{1}^{\prime} \chi_{2}-\varkappa_{1}^{2} \chi_{1} \chi_{2}^{\prime}}{W_{2}} .
\end{array}\right.
\]

Нетрудно проверить, что это решения уравнения
\[
\psi_{j}^{\prime \prime}=\left(q+\varkappa_{j}^{2}\right) \psi_{j}, \quad j=0,1,2 ; \quad \varkappa_{0}=0
\]
c
\[
q=-2\left(\frac{d}{d x}\right)^{2} \log W_{2},
\]

удовлетворяющее соотношению
\[
\psi_{0}^{2}+\psi_{1}^{2}+\psi_{2}^{2}=1
\]

Кроме того, при $x \rightarrow \infty$ находим
\[
\psi_{0} \rightarrow 1, \quad \psi_{1} \rightarrow 0, \quad \psi_{2} \rightarrow 0
\]
т.е. указанные решения принадлежат устойчивому многообразию $W_{+}\left(e_{0}\right)$.

Замечательный геометрический факт заключается в том, что все орбиты $W_{+}\left(e_{0}\right)$ проходят через некоторую точку, а именно,
\[
\left(\psi_{0}, \psi_{1}, \psi_{2}\right)=\left(-\frac{\varkappa_{1}}{\varkappa_{2}}, 0, \pm \sqrt{1-\left(\frac{\varkappa_{1}}{\varkappa_{2}}\right)^{2}}\right) .
\]

Действительно, когда орбита проходит через плоскость $\psi_{1}=0$, мы в силу (6.19) имеем
\[
\chi_{2}=\operatorname{ch}\left(\varkappa_{2} x+\delta_{2}\right)=0,
\]

и поэтому
\[
\psi_{0}=-\frac{1}{\varkappa_{1} \varkappa_{2}} \frac{\varkappa_{1}^{2} \chi_{1} \chi_{2}^{\prime}}{\chi_{1} \chi_{2}^{\prime}}=-\frac{\varkappa_{1}}{\varkappa_{2}} .
\]

Для третьей компоненты это следует из (6.20).
Для конфокальных конических поверхностей
\[
\frac{\chi_{0}^{2}}{\lambda}+\frac{\chi_{1}^{2}}{\lambda+\varkappa_{1}^{2}}+\frac{\chi_{2}^{2}}{\lambda+\varkappa_{2}^{2}}=0
\]

получаем особый конус для $\lambda=-\varkappa_{1}^{2}$, определяемый прямыми, проходящими через точки (6.21). То, что все орбиты устойчивого многообразия $W_{+}\left(e_{0}\right)$ проходят через фокальную точку, сообщил мне Р. Мак-Гихи.

7. $N$-солитоны.
Хорошо известно, что формула (6.10) может быть использована для построения частного решения уравнения Кортевега-де Фриза (1.2). Более точно, если заменить в (6.10) $\eta_{j}$ на
\[
\eta_{j}=a_{j} \exp \left(-\varkappa_{j} x+4 \varkappa_{j} t^{3}\right),
\]

то полученный потенциал $q=q(x, t)$ есть решение уравнения КдФ. Аналогично, выражения (6.11) нужно заменить на
\[
\chi_{j}=\left\{\begin{array}{ll}
\operatorname{ch} \theta_{j} & \text { при } j \text { нечетных }, \\
\operatorname{sh} \theta_{j} & \text { при } j \text { четных, }
\end{array}\right.
\]

c
\[
\theta_{j}=\varkappa_{j}\left(x-4 \varkappa_{j}^{2} t\right)+\delta_{j} .
\]

Такие потенциалы $q(x, t)$ распадаются при $t \rightarrow \pm \infty$ на $N$ солитонов, и поэтому эти решения называют $N$-солитонами. Формулы (5.16) переходят в
\[
q(x, t)=-2 \sum_{j=1}^{N} \varkappa_{j}^{2} \psi_{j}^{2},
\]

где $\psi_{j}=\psi_{j}(x, t)$ определены формулой (6.16), если произвести указанные замены.

Мы хотим объяснить эффект фокусировки на 2-сфере, чтобы продемонстрировать удивительный факт, что график 2-солитона
\[
\left(t, x, q=-2\left(\varkappa_{1}^{2} \psi_{1}^{2}+\varkappa_{2}^{2} \psi_{2}^{2}\right)\right)
\]

содержит прямую линию, заданную соотношением
\[
x-4 \varkappa_{2}^{2} t=\text { const }, \quad q=-2\left(\varkappa_{2}^{2}-\varkappa_{1}^{2}\right) .
\]

Следовательно, на 2-солитоне существует точка, которая движется со скоростью более быстрого солитона, оставаясь на постоянной высоте.

Доказательство этого факта – непосредственное вычисление. Определим переменную $x$ так, чтобы $\psi=0$, что по формуле (6.19) соответствует
\[
\chi_{2}=\operatorname{sh} \theta_{2}=0,
\]

или
\[
x-4 \varkappa_{2}^{2} t=-\frac{\delta_{2}}{\varkappa_{2}}=\text { const. }
\]

Эти значения $x$ соответствуют фокусу, что приводит вследствие $(6.21)$ к
\[
\psi_{0}^{2}=\left(\frac{\varkappa_{1}}{\varkappa_{2}}\right)^{2}, \quad \psi_{1}=0, \quad \psi_{2}^{2}=1-\left(\frac{\varkappa_{1}}{\varkappa_{2}}\right)^{2},
\]

и поэтому
\[
q=-2 \varkappa_{1}^{2} \psi_{1}^{2}-2 \varkappa_{2}^{2} \psi_{2}^{2}=-2\left(\varkappa_{2}^{2}-\varkappa_{1}^{2}\right),
\]

что и доказывает утверждение.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru