Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. Отображение Шварца-Кристоффеля. где $p(\lambda)$ – полином степени $n-1=N$, что согласуется с (5.21). Нули полинома $p(\lambda)$ отображаются в концы разрезов. Из асимптотического поведения $w \sim-\sqrt{-\lambda}$ можно заключить, что отображение биективно. Вместо задания $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 N}$ мы могли бы задать область, описываемую $\omega_{j}, h_{j}>0, j=1,2, \ldots, N=n-1$ и $\lambda_{0}=\alpha_{1}$, где $i \omega_{j}$ соответствует $w\left(\alpha_{j+1}\right)=w\left(\beta_{j}\right)$ и $h_{j}>0$ – «высоте» $j$-го разреза. По теореме Римана об отображении, существует единственное конформное отображение области с разрезами, описываемой $\omega_{j}, h_{j}(j=1,2, \ldots, n-1)$, на верхнюю полуплоскость, переводящее $w=0$ в $\lambda=\lambda_{0}=\alpha_{1}$, которое имеет асимптотическое поведение на бесконечности. Очевидно, $\lambda_{0}=\alpha_{1}$ можно отнормировать на нуль с помощью трансляции так, чтобы спектр можно было бы описать $2 N$ положительными числами $\lambda_{j}-\lambda_{0}(j=1,2, \ldots, N)$ или, что эквивалентно, $2 N$ положительными числами $\omega_{j}, h_{j}$. 2. Базис частотного модуля. Доказательство оказывается относительно простым, если воспользоваться отмеченной связью с механической задачей. Пусть $\omega_{1}^{\prime}, \omega_{2}^{\prime}, \ldots, \omega_{N}^{\prime}$ – частотный базис модуля $\mathscr{M}(q)$, где мы предполагаем, во-первых, что рассматриваем общую ситуацию с $N$ рационально независимыми частотами. Тогда, как мы знаем из теоремы 4.7, с целыми $j_{ так, что в этом предельном случае мы можем положить $j_{ Остается доказать оценки (6.2) и (6.3). Последнее достаточно просто, так как при $h_{k} \rightarrow 0$ потенциал стремится к постоянному потенциалу и поэтому Следовательно, что и доказывает (6.3). Определим сначала решения механической задачи (5.14), которые соответствуют $\alpha_{ так как другие нули и полюсы попарно взаимно уничтожаются. Следовательно, мы имеем для этих решений Используя явный вид (3.9) функции $F_{k}$, мы видим, что в силу неравенства $\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{n}$ все члены $F_{n}$ положительные, следовательно, $F_{n}=0$ означает, что $\psi_{n}=0$. По индукции мы заключаем $\psi_{2}=\psi_{3}=\ldots=\psi_{n}=0, \psi_{1}= \pm 1$. Следовательно, вектор $\psi=\psi(x)$ соответствует стационарному решению $\psi= \pm e_{1}$ уравнения (5.14). Для изучения решений вблизи равновесного решения мы линеаризуем (5.14). Используя $\delta_{ Характеристические показатели чисто мнимые и равны $\pm i \sqrt{\alpha_{j}-\alpha_{1}}$ $(j=2, \ldots, n)$, а стационарное решение устойчиво. Решения являются линейными комбинациями с частотами $\sqrt{\alpha_{j}-\alpha_{1}}$. По формуле (5.16) частоты потенциала $q$ задаются формулами $\omega_{j}^{\prime}=2 \sqrt{\alpha_{j}-\alpha_{1}}$, что доказывает (6.2) и, следовательно, теорему 6.1. Из теоремы 6.1 следует, что конечнозонный потенциал с периодом $l=\pi$ описывается целыми $\omega_{j}$. Действительно, это остается справедливым, даже если имеется бесконечно много щелей. В более общем смысле, эта теорема позволяет нам построить конечнозонные потенциалы с заданным частотным модулем. 3. Стационарные решения и их устойчивость. Из этих показателей $2(k-1)$ – действительные, а остальные $2(n-k)$ чисто мнимые. Следовательно, $\pm e_{1}$ – единственные устойчивые стационарные решения, а $\pm e_{k}$ для $k \geqslant 2$ имеет неустойчивое многообразие $W_{-}\left( \pm e_{k}\right)$ размерности $k-1$ и устойчивое многообразие $W_{+}\left( \pm e_{k}\right)$ размерности $n-k$. Ясно, что решения на устойчивом или неустойчивом многообразии приближаются к стационарному решению экспоненциально при $t \rightarrow+\infty, t \rightarrow-\infty$, соответственно. В любом случае эти решения не квазипериодические, и мы хотим изучить их роль для спектральной задачи. Для этого заметим, что для $\psi= \pm e_{k}, \psi^{\prime}=0$ интегралы $F_{j}$ (см. (3.9)) удовлетворяют соотношениям и, следовательно, с учетом (3.8) Сравнивая это с (5.17), мы можем рассматривать это выражение как предельный случай, где Другими словами, мы сжимаем первые $k-1$ зон и последние $n-k$ щелей. В пределе мы получаем полубесконечный разрез от $\alpha_{k}$ до $+\infty$ и $k-1$ точек $\alpha_{ В результате получается риманова поверхность, которая является сферой с $k-1$ дырками. В этом случае дифференциалы первого рода могут быть проинтегрированы в логарифмах и мы сможем выписать соответствующие решения и потенциалы в явном виде. Ясно, что устойчивые и неустойчивые многообразия $W_{ \pm}\left(e_{k}\right)$ также лежат на интегральных многообразиях, заданных соотношениями (6.5), или, что эквивалентно, (6.6). Пользуясь явной формулой (3.9), можно заключить из (6.5), что на $W_{ \pm}\left(e_{k}\right)$ выполняются соотношения $\psi_{k+1}=\ldots=\psi_{n}=0, \psi_{k+1}^{\prime}=\ldots=\psi_{n}^{\prime}=0$, и достаточно изучить $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{k}$ в зависимости от $t$. Другими словами, задача сводится к движению материальной точки на ( $k-1$ )-мерной сфере и $n$ заменяется на $k$. Эквивалентная формулировка – достаточно рассмотреть случай $k=n$ и движение на $W_{ \pm}\left( \pm e_{n}\right)$. 4. Поток на неустойчивом многообразии $W_{+}\left(e_{n}\right)$. предельный случай почти периодических решений. Но это явление легко иллюстрируется примером нелинейного маятника, заданного дифференциальным уравнением которое имеет интеграл Знакомая фазовая картина линий уровня показывает, что решения для положительного или отрицательного $G$ – периодические, но для $G=0$ стремятся к неустойчивому равновесию $y=0(\bmod 2 \pi)$. Если мы параметризуем эту окружность углом $\theta$ : то дифференциальное уравнение принимает вид которое для $y=2 \theta, \varkappa^{2}=\alpha_{2}-\alpha_{1}$ совпадает с (6.7). Решения этого уравнения задаются эллиптическими интегралами, которые вырождаются на устойчивых и неустойчивых многообразиях $G=0$. Проинтегрируем эти уравнения, вводя независимую переменную $\tau=$ $=\operatorname{tg} \theta / 2$ так, что или С точностью до сдвига фазы и перемены знака решения принимают следующий вид: Используем эти решения для спектральной задачи. Согласно (5.16) и $\alpha_{1}=\beta_{1}$ они дают потенциал или Это хорошо известный (безотражательный) потенциал, для которого спектр непрерывный в $\left[\alpha_{2}, \infty\right]$ и который имеет точечное собственное значение $\lambda=\alpha_{1}<\alpha_{2}$ с собственной функцией $\psi_{1}(t)$ (см. (6.8)). Заметим, что $\psi_{2}$, разумеется, является решением уравнения $\varphi^{\prime \prime}=(q-\lambda) \varphi$ при $\lambda=\alpha_{2}$, но $\psi_{2}$ не принадлежит $L^{2}(R)$, и поэтому $\lambda=\alpha_{2}$ не является собственным значением. Эти формулы могут быть обобщены на произвольное $n$, и мы можем найти явные выражения (рациональные относительно показателей) для решений на $W_{ \pm}\left(e_{n}\right)$. Соответствующие потенциалы называются потенциалами Баргмана. Действительно, в этом случае мы начнем с формул для потенциала Баргмана и даже получим решения механической задачи. 5. Потенциалы Баргмана. Они могут быть записаны в виде Здесь $a_{1}, \ldots, a_{N}-N$ произвольных констант. Это – рациональные функции экспонент $\eta_{j}=a_{j} \exp \left(-\varkappa_{j} x\right)$. Первоначальный вывод этих формул был основан на теории Гельфанда и Левитана. Другое представление может быть получено прямым вычислением при помощи непосредственной подстановки одного из собственных значений. Для этого представим приведенный выше потенциал $q$ в другой форме (подробности см. в [5]). и определим вронскиан Если записать этот детерминант как полином от $\xi_{j}=\exp \left(\varkappa_{j} x+\delta_{j}\right)$ и $\xi_{j}^{-1}$, то можно найти, что его коэффициенты являются положительными и, следовательно $W_{N}>0$. (Объясняется это тем, что $\chi_{j}$ были выбраны попеременно как $\mathrm{ch}$, и sh). Нетрудно проверить, что $W_{N}$ связан с детерминантом $\Delta$ в (6.10) соотношением где Поэтому и можно представить $q$ формулой (6.10) с $W_{N}$ вместо $\Delta$. Если положить где числитель – вронскиан от $N+1$ функций, то иначе говоря, мы имеем явную формулу для решения дифференциального уравнения с $\lambda=-k^{2}$. При $k Но для $k=\varkappa_{j}$ эти решения квадратично интегрируемы и стремятся к нулю при $x \rightarrow \pm \infty$. Мы находим, что При $k=\varkappa_{j}$ можно упростить формулу (6.13), приведя ее к виду где шляпка показывает, что $\hat{\chi}_{j}$ нужно опустить. являются решениями дифференциальных уравнений и удовлетворяют соотношению Для доказательства заметим, что Мы можем использовать $f(x, k), f(x,-k)$ как решения, спадающие, соответственно, при $x \rightarrow+\infty$ и при $x \rightarrow-\infty$, до нуля. Их вронскиан равен $-2 k$. Рассмотрим функцию которая рациональна по $k$. При $k \rightarrow \infty$ она ведет себя, как $k^{-1}$, и поэтому если мы интегрируем по большой окружности. Если мы вычислим вычеты в $k= \pm \varkappa_{j}$ и воспользуемся тем, что то получим (6.18). то увидим, что $\psi_{j}$ из (6.16) – решения задачи Неймана. Если говорить более точно, индексы должны идти в обратном порядке: $j \rightarrow n-j$. С учетом (6.14) можно заключить, что $\psi_{j} \sim \operatorname{const} \exp \left(\varkappa_{j} x\right)$, т. е. эти решения экспоненциально стремятся к $\psi_{j}= \pm \delta_{j n}$. Действительно, так как величины являются характеристическими показателями при $e_{n}$, а решения (6.16) – решениями на устойчивом многообразии $W_{+}\left(e_{n}\right)$. Так как они зависят от $N=n-1$ параметров $\delta_{j}$, то представляют все решения, определяющие $W_{+}\left(e_{n}\right)$. Итак мы нашли явные формулы для решений на устойчивом многообразии и увидели, что они являются рациональными функциями от экспонент $\exp \left(\varkappa_{j} x+\delta_{j}\right)$. Для $N=n-1=1$ это решения (6.8) при $\delta_{1}=0$. Соответствующие потенциалы $q(x)$ также рациональны и убывают до нуля при $x \rightarrow \pm \infty$. Эта геометрическая картина ясно показывает, что затухающие потенциалы Баргмана получаются как предельные случаи квазипериодических потенциалов. Геометрически это соответствует особенностям слоения, заданного интегралами, вследствие линейной зависимости градиентов интегралов. 6. Фокусирующее свойство на $S^{2}$. и Нетрудно проверить, что это решения уравнения удовлетворяющее соотношению Кроме того, при $x \rightarrow \infty$ находим Замечательный геометрический факт заключается в том, что все орбиты $W_{+}\left(e_{0}\right)$ проходят через некоторую точку, а именно, Действительно, когда орбита проходит через плоскость $\psi_{1}=0$, мы в силу (6.19) имеем и поэтому Для третьей компоненты это следует из (6.20). получаем особый конус для $\lambda=-\varkappa_{1}^{2}$, определяемый прямыми, проходящими через точки (6.21). То, что все орбиты устойчивого многообразия $W_{+}\left(e_{0}\right)$ проходят через фокальную точку, сообщил мне Р. Мак-Гихи. 7. $N$-солитоны. то полученный потенциал $q=q(x, t)$ есть решение уравнения КдФ. Аналогично, выражения (6.11) нужно заменить на c Такие потенциалы $q(x, t)$ распадаются при $t \rightarrow \pm \infty$ на $N$ солитонов, и поэтому эти решения называют $N$-солитонами. Формулы (5.16) переходят в где $\psi_{j}=\psi_{j}(x, t)$ определены формулой (6.16), если произвести указанные замены. Мы хотим объяснить эффект фокусировки на 2-сфере, чтобы продемонстрировать удивительный факт, что график 2-солитона содержит прямую линию, заданную соотношением Следовательно, на 2-солитоне существует точка, которая движется со скоростью более быстрого солитона, оставаясь на постоянной высоте. Доказательство этого факта – непосредственное вычисление. Определим переменную $x$ так, чтобы $\psi=0$, что по формуле (6.19) соответствует или Эти значения $x$ соответствуют фокусу, что приводит вследствие $(6.21)$ к и поэтому что и доказывает утверждение.
|
1 |
Оглавление
|