В этой работе изучается класс дискретных интегрируемых систем, которые имеют близкое отношение к задачам, возникающим в математической физике, таким, как модель Гейзенберга для классических спинов или задача о биллиарде во внутренности эллипсоида. Дискретную систему можно рассматривать как итерации симплектического отображения, где время $t\in \mathbb{Z}$ является номером итерации. Такая система называется интегрируемой, если она имеет достаточно много интегралов, находящихся в инволюции относительно симплектической структуры.

Для описания дискретной системы возьмем в качестве исходной точки вариационный принцип
$$\delta S=0$$

для функционала $S=S(X)$, определенного на пространстве последовательностей $X=\left(X_k\right),k\in \mathbb{Z}$ формальной суммой
$$S=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\mathcal{L}(X_k,X_{k+1}).$$

Здесь $X_k$ — точки многообразия ${\mathcal{M}}^n$, а $\mathcal{L}$ — функция на $Q^{2n}=$ $={\mathcal{M}}^n\times {\mathcal{M}}^n$. Уравнение Эйлера-Лагранжа такого функционала является разностным уравнением второго порядка (см. §1), а $k\in \mathbb{Z}$ играет роль дискретного времени.

Это описание может рассматриваться как дискретный аналог принципа Гамильтона $\delta S=0$ для
$$S=\int \mathcal{L}(q,\dot{q})dt$$
а соответствующий симплектический поток, как обычно, определяется при помощи преобразования Лежандра при условии $\det \left({\mathcal{L}}_{\dot{q}\dot{q}}\right)eq0$. Аналогично можно определить симплектическую структуру на $Q^{2n}$ при подходящем предположении о невырожденности (см. гл. 1, гл. 2, (1.8) и [1]). Будем называть такие системы «интегрируемыми», если существует достаточно много интегралов, находящихся в инволюции относительно этой симплектической структуры.

В качестве примера упомянем цепочку Гейзенберга с классическими спинами, где
$$M=S^2=\{x\in {\mathbb{R}}^3,|x|=1\}$$

и
$$\mathcal{L}=(x,Jy),$$

здесь $J$ — симметрическая матрица, которую мы можем выбрать диагональной.

Соответствующую цепочку квантовых спинов $1/2$ (так называемую $XYZ$-модель Гейзенберга) исследовали Фаддеев и Тахтаджян [2] в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния, используя фундаментальные результаты Бакстера [3]. Как было показано Покровским и Хохлачевым [4], задача поиска некоторых особых собственных функций в квантовой $XYZ$-модели приводит к стационарному уравнению $\delta S=0$ для цепочки Гейзенберга с классическими спинами. Для этой дискретной системы Грановский и Жеданов $[5,6]$ нашли два алгебраических интеграла и особые решения. Интегрируемость этих систем для сферы $M=S^n$ произвольной размерности $n$ была показана одним из авторов $[7]$, (см., также [1]), при этом общее решение описывается в терминах $\theta$-функций, обобщающих связь между спектральной теорией одномерных операторов Шредингера и классическими системами Неймана, полученных в $[8,9]$.

Основной задачей, которая будет обсуждаться в первом параграфе работы, является цепочка ортогональных матриц. Пусть ${\mathcal{M}}^n=O(N)$, $n=\frac{N(N-1)}{2}$ и
$$\mathcal{L}(X,Y)=\mathrm{tr}\left(XJ{Y}^T\right),$$

где $J$ есть положительная симметрическая матрица ${}^1$. Эта задача была рассмотрена в [1], где было показано, что ее непрерывным пределом яв-

ляется задача Эйлера для свободного движения твердого тела, которая была обобщена Арнольдом для произвольных размерностей.

Можно также использовать положительный лагранжиан $\frac{1}{2}\mathrm{tr}((X-Y)J(X-Y{)}^T)$. В самом деле, для $X,Y\in O(N)$ это выражение соотвествует $\mathrm{tr}J-\mathrm{tr}\left(XJ{Y}^T\right)$, т. е. отличается от $-\mathcal{L}(X,Y)$ только на константу.

Для случаев $N=3,N=4$ в [1] было показано, что эта система является интегрируемой при помощи явного построения коммутирующих интегралов. В параграфе 3 мы установим интегрируемость этой системы при любом $N$, используя дискретный вариант изоспектрального метода, который приводит к полному описанию динамики этой системы в терминах абелевых функций. Поток является квазипериодическим по дискретному параметру времени $k$ и линейным на многообразии Прима.

Укажем подход, лежащий в основе решения этой задачи. Он заключается в построении изоспектрального отображения из класса матриц $(L)$ в себя, аналогично подходу Лакса в непрерывном случае, когда дифференциальное уравнение приводится к форме $\dot{L}=[L,A]$ для некоторого класса линейных операторов $(L)$.

Нахождение класса матриц ( $L$ ) и изоспектральной деформации является игрой случая и зависит от удачной догадки. В дискретном случае она оказывается связанной с факторизацией матриц. Напомним красивое наблюдение Симса [11], что $QR$-алгоритм матриц Якоби близко связан с потоком Тода. $QR$-алгоритм — важный инструмент численного анализа для диагонализации матриц, он заключается в представлении вещественной невырожденной матрицы $L$ в виде произведения $L=QR$ ортогональной матрицы $Q$ и верхней треугольной матрицы $R$ с положительными диагональными элементами. Таким образом, отображение
$$L=QR\to L_1=RQ=Q_1{R}_1$$

является изоспектральным отображением, поскольку $L_1=Q^{-1}LQ$. Симс заметил [11], что применение этого процесса к $L=\exp K$, где $K$ трехдиагональная симметрическая матрица (или матрица Якоби), приводит к интегрируемому отображению, которое интерполируется потоком Тоды. Эта идея была расширена на более общие классы матриц Дейфтом и другими, см. [12].

Хотя это отображение не допускает вариационного описания, эта идея оказывается плодотворной и для близких проблем. Основная новая особенность заключается в том, что мы начинаем с класса некоторых квадратичных матричных полиномов
$$L(\lambda )=A_0+A_1\lambda +A_2{\lambda }^2$$

и подходящей факторизации
$$L(\lambda )=(B_0+B_1\lambda )(C_0+C_1\lambda )=B(\lambda )C(\lambda ).$$

Если такая факторизация существует и может быть определена единственным способом, то при замене множителей
$$L_1(\lambda )=C(\lambda )B(\lambda )=B_1(\lambda )C_1(\lambda )=B^{-1}(\lambda )L(\lambda )B(\lambda )$$

она приводит к изоспектральному отображению $L(\lambda )\to L_1(\lambda )$. Это можно рассматривать как дискретный аналог представления Лакса.

Главная трудность, конечно, заключается в поиске класса матричных полиномов и факторизации таким способом, который соответствует динамике данной задачи. Кроме того, даже если существует факторизация, то, вообще, она не является единственной, и описанная процедура приводит лишь к соответствию, т.е. многозначному отображению; это хорошо согласуется с тем фактом, что часто разностное уравнение $\delta S=0$ приводит к таким соответствиям.

В задаче об ортогональных цепочках можно описать такой класс матричных полиномов и соответствующую факторизацию, которую можно сделать единственной, указав подходящее разложение спектра. Из представления Лакса найдем как интегралы, так и алгебраические кривые, на якобиевых многообразиях которых поток становится линейным по $k$. Общую теорию факторизации матричных полиномов можно найти в [13]. Специальная факторизация, полученная здесь (см. параграф 1), использует стандартные идеи из [13]; она относится к ортогональным матрицам и может быть интересна сама по себе. Используя идеи метода конечнозонного интегрирования [14], для матричного случая, разработанные Дубровиным [15], мы представляем явные формулы для динамики в случае $n=3$ в терминах классических эллиптических функций.

В параграфе 2 обсуждается некоторое обобщение этой системы, включающее упомянутую выше модель Гейзенберга с классическим

спинами. Выберем в качестве $\mathcal{M}$ многообразие прямоугольных $n\times N$ матриц $X,n⩽N$, для которого $X{X}^T=I_n$, и определим функцию Лагранжа
$$\mathcal{L}(X,Y)=\mathrm{tr}\left(XJ{Y}^T\right),$$

где $J$ — симметрическая $N\times N$ матрица. Другими словами, $\mathcal{M}$ есть многообразие Штифеля $V_{n,N}$ ортонормированных $n$-реперов в ${\mathbb{R}}^N$. Для $n=1,N=3$ это представляет модель Гейзенберга, а для $n=N$ получаем цепочку ортогональных матриц, описанную выше. Для $n=1$ показывается, что процедура факторизации приводит к гиперэллиптическим кривым и формулам, включающим $\theta$-функции, как в [1]. В общем случае $1<n<N$ демонстрируется соответствующая задача факторизации без полного описания.

Параграф 3 посвящен задаче о биллиарде во внутренности эллипсоида в ${\mathbb{R}}^N$. Эта задача также вписывается в указанные рамки. Соответствующий класс матриц для представления Лакса согласуется с классами, описанными в $[10]$ для изучения геодезического потока на эллипсоиде — возможно, самой старой нетривиальной интегрируемой системой для произвольной размерности. Метод параграфа 1 также включает в себя этот класс матриц. Наконец, будет установлена связь между задачей о биллиарде и дискретным вариантом задачи Неймана, где симметрия системы, найденая в $[1]$, играет решающую роль. В непрерывном случае связь между геодезическим потоком на эллипсоиде и системой Неймана была обнаружена Кнёррером при помощи гауссова отображения эллипсоида [16]. Тем не менее, связь, описанная здесь, имеет другую природу.

В предыдущих рассуждениях часто упоминался дискретный вариант непрерывной системы, как в случае задачи о биллиарде внутри эллипсоида и геодезического потока на том же эллипсоиде — чьи траектории получаются как пределы касательных биллиардных ударов. Другой пример — упомянутая выше цепочка ортогональных матриц и соответствующая непрерывная система свободного волчка. Не пытаясь быть точными, потребуем во всех этих случаях того, что а) дискретная система стремится к непрерывной при предельном переходе, и б) обе системы интегрируемы и заданы «естественными» вариационными задачами.

Как правило, легко перейти от дискретной системы к непрерывной без потери интегрируемости. Тем не менее, как часто бывает, преобра-

зование является гораздо более сложным, если необходимо сохранить некоторую структуру при дискретизации непрерывной системы. Конечно, можно бы взять отображение потока «за время є», но оно обычно не описывается при помощи простой вариационной задачи. Трудность заключается в том, чтобы сохранить интегрируемость при дискретизации. В этом смысле наш метод может представлять интерес, так как он дает подход для построения интегрируемой дискретизации непрерывной системы с известным представлением Лакса, полиномиально зависящим от дополнительного «спектрального» параметра $\lambda$. Важность представления такого типа стала очевидной после появления работы Новикова [17]. Такие представления существуют для большинства известных интегрируемых гамильтоновых систем и связаны с теорией алгебр Ли (см. $[18,19]$ ). С этой точки зрения природа процедуры факторизации требует лучшего понимания. Заметим, что во всех наших примерах матричные полиномы $L(\lambda )$ имеют свойство $L^{\ast }(\lambda )=L(\lambda )$, где $L^{\ast }(\lambda )=L^T(-\lambda )$, а соответствующие факторизации $L(\lambda )=B(\lambda )C(\lambda )$ удовлетворяют условию $B(\lambda )=C^{\ast }(\lambda )$.

В ожидаемой работе [29] показано, что факторизация некоторых линейных (!) матричных полиномов, предложенная в [10], приводит к задачам биллиарда в областях на сфере и в пространстве Лобачевского, ограниченных коническими сечениями.

Настоящая работа была завершена в феврале 1989 и распространялась как препринт Forschungsinstitut für Mathematik Zürich. По различным причинам ее публикация задержалась. Мы добавили несколько новых ссылок в конце этой переработанной статьи. В частности, мы обратили внимание на интересную работу Дейфта (Deift), Ли (Li) и Томея (Tomei) [32], в которых рассмотренные в данной работе системы связаны с группами петель. Кроме того, показано, как рассмотренные здесь дискретные отображения можно интерполировать интегрируемыми гамильтоновыми потоками.