1. Рассмотрение квантовой задачи [23] привело Калоджеро к проблеме $n$ тел на прямой. Он высказал предположение, что соответствующая классическая система является интегрируемой, что было впоследствии доказано [9]. Недавно эти результаты были получены более изящным способом с помощью описанной выше редукции, примененной к коприсоединенному представлению унитарной группы [21].

Сформулируем результаты. Рассмотрим $n$ различных точек на вещественной прямой с координатами
$$x_1<x_2<\dots <x_n$$

и определим потенциал
$$U(x)=\sum _{k<j}{(x_k-x_j)}^{-2}.$$

Мы рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{y}_k^2+bU(x)+\frac{1}{2}{a}^2\sum _{k=1}^n{x}_k^2.$$

Эта система является интегрируемой, а ее решения — алгебраическими функциями в определенном ниже смысле.
Выпишем дифференциальные уравнения
$${\dot{x}}_k=y_k,{\dot{y}}_k=-b{U}_{x_k}-a^2{x}_k,$$

или
$${\ddot{x}}_k=2b\sum _{jeqk}{(x_k-x_j)}^{-3}-a^2{x}_k.$$

Используя интересное наблюдение, принадлежащее Переломову ${}^1$, можно свести эту систему к случаю $a=0,b=1$ следующим элементарным преобразованием ${}^2$ :
$$x_k(t)=c\cos (at)X_k(T),T=\mathrm{tg}(at).$$

В самом деле, легко проверить, что
$${\ddot{x}}_k+a^2{x}_k=c{a}^2(\cos at{)}^{-3}{X}_k^{\prime \prime },$$

где штрих обозначает дифференцирование по $T$. Следовательно, если $X_k$ удовлетворяют приведенному выше уравнению для $a=0,b=1$, то
$${\ddot{x}}_k+a^2{x}_k=c{a}^2(\cos at{)}^{-3}\cdot 2\sum _{jeqk}{(X_k-X_j)}^{-3}=c^4{a}^2\cdot 2\sum _{jeqk}{(x_k-x_j)}^{-3}.$$

Таким образом, для $b=a^2{c}^4$ преобразование (2) переводит систему (1) в систему того же вида, но с параметрами $a=0,b=1$. Такое преобразование может привести к комплексным значениям $c$, но это не должно волновать нас, поскольку все решения допускают продолжение в комплексную область.

2. В последующем мы ограничимся случаем $a=0,b=1$ и покажем, что эта система имеет $n$ интегралов в инволюции и что решения ее $x_k(t)$ являются алгебраическими функциями $t$.
Для формулировки результатов полезно ввести матрицу
$$L(x,y)=\mathrm{diag}(y_1,\dots ,y_n)+i\left(z_{kl}\right),$$

где $z_{kl}={(x_k-x_l)}^{-1}$ для $keql,z_{kk}=0,x_k$ все различны.
Мы докажем следующее утверждение.

Теорема. Гамильтонова система (1) с параметрами $a=0,b=1$ имеет пациональных интегралов
$$F_k=\frac{1}{k}\mathrm{tr}(L(x,y){)}^k(k=1,\dots ,n),$$

находящихся в инволюции. Решения ее $x_k=x_k(t)$ представляют собой п различных собственных значений матрицы
$$\mathrm{diag}(x_1(0),\dots ,x_n(0))+tL(x(0),y(0))$$

и, следовательно, являются алгебраческими функциями ${}^1$.
Следствие. Симметрические функии $\sum _{k=1}^n{x}_k^p$ являются полиномами степени р от $t$.

Следовательно, используя преобразование (2), получаем, что для произвольных $a,b$ указанное выше выражение есть полином от $\exp (\pm iat)$ степени $p$. В частности, для $a>0$ все решения периодические с периодом $2\pi a^{-1}$.

3. Для доказательства этих утверждений рассмотрим касательное расслоение алгебры Ли унитарной группы $U(n)$. Представим его элемент в виде пары эрмитовых матриц $(X,Y$ ), а каноническую 1-форму в виде
$$\theta =\mathrm{tr}(YdX).$$

Симплектическая структура определяется 2-формой
$$\omega =\mathrm{tr}(dY\wedge dX).$$

В этом симплектическом пространстве гамильтонова система, связанная с функцией $H=H(X,Y)$, имеет вид
$$\dot{X}=H_Y,\dot{Y}=-H_X,$$

где $H_Y$ — матрица с элементами вида $\partial H/\partial Y_{kj}$, и аналогично для $H_X$. Скобка Пуассона определяется как
$$\{F,G\}=\mathrm{tr}(F_X{G}_Y-F_Y{G}_X).$$

Поэтому очевидно, что любые две функции $F_1=F_1(Y),F_2=F_2(Y)$, не зависящие от $X$, находятся в инволюции. Таким образом, любой такой гамильтониан определяет интегрируемую систему. В частности, это относится к гамильтонианам вида
$$G_p=\frac{1}{p}\mathrm{tr}\left(Y^p\right).$$

Система, соответствующая $G_2$, даже линейна и имеет решение
$$X(t)=X(0)+tY(0),Y(t)=Y(0).$$

4. Все системы, определяемые $G_p$, инвариантны относительно действия группы $U(n)$ :
$${\phi }_U:(X,Y)\to (U^{-1}XU,U^{-1}YU).$$

Соответствующее инфинитезимальное отображение имеет вид
$$(X,Y)\to i([X,A],[Y,A]),$$

где $A$ — эрмитова матрица, т.е. $iA$ принадлежит алгебре Ли группы $U(n)$.
Векторное поле
$$\dot{X}=i[X,A],\dot{Y}=i[Y,A]$$

имеет гамильтониан
$${\hat{\psi }}_A=i\mathrm{tr}(A[X,Y])=\mathrm{tr}(iA[iX,iY]).$$

Это определяет момент как
$$\psi :(X,Y)\to [Y,X]$$

где выражение справа следует интерпретировать как элемент дуального пространства к алгебре Ли. Элементы $[Y,X]$ представляют собой интегралы, $[Y,X]$ является аналогом вектора кинетического момента.

Для построения приведенного пространства ${\psi }^{-1}(\mu )/G_{\mu }$ выберем, следуя Каждану, Костанту и Стернбергу, элемент $\mu$ в виде
$$\mu =-\left(\begin{array}{ccccc}0& i& i& \dots & i\\ i& 0& i& \dots & i\\ i& i& 0& \dots & i\\ .& .& .& .& .\\ i& \dots & .& 0& i\\ i& \dots & .& i& 0\end{array}\right)$$

так что ${\psi }^{-1}(\mu )$ представляет собой множество пар эрмитовых матриц $(X,Y)$, для которых
$$[X,Y]=-\mu .$$

Полное множество решений (9) определяется следующим образом.
Предположение 1. Общее решение (9) для матрицы $\mu$, определенной (8), имеет вид
$$\{\begin{array}{l}X=V^{-1}\mathrm{diag}(x_1,\dots ,x_n)V,\\ Y=V^{-1}L(x,y)V\end{array}$$

где $x_1,\dots ,x_n$ — различные действительные числа,
$$y=(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^n,$$
$V$ — унитарная матрица, удовлетворяющая
$$Ve=\lambda e,e=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right).$$

Более того, группа унитарных матриц $V$ образует стационарную подгруппу $G_{\mu }$.

Следствие. Фактор-пространство ${\psi }^{-1}(\mu )/G_{\mu }$ параметризутся $x=$ $=(x_1,\dots ,x_n),y=(y_1,\dots ,y_n)$, и любой паре $(X,Y)\in {\psi }^{-1}(\mu )$ сопоставляется с помощью (10) единственная пара матриц $(K(x),L(x,y))$, где $K(x)=\mathrm{diag}(x_1,\dots ,x_n)$. Соответствующая дифференцильная форма имеет вид
$$\tilde{\omega }=\mathrm{tr}(dL(x,y)\wedge dK(x))=\sum _{k=1}^{n}d{y}_k\wedge d{x}_k.$$

Доказательство предложения.
Рассмотрим более общее уравнение
$$[X,Y]=i\left(v_k{\overline{v}}_l\right)-\frac{i}{n}|v{|}^2{\delta }_{kl},$$

где $v=(v_1,\dots ,v_n)$ — любой ненулевой комплексный вектор. Второй член определен так, чтобы след выражения справа равнялся нулю. Для $v_k=1$ уравнение переходит в (9). Выберем унитарное преобразование $U$, которое диагонализует $X$. Отметим, что при $X\to U^{-1}XU$, $Y\to U^{-1}YU$ правая часть переходит в такое же выражение с заменой $v\to U^{-1}v$. Поэтому мы можем исследовать уравнение для диагональной матрицы $X=\mathrm{diag}(x_1,\dots ,x_n)=K(x)$. Из равенства
$$[K(x),Y{]}_{kk}=0=i({\left|v_k\right|}^2-\frac{1}{n}|v{|}^2)$$

мы заключаем, что ${\left|v_k\right|}^2$ не зависит от $k$. Если мы положим $|v{|}^2=n$, то $\left|v_k\right|=1$, или $v_k=e^{i{\theta }_k}$. Применяя унитарное преобразование
$$U=\mathrm{diag}(e^{i{\theta }_1},\dots ,e^{i{\theta }_n}),$$

мы добиваемся равенства $v=e$, не нарушая диагональной формы $X$. Таким образом, мы свели нашу систему к случаю $X=K(x),v=e$. Из равенства $[K(x),Y{]}_{kl}=(x_k-x_l)Y_{kl}=i$ для $keql$ получаем, что $x_k$ все различны и
$$Y_{kl}=\frac{i}{x_k-x_l}\text{ для }keql.$$

Если положить $Y_{kk}=y_k$, то мы получим решение системы (9) в виде
$$X=K(x),Y=L(x,y).$$

Для нахождения общего решения мы должны исследовать такие унитарные преобразования $U$, которые оставляют уравнение инвариантным. В силу равенства
$$U^{-1}\left(v_k{\overline{v}}_l\right)U=\left({\omega }_k{\overline{\omega }}_l\right),\text{ где }\omega =U^{-1}v$$

и того, что эта матрица определяет вектор $\omega$ только с точностью до множителя $\lambda$, по модулю равного 1 , мы получаем, что множество $U$, коммутирующих с $\left(v_k{\overline{v}}_l\right)$, состоит из унитарных матриц, для которых $Uv=\lambda v$. Это доказывает оставшиеся утверждения предложения.
5. Таким образом, любой паре $(X,Y)\in {\psi }^{-1}(\mu )$ мы можем сопоставить единственную пару
$$\pi (X,Y)=(K(x),L(x,y))=(U^{-1}XU,U^{-1}YU);U\in G_{\mu },$$

а любой функции $H(X,Y)$ на ${\psi }^{-1}(\mu )$, инвариантной относительно $U(n)$, функцию
$$h(x,y)={\pi }^{\ast }H=H(K(x),L(x,y)).$$

Эта проекция переводит симплектическую структуру на ${\psi }^{-1}(\mu )/G_{\mu }$ в стандартную форму $\sum _{k=1}^{n}d{y}_k\wedge d{x}_k$.
В частности, функции (6), находящиеся в инволюции, переходят в
$$F_p=\frac{1}{p}\mathrm{tr}{L}^p(x,y),$$

которые также находятся в инволюции.
Если теперь заметить, что
$$\frac{1}{2}\mathrm{tr}{L}^2(x,y)=\frac{1}{2}|y{|}^2+U(x)$$

есть гамильтониан системы с потенциалом $q^{-2}$, то сразу получаем, что $F_p$ — рациональные интегралы в инволюции для этой системы, что доказывает одно из утверждений теоремы.

Оставшаяся часть утверждений получается столь же просто. Решения системы, соответствующей гамильтониану $G_2$, задаются формулой (7), которую мы должны ограничить на ${\psi }^{-1}(\mu )$. В силу предложения 1 существуют унитарные матрицы $V_t$ такие, что
$$(V_t{K}_t{V}_t^{-1},V_t{L}_t{V}_t^{-1})=(V_0(K_0+t{L}_0)V_0^{-1},V_0{L}_0{V}_0^{-1}),$$

где мы положили
$$K_t=K(x(t)),L_t=L(x(t),y(t)).$$

Следовательно, для $U_t=V_t^{-1}{V}_0$ мы имеем
$$(U_t^{-1}{K}_t{U}_t,U_t^{-1}{L}_t{U}_t)=(K_0+t{L}_0,L_0).$$

Равенство вторых компонент снова показывает, что $\mathrm{tr}{L}_t^p=\mathrm{tr}{L}_0^p$ есть интегралы, а равенство первых компонент — то, что $x_k(t)$ представляют собой собственные значения матрицы $K_0+t{L}_0$, что и доказывает теорему.

6. Наши выводы были основаны на том факте, что функции $\mathrm{tr}{Y}^p$ переходят в $F_p=\mathrm{tr}{L}^p(x,y)$. Аналогично, $\mathrm{tr}{X}^p$ отображается в $\mathrm{tr}{K}^p=\sum _{k=1}^n{x}_k^p$, но в этом случае очевидно, что эти функции находятся в инволюции. Тем не менее полезно рассмотреть отображение
$$(X,Y)\to (-Y,X),$$

которое переводит одно множество функций в другое. Это отображение, очевидно, симплектично и сохраняет ${\psi }^{-1}(\mu )$. Проектируя его на ${\psi }^{-1}(\mu )/G_{\mu }$, получаем, что существует $U\in G_{\mu }$ такая, что
$$(U^{-1}K(x)U,U^{-1}L(x,y)U)=(-L(\xi ,\eta ),K(\xi ))$$

или
$$\{\begin{array}{rl}{U}^{-1}L(x,y)U& =K(\xi ),\\ U^{-1}K(x)U& =-L(\xi ,\eta ),\end{array}$$

где $(x,y)\to (\xi ,\eta )$ — индуцированное отображение. Заметим, что это отображение является симплектическим алгебраическим отображением $\{x_1<x_2<\dots <x_n,y\in {\mathbb{R}}^n\}$ в $\{{\xi }_1<{\xi }_2<\dots <{\xi }_n,\eta \in {\mathbb{R}}^n\}$.

Оно переводит наш гамильтониан $\frac{1}{2}\mathrm{tr}{L}^2(x,y)$ в $\frac{1}{2}\mathrm{tr}{K}^2(\xi )=$ $=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{\xi }_k^2$, а дифференциальные уравнения становятся линейными:
$$\dot{\xi }=0,\dot{\eta }=-\xi \text{. }$$

7. Отображение рассеяния. Заметим, что в нашей задаче частицы отталкиваются друг от друга, поэтому их траектории разбегаются

по отдельности и имеют асимптотическое поведение
$$\{\begin{array}{l}{x}_k(t)={\alpha }_{k}t+{\beta }_k+O\left(t^{-1}\right)\\ y_k(t)={\alpha }_k+O\left(t^{-1}\right)\end{array}(t\to +\mathrm{\infty }),$$

где ${\alpha }_k$ различны. Если мы подставим это приближение в матрицу $L(x(t),y(t))$ и вспомним, что ее собственные значения не зависят от $t$, то увидим, что ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ представляют собой собственные числа матрицы $L(x(t),y(t))$, в частности $L(x,y)$, где $x=x(0),y=y(0)$. Таким образом, в (11) мы можем отождествить ${\xi }_i$ с асимптотическими скоростями $y_i(\mathrm{\infty })$. Аналогично, подставляя потоки во второе уравнение (11), получаем
$$U_t^{-1}K(x(t))U_t=-L(\xi ,\eta -t\xi )=L(-\xi ,t\xi -\eta ),$$

откуда $-{\eta }_j={\beta }_j$. Таким образом, используя отображение $(x,y)\to (\xi ,\eta )$, определенное формулами (11), мы получаем
$$\begin{array}{l}{x}_k(t)={\xi }_{k}t-{\eta }_k+O\left(t^{-1}\right),\\ y_k(t)={\xi }_k+O\left(t^{-1}\right)\end{array}\text{ при }t\to +\mathrm{\infty },$$

при $t\to +\mathrm{\infty }$,

где $x_k,y_k$ — начальные данные. Итак, формулы (11) задают отображение рассеяния, сопоставляя начальным данным асимптотические скорости $\xi$ и фазы $-\eta$.
Для $t\to -\mathrm{\infty }$ аналогично получаются асимптотические формулы
$$\begin{array}{l}{x}_k={\xi }_k^{-}t-{\eta }_k^{-}+O\left(t^{-1}\right),\\ y_k={\xi }_k^{-}+O\left(t^{-1}\right)\end{array}\text{ при }t\to -\mathrm{\infty }.$$

при $t\to -\mathrm{\infty }$.

Тогда из обратимости системы сразу следуют формулы
$${\xi }_k={\xi }_{n-k+1}^{-},{\eta }_k={\eta }_{n-k+1}^{-}$$

показывающие, что рассеяние в этой системе такое же, как при упругом отражении.

Упражнение 1. Покажите, что для любых двух функций $f_j$ функции $\mathrm{tr}{f}_j(X^2+Y^2)(j=1,2)$ находятся в инволюции.
То же верно для $\mathrm{tr}{f}_j(XY)$.

Упражнение 2. Покажите, что при описанной выше редукции гамильтониан
$$H=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(Y^2+a^2{X}^2)$$

переходит в гамильтониан
$$\frac{1}{2}|y{|}^2+\frac{1}{2}{a}^2|x{|}^2+\sum _{k<j}{(x_k-x_j)}^{-2}.$$

Упражнение 3. Зависящее от времени каноническое преобразование $(t,X,Y)\to (\tau ,\tilde{X},\tilde{Y})$,
$$\begin{array}{rl}t& =\mathrm{tg}\tau ,\\ \tilde{X}& =\cos \tau X(\mathrm{tg}\tau ),\\ \tilde{Y}& =(\cos \tau {)}^{-1}Y(\mathrm{tg}\tau )-\sin \tau X(\mathrm{tg}\tau ),\end{array}$$

переводит гамильтониан системы $H_0=\frac{1}{2}\mathrm{tr}{Y}^2$ в
$$\tilde{H}=\frac{1}{2}\mathrm{tr}({\tilde{Y}}^2+{\tilde{X}}^2).$$

Указание. Заметим, что решения
$$X(t)=X(0)+tY(0),Y(t)=Y(0)$$

переходят в
$$\begin{array}{rl}\tilde{X}(\tau )& =\cos \tau \tilde{X}(0)+\sin \tau \tilde{Y}(0),\\ \tilde{Y}(\tau )& =-\sin \tau \tilde{X}(0)+\cos \tau \tilde{Y}(0).\end{array}$$

Упражнение 4. Преобразование, описанное в упражнении 3, удовлетворяет равенству
$$[\tilde{X},\tilde{Y}]=[X,Y].$$

Поэтому редукция систем (8), (9) приводит к преобразованию Переломова (2) для $a=1$.
(Упражнения 2, 3, 4 — частное сообщение М. Адлера.)