1. Рассмотрение квантовой задачи [23] привело Калоджеро к проблеме $n$ тел на прямой. Он высказал предположение, что соответствующая классическая система является интегрируемой, что было впоследствии доказано [9]. Недавно эти результаты были получены более изящным способом с помощью описанной выше редукции, примененной к коприсоединенному представлению унитарной группы [21].

Сформулируем результаты. Рассмотрим $n$ различных точек на вещественной прямой с координатами
\[
x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}
\]

и определим потенциал
\[
U(x)=\sum_{k<j}\left(x_{k}-x_{j}\right)^{-2} .
\]

Мы рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}+b U(x)+\frac{1}{2} a^{2} \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} .
\]

Эта система является интегрируемой, а ее решения – алгебраическими функциями в определенном ниже смысле.
Выпишем дифференциальные уравнения
\[
\dot{x}_{k}=y_{k}, \quad \dot{y}_{k}=-b U_{x_{k}}-a^{2} x_{k},
\]

или
\[
\ddot{x}_{k}=2 b \sum_{j
eq k}\left(x_{k}-x_{j}\right)^{-3}-a^{2} x_{k} .
\]

Используя интересное наблюдение, принадлежащее Переломову ${ }^{1}$, можно свести эту систему к случаю $a=0, b=1$ следующим элементарным преобразованием ${ }^{2}$ :
\[
x_{k}(t)=c \cos (a t) X_{k}(T), \quad T=\operatorname{tg}(a t) .
\]

В самом деле, легко проверить, что
\[
\ddot{x}_{k}+a^{2} x_{k}=c a^{2}(\cos a t)^{-3} X_{k}^{\prime \prime},
\]

где штрих обозначает дифференцирование по $T$. Следовательно, если $X_{k}$ удовлетворяют приведенному выше уравнению для $a=0, b=1$, то
\[
\ddot{x}_{k}+a^{2} x_{k}=c a^{2}(\cos a t)^{-3} \cdot 2 \sum_{j
eq k}\left(X_{k}-X_{j}\right)^{-3}=c^{4} a^{2} \cdot 2 \sum_{j
eq k}\left(x_{k}-x_{j}\right)^{-3} .
\]

Таким образом, для $b=a^{2} c^{4}$ преобразование (2) переводит систему (1) в систему того же вида, но с параметрами $a=0, b=1$. Такое преобразование может привести к комплексным значениям $c$, но это не должно волновать нас, поскольку все решения допускают продолжение в комплексную область.

2. В последующем мы ограничимся случаем $a=0, b=1$ и покажем, что эта система имеет $n$ интегралов в инволюции и что решения ее $x_{k}(t)$ являются алгебраическими функциями $t$.
Для формулировки результатов полезно ввести матрицу
\[
L(x, y)=\operatorname{diag}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)+i\left(z_{k l}\right),
\]

где $z_{k l}=\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-1}$ для $k
eq l, z_{k k}=0, x_{k}$ все различны.
Мы докажем следующее утверждение.

Теорема. Гамильтонова система (1) с параметрами $a=0, b=1$ имеет пациональных интегралов
\[
F_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}(L(x, y))^{k} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

находящихся в инволюции. Решения ее $x_{k}=x_{k}(t)$ представляют собой п различных собственных значений матрицы
\[
\operatorname{diag}\left(x_{1}(0), \ldots, x_{n}(0)\right)+t L(x(0), y(0))
\]

и, следовательно, являются алгебраческими функциями ${ }^{1}$.
Следствие. Симметрические функии $\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{p}$ являются полиномами степени р от $t$.

Следовательно, используя преобразование (2), получаем, что для произвольных $a, b$ указанное выше выражение есть полином от $\exp ( \pm i a t)$ степени $p$. В частности, для $a>0$ все решения периодические с периодом $2 \pi a^{-1}$.

3. Для доказательства этих утверждений рассмотрим касательное расслоение алгебры Ли унитарной группы $U(n)$. Представим его элемент в виде пары эрмитовых матриц $(X, Y$ ), а каноническую 1-форму в виде
\[
\theta=\operatorname{tr}(Y d X) .
\]

Симплектическая структура определяется 2-формой
\[
\omega=\operatorname{tr}(d Y \wedge d X) .
\]

В этом симплектическом пространстве гамильтонова система, связанная с функцией $H=H(X, Y)$, имеет вид
\[
\dot{X}=H_{Y}, \quad \dot{Y}=-H_{X},
\]

где $H_{Y}$ – матрица с элементами вида $\partial H / \partial Y_{k j}$, и аналогично для $H_{X}$. Скобка Пуассона определяется как
\[
\{F, G\}=\operatorname{tr}\left(F_{X} G_{Y}-F_{Y} G_{X}\right) .
\]

Поэтому очевидно, что любые две функции $F_{1}=F_{1}(Y), F_{2}=F_{2}(Y)$, не зависящие от $X$, находятся в инволюции. Таким образом, любой такой гамильтониан определяет интегрируемую систему. В частности, это относится к гамильтонианам вида
\[
G_{p}=\frac{1}{p} \operatorname{tr}\left(Y^{p}\right) .
\]

Система, соответствующая $G_{2}$, даже линейна и имеет решение
\[
X(t)=X(0)+t Y(0), \quad Y(t)=Y(0) .
\]

4. Все системы, определяемые $G_{p}$, инвариантны относительно действия группы $U(n)$ :
\[
\varphi_{U}:(X, Y) \rightarrow\left(U^{-1} X U, U^{-1} Y U\right) .
\]

Соответствующее инфинитезимальное отображение имеет вид
\[
(X, Y) \rightarrow i([X, A],[Y, A]),
\]

где $A$ – эрмитова матрица, т.е. $i A$ принадлежит алгебре Ли группы $U(n)$.
Векторное поле
\[
\dot{X}=i[X, A], \quad \dot{Y}=i[Y, A]
\]

имеет гамильтониан
\[
\widehat{\psi}_{A}=i \operatorname{tr}(A[X, Y])=\operatorname{tr}(i A[i X, i Y]) .
\]

Это определяет момент как
\[
\psi:(X, Y) \rightarrow[Y, X]
\]

где выражение справа следует интерпретировать как элемент дуального пространства к алгебре Ли. Элементы $[Y, X]$ представляют собой интегралы, $[Y, X]$ является аналогом вектора кинетического момента.

Для построения приведенного пространства $\psi^{-1}(\mu) / G_{\mu}$ выберем, следуя Каждану, Костанту и Стернбергу, элемент $\mu$ в виде
\[
\mu=-\left(\begin{array}{ccccc}
0 & i & i & \ldots & i \\
i & 0 & i & \ldots & i \\
i & i & 0 & \ldots & i \\
. & . & . & . & . \\
i & \ldots & . & 0 & i \\
i & \ldots & . & i & 0
\end{array}\right)
\]

так что $\psi^{-1}(\mu)$ представляет собой множество пар эрмитовых матриц $(X, Y)$, для которых
\[
[X, Y]=-\mu .
\]

Полное множество решений (9) определяется следующим образом.
Предположение 1. Общее решение (9) для матрицы $\mu$, определенной (8), имеет вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
X=V^{-1} \operatorname{diag}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) V, \\
Y=V^{-1} L(x, y) V
\end{array}\right.
\]

где $x_{1}, \ldots, x_{n}$ – различные действительные числа,
\[
y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n},
\]
$V$ – унитарная матрица, удовлетворяющая
\[
V e=\lambda e, \quad e=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
\vdots \\
1
\end{array}\right) .
\]

Более того, группа унитарных матриц $V$ образует стационарную подгруппу $G_{\mu}$.

Следствие. Фактор-пространство $\psi^{-1}(\mu) / G_{\mu}$ параметризутся $x=$ $=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, и любой паре $(X, Y) \in \psi^{-1}(\mu)$ сопоставляется с помощью (10) единственная пара матриц $(K(x), L(x, y))$, где $K(x)=\operatorname{diag}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Соответствующая дифференцильная форма имеет вид
\[
\widetilde{\omega}=\operatorname{tr}(d L(x, y) \wedge d K(x))=\sum_{k=1}^{n} d y_{k} \wedge d x_{k} .
\]

Доказательство предложения.
Рассмотрим более общее уравнение
\[
[X, Y]=i\left(v_{k} \bar{v}_{l}\right)-\frac{i}{n}|v|^{2} \delta_{k l},
\]

где $v=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ – любой ненулевой комплексный вектор. Второй член определен так, чтобы след выражения справа равнялся нулю. Для $v_{k}=1$ уравнение переходит в (9). Выберем унитарное преобразование $U$, которое диагонализует $X$. Отметим, что при $X \rightarrow U^{-1} X U$, $Y \rightarrow U^{-1} Y U$ правая часть переходит в такое же выражение с заменой $v \rightarrow U^{-1} v$. Поэтому мы можем исследовать уравнение для диагональной матрицы $X=\operatorname{diag}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=K(x)$. Из равенства
\[
[K(x), Y]_{k k}=0=i\left(\left|v_{k}\right|^{2}-\frac{1}{n}|v|^{2}\right)
\]

мы заключаем, что $\left|v_{k}\right|^{2}$ не зависит от $k$. Если мы положим $|v|^{2}=n$, то $\left|v_{k}\right|=1$, или $v_{k}=e^{i \theta_{k}}$. Применяя унитарное преобразование
\[
U=\operatorname{diag}\left(e^{i \theta_{1}}, \ldots, e^{i \theta_{n}}\right),
\]

мы добиваемся равенства $v=e$, не нарушая диагональной формы $X$. Таким образом, мы свели нашу систему к случаю $X=K(x), v=e$. Из равенства $[K(x), Y]_{k l}=\left(x_{k}-x_{l}\right) Y_{k l}=i$ для $k
eq l$ получаем, что $x_{k}$ все различны и
\[
Y_{k l}=\frac{i}{x_{k}-x_{l}} \quad \text { для } k
eq l .
\]

Если положить $Y_{k k}=y_{k}$, то мы получим решение системы (9) в виде
\[
X=K(x), \quad Y=L(x, y) .
\]

Для нахождения общего решения мы должны исследовать такие унитарные преобразования $U$, которые оставляют уравнение инвариантным. В силу равенства
\[
U^{-1}\left(v_{k} \bar{v}_{l}\right) U=\left(\omega_{k} \bar{\omega}_{l}\right), \quad \text { где } \omega=U^{-1} v
\]

и того, что эта матрица определяет вектор $\omega$ только с точностью до множителя $\lambda$, по модулю равного 1 , мы получаем, что множество $U$, коммутирующих с $\left(v_{k} \bar{v}_{l}\right)$, состоит из унитарных матриц, для которых $U v=\lambda v$. Это доказывает оставшиеся утверждения предложения.
5. Таким образом, любой паре $(X, Y) \in \psi^{-1}(\mu)$ мы можем сопоставить единственную пару
\[
\pi(X, Y)=(K(x), L(x, y))=\left(U^{-1} X U, U^{-1} Y U\right) ; \quad U \in G_{\mu},
\]

а любой функции $H(X, Y)$ на $\psi^{-1}(\mu)$, инвариантной относительно $U(n)$, функцию
\[
h(x, y)=\pi^{*} H=H(K(x), L(x, y)) .
\]

Эта проекция переводит симплектическую структуру на $\psi^{-1}(\mu) / G_{\mu}$ в стандартную форму $\sum_{k=1}^{n} d y_{k} \wedge d x_{k}$.
В частности, функции (6), находящиеся в инволюции, переходят в
\[
F_{p}=\frac{1}{p} \operatorname{tr} L^{p}(x, y),
\]

которые также находятся в инволюции.
Если теперь заметить, что
\[
\frac{1}{2} \operatorname{tr} L^{2}(x, y)=\frac{1}{2}|y|^{2}+U(x)
\]

есть гамильтониан системы с потенциалом $q^{-2}$, то сразу получаем, что $F_{p}$ – рациональные интегралы в инволюции для этой системы, что доказывает одно из утверждений теоремы.

Оставшаяся часть утверждений получается столь же просто. Решения системы, соответствующей гамильтониану $G_{2}$, задаются формулой (7), которую мы должны ограничить на $\psi^{-1}(\mu)$. В силу предложения 1 существуют унитарные матрицы $V_{t}$ такие, что
\[
\left(V_{t} K_{t} V_{t}^{-1}, V_{t} L_{t} V_{t}^{-1}\right)=\left(V_{0}\left(K_{0}+t L_{0}\right) V_{0}^{-1}, V_{0} L_{0} V_{0}^{-1}\right),
\]

где мы положили
\[
K_{t}=K(x(t)), \quad L_{t}=L(x(t), y(t)) .
\]

Следовательно, для $U_{t}=V_{t}^{-1} V_{0}$ мы имеем
\[
\left(U_{t}^{-1} K_{t} U_{t}, U_{t}^{-1} L_{t} U_{t}\right)=\left(K_{0}+t L_{0}, L_{0}\right) .
\]

Равенство вторых компонент снова показывает, что $\operatorname{tr} L_{t}^{p}=\operatorname{tr} L_{0}^{p}$ есть интегралы, а равенство первых компонент – то, что $x_{k}(t)$ представляют собой собственные значения матрицы $K_{0}+t L_{0}$, что и доказывает теорему.

6. Наши выводы были основаны на том факте, что функции $\operatorname{tr} Y^{p}$ переходят в $F_{p}=\operatorname{tr} L^{p}(x, y)$. Аналогично, $\operatorname{tr} X^{p}$ отображается в $\operatorname{tr} K^{p}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{p}$, но в этом случае очевидно, что эти функции находятся в инволюции. Тем не менее полезно рассмотреть отображение
\[
(X, Y) \rightarrow(-Y, X),
\]

которое переводит одно множество функций в другое. Это отображение, очевидно, симплектично и сохраняет $\psi^{-1}(\mu)$. Проектируя его на $\psi^{-1}(\mu) / G_{\mu}$, получаем, что существует $U \in G_{\mu}$ такая, что
\[
\left(U^{-1} K(x) U, U^{-1} L(x, y) U\right)=(-L(\xi, \eta), K(\xi))
\]

или
\[
\left\{\begin{aligned}
U^{-1} L(x, y) U & =K(\xi), \\
U^{-1} K(x) U & =-L(\xi, \eta),
\end{aligned}\right.
\]

где $(x, y) \rightarrow(\xi, \eta)$ – индуцированное отображение. Заметим, что это отображение является симплектическим алгебраическим отображением $\left\{x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}, y \in \mathbb{R}^{n}\right\}$ в $\left\{\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n}, \eta \in \mathbb{R}^{n}\right\}$.

Оно переводит наш гамильтониан $\frac{1}{2} \operatorname{tr} L^{2}(x, y)$ в $\frac{1}{2} \operatorname{tr} K^{2}(\xi)=$ $=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \xi_{k}^{2}$, а дифференциальные уравнения становятся линейными:
\[
\dot{\xi}=0, \quad \dot{\eta}=-\xi \text {. }
\]

7. Отображение рассеяния. Заметим, что в нашей задаче частицы отталкиваются друг от друга, поэтому их траектории разбегаются

по отдельности и имеют асимптотическое поведение
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{k}(t)=\alpha_{k} t+\beta_{k}+O\left(t^{-1}\right) \\
y_{k}(t)=\alpha_{k}+O\left(t^{-1}\right)
\end{array} \quad(t \rightarrow+\infty),\right.
\]

где $\alpha_{k}$ различны. Если мы подставим это приближение в матрицу $L(x(t), y(t))$ и вспомним, что ее собственные значения не зависят от $t$, то увидим, что $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ представляют собой собственные числа матрицы $L(x(t), y(t))$, в частности $L(x, y)$, где $x=x(0), y=y(0)$. Таким образом, в (11) мы можем отождествить $\xi_{i}$ с асимптотическими скоростями $y_{i}(\infty)$. Аналогично, подставляя потоки во второе уравнение (11), получаем
\[
U_{t}^{-1} K(x(t)) U_{t}=-L(\xi, \eta-t \xi)=L(-\xi, t \xi-\eta),
\]

откуда $-\eta_{j}=\beta_{j}$. Таким образом, используя отображение $(x, y) \rightarrow(\xi, \eta)$, определенное формулами (11), мы получаем
\[
\begin{array}{l}
x_{k}(t)=\xi_{k} t-\eta_{k}+O\left(t^{-1}\right), \\
y_{k}(t)=\xi_{k}+O\left(t^{-1}\right)
\end{array} \quad \text { при } t \rightarrow+\infty,
\]

при $t \rightarrow+\infty$,

где $x_{k}, y_{k}$ – начальные данные. Итак, формулы (11) задают отображение рассеяния, сопоставляя начальным данным асимптотические скорости $\xi$ и фазы $-\eta$.
Для $t \rightarrow-\infty$ аналогично получаются асимптотические формулы
\[
\begin{array}{l}
x_{k}=\xi_{k}^{-} t-\eta_{k}^{-}+O\left(t^{-1}\right), \\
y_{k}=\xi_{k}^{-}+O\left(t^{-1}\right)
\end{array} \quad \text { при } t \rightarrow-\infty .
\]

при $t \rightarrow-\infty$.

Тогда из обратимости системы сразу следуют формулы
\[
\xi_{k}=\xi_{n-k+1}^{-}, \quad \eta_{k}=\eta_{n-k+1}^{-}
\]

показывающие, что рассеяние в этой системе такое же, как при упругом отражении.

Упражнение 1. Покажите, что для любых двух функций $f_{j}$ функции $\operatorname{tr} f_{j}\left(X^{2}+Y^{2}\right) \quad(j=1,2)$ находятся в инволюции.
То же верно для $\operatorname{tr} f_{j}(X Y)$.

Упражнение 2. Покажите, что при описанной выше редукции гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(Y^{2}+a^{2} X^{2}\right)
\]

переходит в гамильтониан
\[
\frac{1}{2}|y|^{2}+\frac{1}{2} a^{2}|x|^{2}+\sum_{k<j}\left(x_{k}-x_{j}\right)^{-2} .
\]

Упражнение 3. Зависящее от времени каноническое преобразование $(t, X, Y) \rightarrow(\tau, \widetilde{X}, \widetilde{Y})$,
\[
\begin{aligned}
t & =\operatorname{tg} \tau, \\
\widetilde{X} & =\cos \tau X(\operatorname{tg} \tau), \\
\tilde{Y} & =(\cos \tau)^{-1} Y(\operatorname{tg} \tau)-\sin \tau X(\operatorname{tg} \tau),
\end{aligned}
\]

переводит гамильтониан системы $H_{0}=\frac{1}{2} \operatorname{tr} Y^{2}$ в
\[
\widetilde{H}=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(\tilde{Y}^{2}+\widetilde{X}^{2}\right) .
\]

Указание. Заметим, что решения
\[
X(t)=X(0)+t Y(0), \quad Y(t)=Y(0)
\]

переходят в
\[
\begin{aligned}
\widetilde{X}(\tau) & =\cos \tau \widetilde{X}(0)+\sin \tau \widetilde{Y}(0), \\
\widetilde{Y}(\tau) & =-\sin \tau \widetilde{X}(0)+\cos \tau \widetilde{Y}(0) .
\end{aligned}
\]

Упражнение 4. Преобразование, описанное в упражнении 3, удовлетворяет равенству
\[
[\widetilde{X}, \widetilde{Y}]=[X, Y] .
\]

Поэтому редукция систем (8), (9) приводит к преобразованию Переломова (2) для $a=1$.
(Упражнения 2, 3, 4 – частное сообщение М. Адлера.)