Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Рассмотрение квантовой задачи [23] привело Калоджеро к проблеме $n$ тел на прямой. Он высказал предположение, что соответствующая классическая система является интегрируемой, что было впоследствии доказано [9]. Недавно эти результаты были получены более изящным способом с помощью описанной выше редукции, примененной к коприсоединенному представлению унитарной группы [21]. Сформулируем результаты. Рассмотрим $n$ различных точек на вещественной прямой с координатами и определим потенциал Мы рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом Эта система является интегрируемой, а ее решения — алгебраическими функциями в определенном ниже смысле. или Используя интересное наблюдение, принадлежащее Переломову ${ }^{1}$, можно свести эту систему к случаю $a=0, b=1$ следующим элементарным преобразованием ${ }^{2}$ : В самом деле, легко проверить, что где штрих обозначает дифференцирование по $T$. Следовательно, если $X_{k}$ удовлетворяют приведенному выше уравнению для $a=0, b=1$, то Таким образом, для $b=a^{2} c^{4}$ преобразование (2) переводит систему (1) в систему того же вида, но с параметрами $a=0, b=1$. Такое преобразование может привести к комплексным значениям $c$, но это не должно волновать нас, поскольку все решения допускают продолжение в комплексную область. 2. В последующем мы ограничимся случаем $a=0, b=1$ и покажем, что эта система имеет $n$ интегралов в инволюции и что решения ее $x_{k}(t)$ являются алгебраическими функциями $t$. где $z_{k l}=\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-1}$ для $k Теорема. Гамильтонова система (1) с параметрами $a=0, b=1$ имеет пациональных интегралов находящихся в инволюции. Решения ее $x_{k}=x_{k}(t)$ представляют собой п различных собственных значений матрицы и, следовательно, являются алгебраческими функциями ${ }^{1}$. Следовательно, используя преобразование (2), получаем, что для произвольных $a, b$ указанное выше выражение есть полином от $\exp ( \pm i a t)$ степени $p$. В частности, для $a>0$ все решения периодические с периодом $2 \pi a^{-1}$. 3. Для доказательства этих утверждений рассмотрим касательное расслоение алгебры Ли унитарной группы $U(n)$. Представим его элемент в виде пары эрмитовых матриц $(X, Y$ ), а каноническую 1-форму в виде Симплектическая структура определяется 2-формой В этом симплектическом пространстве гамильтонова система, связанная с функцией $H=H(X, Y)$, имеет вид где $H_{Y}$ — матрица с элементами вида $\partial H / \partial Y_{k j}$, и аналогично для $H_{X}$. Скобка Пуассона определяется как Поэтому очевидно, что любые две функции $F_{1}=F_{1}(Y), F_{2}=F_{2}(Y)$, не зависящие от $X$, находятся в инволюции. Таким образом, любой такой гамильтониан определяет интегрируемую систему. В частности, это относится к гамильтонианам вида Система, соответствующая $G_{2}$, даже линейна и имеет решение 4. Все системы, определяемые $G_{p}$, инвариантны относительно действия группы $U(n)$ : Соответствующее инфинитезимальное отображение имеет вид где $A$ — эрмитова матрица, т.е. $i A$ принадлежит алгебре Ли группы $U(n)$. имеет гамильтониан Это определяет момент как где выражение справа следует интерпретировать как элемент дуального пространства к алгебре Ли. Элементы $[Y, X]$ представляют собой интегралы, $[Y, X]$ является аналогом вектора кинетического момента. Для построения приведенного пространства $\psi^{-1}(\mu) / G_{\mu}$ выберем, следуя Каждану, Костанту и Стернбергу, элемент $\mu$ в виде так что $\psi^{-1}(\mu)$ представляет собой множество пар эрмитовых матриц $(X, Y)$, для которых Полное множество решений (9) определяется следующим образом. где $x_{1}, \ldots, x_{n}$ — различные действительные числа, Более того, группа унитарных матриц $V$ образует стационарную подгруппу $G_{\mu}$. Следствие. Фактор-пространство $\psi^{-1}(\mu) / G_{\mu}$ параметризутся $x=$ $=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, и любой паре $(X, Y) \in \psi^{-1}(\mu)$ сопоставляется с помощью (10) единственная пара матриц $(K(x), L(x, y))$, где $K(x)=\operatorname{diag}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Соответствующая дифференцильная форма имеет вид Доказательство предложения. где $v=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ — любой ненулевой комплексный вектор. Второй член определен так, чтобы след выражения справа равнялся нулю. Для $v_{k}=1$ уравнение переходит в (9). Выберем унитарное преобразование $U$, которое диагонализует $X$. Отметим, что при $X \rightarrow U^{-1} X U$, $Y \rightarrow U^{-1} Y U$ правая часть переходит в такое же выражение с заменой $v \rightarrow U^{-1} v$. Поэтому мы можем исследовать уравнение для диагональной матрицы $X=\operatorname{diag}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=K(x)$. Из равенства мы заключаем, что $\left|v_{k}\right|^{2}$ не зависит от $k$. Если мы положим $|v|^{2}=n$, то $\left|v_{k}\right|=1$, или $v_{k}=e^{i \theta_{k}}$. Применяя унитарное преобразование мы добиваемся равенства $v=e$, не нарушая диагональной формы $X$. Таким образом, мы свели нашу систему к случаю $X=K(x), v=e$. Из равенства $[K(x), Y]_{k l}=\left(x_{k}-x_{l}\right) Y_{k l}=i$ для $k Если положить $Y_{k k}=y_{k}$, то мы получим решение системы (9) в виде Для нахождения общего решения мы должны исследовать такие унитарные преобразования $U$, которые оставляют уравнение инвариантным. В силу равенства и того, что эта матрица определяет вектор $\omega$ только с точностью до множителя $\lambda$, по модулю равного 1 , мы получаем, что множество $U$, коммутирующих с $\left(v_{k} \bar{v}_{l}\right)$, состоит из унитарных матриц, для которых $U v=\lambda v$. Это доказывает оставшиеся утверждения предложения. а любой функции $H(X, Y)$ на $\psi^{-1}(\mu)$, инвариантной относительно $U(n)$, функцию Эта проекция переводит симплектическую структуру на $\psi^{-1}(\mu) / G_{\mu}$ в стандартную форму $\sum_{k=1}^{n} d y_{k} \wedge d x_{k}$. которые также находятся в инволюции. есть гамильтониан системы с потенциалом $q^{-2}$, то сразу получаем, что $F_{p}$ — рациональные интегралы в инволюции для этой системы, что доказывает одно из утверждений теоремы. Оставшаяся часть утверждений получается столь же просто. Решения системы, соответствующей гамильтониану $G_{2}$, задаются формулой (7), которую мы должны ограничить на $\psi^{-1}(\mu)$. В силу предложения 1 существуют унитарные матрицы $V_{t}$ такие, что где мы положили Следовательно, для $U_{t}=V_{t}^{-1} V_{0}$ мы имеем Равенство вторых компонент снова показывает, что $\operatorname{tr} L_{t}^{p}=\operatorname{tr} L_{0}^{p}$ есть интегралы, а равенство первых компонент — то, что $x_{k}(t)$ представляют собой собственные значения матрицы $K_{0}+t L_{0}$, что и доказывает теорему. 6. Наши выводы были основаны на том факте, что функции $\operatorname{tr} Y^{p}$ переходят в $F_{p}=\operatorname{tr} L^{p}(x, y)$. Аналогично, $\operatorname{tr} X^{p}$ отображается в $\operatorname{tr} K^{p}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{p}$, но в этом случае очевидно, что эти функции находятся в инволюции. Тем не менее полезно рассмотреть отображение которое переводит одно множество функций в другое. Это отображение, очевидно, симплектично и сохраняет $\psi^{-1}(\mu)$. Проектируя его на $\psi^{-1}(\mu) / G_{\mu}$, получаем, что существует $U \in G_{\mu}$ такая, что или где $(x, y) \rightarrow(\xi, \eta)$ — индуцированное отображение. Заметим, что это отображение является симплектическим алгебраическим отображением $\left\{x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}, y \in \mathbb{R}^{n}\right\}$ в $\left\{\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n}, \eta \in \mathbb{R}^{n}\right\}$. Оно переводит наш гамильтониан $\frac{1}{2} \operatorname{tr} L^{2}(x, y)$ в $\frac{1}{2} \operatorname{tr} K^{2}(\xi)=$ $=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \xi_{k}^{2}$, а дифференциальные уравнения становятся линейными: 7. Отображение рассеяния. Заметим, что в нашей задаче частицы отталкиваются друг от друга, поэтому их траектории разбегаются по отдельности и имеют асимптотическое поведение где $\alpha_{k}$ различны. Если мы подставим это приближение в матрицу $L(x(t), y(t))$ и вспомним, что ее собственные значения не зависят от $t$, то увидим, что $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ представляют собой собственные числа матрицы $L(x(t), y(t))$, в частности $L(x, y)$, где $x=x(0), y=y(0)$. Таким образом, в (11) мы можем отождествить $\xi_{i}$ с асимптотическими скоростями $y_{i}(\infty)$. Аналогично, подставляя потоки во второе уравнение (11), получаем откуда $-\eta_{j}=\beta_{j}$. Таким образом, используя отображение $(x, y) \rightarrow(\xi, \eta)$, определенное формулами (11), мы получаем при $t \rightarrow+\infty$, где $x_{k}, y_{k}$ — начальные данные. Итак, формулы (11) задают отображение рассеяния, сопоставляя начальным данным асимптотические скорости $\xi$ и фазы $-\eta$. при $t \rightarrow-\infty$. Тогда из обратимости системы сразу следуют формулы показывающие, что рассеяние в этой системе такое же, как при упругом отражении. Упражнение 1. Покажите, что для любых двух функций $f_{j}$ функции $\operatorname{tr} f_{j}\left(X^{2}+Y^{2}\right) \quad(j=1,2)$ находятся в инволюции. Упражнение 2. Покажите, что при описанной выше редукции гамильтониан переходит в гамильтониан Упражнение 3. Зависящее от времени каноническое преобразование $(t, X, Y) \rightarrow(\tau, \widetilde{X}, \widetilde{Y})$, переводит гамильтониан системы $H_{0}=\frac{1}{2} \operatorname{tr} Y^{2}$ в Указание. Заметим, что решения переходят в Упражнение 4. Преобразование, описанное в упражнении 3, удовлетворяет равенству Поэтому редукция систем (8), (9) приводит к преобразованию Переломова (2) для $a=1$.
|
1 |
Оглавление
|