Из результатов второй части следует, что асимптотическое поведение решений задачи (1.2 ${ }^{\prime}$ ) имеет вид
\[
\begin{aligned}
x_{k}(t) & =\alpha_{k}^{+} t+\beta_{k}^{+}+o\left(e^{-\delta t}\right), \\
x_{k}(-t) & =-\alpha_{k}^{-} t+\beta_{k}^{-}+o\left(e^{-\delta t}\right)
\end{aligned}
\]

при $t \rightarrow+\infty$ и некотором $\delta>0$. Кроме того, мы получим, что
\[
\alpha_{k}^{+}=\lim _{k \rightarrow k+\infty} y_{k}=-2 \lambda_{n-k+1} \quad \text { и } \quad \alpha_{k}^{-}=-2 \lambda_{k}
\]
T. e.
\[
\alpha_{n-k+1}^{+}=\alpha_{k}^{-} .
\]

Последнее соотношение означает, что ( $n-k+1$ )-я частица при $t \rightarrow+\infty$ будет иметь скорость, которую в прошлом имела $k$-я частица.

Наша ближайшая цель — определить соотношение между фазами $\beta_{k}^{+}, \beta_{k}^{-}$, которое также может быть получено в явном виде. Этот замечательный факт является также следствием интегрируемого характера системы и представления $e^{x_{k}-x_{k+1}}, y_{k}$, как рациональных функций от $\lambda_{j}, e^{-\lambda_{j} t}$, которые определяются из (3.10) и (3.11). Явное вычисление кажется невозможным; тем не менее, следующее рассуждение, которое следует из элементарных свойств рациональных функций, приводит к цели. В его результате можно получить
\[
\beta_{n-k+1}^{+}=\beta_{k}^{-}+\sum_{j
eq k} \phi_{j k}\left(\alpha^{-}\right),
\]

где
\[
\phi_{j k}(\alpha)=\left\{\begin{array}{rrr}
\log \left(\alpha_{j}^{-}-\alpha_{k}^{-}\right)^{2} & \text { при } & j<k, \\
-\log \left(\alpha_{j}^{-}-\alpha_{k}^{-}\right)^{2} & \text { при } & j>k .
\end{array}\right.
\]

При $n=2$
\[
\begin{array}{l}
\beta_{2}^{+}=\beta_{1}^{-}-\log \left(\alpha_{1}^{-}-\alpha_{2}^{-}\right)^{2}, \\
\beta_{1}^{+}=\beta_{2}^{-}+\log \left(\alpha_{1}^{-}-\alpha_{2}^{-}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, $\phi_{j k}$ представляет собой сдвиг фаз между двумя частицами со скоростями $\alpha_{j}^{-}, \alpha_{k}^{-}$при $t=-\infty$. Результат (4.3) может быть интерпретирован следующим образом. Частицы рассеиваются так, как если бы в каждый момент взаимодействовали только две из них! Такая интерпретация была предложена мне М. Крускалом, который описал аналогичное явление для решения уравнения Кортвега-де Фриза (см. [6], теорема 3.7). Это явление, обнаруженное Захаровым и др. (см. [6] для ссылок), очевидно, тесно связано с нашим результатом, и, возможно, одно может быть выведено из другого — мы не будем здесь останавливаться на этом.

Рис. 1
Рис. 2

Продемонстрируем наше утверждение на рис. 1, 2. Рис. 1 иллюстрирует случай $n=2$, который представлен с помощью членов $\operatorname{ch}\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right) t$. Асимптотическое поведение можно интерпретировать, как упругое столкновение двух стержней длины $\phi_{21}=\log \left(\alpha_{2}^{-}-\alpha_{1}^{-}\right)^{2}$, если это число положительно. Для отрицательных значений $\phi_{21}$ частицы отражаются только после прохождения друг друга. Тем не менее, эта интерпретация отчасти вводит в заблуждение, особенно в случае $n>2$, поскольку длина стержней зависит от их скорости, а не от их положе-

ния. Мы схематически изобразили процесс рассеяния при $n=3$ на рис. 2.

Чтобы доказать (4.3), сначала переведем его в утверждение об асимптотиках для системы (2.2). Сначала заметим, что благодаря линейной зависимости от $t$ положения центра масс
\[
\sum_{k=1}^{n} \beta_{k}^{+}=\sum_{k=1}^{n} \beta_{k}^{-}
\]

и, следовательно, достаточно доказать (4.3) для разностей $\beta_{k+1}^{-}-\beta_{k}^{-}$, т.е. достаточно установить, что
\[
\beta_{n-k}^{+}-\beta_{n-k+1}^{+}=\beta_{k+1}^{-}-\beta_{k}^{-}-\sum_{j
eq k} \phi_{j k}+\sum_{j
eq k+1} \phi_{j, k+1} .
\]

Используя (2.1) и (4.1), приходим к
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} a_{n-k}(t) a_{k}(-t) e^{2\left(\lambda_{k+1}-\lambda_{k}\right) t}=C_{k}(\lambda), \quad k=1,2, \ldots, n-1,
\]

где
\[
\ln \left(4 C_{k}\right)^{2}=-\sum_{j
eq k} \phi_{j, k}+\sum_{j
eq k+1} \phi_{j, k+1} .
\]

Наконец, с учетом $\alpha_{k}^{-}=-2 \lambda_{k}$ и (4.4) получим для $C_{k}$ выражение
\[
C_{k}=\frac{\prod_{j>k}\left(\lambda_{j}-\lambda_{k}\right)}{\prod_{j<k}\left(\lambda_{k}-\lambda_{j}\right)} \cdot \frac{\prod_{j<k+1}\left(\lambda_{k+1}-\lambda_{j}\right)}{\prod_{j>k+1}\left(\lambda_{j}-\lambda_{k+1}\right)},
\]

где пропущенные множители мы приняли равными единице.
Таким образом, теперь нам остается доказать (4.6) и (4.7). Для $n=2$ доказательство сводится к легкой проверке. Преобразование (3.10) принимает явный вид
\[
\begin{array}{c}
b_{1}=\frac{\lambda_{2} r_{1}^{2}+\lambda_{1} r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}, \quad b_{2}=\frac{\lambda_{1} r_{1}^{2}+\lambda_{1} r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}, \\
a_{1}=\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right) r_{1} r_{2}}{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}=\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}+\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{-1} .
\end{array}
\]

Так как $r_{k}(t)=r_{k}(0) e^{-\lambda_{k} t}$, находим
\[
a_{1}(t) a_{1}(-t) e^{2\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right) t} \rightarrow\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)^{2},
\]

что приводит к (4.6) при $k=1, n=2$.
При $n=3$ также можно с некоторым усилием проверить приведенное утверждение явным вычислением, но для произвольного $n$ это кажется безнадежным подходом. Поэтому мы поступим следующим образом. Известно, что для всякого решения
\[
\begin{aligned}
a_{n-k}(t) & \sim c_{n-k}^{+} e^{-\left(\lambda_{k+1}-\lambda_{k}\right) t} \\
a_{k}(-t) & \sim c_{k}^{-} e^{-\left(\lambda_{k+1}-\lambda_{k}\right) t} \quad \text { при } \quad t \rightarrow+\infty
\end{aligned}
\]

с некоторыми положительными константами $c_{n-k}^{+}, c_{k}^{-}$.
(i) Сначала установим, что $c_{n-k}^{+}, c_{k}^{-}$аналитически зависят от начальных значений решения $a_{j}(0), b_{j}(0)$. (ii) Во-вторых, покажем, что
\[
\begin{array}{c}
c_{n-k}^{+}=\frac{r_{k+1}(0)}{r_{k}(0)} C_{n-k}^{+}(\lambda), \\
c_{k}^{-}=\frac{r_{k}(0)}{r_{k+1}(0)} C_{k}^{-}(\lambda),
\end{array}
\]

где $C_{n-k}^{+}, C_{k}^{-}$зависят только от $\lambda$. Это показывает, что предел (4.6) равен
\[
C_{k}(\lambda)=C_{n-k}^{+}(\lambda) C_{k}^{-}(\lambda)
\]

и, следовательно, не зависит от начального условия $r_{j}$. Это делает фактическое определение $C_{k}(\lambda)$ простым. Теперь необходимо рассмотреть различные предельные случаи для начальных условий, что будет третьим шагом (iii).

Начнем с аналитической зависимости констант $c_{n-k}^{+}, c_{k}^{-}$от начальных условий, зафиксируем решение $a_{j}(t), b_{j}(t)$ системы (2.2) и запишем близкое решение в виде
\[
\tilde{a}_{j}=a_{j} e^{u_{j}}, \quad \tilde{b}_{j}=b_{j}+v_{j},
\]

где $u_{j}(0), v_{j}(0)$ достаточно малы. Дифференциальные уравнения для $u, v$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{u}_{k}=v_{k+1}-v_{k} \\
\dot{v}_{k}=2\left(a_{k}^{2}\left(e^{2 u_{k}}-1\right)-a_{k-1}^{2}\left(e^{2 u_{k-1}}-1\right)\right) .
\end{array}
\]

Асимптотическое поведение решений определяется выражениями
\[
\begin{array}{l}
u_{k}=\left(v_{k+1}(\infty)-v_{k}(\infty)\right) t+\gamma_{k}+o\left(e^{-\delta t}\right) \\
v_{k}=v_{k}(+\infty)+o\left(e^{-\delta t}\right)
\end{array} \quad \text { при } \quad t \rightarrow+\infty,
\]

если начальные данные также малы. Этого достаточно, чтобы показать, что $v_{k}(\infty), \gamma_{k}$ вещественно аналитически зависят от $u_{j}(0), v_{j}(0)$, если они близки к нулю. С этой целью мы предположим, что начальные значения комплексны, и покажем, что указанное выше асимптотическое описание справедливо для комплексной окрестности начала координат. Это требует некоторых простых априорных оценок.

Ясно, что достаточно установить аналитическую зависимость от начальных значений $u_{k}(\tau), v_{k}(\tau)$ для какого-либо фиксированного положительного $\tau$. Это действительное решение удовлетворяет оценке
\[
0<a_{k}(t)<c_{1} e^{-\delta t} \quad \text { при } \quad o \leqslant t<\infty
\]

с некоторыми положительными константами $\delta, c_{1} ;$ мы можем положить $\delta<1<c_{1}$. При
\[
0<\eta<\frac{\delta}{8}
\]

и некотором $\tau$, которое будет определено ниже, рассмотрим комплексные начальные значения в виде
\[
\left|u_{k}(\tau)\right|<\eta, \quad\left|v_{k}(\tau)\right|<\eta .
\]

Пусть $M(t)=\max _{k}\left|v_{k}(t)\right|$. Рассмотрим эту функцию на интервале $\tau \leqslant t<\tau^{\prime}$, где $M(t) \leqslant 2 \eta$. Из дифференциальных уравнений при $\tau \leqslant t<\tau^{\prime}$ получаем
\[
\left|u_{k}(t)\right| \leqslant \eta+2 \int_{\tau}^{t} M(t) d t \leqslant \eta(1+4(t-\tau)) .
\]

Используя неравенство
\[
\left|e^{2 u}-1\right| \leqslant 2|u| e^{2|u|}
\]

и полагая, что $s=t-\tau$, на интервале $\tau \leqslant t<\tau^{\prime}$ получим
\[
\left|v_{k}(t)\right| \leqslant \eta+8 c_{1}^{2} \eta \int_{\tau}^{t} e^{-2 \delta t}(1+4(t-\tau)) e^{2 \eta(1+4(t-\tau))} d t,
\]

а потому
\[
M(t) \leqslant \eta\left(1+c_{2} e^{-2 \delta \tau} \int_{0}^{\infty} e^{-(2 \delta-8 \eta) s}(1+4 s) d s\right),
\]

где $c_{2}=8 c_{1}^{2} e^{2}$. Так как $2 \delta-8 \eta>\delta$, получим оценку
\[
M(t) \leqslant \eta\left(1+c_{2} e^{-2 \delta \tau} 5 \delta^{-2}\right) .
\]

Теперь зафиксируем $\tau$ так, чтобы
\[
5 c_{2} e^{-2 \delta \tau} \delta^{-2}<1,
\]

при этом
\[
M(t)<2 \eta \quad \text { при } \quad \tau \leqslant t<\tau^{\prime} .
\]

Таким образом, мы можем положить $\tau^{\prime}=\infty$ и получить
\[
\left|v_{k}(t)\right|_{-}<2 \eta \quad \text { при всех } \quad t \geqslant \tau
\]

для всех комплексных начальных значений, находящихся в полидиске (4.13).

Поскольку $v_{k}(t)$ аналитически зависит от своего начального значения и стремится к действительной оси при $t \rightarrow+\infty$, предельная функция $v_{k}(\infty)$ для (4.13) будет аналитической. Непосредственно из дифференциального уравнения получим
\[
\left|v_{k}(t)-v_{k}(\infty)\right| \leqslant c_{4} e^{-\delta t} \quad \text { при } \quad t \geqslant \tau
\]

и функция
\[
\begin{array}{c}
u_{k}(t)-\left(v_{k+1}(\infty)-v_{k}(\infty)\right) t= \\
=u_{k}(0)+\int_{0}^{t}\left(v_{k+1}(t)-v_{k+1}(\infty)-v_{k}(t)+v_{k}(\infty)\right) d t
\end{array}
\]

сходится при $t \rightarrow+\infty$ с равномерно. Следовательно, ее предел $\gamma_{k}$ будет аналитическим в окрестности (4.13). На этом доказательство (i) завершается.

Чтобы доказать (ii), воспользуемся представлением решений (3.10) в форме
\[
a_{n-k}^{2}(t)=A_{n-k}(r, \lambda) \quad \text { с } \quad r_{j}=r_{j}(0) e^{-\lambda_{j} t}, \quad \lambda_{j}=\lambda_{j}(0) .
\]

Здесь $A_{n-k}$ — рациональная функция от $r, \lambda$, например,
\[
A_{n-k}=\frac{P}{Q}
\]

где $P, Q$ — полиномы от $r, \lambda$. Эти полиномы однородны по $r_{j}$, их степени однородности равны, поскольку $A_{n-k}$ имеет нулевую степень. Чтобы изучать асимптотическое поведение $A_{n-k}$ при $t \rightarrow+\infty$, положим сначала, что отношение $\lambda_{j+1} / \lambda_{j}$ достаточно велико для всех $j=1,2, \ldots, n-1$. Тогда основной вклад в $P$ будет давать тот член, который появится первым при лексикографическом упорядочении показателей $r_{j}$. Пусть $P_{0}=\prod_{j=1}^{n} r_{j}^{p_{j}}$ будет таким членом в $P$ и $Q_{0}=\prod_{j=1}^{n} r_{j}^{q_{j}}-$ соответствующим (основным) членом в $Q$. Тогда $P_{0}, Q_{0}$ — полиномы по $\lambda$ и
\[
A_{n-k} \sim \frac{P_{0}}{Q_{0}} \prod_{j=1}^{n} r_{j}^{\left(p_{j}-q_{j}\right)} .
\]

С другой стороны, так как
\[
a_{n-k}^{2}(t) \sim \text { const } e^{-2\left(\lambda_{k+1}-\lambda_{k}\right) t}, \quad k=1, \ldots, n-1,
\]

можно заключить, что $p_{k}-q_{k}=-2, p_{k+1}-q_{k+1}=+2$, в остальных случаях $p_{j}=q_{j}$, и
\[
A_{n-k} \sim \frac{P_{0}}{Q_{0}}\left(\frac{r_{k+1}}{r_{k}}\right)^{2} \quad \text { при } \quad t \rightarrow+\infty .
\]

Коэффициент $P_{0} / Q_{0}$ положителен для $\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{n}$. Это доказывает первое равенство (4.11) с
\[
\left(c_{n-k}^{+}\right)^{2}=\frac{P_{0}}{Q_{0}}
\]

по крайней мере при больших значениях $\lambda_{j+1} / \lambda_{j}$. Так как этот коэффициент действителен и аналитичен для всех действительных $\lambda$ в

$\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{n}$, это соотношение выполняется всюду ${ }^{1}$. Второе равенство (4.11) доказывается точно так же.

Это показывает, что коэффициент $C_{k}(\lambda)$ в (4.11′) независим от $r_{j}(0)$ и $C_{k}^{2}(\lambda)$ — рациональная функция от $\lambda$. Определим $C_{k}(\lambda)$ при индукции по $n$. Кроме того, покажем, что даже коэффициент $C_{k}(\lambda)$ рационален. При $n=2$ формула (4.7), или эквивалентные ей выражения (4.3), (4.4), были проверены. Предпочтительнее доказывать это утверждение в форме (4.3). Из предыдущего изложения мы знаем, что
\[
\beta_{n-k+1}^{+}=\beta_{k}^{-}+\Phi_{k}(\alpha), \quad k=1,2, \ldots,
\]

где $\Phi_{k}(\alpha)$ — действительная аналитическая функция от $\alpha=$ $=\left(\alpha_{1}^{-}, \ldots, \alpha_{n}^{-}\right)$, не зависящая от $\beta_{j}^{-}$. Это следует из того, что $C_{k}(\lambda)$ не зависит от $r_{j}(0)$ и зависит только от $\lambda_{j}=-\frac{1}{2} \alpha_{j}^{-}$. Для $n+1$ частиц мы обозначим соответствующую функцию через $\psi_{k}(\widetilde{\alpha}), \widetilde{\alpha}=$ $=\left(\alpha_{1}^{-}, \ldots, \alpha_{n+1}^{-}\right)$. Для доказательства по индукции требуется проверить, что
\[
\psi_{k}(\tilde{\alpha})=\Phi_{k}(\alpha)+\phi_{n+1, k} \quad \text { при } \quad k=1,2, \ldots, n .
\]

Нахождение $\psi_{n+1}(\tilde{\alpha})$ возможно тогда из выражения
\[
\sum_{k=1}^{n+1} \psi_{k}(\tilde{\alpha})=0,
\]

которое является следствием линейной зависимости координат центра масс от времени $t$. Этого достаточно для доказательства (4.14). Так как обе части не зависят от $\beta_{j}^{-}$, мы можем выбрать $\beta_{n+1}^{-}$очень большим и положительным, так что $n$ частиц $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ уже провзаимодействовали между собой и были значительно удалены друг от друга в тот момент, когда $x_{n+1}$ будет взаимодействовать с какой-либо из

них. Другими словами, когда $x_{n+1}(t)$ воздействует с некоторой силой на $x_{1}, \ldots, x_{n}$, они уже близки к
\[
x_{k} \sim \alpha_{k}^{+} t+\beta_{k}^{+}, \quad \text { где } \quad \beta_{k}^{+}=\beta_{n-k+1}^{-}+\Phi_{n-k+1}
\]

и $t$ — большая положительная величина. Таким образом, взаимодействие $x_{n+1}$ с $x_{k}(t), k \leqslant n$ по существу будет парным. Так как до взаимодействия с $x_{n+1}$ справедливо
\[
x_{n-k+1} \sim \alpha_{k}^{-} t+\beta_{k}^{-}+\Phi_{k}, \quad k=1,2, \ldots, n,
\]

то после взаимодействия выполняется соотношение
\[
x_{n-k+1} \sim \alpha_{k}^{-} t+\beta_{k}^{-}+\Phi_{k}+\phi_{n+1, k},
\]

которое показывает, что $\psi_{k} \sim \Phi_{k}+\phi_{n+1, k}$, если $\beta_{n+1}^{-} \rightarrow \infty$. Но поскольку $\psi_{k}, \Phi_{k}$ независимы от $\beta^{-}$, предположение (4.14) будет выполнено. Эта ситуация иллюстрируется на рисунке 3 .