Из результатов второй части следует, что асимптотическое поведение решений задачи (1.2 ${}^{\prime }$ ) имеет вид
$$\begin{array}{rl}{x}_k(t)& ={\alpha }_k^{+}t+{\beta }_k^{+}+o\left(e^{-\delta t}\right),\\ x_k(-t)& =-{\alpha }_k^{-}t+{\beta }_k^{-}+o\left(e^{-\delta t}\right)\end{array}$$

при $t\to +\mathrm{\infty }$ и некотором $\delta >0$. Кроме того, мы получим, что
$${\alpha }_k^{+}=\underset{k\to k+\mathrm{\infty }}{lim}{y}_k=-2{\lambda }_{n-k+1}\text{ и }{\alpha }_k^{-}=-2{\lambda }_k$$
T. e.
$${\alpha }_{n-k+1}^{+}={\alpha }_k^{-}.$$

Последнее соотношение означает, что ( $n-k+1$ )-я частица при $t\to +\mathrm{\infty }$ будет иметь скорость, которую в прошлом имела $k$-я частица.

Наша ближайшая цель — определить соотношение между фазами ${\beta }_k^{+},{\beta }_k^{-}$, которое также может быть получено в явном виде. Этот замечательный факт является также следствием интегрируемого характера системы и представления $e^{x_k-x_{k+1}},y_k$, как рациональных функций от ${\lambda }_j,e^{-{\lambda }_{j}t}$, которые определяются из (3.10) и (3.11). Явное вычисление кажется невозможным; тем не менее, следующее рассуждение, которое следует из элементарных свойств рациональных функций, приводит к цели. В его результате можно получить
$${\beta }_{n-k+1}^{+}={\beta }_k^{-}+\sum _{jeqk}{\varphi }_{jk}\left({\alpha }^{-}\right),$$

где
$${\varphi }_{jk}(\alpha )=\{\begin{array}{rrr}\log {({\alpha }_j^{-}-{\alpha }_k^{-})}^2& \text{ при }& j<k,\\ -\log {({\alpha }_j^{-}-{\alpha }_k^{-})}^2& \text{ при }& j>k.\end{array}$$

При $n=2$
$$\begin{array}{l}{\beta }_2^{+}={\beta }_1^{-}-\log {({\alpha }_1^{-}-{\alpha }_2^{-})}^2,\\ {\beta }_1^{+}={\beta }_2^{-}+\log {({\alpha }_1^{-}-{\alpha }_2^{-})}^2.\end{array}$$

Таким образом, ${\varphi }_{jk}$ представляет собой сдвиг фаз между двумя частицами со скоростями ${\alpha }_j^{-},{\alpha }_k^{-}$при $t=-\mathrm{\infty }$. Результат (4.3) может быть интерпретирован следующим образом. Частицы рассеиваются так, как если бы в каждый момент взаимодействовали только две из них! Такая интерпретация была предложена мне М. Крускалом, который описал аналогичное явление для решения уравнения Кортвега-де Фриза (см. [6], теорема 3.7). Это явление, обнаруженное Захаровым и др. (см. [6] для ссылок), очевидно, тесно связано с нашим результатом, и, возможно, одно может быть выведено из другого — мы не будем здесь останавливаться на этом.

Рис. 1
Рис. 2

Продемонстрируем наше утверждение на рис. 1, 2. Рис. 1 иллюстрирует случай $n=2$, который представлен с помощью членов $\mathrm{ch}({\lambda }_2-{\lambda }_1)t$. Асимптотическое поведение можно интерпретировать, как упругое столкновение двух стержней длины ${\varphi }_{21}=\log {({\alpha }_2^{-}-{\alpha }_1^{-})}^2$, если это число положительно. Для отрицательных значений ${\varphi }_{21}$ частицы отражаются только после прохождения друг друга. Тем не менее, эта интерпретация отчасти вводит в заблуждение, особенно в случае $n>2$, поскольку длина стержней зависит от их скорости, а не от их положе-

ния. Мы схематически изобразили процесс рассеяния при $n=3$ на рис. 2.

Чтобы доказать (4.3), сначала переведем его в утверждение об асимптотиках для системы (2.2). Сначала заметим, что благодаря линейной зависимости от $t$ положения центра масс
$$\sum _{k=1}^n{\beta }_k^{+}=\sum _{k=1}^n{\beta }_k^{-}$$

и, следовательно, достаточно доказать (4.3) для разностей ${\beta }_{k+1}^{-}-{\beta }_k^{-}$, т.е. достаточно установить, что
$${\beta }_{n-k}^{+}-{\beta }_{n-k+1}^{+}={\beta }_{k+1}^{-}-{\beta }_k^{-}-\sum _{jeqk}{\varphi }_{jk}+\sum _{jeqk+1}{\varphi }_{j,k+1}.$$

Используя (2.1) и (4.1), приходим к
$$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_{n-k}(t)a_k(-t)e^{2({\lambda }_{k+1}-{\lambda }_k)t}=C_k(\lambda ),k=1,2,\dots ,n-1,$$

где
$$\ln {\left(4C_k\right)}^2=-\sum _{jeqk}{\varphi }_{j,k}+\sum _{jeqk+1}{\varphi }_{j,k+1}.$$

Наконец, с учетом ${\alpha }_k^{-}=-2{\lambda }_k$ и (4.4) получим для $C_k$ выражение
$$C_k=\frac{\prod _{j>k}({\lambda }_j-{\lambda }_k)}{\prod _{j<k}({\lambda }_k-{\lambda }_j)}\cdot \frac{\prod _{j<k+1}({\lambda }_{k+1}-{\lambda }_j)}{\prod _{j>k+1}({\lambda }_j-{\lambda }_{k+1})},$$

где пропущенные множители мы приняли равными единице.
Таким образом, теперь нам остается доказать (4.6) и (4.7). Для $n=2$ доказательство сводится к легкой проверке. Преобразование (3.10) принимает явный вид
$$\begin{array}{c}{b}_1=\frac{{\lambda }_2{r}_1^2+{\lambda }_1{r}_2^2}{r_1^2+r_2^2},b_2=\frac{{\lambda }_1{r}_1^2+{\lambda }_1{r}_2^2}{r_1^2+r_2^2},\\ a_1=\frac{({\lambda }_2-{\lambda }_1)r_1{r}_2}{r_1^2+r_2^2}=({\lambda }_2-{\lambda }_1){(\frac{r_1}{r_2}+\frac{r_2}{r_1})}^{-1}.\end{array}$$

Так как $r_k(t)=r_k(0)e^{-{\lambda }_{k}t}$, находим
$$a_1(t)a_1(-t)e^{2({\lambda }_2-{\lambda }_1)t}\to {({\lambda }_2-{\lambda }_1)}^2,$$

что приводит к (4.6) при $k=1,n=2$.
При $n=3$ также можно с некоторым усилием проверить приведенное утверждение явным вычислением, но для произвольного $n$ это кажется безнадежным подходом. Поэтому мы поступим следующим образом. Известно, что для всякого решения
$$\begin{array}{rl}{a}_{n-k}(t)& \sim c_{n-k}^{+}{e}^{-({\lambda }_{k+1}-{\lambda }_k)t}\\ a_k(-t)& \sim c_k^{-}{e}^{-({\lambda }_{k+1}-{\lambda }_k)t}\text{ при }t\to +\mathrm{\infty }\end{array}$$

с некоторыми положительными константами $c_{n-k}^{+},c_k^{-}$.
(i) Сначала установим, что $c_{n-k}^{+},c_k^{-}$аналитически зависят от начальных значений решения $a_j(0),b_j(0)$. (ii) Во-вторых, покажем, что
$$\begin{array}{c}{c}_{n-k}^{+}=\frac{r_{k+1}(0)}{r_k(0)}{C}_{n-k}^{+}(\lambda ),\\ c_k^{-}=\frac{r_k(0)}{r_{k+1}(0)}{C}_k^{-}(\lambda ),\end{array}$$

где $C_{n-k}^{+},C_k^{-}$зависят только от $\lambda$. Это показывает, что предел (4.6) равен
$$C_k(\lambda )=C_{n-k}^{+}(\lambda )C_k^{-}(\lambda )$$

и, следовательно, не зависит от начального условия $r_j$. Это делает фактическое определение $C_k(\lambda )$ простым. Теперь необходимо рассмотреть различные предельные случаи для начальных условий, что будет третьим шагом (iii).

Начнем с аналитической зависимости констант $c_{n-k}^{+},c_k^{-}$от начальных условий, зафиксируем решение $a_j(t),b_j(t)$ системы (2.2) и запишем близкое решение в виде
$${\tilde{a}}_j=a_j{e}^{u_j},{\tilde{b}}_j=b_j+v_j,$$

где $u_j(0),v_j(0)$ достаточно малы. Дифференциальные уравнения для $u,v$ имеют вид
$$\begin{array}{c}{\dot{u}}_k=v_{k+1}-v_k\\ {\dot{v}}_k=2(a_k^2(e^{2u_k}-1)-a_{k-1}^2(e^{2u_{k-1}}-1)).\end{array}$$

Асимптотическое поведение решений определяется выражениями
$$\begin{array}{l}{u}_k=(v_{k+1}(\mathrm{\infty })-v_k(\mathrm{\infty }))t+{\gamma }_k+o\left(e^{-\delta t}\right)\\ v_k=v_k(+\mathrm{\infty })+o\left(e^{-\delta t}\right)\end{array}\text{ при }t\to +\mathrm{\infty },$$

если начальные данные также малы. Этого достаточно, чтобы показать, что $v_k(\mathrm{\infty }),{\gamma }_k$ вещественно аналитически зависят от $u_j(0),v_j(0)$, если они близки к нулю. С этой целью мы предположим, что начальные значения комплексны, и покажем, что указанное выше асимптотическое описание справедливо для комплексной окрестности начала координат. Это требует некоторых простых априорных оценок.

Ясно, что достаточно установить аналитическую зависимость от начальных значений $u_k(\tau ),v_k(\tau )$ для какого-либо фиксированного положительного $\tau$. Это действительное решение удовлетворяет оценке
$$0<a_k(t)<c_1{e}^{-\delta t}\text{ при }o⩽t<\mathrm{\infty }$$

с некоторыми положительными константами $\delta ,c_1;$ мы можем положить $\delta <1<c_1$. При
$$0<\eta <\frac{\delta }{8}$$

и некотором $\tau$, которое будет определено ниже, рассмотрим комплексные начальные значения в виде
$$|u_k(\tau )|<\eta ,|v_k(\tau )|<\eta .$$

Пусть $M(t)=\underset{k}{max}|v_k(t)|$. Рассмотрим эту функцию на интервале $\tau ⩽t<{\tau }^{\prime }$, где $M(t)⩽2\eta$. Из дифференциальных уравнений при $\tau ⩽t<{\tau }^{\prime }$ получаем
$$|u_k(t)|⩽\eta +2{\int }_{\tau }^{t}M(t)dt⩽\eta (1+4(t-\tau )).$$

Используя неравенство
$$|e^{2u}-1|⩽2|u|e^{2|u|}$$

и полагая, что $s=t-\tau$, на интервале $\tau ⩽t<{\tau }^{\prime }$ получим
$$|v_k(t)|⩽\eta +8c_1^2\eta {\int }_{\tau }^t{e}^{-2\delta t}(1+4(t-\tau ))e^{2\eta (1+4(t-\tau ))}dt,$$

а потому
$$M(t)⩽\eta (1+c_2{e}^{-2\delta \tau }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(2\delta -8\eta )s}(1+4s)ds),$$

где $c_2=8c_1^2{e}^2$. Так как $2\delta -8\eta >\delta$, получим оценку
$$M(t)⩽\eta (1+c_2{e}^{-2\delta \tau }5{\delta }^{-2}).$$

Теперь зафиксируем $\tau$ так, чтобы
$$5c_2{e}^{-2\delta \tau }{\delta }^{-2}<1,$$

при этом
$$M(t)<2\eta \text{ при }\tau ⩽t<{\tau }^{\prime }.$$

Таким образом, мы можем положить ${\tau }^{\prime }=\mathrm{\infty }$ и получить
$${|v_k(t)|}_{-}<2\eta \text{ при всех }t⩾\tau$$

для всех комплексных начальных значений, находящихся в полидиске (4.13).

Поскольку $v_k(t)$ аналитически зависит от своего начального значения и стремится к действительной оси при $t\to +\mathrm{\infty }$, предельная функция $v_k(\mathrm{\infty })$ для (4.13) будет аналитической. Непосредственно из дифференциального уравнения получим
$$|v_k(t)-v_k(\mathrm{\infty })|⩽c_4{e}^{-\delta t}\text{ при }t⩾\tau$$

и функция
$$\begin{array}{c}{u}_k(t)-(v_{k+1}(\mathrm{\infty })-v_k(\mathrm{\infty }))t=\\ =u_k(0)+{\int }_0^t(v_{k+1}(t)-v_{k+1}(\mathrm{\infty })-v_k(t)+v_k(\mathrm{\infty }))dt\end{array}$$

сходится при $t\to +\mathrm{\infty }$ с равномерно. Следовательно, ее предел ${\gamma }_k$ будет аналитическим в окрестности (4.13). На этом доказательство (i) завершается.

Чтобы доказать (ii), воспользуемся представлением решений (3.10) в форме
$$a_{n-k}^2(t)=A_{n-k}(r,\lambda )\text{ с }{r}_j=r_j(0)e^{-{\lambda }_{j}t},{\lambda }_j={\lambda }_j(0).$$

Здесь $A_{n-k}$ — рациональная функция от $r,\lambda$, например,
$$A_{n-k}=\frac{P}{Q}$$

где $P,Q$ — полиномы от $r,\lambda$. Эти полиномы однородны по $r_j$, их степени однородности равны, поскольку $A_{n-k}$ имеет нулевую степень. Чтобы изучать асимптотическое поведение $A_{n-k}$ при $t\to +\mathrm{\infty }$, положим сначала, что отношение ${\lambda }_{j+1}/{\lambda }_j$ достаточно велико для всех $j=1,2,\dots ,n-1$. Тогда основной вклад в $P$ будет давать тот член, который появится первым при лексикографическом упорядочении показателей $r_j$. Пусть $P_0=\prod _{j=1}^n{r}_j^{p_j}$ будет таким членом в $P$ и $Q_0=\prod _{j=1}^n{r}_j^{q_j}-$ соответствующим (основным) членом в $Q$. Тогда $P_0,Q_0$ — полиномы по $\lambda$ и
$$A_{n-k}\sim \frac{P_0}{Q_0}\prod _{j=1}^n{r}_j^{(p_j-q_j)}.$$

С другой стороны, так как
$$a_{n-k}^2(t)\sim \text{ const }{e}^{-2({\lambda }_{k+1}-{\lambda }_k)t},k=1,\dots ,n-1,$$

можно заключить, что $p_k-q_k=-2,p_{k+1}-q_{k+1}=+2$, в остальных случаях $p_j=q_j$, и
$$A_{n-k}\sim \frac{P_0}{Q_0}{\left(\frac{r_{k+1}}{r_k}\right)}^2\text{ при }t\to +\mathrm{\infty }.$$

Коэффициент $P_0/Q_0$ положителен для ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\dots <{\lambda }_n$. Это доказывает первое равенство (4.11) с
$${\left(c_{n-k}^{+}\right)}^2=\frac{P_0}{Q_0}$$

по крайней мере при больших значениях ${\lambda }_{j+1}/{\lambda }_j$. Так как этот коэффициент действителен и аналитичен для всех действительных $\lambda$ в

${\lambda }_1<{\lambda }_2<\dots <{\lambda }_n$, это соотношение выполняется всюду ${}^1$. Второе равенство (4.11) доказывается точно так же.

Это показывает, что коэффициент $C_k(\lambda )$ в (4.11′) независим от $r_j(0)$ и $C_k^2(\lambda )$ — рациональная функция от $\lambda$. Определим $C_k(\lambda )$ при индукции по $n$. Кроме того, покажем, что даже коэффициент $C_k(\lambda )$ рационален. При $n=2$ формула (4.7), или эквивалентные ей выражения (4.3), (4.4), были проверены. Предпочтительнее доказывать это утверждение в форме (4.3). Из предыдущего изложения мы знаем, что
$${\beta }_{n-k+1}^{+}={\beta }_k^{-}+{\mathrm{\Phi }}_k(\alpha ),k=1,2,\dots ,$$

где ${\mathrm{\Phi }}_k(\alpha )$ — действительная аналитическая функция от $\alpha =$ $=({\alpha }_1^{-},\dots ,{\alpha }_n^{-})$, не зависящая от ${\beta }_j^{-}$. Это следует из того, что $C_k(\lambda )$ не зависит от $r_j(0)$ и зависит только от ${\lambda }_j=-\frac{1}{2}{\alpha }_j^{-}$. Для $n+1$ частиц мы обозначим соответствующую функцию через ${\psi }_k(\tilde{\alpha }),\tilde{\alpha }=$ $=({\alpha }_1^{-},\dots ,{\alpha }_{n+1}^{-})$. Для доказательства по индукции требуется проверить, что
$${\psi }_k(\tilde{\alpha })={\mathrm{\Phi }}_k(\alpha )+{\varphi }_{n+1,k}\text{ при }k=1,2,\dots ,n.$$

Нахождение ${\psi }_{n+1}(\tilde{\alpha })$ возможно тогда из выражения
$$\sum _{k=1}^{n+1}{\psi }_k(\tilde{\alpha })=0,$$

которое является следствием линейной зависимости координат центра масс от времени $t$. Этого достаточно для доказательства (4.14). Так как обе части не зависят от ${\beta }_j^{-}$, мы можем выбрать ${\beta }_{n+1}^{-}$очень большим и положительным, так что $n$ частиц $x_1,x_2,\dots ,x_n$ уже провзаимодействовали между собой и были значительно удалены друг от друга в тот момент, когда $x_{n+1}$ будет взаимодействовать с какой-либо из

них. Другими словами, когда $x_{n+1}(t)$ воздействует с некоторой силой на $x_1,\dots ,x_n$, они уже близки к
$$x_k\sim {\alpha }_k^{+}t+{\beta }_k^{+},\text{ где }{\beta }_k^{+}={\beta }_{n-k+1}^{-}+{\mathrm{\Phi }}_{n-k+1}$$

и $t$ — большая положительная величина. Таким образом, взаимодействие $x_{n+1}$ с $x_k(t),k⩽n$ по существу будет парным. Так как до взаимодействия с $x_{n+1}$ справедливо
$$x_{n-k+1}\sim {\alpha }_k^{-}t+{\beta }_k^{-}+{\mathrm{\Phi }}_k,k=1,2,\dots ,n,$$

то после взаимодействия выполняется соотношение
$$x_{n-k+1}\sim {\alpha }_k^{-}t+{\beta }_k^{-}+{\mathrm{\Phi }}_k+{\varphi }_{n+1,k},$$

которое показывает, что ${\psi }_k\sim {\mathrm{\Phi }}_k+{\varphi }_{n+1,k}$, если ${\beta }_{n+1}^{-}\to \mathrm{\infty }$. Но поскольку ${\psi }_k,{\mathrm{\Phi }}_k$ независимы от ${\beta }^{-}$, предположение (4.14) будет выполнено. Эта ситуация иллюстрируется на рисунке 3 .