Следуя Флашке, положим
$$a_k=\frac{1}{2}{e}^{(x_k-x_{k+1})/2},b_k=-\frac{1}{2}{y}_k$$

так, что дифференциальные уравнения (1.2) примут вид
$$\begin{array}{ll}{\dot{a}}_k=a_k(b_{k+1}-b_k),& k=1,2,\dots ,n-1\\ {\dot{b}}_k=2(a_k^2-a_{k-1}^2),& k=1,2,\dots ,n,\end{array}$$

а граничные условия (1.3)
$$a_0=0,a_n=0.$$

Заметим, что (2.1) задает преобразование переменных $(x,y)$ в переменные $(a,b)$. Отождествим точки $(x,y),(\tilde{x},\tilde{y})$, если $x_k-{\tilde{x}}_k$ не зависит от $k$, и назовем класс эквивалентности «конфигурацией». Конфигурация характеризуется $2n-1$ числами $x_k-x_n,(k=1,\dots ,n-1)$, и $y_k,k=1,\dots ,n$. Таким образом, формулы (2.1) определяют обратимое преобразование ( $2n-1)$-мерного пространства конфигураций в область
$$D=\{a,b\mid a_k>0,k=1,\dots ,n-1\},$$

в которой остается изучить поток, определяемый квадратичными дифференциальными уравнениями (2.2). Энергия системы имеет вид
$$H=4\{\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k^2+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{b}_k^2\}.$$

Покажем сначала, что для любого решения в $D$
$$a_k(t)\to 0\text{ при }t\to \pm \mathrm{\infty }\text{ и }k=1,\dots ,n-1,$$

что равнозначно утверждению о том, что $x_{k+1}-x_k\to \mathrm{\infty }$ при $t\to \pm \mathrm{\infty }$. Для доказательства рассмотрим систему (2.2) с заданными $a_0(t)$, $a_n(t)\in L^2(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ такими, что ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(a_0^2+a_n^2)dt<\mathrm{\infty }$, и докажем сле- дующую лемму:
Лемма. Для любого решения (2.2) с указанным модифицированным граничным условием
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(a_1^2+a_{k-1}^2)dt<\mathrm{\infty }$$

Доказательство.
Рассмотрим функцию
$$\varphi (t)=b_1-b_n,$$

для которой
$$\frac{d\varphi }{dt}={\dot{b}}_1-{\dot{b}}_n=2(a_0^2+a_n^2)-2(a_1^2+a_{n-1}^2).$$

Тогда
$$\psi =\frac{1}{2}\varphi -{\int }_{-\mathrm{\infty }}^t(a_0^2+a_n^2)dt$$

удовлетворяет уравнению
$$\frac{d\psi }{dt}=-(a_1^2+a_{n-1}^2)$$

Поскольку вследствие выполнения энергетического соотношения $\varphi$ и, следовательно, $\psi$ будут ограниченными, то интеграл
$${\int }_{-T}^T(a_1^2+a_{n-1}^2)dt=\psi (-T)-\psi (T)$$

ограничен при $T\to \pm \mathrm{\infty }$, что и доказывает лемму.

Мы можем применить это утверждение, в частности, к случаю $a_0=a_n=0$. Используя лемму для приведенной системы, где исключены первое и последнее уравнения в первой и второй строке (2.2), мы заключаем, что ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(a_n^2+a_{n-2}^2)dt<\mathrm{\infty }$ и, по индукции, что
$$\sum _{k=1}^{n-1}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_k^{2}dt<\mathrm{\infty }$$

Поскольку, с другой стороны, $|\dot{p}|⩽2\sum a_k^2|b_k-b_{k+1}|⩽M$ ограничено, то $p=\sum _1^{n-1}{a}_k^2\to \mathbf{0}$ при $t\to \pm \mathrm{\infty }$. Действительно, в противном случае должна существовать последовательность $t_k\to \mathrm{\infty }$, для которой $p\left(t_k\right)⩾\delta >0$. Мы можем предположить, что последовательность выбрана таким образом, что $|t_{k+1}-t_k|⩾\delta /M$. Поскольку функция $p(t)⩾\delta /2$, в непересекающихся интервалах $|t-t_k|<\frac{1}{2}\frac{\delta }{M}$ она не может быть интегрируемой, что противоречит (2.6). Это и доказывает (2.5). Кроме того, из (2.2) следует, что $b_k$ стремится к пределу $b_k(\mathrm{\infty })$ при $t\to +\mathrm{\infty }$.

Флашка $[1,2]$ заметил, что система (2.2) может быть представлена в матричной форме
$$\frac{d}{dt}L=BL-LB,$$

где
$$L=\left(\begin{array}{ccccc}{b}_1& a_1& & & \\ a_1& b_2& & 0& \\ & & \ddots & & \\ & 0& & b_{n-1}& a_{n-1}\\ & & & a_{n-1}& b_n\end{array}\right);B=\left(\begin{array}{ccccc}0& a_1& & & \\ -a_1& 0& & 0& \\ & \ddots & & \\ & 0& & 0& a_{n-1}\\ & & & -a_{n-1}& 0\end{array}\right).$$

Таким образом, если $U=U(t)$ — ортогональная матрица, удовлетворяющая уравнению
$$\frac{dU}{dt}=BU;U(0)=I,$$

то из (2.7) получим, что
$$\frac{d}{dt}\left(U^{-1}LU\right)=0$$
и, следовательно,
$$U^{-1}LU=L(0).$$

Таким образом, $L(t)$ подобна $L(0)$, и собственные значения ${\lambda }_k$ матрицы Якоби $L$, которые действительны и различны, не зависят от $t$. Это описание интегралов, как собственных значений линейного оператора, было предложено Лаксом [5], и вывод Флашки основывался на этом методе.
Таким образом, характеристический полином
$${\mathrm{\Delta }}_n(\lambda )=\det (\lambda I-L)=\prod _{k=1}^n(\lambda -{\lambda }_k)=\sum _{k=0}^n{I}_k{\lambda }^{n-k},$$

так же, как и коэффициенты $I_1,\dots ,I_n$, являются интегралами движения (2.2). Для определенности мы упорядочим собственные значения по их величине
$${\lambda }_1<{\lambda }_2<\dots <{\lambda }_n.$$

Заметим, что $L(t)\to L(\mathrm{\infty })$ при $t\to +\mathrm{\infty }$, где $L(\mathrm{\infty })$ — диагональная матрица, диагональные элементы которой должны быть собственными значениями ${\lambda }_k$, взятыми в надлежащем порядке. Из
$$\frac{{\dot{a}}_k}{a_k}\sim b_{k+1}(\mathrm{\infty })-b_k(\mathrm{\infty })$$

и (2.5) мы можем заключить, что $b_{k+1}(\mathrm{\infty })<b_k(\mathrm{\infty })$, или
$$b_k(\mathrm{\infty })={\lambda }_{n-k+1},$$
т. e.
$$L(\mathrm{\infty })=\mathrm{diag}({\lambda }_n,{\lambda }_{n-1},\dots ,{\lambda }_1).$$

Используя тот факт, что система инвариантна относительно обращения времени $t$
$$t\to -t;a_k\to a_{n-k};b_k\to b_{n+1-k},$$

получаем, что
$$L(-\mathrm{\infty })=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n),$$
т.е. $L(\mathrm{\infty }),L(-\mathrm{\infty })$ отличаются только расположением диагональных элементов. Физическая интерпретация этого результата сводится к

следующему: если при $t\to -\mathrm{\infty }$ частицы $x_k$ достигают скоростей $y_k=-2{\lambda }_k$ где $y_1<y_2<\dots <y_n$, то при $t\to +\mathrm{\infty }$ частицы $x_k$ имеют скорости $y_{n-k+1}$, таким образом, частицы обмениваются своими скоростями.

Это описывает поток для нашей задачи (2.2), (2.3). Найдем также другой набор переменных, $r_k>0,k=1,\dots ,n-1$, которые вместе с ${\lambda }_k$ образуют набор координат, и представим рассматриваемые дифференциальные уравнения в этих новых переменных.