Следуя Флашке, положим
\[
a_{k}=\frac{1}{2} e^{\left(x_{k}-x_{k+1}\right) / 2}, \quad b_{k}=-\frac{1}{2} y_{k}
\]

так, что дифференциальные уравнения (1.2) примут вид
\[
\begin{array}{ll}
\dot{a}_{k}=a_{k}\left(b_{k+1}-b_{k}\right), & k=1,2, \ldots, n-1 \\
\dot{b}_{k}=2\left(a_{k}^{2}-a_{k-1}^{2}\right), & k=1,2, \ldots, n,
\end{array}
\]

а граничные условия (1.3)
\[
a_{0}=0, \quad a_{n}=0 .
\]

Заметим, что (2.1) задает преобразование переменных $(x, y)$ в переменные $(a, b)$. Отождествим точки $(x, y),(\tilde{x}, \tilde{y})$, если $x_{k}-\tilde{x}_{k}$ не зависит от $k$, и назовем класс эквивалентности «конфигурацией». Конфигурация характеризуется $2 n-1$ числами $x_{k}-x_{n},(k=1, \ldots, n-1)$, и $y_{k}, k=1, \ldots, n$. Таким образом, формулы (2.1) определяют обратимое преобразование ( $2 n-1)$-мерного пространства конфигураций в область
\[
D=\left\{a, b \mid a_{k}>0, k=1, \ldots, n-1\right\},
\]

в которой остается изучить поток, определяемый квадратичными дифференциальными уравнениями (2.2). Энергия системы имеет вид
\[
H=4\left\{\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} b_{k}^{2}\right\} .
\]

Покажем сначала, что для любого решения в $D$
\[
a_{k}(t) \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad t \rightarrow \pm \infty \quad \text { и } \quad k=1, \ldots, n-1,
\]

что равнозначно утверждению о том, что $x_{k+1}-x_{k} \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \pm \infty$. Для доказательства рассмотрим систему (2.2) с заданными $a_{0}(t)$, $a_{n}(t) \in L^{2}(-\infty,+\infty)$ такими, что $\int_{-\infty}^{+\infty}\left(a_{0}^{2}+a_{n}^{2}\right) d t<\infty$, и докажем сле- дующую лемму:
Лемма. Для любого решения (2.2) с указанным модифицированным граничным условием
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(a_{1}^{2}+a_{k-1}^{2}\right) d t<\infty
\]

Доказательство.
Рассмотрим функцию
\[
\phi(t)=b_{1}-b_{n},
\]

для которой
\[
\frac{d \phi}{d t}=\dot{b}_{1}-\dot{b}_{n}=2\left(a_{0}^{2}+a_{n}^{2}\right)-2\left(a_{1}^{2}+a_{n-1}^{2}\right) .
\]

Тогда
\[
\psi=\frac{1}{2} \phi-\int_{-\infty}^{t}\left(a_{0}^{2}+a_{n}^{2}\right) d t
\]

удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d \psi}{d t}=-\left(a_{1}^{2}+a_{n-1}^{2}\right)
\]

Поскольку вследствие выполнения энергетического соотношения $\phi$ и, следовательно, $\psi$ будут ограниченными, то интеграл
\[
\int_{-T}^{T}\left(a_{1}^{2}+a_{n-1}^{2}\right) d t=\psi(-T)-\psi(T)
\]

ограничен при $T \rightarrow \pm \infty$, что и доказывает лемму.

Мы можем применить это утверждение, в частности, к случаю $a_{0}=a_{n}=0$. Используя лемму для приведенной системы, где исключены первое и последнее уравнения в первой и второй строке (2.2), мы заключаем, что $\int_{-\infty}^{+\infty}\left(a_{n}^{2}+a_{n-2}^{2}\right) d t<\infty$ и, по индукции, что
\[
\sum_{k=1}^{n-1} \int_{-\infty}^{+\infty} a_{k}^{2} d t<\infty
\]

Поскольку, с другой стороны, $|\dot{p}| \leqslant 2 \sum a_{k}^{2}\left|b_{k}-b_{k+1}\right| \leqslant M$ ограничено, то $p=\sum_{1}^{n-1} a_{k}^{2} \rightarrow \mathbf{0}$ при $t \rightarrow \pm \infty$. Действительно, в противном случае должна существовать последовательность $t_{k} \rightarrow \infty$, для которой $p\left(t_{k}\right) \geqslant \delta>0$. Мы можем предположить, что последовательность выбрана таким образом, что $\left|t_{k+1}-t_{k}\right| \geqslant \delta / M$. Поскольку функция $p(t) \geqslant \delta / 2$, в непересекающихся интервалах $\left|t-t_{k}\right|<\frac{1}{2} \frac{\delta}{M}$ она не может быть интегрируемой, что противоречит (2.6). Это и доказывает (2.5). Кроме того, из (2.2) следует, что $b_{k}$ стремится к пределу $b_{k}(\infty)$ при $t \rightarrow+\infty$.

Флашка $[1,2]$ заметил, что система (2.2) может быть представлена в матричной форме
\[
\frac{d}{d t} L=B L-L B,
\]

где
\[
L=\left(\begin{array}{ccccc}
b_{1} & a_{1} & & & \\
a_{1} & b_{2} & & 0 & \\
& & \ddots & & \\
& 0 & & b_{n-1} & a_{n-1} \\
& & & a_{n-1} & b_{n}
\end{array}\right) ; \quad B=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & a_{1} & & & \\
-a_{1} & 0 & & 0 & \\
& \ddots & & \\
& 0 & & 0 & a_{n-1} \\
& & & -a_{n-1} & 0
\end{array}\right) .
\]

Таким образом, если $U=U(t)$ – ортогональная матрица, удовлетворяющая уравнению
\[
\frac{d U}{d t}=B U ; \quad U(0)=I,
\]

то из (2.7) получим, что
\[
\frac{d}{d t}\left(U^{-1} L U\right)=0
\]
и, следовательно,
\[
U^{-1} L U=L(0) .
\]

Таким образом, $L(t)$ подобна $L(0)$, и собственные значения $\lambda_{k}$ матрицы Якоби $L$, которые действительны и различны, не зависят от $t$. Это описание интегралов, как собственных значений линейного оператора, было предложено Лаксом [5], и вывод Флашки основывался на этом методе.
Таким образом, характеристический полином
\[
\Delta_{n}(\lambda)=\operatorname{det}(\lambda I-L)=\prod_{k=1}^{n}\left(\lambda-\lambda_{k}\right)=\sum_{k=0}^{n} I_{k} \lambda^{n-k},
\]

так же, как и коэффициенты $I_{1}, \ldots, I_{n}$, являются интегралами движения (2.2). Для определенности мы упорядочим собственные значения по их величине
\[
\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{n} .
\]

Заметим, что $L(t) \rightarrow L(\infty)$ при $t \rightarrow+\infty$, где $L(\infty)$ – диагональная матрица, диагональные элементы которой должны быть собственными значениями $\lambda_{k}$, взятыми в надлежащем порядке. Из
\[
\frac{\dot{a}_{k}}{a_{k}} \sim b_{k+1}(\infty)-b_{k}(\infty)
\]

и (2.5) мы можем заключить, что $b_{k+1}(\infty)<b_{k}(\infty)$, или
\[
b_{k}(\infty)=\lambda_{n-k+1},
\]
т. e.
\[
L(\infty)=\operatorname{diag}\left(\lambda_{n}, \lambda_{n-1}, \ldots, \lambda_{1}\right) .
\]

Используя тот факт, что система инвариантна относительно обращения времени $t$
\[
t \rightarrow-t ; \quad a_{k} \rightarrow a_{n-k} ; \quad b_{k} \rightarrow b_{n+1-k},
\]

получаем, что
\[
L(-\infty)=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right),
\]
т.е. $L(\infty), L(-\infty)$ отличаются только расположением диагональных элементов. Физическая интерпретация этого результата сводится к

следующему: если при $t \rightarrow-\infty$ частицы $x_{k}$ достигают скоростей $y_{k}=-2 \lambda_{k}$ где $y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{n}$, то при $t \rightarrow+\infty$ частицы $x_{k}$ имеют скорости $y_{n-k+1}$, таким образом, частицы обмениваются своими скоростями.

Это описывает поток для нашей задачи (2.2), (2.3). Найдем также другой набор переменных, $r_{k}>0, k=1, \ldots, n-1$, которые вместе с $\lambda_{k}$ образуют набор координат, и представим рассматриваемые дифференциальные уравнения в этих новых переменных.