Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Следуя Флашке, положим так, что дифференциальные уравнения (1.2) примут вид а граничные условия (1.3) Заметим, что (2.1) задает преобразование переменных $(x, y)$ в переменные $(a, b)$. Отождествим точки $(x, y),(\tilde{x}, \tilde{y})$, если $x_{k}-\tilde{x}_{k}$ не зависит от $k$, и назовем класс эквивалентности «конфигурацией». Конфигурация характеризуется $2 n-1$ числами $x_{k}-x_{n},(k=1, \ldots, n-1)$, и $y_{k}, k=1, \ldots, n$. Таким образом, формулы (2.1) определяют обратимое преобразование ( $2 n-1)$-мерного пространства конфигураций в область в которой остается изучить поток, определяемый квадратичными дифференциальными уравнениями (2.2). Энергия системы имеет вид Покажем сначала, что для любого решения в $D$ что равнозначно утверждению о том, что $x_{k+1}-x_{k} \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \pm \infty$. Для доказательства рассмотрим систему (2.2) с заданными $a_{0}(t)$, $a_{n}(t) \in L^{2}(-\infty,+\infty)$ такими, что $\int_{-\infty}^{+\infty}\left(a_{0}^{2}+a_{n}^{2}\right) d t<\infty$, и докажем сле- дующую лемму: Доказательство. для которой Тогда удовлетворяет уравнению Поскольку вследствие выполнения энергетического соотношения $\phi$ и, следовательно, $\psi$ будут ограниченными, то интеграл ограничен при $T \rightarrow \pm \infty$, что и доказывает лемму. Мы можем применить это утверждение, в частности, к случаю $a_{0}=a_{n}=0$. Используя лемму для приведенной системы, где исключены первое и последнее уравнения в первой и второй строке (2.2), мы заключаем, что $\int_{-\infty}^{+\infty}\left(a_{n}^{2}+a_{n-2}^{2}\right) d t<\infty$ и, по индукции, что Поскольку, с другой стороны, $|\dot{p}| \leqslant 2 \sum a_{k}^{2}\left|b_{k}-b_{k+1}\right| \leqslant M$ ограничено, то $p=\sum_{1}^{n-1} a_{k}^{2} \rightarrow \mathbf{0}$ при $t \rightarrow \pm \infty$. Действительно, в противном случае должна существовать последовательность $t_{k} \rightarrow \infty$, для которой $p\left(t_{k}\right) \geqslant \delta>0$. Мы можем предположить, что последовательность выбрана таким образом, что $\left|t_{k+1}-t_{k}\right| \geqslant \delta / M$. Поскольку функция $p(t) \geqslant \delta / 2$, в непересекающихся интервалах $\left|t-t_{k}\right|<\frac{1}{2} \frac{\delta}{M}$ она не может быть интегрируемой, что противоречит (2.6). Это и доказывает (2.5). Кроме того, из (2.2) следует, что $b_{k}$ стремится к пределу $b_{k}(\infty)$ при $t \rightarrow+\infty$. Флашка $[1,2]$ заметил, что система (2.2) может быть представлена в матричной форме где Таким образом, если $U=U(t)$ — ортогональная матрица, удовлетворяющая уравнению то из (2.7) получим, что Таким образом, $L(t)$ подобна $L(0)$, и собственные значения $\lambda_{k}$ матрицы Якоби $L$, которые действительны и различны, не зависят от $t$. Это описание интегралов, как собственных значений линейного оператора, было предложено Лаксом [5], и вывод Флашки основывался на этом методе. так же, как и коэффициенты $I_{1}, \ldots, I_{n}$, являются интегралами движения (2.2). Для определенности мы упорядочим собственные значения по их величине Заметим, что $L(t) \rightarrow L(\infty)$ при $t \rightarrow+\infty$, где $L(\infty)$ — диагональная матрица, диагональные элементы которой должны быть собственными значениями $\lambda_{k}$, взятыми в надлежащем порядке. Из и (2.5) мы можем заключить, что $b_{k+1}(\infty)<b_{k}(\infty)$, или Используя тот факт, что система инвариантна относительно обращения времени $t$ получаем, что следующему: если при $t \rightarrow-\infty$ частицы $x_{k}$ достигают скоростей $y_{k}=-2 \lambda_{k}$ где $y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{n}$, то при $t \rightarrow+\infty$ частицы $x_{k}$ имеют скорости $y_{n-k+1}$, таким образом, частицы обмениваются своими скоростями. Это описывает поток для нашей задачи (2.2), (2.3). Найдем также другой набор переменных, $r_{k}>0, k=1, \ldots, n-1$, которые вместе с $\lambda_{k}$ образуют набор координат, и представим рассматриваемые дифференциальные уравнения в этих новых переменных.
|
1 |
Оглавление
|