1. Предварительные замечания. В данной статье рассматриваются интегрируемые гамильтоновы системы. Это понятие восходит к классической аналитической динамике прошлого века. Речь идет о нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, описываемых функцией Гамильтона и обладающих достаточным числом интегралов (или сохраняющихся величин), поэтому такие системы более или менее до конца разрешимы в квадратурах. Эти системы играли решающую роль в прошлом веке до тех пор, пока не были развиты качественные методы для дифференциальных уравнений. Затем интерес к этим системам упал, отчасти из-за того, что существование глобальных интегралов может быть установлено только для исключительных гамильтоновых систем.

За последние 15 лет интегрируемые гамильтоновы системы вновь приобрели большой интерес в связи с изучением дифференциальных уравнений в частных производных, которые могут рассматриваться как системы с бесконечным числом степеней свободы. В этом случае интегралы образуют бесконечную последовательность сохраняющихся функционалов. Наиболее известным примером является уравнение Кортевега-де Фриза: $u_{t}+u u_{x}+u_{x x x}=0$. Обширные исследования этого уравнения привели к поразительным связям с теорией рассеяния, спектральной теорией, комплексным анализом гиперэллиптических кривых и их $\theta$-функциями, дифференциальной геометрией.

Цель данной статьи – установить связь между некоторыми классическими интегрируемыми гамильтоновыми системами и элементарной геометрией квадрик. Поводом к этому послужило следующее наблюдение. Классический подход к нахождению подходящих интегралов основывался на решении уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных (Штеккель [19], Якоби [6]). Это требует подходящего выбора переменных и искусных вычислений. Таковы случаи

интегрирования Якоби геодезических на эллипсоиде или исследование К. Нейманом [14] материальной точки, движущейся по сфере под действием линейной силы.

С другой стороны, в недавних исследованиях дифференциальных уравнений в частных производных были найдены интегралы в виде собственных значений некоторых линейных операторов, которые зависят от решения дифференциального уравнения, но обладают той особенностью, что их спектр сохраняется для каждого решения рассматриваемого дифференциального уравнения. Таким образом, с течением времени линейный оператор изменяется так, что его спектр остается фиксированным, то есть претерпевает изоспектральную деформацию. Собственные значения, рассматриваемые как функционалы, представляют собой интегралы. Этот подход, состоящий в применении изоспектральной деформации к линейному оператору, был развит П. Д. Лаксом в связи с уравнением Кортевега-де Фриза и применен рядом исследователей ко многим другим случаям.

Естественно, возникает вопрос, могут ли все интегрируемые гамильтоновы системы быть описаны с помощью изоспектральной деформации. При этом проблема отыскания интегралов, при условии их существования, сводится к нахождению линейного оператора, чей спектр сохраняется. Мы не будем пытаться ответить на этот вопрос во всей его общности, тем не менее рассмотрим некоторые классические примеры, такие как геодезический поток Якоби на эллипсоиде, и построим для них изоспектральную деформацию. Соответствующая матрица оказывается симметричной, и мы дадим геометрическую интерпретацию собственным значениям и собственным векторам. Это не приводит к новым результатам в этой классической задаче, но дает интересную геометрическую интерпретацию собственным значениям и собственным векторам этих операторов. В ходе данного исследования мы увидим, что наш подход также применим к уравнению Кортевега-де Фриза и, таким образом, к установлению связи между этим уравнением в частных производных и теорией конфокальных квадрик.

2. Геодезические на эллипсоиде. Начнем с непосредственной иллюстрации нашего подхода на примере геодезического потока на эллипсоиде, который был впервые проинтегрирован Якоби. В декабре 1838 г. он писал своему другу и коллеге Бесселю: «Вчера я разрешил уравнения геодезических на эллипсоиде с тремя различными осями в квадратурах. Это простейшие в мире формулы, абелевы интегралы,

которые в случае двух равных осей превращаются в эллиптические». Приведенная цитата показывает, насколько популярны были абелевы интегралы в то время; ниже мы увидим, как данная теория связана с изоспектральными многообразиями.

Если $A$ – положительно определенная симметричная $n \times n$ матрица с различными собственными значениями и $x \in \mathbb{R}^{n}-n$-вектор, то уравнение ( $n-1$ )-мерного эллипсоида записывается как
\[
\left\langle A^{-1} x, x\right\rangle=1,
\]

а дифференциальные уравнения геодезических – как
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-
u A^{-1} x, \quad
u=\frac{\left\langle A^{-1} y, y\right\rangle}{\left|A^{-1} x\right|^{2}}, \quad y=\frac{d x}{d t},
\]

где мы ограничимся решениями, лежащими на эллипсоиде. Здесь $\langle\cdot, \cdot\rangle$ обозначает скалярное произведение в $\mathbb{R}^{n}$.

Оказывается, что в данной задаче подходящие изоспектральные матрицы $L$, которые мы приводим без объяснения, имеют вид
\[
L(x, y)=P_{y}(A-x \otimes x) P_{y},
\]

где тензорное произведение $x \otimes y$ означает матрицу $\left\|x_{i} y_{j}\right\|$, и $P_{y}$ ортогональная проекция на ортогональное дополнение вектора $y$. Таким образом, симметричная матрица $L(x, y)$ зависит от двух векторов $x, y \in \mathbb{R}^{n}$, где, однако, длина $y
eq 0$ несущественна.

Отождествляя $x$ с положением на эллипсоиде и полагая $y=d x / d t$, получим, что собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ матрицы $L$ сохраняются под действием геодезического потока (1.2). В действительности, одно собственное значение, скажем $\lambda_{n}$, равно нулю и соответствует собственному вектору $y$ матрицы $L$. Однако другие $n-1$ собственных значений являются нетривиальными алгебраическими интегралами потока (1.2). Лучше построить симметричные функции от $\lambda_{j}$ и рассмотреть характеристический многочлен $l(z)=\operatorname{det}(z I-L)$ матрицы $L$, полиномиальный по $x, y$. Соотношение
\[
\frac{|y|^{2}}{z} \frac{\operatorname{det}(z I-L)}{\operatorname{det}(z I-A)}=\Phi_{z}(x, y)
\]

является рациональной функцией $z$ с полюсами в собственных значениях $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ матрицы $A$ и нулями в нетривиальных собственных

значениях $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n-1}$ матрицы $L(x, y)$. Функция $\Phi_{z}(x, y)$ как функция от $x, y$ является полиномом четвертой степени. Разложение на простые дроби функции $\Phi_{z}(x, y)$ имеет вид
\[
\Phi_{z}=\sum_{j=1}^{n} \frac{G_{j}(x, y)}{z-\alpha_{j}},
\]

где $G_{j}(x, y)$ – также полиномы четвертой степени по $x, y$, являющиеся интегралами потока (1.2). Фактически, только $n-1$ из них независимы на эллипсоиде, так как выполняется соотношение
\[
0=\Phi_{0}=-\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}^{-1} G_{j}(x, y)
\]

Мы хотим указать связь с конфокальными квадриками к эллипсоиду (1.1), которые задаются уравнением
\[
\left\langle(z-A)^{-1} x, x\right\rangle+1=0 .
\]

Положим
\[
Q_{z}(x, y)=\left\langle(z-A)^{-1} x, y\right\rangle, \quad Q_{z}(x)=Q_{z}(x, x)
\]

и обозначим квадрику
\[
Q_{z}(z)+1=0
\]

через $\mathfrak{U}_{z}$.
Чтобы дать геометрическую интерпретацию уравнению на собственные значения $\Phi_{z}(x, y)=0$ для (1.4), сначала установим тождество
\[
\Phi_{z}(x, y)=Q_{z}(y)\left(1+Q_{z}(x)\right)-Q_{z}^{2}(x, y),
\]

так что при фиксированных $z, x$ оно представляет собой квадратичную форму. Уравнение
\[
\Phi_{z}(x, y)=0
\]

определяет квадратичный конус касательных к $\mathfrak{U}_{z}$, проходящих через точку $x$, которая затем будет перенесена в начало координат. Далее имеем
\[
\Phi_{z}(x+s y, y)=\Phi_{z}(x, y)
\]

так что $\Phi_{z}$ постоянна вдоль любой прямой $x=x_{0}+s y, y
eq 0$. Отсюда видно, что для заданной прямой $x=x_{0}+s y$ корни $z=\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n-1}$ уравнения
\[
\Phi_{z}\left(x_{0}, y\right)=0
\]

таковы, что эта прямая касательна к конфокальным квадрикам $\mathfrak{U}_{\lambda_{j}}$ ( $j=1,2, \ldots, n-1)$. В общем случае прямая в $\mathbb{R}^{n}$ касается ровно $n-1$ конфокальных квадрик, и множество прямых, касательных к $\mathfrak{U}_{\lambda_{1}}, \ldots, \mathfrak{U}_{\lambda_{n-1}}$, образует нормальную конгруэнцию; см. Бьянки [2].

Таким образом, «изоспектральное» многообразие матриц $L(x, y)$ c различными фиксированными собственными значениями $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n-1}$ отождествляется с нормальной конгруэнцей общих касательных $к$ $n-1$ конфокальным квадрикам $\mathfrak{U}_{\lambda_{j}}(j=1,2, \ldots, n-1)$. Это можно рассматривать как геометрическую интерпретацию спектра $L(x, y)$.

Собственные векторы $\phi_{j}$ матрицы $L$ также имеют простую геометрическую интерпретацию. Собственное значение $\lambda_{n}=0$ соответствует $\phi_{n}=y$, как было отмечено выше, в то время как другие собственные векторы $\phi_{j}$ являются нормалями $к \mathfrak{U}_{\lambda_{j}}$ в точке касания с прямой $x=x_{0}+s y$. Поскольку $L=L(x, y)$ симметрична, эти $n$ векторов попарно ортогональны, что является содержанием известной теоремы Шаля (Бьянки [2], Селмон и Фидлер [17]). Под действием геодезического потока ортонормированная система $\phi_{j}$ совершает движение, описываемое антисимметричной матрицей $B$, так что
\[
\dot{\phi}_{j}=B \phi_{j}, \quad \dot{L}=[B, L] .
\]

Это представление Лакса для геодезического потока, где $B$ – матрица вида
\[
B=-\left(\alpha_{i}^{-1} \alpha_{j}^{-1}\left(x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}\right)\right) .
\]

Тот факт, что собственные значения $\lambda_{j}$ сохраняются под действием геодезического потока, очевидно означает, что касательные к одной геодезической на эллипсоиде будут касаться $n-2$ квадрик, конфокальных к эллипсодду – также хорошо известный результат геометрии.

Эти результаты будут получены в разделе 3. Другие свойства изоспектрального многообразия $\mathfrak{M}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n-1}\right)$ матриц $L(x, y)$ с фиксированным спектром будут установлены в разделе 4 . Если отождествить прямые $x=x_{0}+s y$ на $\mathfrak{M}(\lambda)$ с точками и также факторизовать по отражении $x_{j} \rightarrow \pm x_{j}$, то получим ( $n-1$ )-мерное многообразие $\mathfrak{M}^{\prime}(\lambda)$,

которое изоморфно многообразию Якоби гиперэллиптической кривой
\[
w^{2}=P_{2 n-1}(z)=z^{-1} \operatorname{det}(z I-L) \operatorname{det}(z I-A)
\]

рода 2. Таким образом, многообразие Якоби имеет комплексную размерность $n-1$ и является тором с $2 n-2$ периодами. Геодезический поток линеен в переменных отображения Якоби, и поэтому геодезический поток тесно связан с теоремой Абеля для гиперэллиптических интегралов. Штауде [20] использовал этот факт, чтобы дать геометрическую интерпретацию теореме сложения для гиперэллиптических интегралов.

3. Возмущения ранга 2. В приведенном выше подходе выбор матриц (1.3) не мотивирован, и их сложно правильно угадать. В настоящее время, по-видимому, не существует систематического способа нахождения таких изоспектральных матриц. В данном случае я обязан ценному совету М. Адлера, предложившего рассмотреть матрицы вида $A+x \otimes y-y \otimes x$. Матрицы (1.3) могут быть получены как предельный случай подобных матриц, что мы и обсудим сейчас.

Если $A$ – снова фиксированная матрица и $x, y, \xi, \eta$ – четыре $n$-вектора, назовем
\[
A+x \otimes \xi+y \otimes \eta
\]

возмущением матрицы $A$ ранга 2 . Мы будем рассматривать частный случай, где
\[
\xi=a x+b y, \quad \eta=c x+d y,
\]

так что
\[
L(x, y)=A+a x \otimes x+b x \otimes y+c y \otimes x+d y \otimes y
\]

является матрицей, зависящей от двух $n$-векторов $x, y$, тогда как $a, b$, $c, d$ – фиксированны с $\Delta=a d-b c
eq 0$.

Выберем это $2 n$-параметрическое семейство матриц за отправную точку, рассмотрим алгебраическое многообразие $\mathfrak{M}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right)$ при таких $x, y \in \mathbb{R}^{n}$, что $L(x, y)$ имеет фиксированный спектр $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$, и изучим изоспектральные деформации этих матриц. Основное наблюдение состоит в следующем. Если рассмотреть симплектическое многообразие $\left(\mathbb{R}^{2 n}, \omega\right)$ с симплектической 2 -формой
\[
\omega=\sum_{j=1}^{n} d y_{j} \wedge d x_{j},
\]

то собственные значения $L(x, y)$, определяемые выражением (1.6), находятся в инволюции,
\[
\left\{\lambda_{j}, \lambda_{k}\right\}=0,
\]

где
\[
\{F, G\}=\sum\left(F_{x_{j}} G_{y_{j}}-F_{y_{j}} G_{x_{j}}\right)
\]

обозначает стандартную скобку Пуассона. Снова лучше использовать симметричные функции от собственных значений $\lambda_{j}$ или функции
\[
\Phi_{z}(x, y)=1-\frac{\operatorname{det}(z I-L)}{\operatorname{det}(z I-A)},
\]

являющиеся полиномами четвертой степени по $x, y$. В соответствии с разложением на простые дроби
\[
\Phi_{z}(x, y)=\sum_{j=1}^{n} \frac{G_{j}(x, y)}{z-\alpha_{j}}
\]

имеем $n$ полиномов четвертой степени $G_{j}$ в инволюции.
Гамильтоновы векторные поля $X_{H}$ для любого гамильтониана $H=\phi\left(G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}\right)$, или для любого гамильтониана, зависящего только от спектра $L$, касаются $\mathfrak{M}(\lambda)$, и
\[
X_{H}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial G_{j}} \cdot X_{G_{j}},
\]

вследствие
\[
\left[X_{G_{j}}, X_{G_{k}}\right]=-X_{\left\{G_{j}, G_{k}\right\}}=0
\]

все эти векторные поля коммутируют. В частности, изоспектральные многообразия являются лагранжевыми многообразиями. Все эти гамильтоновы системы интегрируемы, то есть подразумевается, что векторное поле обладает $n$ интегралами $G_{j}$ в инволюции, для которых $d G_{j}$ линейно независимы на открытом плотном множестве. В разделе 2 мы покажем, как такие гамильтоновы векторные поля могут быть записаны в виде
\[
\frac{d}{d t} L=[B, L] .
\]

В разделе 3 будет показано, что геодезический поток на эллипсоиде может быть получен как предельный случай матриц (1.6) с $a=0$, $b=-c=
u, d=
u^{2}$ при $
u \rightarrow \infty$.

4. Гиперэллиптические кривые. В разделе 4 мы покажем, как $\mathfrak{M}(\lambda)$ связано с многообразием Якоби гиперэллиптических кривых. Многообразие $\mathfrak{M}(\lambda) n$-мерно, однако факторизация по 1 -мерной группе приводит к ( $n-1$ )-мерному многообразию $\mathfrak{M}^{\prime}$, которое изоморфно многообразию Якоби гиперэллиптических кривых рода $n-1$. Это обобщает утверждение для геодезического потока на эллипсоиде, в случае которого $\mathfrak{M}^{\prime}$ получается отождествлением прямых $x \rightarrow x+s y$ с точками и факторизацией по отражениям $x_{j} \rightarrow \pm x_{j}$. Доказательство основано на введении второй матрицы $M=M(y)$, чей спектр $\mu_{j}$, вместе со спектром $L=L(x, y)$, определяет $x, y$. Другими словами, $x, y$ описываются двумя спектрами, каждый из которых задается множеством функций в инволюции. Спектр $M$ рассматривается как дивизор отображения Якоби. Вычисление симплектической формы $\omega$ в этих переменных принимает вид
\[
\omega=\sum S_{\lambda_{j} \mu_{k}} d \lambda_{j} \wedge d \mu_{k},
\]

где $S=S(\lambda, \mu)$ – функция, к которой также приводит разделение переменных в уравнениях Гамильтона-Якоби. Таким образом, видна связь между двумя этими подходами. За деталями мы отсылаем к разделу 4.

5. Применения. В разделе 5 описываются различные классические интегрируемые системы, для которых интегралы могут быть получены в терминах собственных значений матриц вида (1.6). Здесь необходимо различать три случая, в зависимости от ранга симметричной части
\[
\left(\begin{array}{cc}
a & \frac{b+c}{2} \\
\frac{b+c}{2} & d
\end{array}\right)
\]

матрицы $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, равного 2,1 или 0 . Мы приводим три примера, последний иллюстрируется подклассом геодезических на ортогональной группе с левоинвариантной метрикой, что было впервые изучено Арнольдом. (Литературу см. в работах: Дикий [4], Манаков [8], Мищенко [11]).

В заключение мы покажем, как такие системы связаны с конечнозонным потенциалом в уравнении Хилла в периодическом и квазипериодическом случаях. Соответствие основано на связи между трансляционным потоком для указанных выше конечнозонных потенциалов

и механической задачей о частице, движущейся по сфере $|x|=1$ под действием линейной силы. Эта связь была обнаружена Е. Трубовицем, и предварительно описана в [12] (Мозер). И наконец, в приложении описывается класс матриц $L$, содержащих $x_{j}^{-1}$, собственные значения которых снова находятся в инволюции. Они также являются интегралами для механической системы, рассмотренной в диссертации Росохатиуca $[16]$.

6. Связь с результатом М. Рейда [15]. Мы бы хотели указать на связанный с данными проблемами результат, о котором нам стало известно из письма Г. Кнёррера. Майлс Рейд в своей неопубликованной диссертации в 1972 г. установил, что множество ( $m-1$ )-мерных линейных подпространств несингулярного пересечения двух квадрик в $P_{2 m+1}(\mathbb{C})$ как алгебраическое многообразие изоморфно многообразию Якоби гиперэллиптических кривых. Представляется заманчивым обнаружить связь с вышеуказанным результатом об общих касательных к $n-1$ конфокальным квадрикам $\mathfrak{U}_{\lambda_{1}}, \ldots, \mathfrak{U}_{\lambda_{n-1}}$ в $\mathbb{C}^{n}$. Такая связь действительно существует, и Кнёррер сообщил мне о красивой конструкции 1 -в- $2^{n-1}$-отображения множества общих касательных в многообразие Якоби для подходящих квадрик.

7. Заключительные замечания. Указанный выше подход, очевидно, очень несистематичен и основывается на длинных вычислениях. Почему собственные значения матриц вида (1.6) находятся в инволюции? Более глубокие причины еще предстоит открыть. М. Адлер, высказавший первоначальную идею относительно вида изоспектральных матриц, в продолжении своей предыдущей работы [1] нашел общую структуру, основанную на коприсоединенном представлении алгебр Каца-Муди, которая позволила ему представить вышеописанные примеры как частные случаи общей теории. Первоначально планировалось опубликовать совместную работу с этой точки зрения; однако, из-за того, что теория слишком громоздка, было необходимо выделить общие положения. Подход Адлера, основанный на теории алгебр Ли, будет опубликован где-нибудь еще. Здесь мы просто хотим показать сложную связь между спектральной теорией матриц (1.6) и геометрией квадрик.

Я выражаю свою благодарность Г. Кнёрреру за информацию о геометрической конструкции, связанной с работой М. Рейда. После представления статьи в Беркли я посетил Варвик и сделал доклад по этой теме. Я хочу поблагодарить Д. Эпстейна за его гостеприимство и Адриана

Дуади за интересные обсуждения. Он предложил другое элегантное доказательство инволютивности собственных значений (1.6). Вследствие ограниченного объема статьи мы не могли представить здесь ход его рассуждений. Я благодарен П. Дейфту за предложения и чтение рукописи. И, наконец, я особенно обязан М. Адлеру, внесшему ценные идеи, которые были использованы в этой работе.