1. В последние годы был достигнут значительный прогресс в описании спектра уравнения Хилла, включая описание и конструкцию периодических потенциалов с заданным спектром – так называемая обратная спектральная задача.

Мы можем лишь частично коснуться этих сложных и интересных вопросов. Наша цель – показать, что интегрируемая система дифференциальных уравнений $§ 7$ тесно связана с уравнением Хилла в случае конечнозонного потенциала.

Мы начнем с описания спектра уравнения Хилла и соответствующей обратной задачи. Уравнение Хилла, называемое так по имени американского ученого, получившего его в своей теории движения Луны, имеет вид
\[
\left(-D^{2}+q(x)\right) \varphi(x)=\lambda \varphi(x), \quad x \in \mathbb{R}^{1},
\]

где $D=d / d x, q(x)=q(x+1)$ – предполагаемая по крайней мере непрерывной периодическая функция, называемая потенциалом оператора. Спектр этого оператора зависит от его области определения и граничных условий.

Вероятно, наиболее общая постановка задачи состоит в рассмотрении плотного в $L^{2}\left(\mathbb{R}^{1}\right)$ линейного многообразия, на котором оператор является существенно самосопряженным. В этом случае спектр является непрерывным и состоит, вообще говоря, из бесконечного числа интервалов, уходящих на $\infty$ (зонный спектр). В исключительных случаях

имеется только конечное число таких интервалов, один из которых бесконечный.

Граничные точки этого непрерывного спектра получаются при рассмотрении оператора ( $-D^{2}+q(x)$ ) на плотном линейном многообразии в пространстве $L_{\text {per }}^{2}[0,2]$ периодических функций периода 2 (не 1) с граничным условием $\varphi(x+2)=\varphi(x)$. В этом случае оператор имеет дискретный спектр
\[
\lambda_{0}<\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}<\lambda_{3} \leqslant \lambda_{4}<\ldots,
\]

где каждое нечетное неравенство строгое. Если два собственных значения сольются, они дают двойное собственное значение, как при $q \equiv 0$. Спектр оператора на всей прямой представляется интервалами
\[
\left[\lambda_{0}, \lambda_{1}\right],\left[\lambda_{2}, \lambda_{3}\right], \ldots,
\]

которые могут касаться друг друга в исключительных случаях.
Третья возможность получается при рассмотрении оператора $\left(-D^{2}+q\right)$ на плотном линейном многообразии в $L^{2}[0,1]$ с граничным условием
\[
\varphi(0)=\varphi(1)=0 .
\]

Эта задача приводит к дискретному спектру с простыми собственными значениями $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$, которые лежат в следующих интервалах:
\[
\lambda_{2 j-1} \leqslant \mu_{j} \leqslant \lambda_{2 j} \quad(j=1,2, \ldots),
\]

в частности, если $\lambda_{2 j-1}=\lambda_{2 j}$ то все 3 числа $\lambda_{2 j-1}, \lambda_{2 j}, \mu_{j}$ совпадают.
Определение всех этих спектров стандартно и представляет собой хорошо известное применение спектральной теории. Для описания решения этой задачи введем базис решений уравнения (1) $y_{1}(x, \lambda), y_{2}(x, \lambda)$, нормированный условиями
\[
\left(\begin{array}{ll}
y_{1} & y_{2} \\
y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \quad \text { при } x=0 .
\]

Множители Флоке суть собственные значения матрицы
\[
\left(\begin{array}{ll}
y_{1} & y_{2} \\
y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime}
\end{array}\right)_{x=1} .
\]

Поскольку ее детерминант равен 1 (из постоянства вронскиана), произведение множителей Флоке равно 1 , а их сумма совпадает со следом этой матрицы и называется дискриминантом
\[
\Delta(\lambda)=y_{1}(1, \lambda)+y_{2}^{\prime}(1, \lambda) .
\]

Для получения периодических решений периода 1 или 2 нужно, чтобы множители Флоке были равны $(+1,+1)$ или $(-1,-1)$, т. е. дискриминант $\Delta(\lambda)$ равнялся 2 или -2 . Это показывает, что собственные значения $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ получаются каю корни уравнения
\[
\Delta^{2}(\lambda)-4=0 .
\]

Очевидно, что собственные значения для граничного условия (3) совпадают с корнями уравнения
\[
y_{2}(1, \lambda)=0 ; \quad \lambda=\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots .
\]

Все функции $y_{1}, y_{2}, \Delta$ – целье функции порядка $1 / 2$. Отсюда следует применимость теоремы Адамара о факторизации и мы имеем, например,
\[
y_{2}(1, \lambda)=c \prod_{j=1}^{\infty}\left(\frac{\mu_{j}-\lambda}{j^{2} \pi^{2}}\right),
\]

поскольку $\mu_{j} \sim j^{2} \pi^{2}$ при $j \rightarrow \infty$. Константа $c$ равна 1 , в чем можно убедиться, рассматривая асимптотическое поведение
\[
y_{2}(1, \lambda) \sim \frac{\sin \sqrt{\lambda}}{\sqrt{\lambda}} \text { при } \lambda \rightarrow+\infty .
\]

Таким образом, $y_{2}(1, \lambda)$ однозначно определяется спектром $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$
2. Обратная спектральная задача может быть сформулирована следующим образом:
1) Какие последовательности $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots$ могут представлять спектр для некоторого оператора Хилла?
2) Как по заданным допустимым $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots$ восстановить все потенциалы $q(x)$, приводящие к такому спектру?
3) Какие дополнительные данные позволяют однозначно определить $q(x)$ ?

Ответ на эти вопросы может быть найден в литературе, указанной в конце статьи ([35]-[41]).

Ответ на первый вопрос содержится в статье Марченко и Островского, ответ на второй вопрос служит предметом большинства из приведенных работ. Относительно последнего вопроса мы укажем, что задание дополнительного спектра $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ для граничного условия (3) однозначно фиксирует $q(x)$. Более того, имеется точная формула
\[
q(0)=\lambda_{0}+\sum_{j=1}^{\infty}\left(\lambda_{2 j-1}+\lambda_{2 j}-2 \mu_{j}\right),
\]

которая подсказывает следующую процедуру.
Для произвольной точки $\xi$ определим собственные значения $\mu_{1}(\xi)$, $\mu_{2}(\xi), \ldots$ для граничного условия
\[
\varphi(\xi)=\varphi(\xi+1)=0
\]

в $L^{2}(\xi, \xi+1)$. Тогда формула (6) даст
\[
q(\xi)=\lambda_{0}+\sum_{j=1}^{\infty}\left(\lambda_{2 j-1}+\lambda_{2 j}-2 \mu_{j}(\xi)\right) .
\]

Тем самым получена точная формула для $q$ через эти спектральные данные.

Мы будем иметь дело только со случаем конечнозонного потенциала, т.е. будем предполагать, что $\lambda_{2 j-1}=\lambda_{2 j}$ для всех индексов $j$, кроме конечного числа.
Для простоты предположим, что
\[
\left\{\begin{array}{l}
\lambda_{2 j-1}<\lambda_{2 j} \quad \text { при } j=1,2, \ldots, N, \\
\lambda_{2 j-1}=\lambda_{2 j} \quad \text { при } j>N,
\end{array}\right.
\]

хотя в общем случае можно действовать точно таким же способом. На первый взгляд, не очевидно даже, что такой случай в действительности реализуется, еще менее ясным представляется вопрос о нахождении соответствующих потенциалов.
Мы докажем следующие утверждения:
a) Простые собственные значения $\lambda_{0}<\lambda_{1}<\ldots<\lambda_{2 N}$ однозначно определяют двойные, а следовательно, и $\Delta(\lambda)$.
б) Множество потенциалов $q(x)$, соответствующих допустимым $\lambda_{0}<\lambda_{1}<\ldots<\lambda_{2 N}$, образуют тор $T^{N}$ размерности $N$; потенциалы $q(x)$ задаются гиперэллиптическими функциями.
в) На этом торе $T^{N}$ поток $q(x) \rightarrow q(x+t)$ совпадает с интегрируемым потоком на сфере $S^{N}$ под действием квадратичного потенциала (рассмотренного в предыдущем параграфе) при ограничении его на тор, получаемый фиксацией интегралов
\[
F_{j}=c_{j} \quad(j=0,1, \ldots, N) .
\]

Таким образом, в определенном смысле поток $q(x) \rightarrow q(x+t)$ в общем случае может быть отождествлен с ограничением на некоторый тор соответствующей механической системы на бесконечномерной сфеpe!
3. Доказательство а). Поскольку $\Delta(\lambda)$ – функция порядка $1 / 2$, мы имеем
\[
4-\Delta^{2}(\lambda)=c \prod_{j=0}^{\infty}\left(1-\frac{\lambda}{\lambda_{j}}\right)=c \prod_{j=0}^{2 N}\left(1-\frac{\lambda}{\lambda_{j}}\right) \prod_{j=N+1}^{\infty}\left(1-\frac{\lambda}{\lambda_{j}}\right)^{2}
\]

и
\[
\Delta^{\prime}(\lambda)=c^{\prime} \prod_{j=1}^{\infty}\left(1-\frac{\lambda}{\lambda_{j}^{\prime}}\right),
\]

где $\lambda_{j}^{\prime}$ – нули $\Delta^{\prime}(\lambda)$, которые вещественны и расположены в пределах
\[
\lambda_{2 j-1} \leqslant \lambda_{j}^{\prime} \leqslant \lambda_{2 j} .
\]

Следовательно, при $j>N$ все 3 числа совпадают, и соответствующие члены сокращаются в выражении для частного
\[
\frac{\Delta^{\prime}(\lambda)}{\sqrt{4-\Delta^{2}(\lambda)}}=c^{\prime \prime} \frac{\prod_{j=1}^{N}\left(1-\frac{\lambda}{\lambda_{j}^{\prime}}\right)}{\sqrt{\prod_{j=0}^{2 N}\left(1-\frac{\lambda}{\lambda_{j}}\right)}} .
\]

Заметим, что левая часть с точностью до знака совпадает с $\psi^{\prime}$, если положить
\[
\Delta(\lambda)=2 \cos \psi(\lambda)
\]

и $\psi(\lambda)$ получается как гиперэллиптический интеграл
\[
\left\{\begin{array}{l}
\psi(\lambda)=\frac{1}{2} \int_{0}^{\lambda} \prod_{j=1}^{N}\left(s-\lambda_{j}^{\prime}\right) \frac{d s}{\sqrt{R(s)}}, \\
R(s)=\prod_{j=0}^{2 N}\left(s-\lambda_{j}\right) .
\end{array}\right.
\]

Эта формула принадлежит Хохштадту.
Прибавлением константы к $q$ мы можем добиться того, что $\lambda_{0}=\mathbf{0}$, и нормировать $\psi$ так, что $\psi(0)=0$. Положим $\psi\left(z^{2}\right)=\theta(z)$, т.е.
\[
\theta(z)=\frac{1}{2} \int_{0}^{z^{2}} \prod_{j=1}^{N}\left(s-\lambda_{j}^{\prime}\right) \frac{d s}{\sqrt{R(s)}} .
\]

Мы можем интерпретировать $\omega=\theta(z)$ как отображение верхней полуплоскости $\operatorname{Im} z>0$ на область, получаемую разрезанием по вертикальным прямым
\[
\operatorname{Re} \omega=\theta\left(\sqrt{\lambda_{2 j-1}}\right)=\theta\left(\sqrt{\lambda_{2 j}}\right)
\]
(формула Шварца-Кристоффеля).
Параметры $\lambda_{j}, \lambda_{j}^{\prime}$ нужно выбрать так, чтобы $\theta\left(\sqrt{\lambda_{2 j-1}}\right)=$ $=\theta\left(\sqrt{\lambda_{2 j}}\right)=j \pi$, т. е. $\Delta\left(\lambda_{2 j}\right)=2 \cos j \pi=2(-1)^{j}$. Таким образом, мы можем параметризовать спектр наиболее эффективно, выбирая $N$ положительных чисел $h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{N}$ и определяя $\theta(z)$ как единственное конформное отображение верхней полуплоскости $\operatorname{Im} z>0$ на область, получаемую из верхней полуплоскости $\operatorname{Im} \omega>0$ разрезами по
\[
\operatorname{Re} \omega= \pm j \pi, \quad 0<\operatorname{Im} \omega \leqslant h_{j} \quad(j=1, \ldots, N),
\]

такое, что при $z_{ \pm j}= \pm \sqrt{\lambda_{2 j}}, \quad z_{ \pm j}^{\prime}= \pm \sqrt{\lambda_{j}^{\prime}}$
\[
\theta\left(z_{ \pm j}\right)= \pm \pi j, \quad \theta\left(z_{ \pm j}^{\prime}\right)= \pm \pi j+i h_{j}
\]

для $j=1,2, \ldots, N ; \theta(0)=0$. При больших значениях $z Q(z) \sim z$.
Это показывает, что $2 N$ чисел $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 N}$ не могут быть выбраны произвольно, поскольку зависят только от $N$ параметров $h_{1}, \ldots, h_{N}$.

Задание спектра $\lambda_{0}=0, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 N}$, однако, однозначно определяет $\lambda_{1}^{\prime}, \lambda_{2}^{\prime}, \ldots, \lambda_{N}^{\prime}$, так же как и другие собственные значения $\lambda_{j}$ $(j>2 N)$, а следовательно, и дискриминант $\Delta(\lambda)=2 \cos \theta(\lambda)$. Это завершает обсуждение пункта 1 ).

4. Описание потенциала через вспомогательный спектр. Мы ищем множество всех потенциалов, соответствующих данному спектру типа (7). Для однозначного восстановления потенциала можно использовать другой спектр, например собственные значения, относящиеся к граничным условиям (3) (в действительности это приводит, вообще говоря, к $2^{N}$ потенциалам).

В этом пункте изложение будет эскизным, за деталями мы отсылаем к литературе (см., например, статью Трубовица [40]). Напомним, что для произвольного периодического потенциала $q(x)$ собственные значения $\mu_{j}$ для задачи (3) лежат в интервале
\[
\lambda_{2 j-1} \leqslant \mu_{j} \leqslant \lambda_{2 j} .
\]

Обратно: мы хотим восстановить потенциал $q$ по произвольным собственным значениям $\mu_{j}$ в указанных интервалах, где $\lambda_{j}$ заданы согласно (7). По формуле (6) можно вычислить $q(0)$. Для нахождения $q(x)$ сдвинем $q(x) \rightarrow q(x+t)$ так, что собственные значения $\mu_{j}$ перейдут в $\mu_{j}(t)$, оставаясь в указанных интервалах. Мы выведем дифференциальные уравнения на $\mu_{j}(t)$ и проинтегрируем их; таким образом, мы можем восстановить $q(t)$ по формуле (6) однозначным способом.

Ниже мы получим эти дифференциальные уравнения, которые показывают, что при возрастании $t$ собственные значения осциллируют в интервалах
\[
\lambda_{2 j-1} \leqslant \mu_{j} \leqslant \lambda_{2 j}
\]

вперед и назад, двузначность возникает из-за неопределенности знака $\sqrt{\Delta^{2}-4}$. Мы можем сделать выбор однозначным, если припишем каждой точке определенный знак $\sqrt{\Delta^{2}-4}$, превратив каждый интервал в замкнутый цикл. По произвольным $\mu_{j}$ в $\left[\lambda_{2 j-1}, \lambda_{2 j}\right]$ вместе с указанными знаками выражения $\sqrt{\Delta^{2}(\mu)-4}$ находится, таким образом, единственный потенциал. Для полноты доказательства следует проверить, что потенциал $q(t)$, так определенный, имеет период 1. Мы не будем этого делать, а вернемся к определению дифференциальных уравнений.

5. Дифференциальные уравнения для $q(x) \rightarrow q(x+t)$. Замена $q(x)$ на $q(x+t)$ вызывает изменение параметров $\mu_{1}, \ldots, \mu_{N}$

на $\mu_{1}(t), \ldots, \mu_{N}(t)$, и наша цель – найти дифференциальные уравнения, описывающие этот поток. Мы выпишем эти уравнения в двух формах: в явной форме они имеют вид
\[
\frac{d \mu_{j}}{d t}=\frac{2 \sqrt{-R\left(\mu_{j}\right)}}{A^{\prime}\left(\mu_{j}\right)}, \quad \text { где } A(z)=\prod_{j=1}^{N}\left(\mu_{j}-z\right),
\]

а в неявной –
\[
\sum_{j=1}^{N} \frac{\mu_{j}^{p}}{2 \sqrt{-R\left(\mu_{j}\right)}} \frac{d \mu_{j}}{d t}=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { при } p=0,1, \ldots, N-2, \\
1 & \text { при } p=N-1 .
\end{array}\right.
\]

Последнее равенство легко следует из первого, если заметить, что левая часть представляет собой сумму вычетов для интеграла
\[
\frac{1}{2 \pi i} \int \frac{z^{p}}{A(z)} d z
\]

взятого по достаточно большой окружности. Это те самые уравнения, о которых шла речь в п. 3. Последняя форма представляет сумму известных абелевых дифференциалов первого рода
\[
\frac{\mu^{p} d \mu}{2 \sqrt{-R(\mu)}}
\]

на римановой поверхности, определенной уравнением $\omega^{2}=-R(z)$.
Выведем приведенные выше дифференциальные уравнения (см. Трубовиц [40]). Будем рассматривать собственные значения $\mu_{j}$ как функционалы от $q$ и вычислим вариационные производные
\[
\frac{\delta \mu_{j}}{\delta q}=\varphi_{j}^{2},
\]

где $\varphi_{j}$ нормированные собственные функции
\[
L \varphi_{j}=-\varphi_{j}^{\prime \prime}+q \varphi_{j}=\mu_{j} \varphi_{j} ; \quad \int_{0}^{1} \varphi_{j}^{2} d x=1 .
\]

Эту формулу легко проверить, рассматривая вариацию последнего соотношения по $q$ :
\[
\left(L-\mu_{j}\right) \delta \varphi_{j}+\varphi_{j} \delta q=\delta \mu_{j} \varphi_{j} .
\]

Умножая все скалярно на $\varphi_{j}$, получаем
\[
\int_{0}^{1} \varphi_{j}\left(L-\mu_{j}\right) \delta \varphi_{j} d x+\int_{0}^{1} \varphi_{j}^{2} \delta q d x=\delta \mu_{j}
\]

Замечая, что первый член обращается в нуль в силу самосопряженности $L$, получаем нужное равенство.

Следовательно, для сдвига получаются следующие дифференциальные уравнения:
\[
\frac{d \mu_{j}}{d t}=\int_{0}^{1} \frac{\delta \mu_{j}}{\delta q} \frac{d q}{d t} d x=\int_{0}^{1} \varphi_{j}^{2}(x) q^{\prime}(x) d x=-2 \int_{0}^{1} \varphi_{j}^{\prime} \varphi_{j} q d x .
\]

Используя дифференциальное уравнение, заменяем $\varphi_{j} q$ на $\varphi_{j}^{\prime \prime}+\mu_{j} \varphi_{j}$ и получаем
\[
\frac{d \mu_{j}}{d t}=-\left.\varphi_{j}^{\prime 2}\right|_{0} ^{1}=\left(\varphi_{j}^{\prime}(0)\right)^{2}-\left(\varphi_{j}^{\prime}(1)\right)^{2} .
\]

Ясно, что $\varphi_{j}(x)$ лишь постоянным множителем отличается от решения $y_{2}\left(x, \mu_{j}\right)$, также обращающегося в нуль при $x=0$. Легко вычислить, что
\[
\varphi_{j}(x)=\left(\dot{y}_{2}\left(1, \mu_{j}\right) y_{2}^{\prime}\left(1, \mu_{j}\right)\right)^{-1 / 2} y_{2}\left(x, \mu_{j}\right),
\]

где точка означает производную по $\lambda$. Таким образом,
\[
\left(\varphi_{j}^{\prime}(0)\right)^{2}-\left(\varphi_{j}^{\prime}(1)\right)^{2}=\dot{y}_{2}\left(1, \mu_{j}\right)^{-1}\left(y_{2}^{\prime}\left(1, \mu_{j}\right)^{-1}-y_{2}^{\prime}\left(1, \mu_{j}\right)\right) .
\]

Если использовать соотношение $y_{1} y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime} y_{2}=1$ и тот факт, что при $\lambda=\mu_{j}$ и $x=1$ мы имеем $y_{2}=0$, то мы получим
\[
y_{1} y_{2}^{\prime}=1 \text {. }
\]

Поэтому имеет место тождество
\[
\left(y_{1}+y_{2}^{\prime}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}^{\prime}\right)^{2}=4 y_{1} y_{2}^{\prime}=4
\]

при $x=1, \lambda=\mu_{j}$. Следовательно,
\[
4-\Delta^{2}=\left(y_{1}-y_{2}^{\prime}\right)^{2}=\left(y_{2}^{\prime-1}-y_{2}^{\prime}\right)^{2}
\]

(напомним, что $\Delta=y_{1}+y_{2}^{\prime}$ ), а
\[
\frac{d \mu_{j}}{d t}=\varphi_{j}^{\prime 2}(0)-\varphi_{j}^{\prime 2}(1)=\dot{y}_{2}\left(1, \mu_{j}\right)^{-1} \sqrt{4-\Delta^{2}\left(\mu_{j}\right)} .
\]

Поскольку $y_{2}(1, \lambda)$ имеет нули в точках $\mu_{k}(k=1,2, \ldots)$, а $\left(4-\Delta^{2}(\lambda)\right)$ – в точках $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots$, получаем с точностью до константы уравнения (8). Мы не будем здесь заниматься определением этой константы, которая может быть найдена из асимптотического поведения при больших $\lambda$.

В действительности Трубовиц использует эти дифференциальные уравнения в бесконечномерном случае в виде
\[
\frac{d \mu_{k}}{d t}=k^{2} \pi^{2}\left(\prod_{j
eq k} \frac{\mu_{j}-\mu_{k}}{j^{2} \pi^{2}}\right)^{-1} \sqrt{\Delta^{2}\left(\mu_{k}\right)-4},
\]

который справедлив в общем случае и используется им для решения обратной задачи в периодическом случае. Основной момент состоит в том, что правая часть допускает равномерную оценку Липшица, что дает существование глобального решения дифференциального уравнения.

Однако мы ограничимся конечнозонным случаем. Например, если $N=1$, дифференциальное уравнение на $\mu=\mu_{1}$ имеет вид
\[
\frac{d \mu}{d t}=2 \sqrt{\left(\lambda_{0}-\mu\right)\left(\lambda_{1}-\mu\right)\left(\lambda_{2}-\mu\right)},
\]

что приводит с точностью до прибавления константы к эллиптической $\mathscr{P}$-функции. Формула (6′) показывает, что соответствующий потенциал есть также эллиптическая функция с вещественным периодом 1.

6. Механическое описание дифференциальных уравнений (8) или (9). Мак-Кин и Трубовиц получили интересное тождество для собственных функций $\varphi_{2 j}$, соответствующих собственным значениям $\lambda_{2 j}$ :
\[
\sum_{j=0}^{\infty} \varepsilon_{j} \varphi_{2 j}^{2}(x)=1, \quad \text { где } \varepsilon_{j}=\frac{\Delta\left(\lambda_{2 j}\right)}{y_{1}^{\prime}\left(1, \lambda_{2 j}\right)},
\]
$\varepsilon_{j}$ зависят только от $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots$, положительны, если $\lambda_{2 j}-\lambda_{2 j-1}>0$, и равны нулю, если $\lambda_{2 j}-\lambda_{2 j-1}=0$. Таким образом, в нашем случае (7)

конечного числа зон это тождество сводится к
\[
\sum_{j=1}^{N} \varepsilon_{j} \varphi_{2 j}^{2}(x)=1 .
\]

Полагая
\[
x_{j}=\sqrt{\varepsilon_{j}} \varphi_{2 j} \quad(j=0,1, \ldots, N),
\]

видим, что $x=\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{N}\right)$ принадлежит единичной сфере. Мы хотим вывести дифференциальные уравнения на единичной сфере, описывающие сдвиг $q(x) \rightarrow q(x+t)$. Используем для этого дифференциальные уравнения для $\varphi_{2 j}$, которые дают
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}} x_{j}=\sqrt{\varepsilon_{j}} \varphi_{2 j}^{\prime \prime}=\left(g-\lambda_{2 j}\right) \sqrt{\varepsilon_{j}} \varphi_{2 j}=\left(q-\lambda_{2 j}\right) x_{j} .
\]

Из того, что единичная сфера $|x|=1$ инвариантна относительно этого потока, следует, что $\langle x, \dot{x}\rangle=0$ и $\langle x, \ddot{x}\rangle+|\dot{x}|^{2}=0$. Умножая уравнение скалярно на $x$, получаем
\[
-|\dot{x}|^{2}=q|x|^{2}-\sum_{j=0}^{N} \lambda_{2 j} x_{j}^{2}
\]

или
\[
q=\sum_{j=0}^{N} \lambda_{2 j} x_{j}^{2}-|\dot{x}|^{2} .
\]

Заметим, что система (11), (12) – в точности интегрируемая система из предыдущего параграфа, описывающая движение частицы по сфере под действием квадратичного потенциала. Здесь $q$ играет роль нормальной силы, а $\sum_{j=0}^{N} \lambda_{2 j} x_{j}$ – роль квадратичного потенциала. Мы можем использовать имеющиеся сведения о механической системе для получения информации о спектральной задаче. Например, из равенства (12) получаем тождество для потенциала
\[
q(x)=\sum_{j=0}^{N}\left(\lambda_{2 j} \varepsilon_{j} \varphi_{2 j}^{2}-\varepsilon_{j} \varphi_{2 j}^{\prime 2}\right) .
\]

В работе Мак-Кина и Трубовица ([39], с. 223) находим другую формулу для потенциала
\[
q(x)=2 \sum_{j=0}^{N} \lambda_{2 j} \varepsilon_{j} \varphi_{2 j}^{2}+\lambda_{0}-\sum_{j=1}^{N}\left(\lambda_{2 j}-\lambda_{2 j-1}\right) .
\]

Вычитая одно выражение из другого, получаем
\[
\sum_{j=0}^{N} \varepsilon_{j} \varphi_{2 j}^{\prime 2}+\sum_{j=0}^{N} \lambda_{2 j} \varepsilon_{j} \varphi_{2 j}^{2}=-\lambda_{0}+\sum_{j=1}^{N}\left(\lambda_{2 j}-\lambda_{2 j-1}\right) .
\]

Левая часть есть $|\dot{x}|^{2}+\sum_{j=0}^{N} \lambda_{2 j} x_{j}^{2}$, т. е. удвоенная полная энергия механической системы, что, конечно, сохраняющаяся величина. Справа стоит значение этой величины.

7. Идентификация тора $T^{N}$. Итак, мы видим, что дифференциальные уравнения, описывающие сдвиг $q(x) \rightarrow q(x+t)$, совпадают с механической системой
\[
\ddot{x}_{j}=\left(q-\lambda_{2 j}\right) x_{j},
\]

где $q(x)$ определена формулой (12). Но очевидно, что не все решения приводят к периодическим потенциалам. Какие решения соответствуют $N$-зонным потенциалам, заданным (7)? Они образуют $N$-мерный тор, который мы и хотим определить.
Для этого мы используем ранее полученные интегралы
\[
F_{
u}=x_{
u}^{2}+\sum_{\mu
eq
u} \frac{\left(x_{
u} y_{\mu}-x_{\mu} y_{
u}\right)^{2}}{\lambda_{2
u}-\lambda_{2 \mu}}=\varepsilon_{
u} \varphi_{2
u}^{2}+\sum_{\mu
eq
u} \varepsilon_{
u} \varepsilon_{\mu} \frac{\left(\varphi_{2
u} \varphi_{2 \mu}^{\prime}-\varphi_{2 \mu} \varphi_{2
u}^{\prime}\right)^{2}}{\lambda_{2
u}-\lambda_{2 \mu}}
\]

и соответствующую функцию
\[
\Phi_{z}=\sum_{
u=0}^{N} \frac{F_{
u}}{\lambda_{2
u}-z} .
\]

Поскольку интегралы находятся в инволюции, то многообразия $F_{
u}=c_{
u}$ являются торами при условии регулярности, компактности и связности. Поэтому следует ожидать, что искомое многообразие, соответствующее $N$-зонным потенциалам, задается в алгебраическом виде $F_{
u}=c_{
u}(
u=0,1, \ldots, N)$. Это действительно так. Но вместо того,

чтобы определить значения констант $c_{
u}$, мы опишем нули функции $\Phi_{z}$. Поскольку асимптотически
\[
\Phi_{z}=-\frac{1}{z} \sum_{
u=0}^{N} \varepsilon_{
u} \varphi_{2
u}^{2}+O\left(|z|^{-2}\right)=-z^{-1}+O\left(|z|^{-2}\right),
\]

мы имеем
\[
\Phi_{z}=-\frac{\prod_{j=1}^{N}\left(z-u_{j}\right)}{\prod_{
u=0}^{N}\left(z-\lambda_{2
u}\right)},
\]

где $u_{j}$ – нули $\Phi_{z}$. Таким образом, $\Phi_{z}$ полностью характеризуется нулями и полюсами.
Теорема. Конечнозонные потенциалы $q(x)$, отвечающие условию (7), соответствуют равенствам $u_{j}=\lambda_{2 j-1}(j=1, \ldots, N)$, m.е.
\[
\Phi_{z}=-\frac{\prod_{j=1}^{N}\left(z-\lambda_{2 j-1}\right)}{\prod_{
u=0}^{N}\left(z-\lambda_{2
u}\right)} .
\]

Этот результат можно извлечь из работы Мак-Кина и Трубовица ([39], с. 175, предл. 1).

Следствие 1. Задание простого спектра $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 N}$ однозначно определяет функцию $\Phi_{z}$, т.е. $F_{k}$ получают вполне определенные значения, определяя $N$-мерный тор в касательном расслоении $\kappa$ $\sum_{
u=0}^{N} \varepsilon_{
u} \varphi_{2
u}^{2}=1$. Все решения на этом торе периодичны с периодом 1 и определяют потенциалы $q(x+t)$.
Следствие 2. Поскольку $\lambda_{2 j-1}$ разделяют $\lambda_{2 j}$, отсюда следует, что на этом торе все интегралы $F_{k}$ положительны.

Все решения, так же как и соответствующие потенциалы в соответствии с формулой (13), представляют собой гиперэллиптические функции периода 2 или 1. Можно определить, в частности, потенциал с заданным простым спектром $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 N}$, положив $\mu_{j}=\lambda_{2 j-1}$ (в работе Мак-Кина и Трубовица это нуль тора $\left.T^{N}\right)$. Тогда $q(x)$ – четная функция и $\lambda_{2 j-1}=\mu_{j}$ – корни $y_{2}(1, \lambda)$, тогда как $\lambda_{2 j}$ – корни $y_{1}^{\prime}(1, \lambda)$. Поэтому при нашем выборе потенциала $q(x)$ имеем
\[
\Phi_{z}=\frac{y_{2}(1, z)}{y_{1}^{\prime}(1, z)} .
\]

Поскольку корни $y_{2}(1, z)$ и $y_{1}^{\prime}(1, z)$ лежат в интервалах $\lambda_{2 j-1} \leqslant \lambda \leqslant \lambda_{2 j}$, то они сливаются при $j>N$, и предыдущее выражение действительно задает рациональную функцию.

Интересно исследовать потенциалы, принадлежащие другим торам, т.е. другим значениям констант $c_{j}=F_{j}$. Все эти решения гиперэллиптичны, но, вообще говоря, квазипериодичны. Поскольку о спектральной теории квазипериодических потенциалов известно очень мало, имело бы смысл исследовать те специальные примеры, которые представляются этой удивительной связью между уравнением Хилла и механической системой (эта связь была обнаружена Трубовицем и автором). Однако этот подход пока не реализован ${ }^{1}$.