Для изучения асимптотического поведения решения (2.5) рассмотрим
\[
u_{k}=x_{k}-x_{k+1}, \quad k=1,2, \ldots, n-1
\]

как разность между положениями $x_{k}$ на прямой $n$ частиц. Если $x_{k}$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям
\[
\dot{x}_{k}=-\frac{1}{2}\left(e^{u_{k}}+e^{u_{k-1}}\right), \quad k=1,2, \ldots, n
\]

где формально $e^{u_{0}}=0=e^{u_{n}}$, или $x_{0}=-\infty, x_{n+1}=+\infty$, тогда, очевидно, следует (2.5). Наоборот, $x_{k}$ определяются только с точностью до сдвига, и для любого решения $x_{k}(t)$ системы (7.2) $x_{k}(t)+c$ тоже является решением, приводящим к тому же решению (2.5), при условии, что $c$ – константа. Для простоты будем считать, что $n=2
u$ – четное число.

Поставим вопрос об асимптотическом поведении решения (7.2) при $t \rightarrow \pm \infty$ и соотношением между данными рассеяния. Покажем, что любое решение (7.2) ведет себя линейно при больших $t$ :
\[
x_{k}( \pm t) \sim \pm \alpha_{k}^{ \pm} t+\beta_{k}^{ \pm} \quad \text { при } t \rightarrow \infty,
\]

где
\[
\alpha_{2 j}^{+}=\alpha_{2 j-1}^{+}=\alpha_{n-2 j+2}^{-}=\alpha_{n-2 j+1}^{-}, \quad j=1,2, \ldots,
u,
\]

то есть частицы перемещаются асимптотически парами, в то время как различные пары имеют различные скорости; действительно, оказывается
\[
\alpha_{2 j}^{+}=-2 \lambda_{j}^{2}, \quad j=1,2, \ldots,
u,
\]

где $\lambda_{1}>\lambda_{2}>\cdots$ – собственные значения матрицы $L$.
Определим также соответствие между фазами. Прежде всего, имеем асимптотические расстояния для соседних частиц
\[
\begin{aligned}
\beta_{2 j-1}^{+}-\beta_{2 j}^{+} & =\log \left(-2 \alpha_{j}^{+}\right)=\log \left(4 \lambda_{j}^{2}\right) \\
\beta_{n-2 j+1}^{-}-\beta_{n-2 j+2}^{-} & =\log \left(-2 \alpha_{j}^{+}\right)
\end{aligned}
\]

и для фаз в парах с одинаковыми скоростями
\[
\beta_{2 j}^{+}-\beta_{n-2 j+2}^{-}=-\sum_{k<j} \log 4\left(\alpha_{2 k}^{+}-\alpha_{2 j}^{+}\right)^{2}+\sum_{k>j} \log 4\left(\alpha_{2 k}^{+}-\alpha_{2 j}^{+}\right)^{2} .
\]

То есть частицы подвергаются рассеянию, в котором пары ведут себя так, как если бы они взаимодействовали по двое в данный момент времени.

Докажем (7.3), (7.3′), (7.4). Вспомним дифференциальное уравнение (2.4)
\[
\dot{a}_{k}=a_{k}\left(a_{k+1}^{2}-a_{k-1}^{2}\right), \quad k=1,2, \ldots, n-1
\]

с $a_{0}=0=a_{n}$, из которого видно, что вдоль решений
\[
\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}^{2}=\text { const. }
\]

Таким образом, $a_{k}$ ограничены, и поскольку
\[
\frac{d}{d t} \log \left(a_{1} a_{3} \cdots a_{2 j-1}\right)=a_{2 j}^{2},
\]

приходим к выводу, что
\[
\int_{0}^{\infty} a_{2 j}^{2} d t<\infty .
\]

Из ограниченности $\dot{a}_{2 j}$ следует, что
\[
a_{2 j}(t) \rightarrow 0 \quad \text { при } t \rightarrow+\infty .
\]

Таким образом, матрица Якоби $L(t)$, определяемая выражением (2.1), асимптотически стремится к блочной матрице, состоящей из $2 \times 2$ матриц с собственными значениями $\pm a_{2 j-1}(t), j=1,2, \ldots,
u$. С другой стороны, из того, что собственные значения $\lambda_{k}$ различны и не зависят от $t$, следует, что пределы $a_{2 j-1}(t) \rightarrow a_{2 j-1}(\infty)$ существуют и совпадают с этими собственными значениями, расположенными в определенном порядке. Из дифференциальных уравнений
\[
\frac{\dot{a}_{2 j}}{a_{2 j}}=a_{2 j+1}^{2}-a_{2 j-1}^{2}
\]

и из (7.6) находим, что
\[
a_{2 j+1}^{2}(\infty)<a_{2 j-1}^{2}(\infty)
\]

и поэтому, упорядочивая собственные значения $\lambda_{k}$ матрицы $L$, в соответствии с (6.1), заключаем
\[
a_{2 j-1}(t) \rightarrow \lambda_{j}, \quad(j=1,2, \ldots,
u) .
\]

Используя соотношение
\[
4 a_{k}^{2}=e^{u_{k}}=e^{x_{k}-x_{k+1}},
\]

получаем, что согласно (7.1), (7.2), (7.7), (7.8),
\[
\dot{x}_{2 j}(+\infty)=\dot{x}_{2 j-1}(+\infty)=-2 \lambda_{j}^{2},
\]

что доказывает ( $7.3^{\prime}$ ) и первую часть (7.3). Другая часть следует из рассмотрения асимптотического поведения при $t \rightarrow-\infty$ по аналогии.
Кроме того, (7.7) и (7.8) означают, что
\[
x_{2 j-1}-x_{2 j} \rightarrow \log \left(4 \lambda_{j}^{2}\right) \text { при } t \rightarrow+\infty,
\]

доказывая первую часть (7.4). Вторая получается подобным же образом.

Осталось доказать (7.5). Для этого свяжем дифференциальные уравнения первого порядка (7.2) с системой второго порядка, относящейся к цепочке Тода, для которой задача рассеяния решена [12]. Заметим, что дифференцирование (7.2) дает
\[
\begin{aligned}
\dot{x}_{k} & =-\frac{1}{2}\left(e^{u_{k}} \dot{u}_{k}+e^{u_{k-1}} \dot{u}_{k-1}\right)= \\
& =-\frac{1}{4}\left\{e^{u_{k}}\left(e^{u_{k+1}}-e^{u_{k-1}}\right)+e^{u_{k-1}}\left(e^{u_{k}}-e^{u_{k-2}}\right)\right\}= \\
& =-\frac{1}{4}\left(e^{x_{k}-x_{k+2}}-e^{x_{k-2}-x_{k}}\right),
\end{aligned}
\]

где мы положили неопределенные экспоненциальные члены равными нулю. Таким образом, при
\[
\xi_{j}=x_{2 j} ; \quad \tau=t / 2
\]

имеем
\[
\frac{d^{2} \xi_{j}}{d \tau^{2}}=e^{\xi_{j-1}-\xi_{j}}-e^{\xi_{j}-\xi_{j+1}}=\frac{\partial U}{\partial \xi_{j}}, \quad(j=1,2, \ldots,
u),
\]

где
\[
U=\sum_{j=1}^{
u-1} e^{\xi_{j}-\xi_{j+1}} .
\]

Интегрируемость этой гамильтоновой системы уже была доказана [13]. Для рассеяния снова получаем, что
\[
\xi_{j}^{\prime}(+\infty)=\xi_{
u+1-j}^{\prime}(-\infty), \quad j=1,2, \ldots,
u,
\]

что согласуется с $(7.3)$, так как $\xi_{j}^{\prime}( \pm \infty)=2 \alpha_{2 j}^{ \pm}$, и
\[
\xi_{j}(\tau)-\xi_{
u+1-j}(-\tau)-2 \gamma_{j} \tau \rightarrow \sum_{k
eq j} \delta_{k j},
\]

где
\[
\gamma_{j}=\xi^{\prime}(+\infty)=2 \alpha_{2 j}^{+} ; \quad \delta_{k j}=\left\{\begin{aligned}
\log \left(\gamma_{k}-\gamma_{j}\right) 2, & k>j \\
-\log \left(\gamma_{k}-\gamma_{j}\right) 2, & k<j .
\end{aligned}\right.
\]

С учетом (7.9) соотношение (7.11) сразу переходит в утверждение (7.5).
Это завершает доказательство замечания о связи между дифференциальным уравнением (2.5) Каца и ван Мербеке и уравнениями (7.10) для цепочки Тода. Первое соответствует изоспектральной деформации матриц Якоби $L$, определяемых выражением (2.1), с нулями на диагонали, в то время как дифференциальное уравнение второго порядка соответствует таким деформациям с произвольными диагональными элементами (см. $[4,12]$ ). Чтобы установить между ними связь, построим матрицу $L^{2}$, которая не является более тридиагональной, но аналогична ей. Действительно, обозначив $e_{\alpha}(\alpha=1,2, \ldots, n)$ единичные векторы, находим, что $L^{2}$ оставляет пространства $E_{1}=\operatorname{span}\left\{e_{1}, e_{3}, \ldots, e_{n-1}\right\}$ и $E_{2}=\operatorname{span}\left\{e_{2}, e_{4}, \ldots, e_{n}\right\}$ инвариантными и сводится на каждом из этих пространств к симметричной матрице Якоби. Это объясняет, почему решения (2.4) рационально выражаются через $e^{-\lambda_{j}^{2} t}$, в то время как решения соответствующего уравнения для цепочки Тода рациональны относительно $e^{-\lambda_{j} t}$. Это показывает на простом примере, какую роль в этих задачах играет операция $L \rightarrow L^{2}$ или в более общем случае $L \rightarrow f(L)$.