1. Изоспектральные многообразия. За отправную точку примем спектральную задачу о возмущении ранга 2 симметричного билинейного оператора. Пусть $V$ обозначает действительное (или комплексное) конечномерное векторное пространство, $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ — действительное скалярное произведение, и пусть $A$ — матрица, симметричная по отношению к скалярному произведению, то есть $⟨Av,w⟩=⟨v,Aw⟩$. Кроме того, будем предполагать, что собственные значения $A$ различны.
Возмущение ранга $r$ определяется выражением
$$Lv=Av+\sum _{\rho =1}^r{x}_{\rho }⟨{\xi }_{\rho },v⟩,$$

где $x_1,\dots ,x_r$ и ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_r$ — два набора линейно независимых векторов в $V$. Запишем приведенную формулу через тензорное произведение $\otimes$ как
$$L=A+\sum _{\rho =1}^r{x}_{\rho }\otimes {\xi }_{\rho }.$$

Хорошо известно, что спектр $L$ определяется формулой
$$\frac{\det (z-L)}{\det (z-A)}=\det (I-W_z)$$

где $W_z-r\times r$ матрица, определяемая выражением
$$W_z=⟨R_z{x}_{\rho },{\xi }_{\sigma }⟩,\rho ,\sigma =1,\dots ,r;R_z=(zI-A{)}^{-1}.$$

Эта формула была распространена на бесконечномерные векторные пространства (см. Като [7]); правая часть называется определителем Вейнстейна-Аронжана.

Ограничимся рангом два и
$$x_1=x,x_2=y;{\xi }_1=ax+by,{\xi }_2=cx+dy,$$

так что
$$L=L(x,y)=A+ax\otimes x+bx\otimes y+cy\otimes x+dy\otimes y,$$

где $a,b,c,d$ — константы с определителем $\mathrm{\Delta }=ad-bceq0$ и $x,y$ — линейно независимые векторы в $V$. Это определяет $2n$-мерное семейство матриц, спектр которого мы рассмотрим. В частности, нас интересует $n$-мерное расслоение, задаваемое изоспектральными матрицами.

Главным результатом этого раздела является то наблюдение, что собственные значения таких матриц находятся «в инволюции» по отношению к симплектической структуре $\sum _1^{n}d{y}_j\wedge d{x}_j$, то есть естественной симплектической структуре на $T^{\ast }V={}^1\times V\sim V\times V$. Для любых двух функций $F=F(x,y),G=G(x,y)$ из $C^1(V\times V)$ определим соответствующие скобки Пуассона
$$\{F,G\}=⟨F_x,G_y⟩-⟨F_y,G_x⟩,$$

где $F_x,F_y$ определены соотношением
$$dF=⟨F_x,dx⟩+⟨F_y,dy⟩.$$

Говорят, что $\mathfrak{F}$ семейство функций находятся «в инволюции», если для любых двух из них, $F,G\in \mathfrak{F}$,
$$\{F,G\}=0.$$

Такое семейство может быть расширено при помощи композиций: если $\varphi ,\psi \in C^1(R^2,R)$, тогда
$$\{\varphi (F,G),\psi (F,G)\}=\frac{\partial (\varphi ,\psi )}{\partial (F,G)}\{F,G\},$$

то есть, если $F,G$ находятся в инволюции, то $\varphi (F,G),\psi (F,G)$ тоже инволютивны. Вместо доказательства инволютивности собственных значений, установим это для симметричных функций от собственных значений, рациональных по $x,y$.

Применяя формулы $(2.2),(2.3)$ к случаю (2.4), получим $2\times 2$ матрицу
$$W_z=\left(\begin{array}{cc}{Q}_z(x)& Q_z(x,y)\\ Q_z(x,y)& Q_z(y)\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$$

где
$$Q_z(x,y)=⟨R_{z}x,y⟩,Q_z(x)=Q_z(x,x),$$

и (2.2) принимает вид
$$\frac{\det (z-L)}{\det (z-A)}=1-\mathrm{tr}{W}_z+\det W_z=1-{\mathrm{\Phi }}_z,$$

где
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=& a{Q}_z(w)+(b+c)Q_z(x,y)+d{Q}_z(y)-\\ & -(ad-bc)(Q_z(x)Q_z(y)-Q_z^2(x,y)).\end{array}$$

Таким образом, собственные значения $L$ — это те значения $z$, при которых рациональная функция ${\mathrm{\Phi }}_z$ принимает значение 1 . Если эти собственные значения ${\lambda }_j$ различны, то изоспектральное многообразие матриц (2.4) со спектром ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ определяется как
$$\{x,y\mid {\mathrm{\Phi }}_{{\lambda }_j}(x,y)=1\text{ при }j=1,\dots ,n\},$$

и, следовательно, является алгебраическим многообразием.

2. Изоспектральные деформации.

Теорема 1. Для любых $z,z^{\prime }$ на резольвентном множестве $A$
$$\{{\mathrm{\Phi }}_z,{\mathrm{\Phi }}_{z^{\prime }}\}=0,$$

то есть функции ${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)$ находятся в инволюции.
Эта теорема может быть доказана прямыми, длинными вычислениями. Мы их не приводим, так как тот же результат будет являться следствием теоремы 2 . Очевидно, теорема остается в силе, если допускать кратные собственные значения $A$.

Расширим класс функций ( ${\mathrm{\Phi }}_z$ ) путем построения для любого полинома $f(z)$
$$H(x,y)=\frac{1}{4\pi i}{\int }_{|z|=R}f(z){\mathrm{\Phi }}_z(x,y)dz,$$

где окружность $|z|=R$ содержит спектр $A$. Выразим эту функцию в явном виде, вводя базис, в котором
$$A=\mathrm{diag}({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n),$$

и полагая
$$f\left({\alpha }_j\right)={\beta }_j,\beta =\mathrm{diag}({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n).$$

Затем находим
$$\begin{array}{rl}2H=& a⟨\beta x,x⟩+(b+c)⟨\beta x,y⟩+d⟨\beta y,y⟩-\\ & -\frac{ad-bc}{2}\sum _{ieqj}\frac{{\beta }_i-{\beta }_j}{{\alpha }_i-{\alpha }_j}{(x_i{y}_j-x_j{y}_i)}^2.\end{array}$$

Например, при ${\beta }_i={\delta }_{ik}$ это выражение принимает вид
$$\begin{array}{rl}{G}_k(x,y)=& a{x}_k^2+(b+c)x_k{y}_k+d{y}_k^2-\\ & -(ad-bc)\sum _i^{\prime }\frac{{(x_i{y}_k-x_k{y}_i)}^2}{{\alpha }_k-{\alpha }_i},\end{array}$$

где штрих означает, что $ieqk$. Как следствие теоремы 1 , все эти функции находятся в инволюции, и ${\mathrm{\Phi }}_z$ получается как
$${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=\sum _{j=1}^n\frac{G_j(x,y)}{z-{\alpha }_j},$$

и
$$H(x,y)=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{n}f\left({\alpha }_j\right)G_j(x,y).$$

Если $(a,b+c,d)eq(0,0,0)$, то $d{G}_j$ линейно независимы на открытом плотном множестве, в то время как при $a=b+c=d=0$ имеем соотношение
$$\sum _{j=1}^n{G}_j=0$$

В этом случае существует $n-1$ независимых коммутирующих функций от $|x{|}^2$ : например, $G_2,G_3,\dots ,G_n$.

При любом выборе констант $f\left({\alpha }_j\right)={\beta }_j$ векторное поле
$$\dot{x}=\frac{\partial }{\partial y}H,\dot{y}=-\frac{\partial }{\partial x}H$$

интегрируемо, поскольку $G_1,G_2,\dots ,G_n$ — интегралы в инволюции. Следовательно, спектр матрицы (2.4) фиксирован относительно действия любого из этих потоков; значит, в случае различных собственных значений существует невырожденнная матрица $U=U(t)$ такая, что матрица $U^{-1}LU$ постоянна. Инфинитеземальный вариант данного утверждения заключается в том, что дифференциальное уравнение (2.11) может быть записано в форме Лакса
$$\frac{d}{dt}L=[B,L]$$

с некоторой матрицей $B$. Это и есть содержание теоремы 2 .
Теорема 2. Векторное поле (2.11) с $H$ (2.9) определяет изоспектральную деформацию (2.12) матрицы (2.4), где
$$B=\frac{1}{2}(b-c)\beta +(ad-bc)\left(\frac{{\beta }_i-{\beta }_j}{{\alpha }_i-{\alpha }_j}(x_i{y}_j-x_j{y}_i)\right).$$

Диагональные элементы последней матрицы равны нулю.

Следствие 1. Если $H=H(G_1,G_2,\dots ,G_n)$, то векторное поле $X_H$ соответствует изоспектральной деформации $\dot{L}=[B,L]$, где $B$ имеет вид (2.13) с ${\beta }_j=2\partial H/\partial G_j$. Действительно,
$$X_H=\sum _{j=1}^n\frac{\partial H}{\partial G_j}{X}_{G_j}=\frac{1}{2}\sum {\beta }_j{X}_{G_j},$$

где ${\beta }_j$ можно рассматривать как константы при фиксированных $G_j=c_j$. Для данного векторного поля теорема 2 дает утверждение следствия.

Покажем, что теорема 1 является следствием теоремы 2. Из вида (2.12) дифференциального уравнения (2.11) ясно, что собственные значения $L$, а следовательно, и любая функция от собственных значений постоянны вдоль орбит. Следовательно
$$1-{\mathrm{\Phi }}_z=\frac{\prod (z-{\lambda }_j)}{\prod (z-{\alpha }_j)}$$

является интегралом движения для любого $z$, или
$$\frac{d}{dt}{\mathrm{\Phi }}_z=\{{\mathrm{\Phi }}_z,H\}=0.$$

Выбирая ${\beta }_j=2{\delta }_{jk}$, получаем $H=G_k$; поэтому,
$$\{{\mathrm{\Phi }}_z,G_k\}=0,$$

и
$$\{{\mathrm{\Phi }}_z,{\mathrm{\Phi }}_{z^{\prime }}\}=\sum {(z^{\prime }-{\alpha }_k)}^{-1}\{{\mathrm{\Phi }}_z,G_k\}=0.$$

Доказательство теоремы 2 сводится к вычислениям, которые мы разобьем на несколько этапов. Полагая
$$s=\frac{1}{2}(b+c),r=\frac{1}{2}(b-c),$$

выделим в $L$ симметричную и антисимметричную части:
$$\begin{array}{l}L=A+S+R,\\ S=ax\otimes x+s(x\otimes y+y\otimes x)+dy\otimes y,\\ R=r(x\otimes y-y\otimes x).\end{array}$$

Введем
$$B=r\beta +\mathrm{\Delta }\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Gamma }=\left(\frac{{\beta }_i-{\beta }_j}{{\alpha }_i-{\alpha }_j}(x_i{y}_j-x_j{y}_i)\right)$$

с определителем $\mathrm{\Delta }=ad-bc=ad-s^2+r^2$, диагональные элементы $\mathrm{\Gamma }$ равны нулю. Гамильтониан $H$ распадается на составляющие второй и четвертой степени:
$$\begin{array}{rl}H& =F-\mathrm{\Delta }G,\\ F& =\frac{1}{2}a⟨\beta x,x⟩+s⟨\beta x,y⟩+\frac{1}{2}d⟨\beta y,y⟩,\\ G& =\frac{1}{2}\sum _{i<j}\frac{{\beta }_i-{\beta }_j}{{\alpha }_i-{\alpha }_j}{(x_i{y}_j-x_j{y}_i)}^2.\end{array}$$

Векторное поле, порождаемое $H$, принято обозначать через $X_H$, так что $X_H=X_F-\mathrm{\Delta }{X}_G$.

Дифференциальные уравнения для $X_H$ имеют вид
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}s& d\\ -a& -s\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\beta x\\ \beta y\end{array}\right)+\mathrm{\Delta }\left(\begin{array}{l}\mathrm{\Gamma }x\\ \mathrm{\Gamma }y\end{array}\right).$$

Отсюда легко получить следующие соотношения:
$$X_{G}R=-[\mathrm{\Gamma },R],X_{G}S=-[\mathrm{\Gamma },S];$$

следовательно,
$$X_{G}L=-[\mathrm{\Gamma },R+S]-[\mathrm{\Gamma },L]+[\mathrm{\Gamma },A].$$

Аналогично находим
$$\begin{array}{l}{X}_{F}R=r[\beta ,S],\\ X_{F}S=-(ad-s^2)[\beta ,x\otimes y-y\otimes x];\end{array}$$

следовательно,
$$\begin{array}{rl}{X}_{H}L=& X_H(R+S)=X_F(R+S)-\mathrm{\Delta }{X}_G(R+S)=\\ =& r[\beta ,S]-(ad-s^2)[\beta ,x\otimes y-y\otimes x]+\\ & +\mathrm{\Delta }[\mathrm{\Gamma },L]-\mathrm{\Delta }[\mathrm{\Gamma },A].\end{array}$$

Так как
$$[\mathrm{\Gamma },A]=-[\beta ,x\otimes y-y\otimes x],$$

получаем
$$\begin{array}{rl}{X}_{H}L& =r[\beta ,S]+(-(ad-s^2)+\mathrm{\Delta })[\beta ,x\otimes y-y\otimes x]+\mathrm{\Delta }[\mathrm{\Gamma },L]=\\ & =r[\beta ,S]+r^2[\beta ,x\otimes y-y\otimes x]+\mathrm{\Delta }[\mathrm{\Gamma },L]=\\ & =[r\beta ,S+R]+\mathrm{\Delta }[\mathrm{\Gamma },L]=\\ & =[r\beta +\mathrm{\Delta }\mathrm{\Gamma },L]=[B,L],\end{array}$$

где мы использовали, что $A$ и $\beta$ коммутируют. Это доказывает теорему 2 и, следовательно, теорему 1 .

3. Действие группы $Gl(2,R)$. Матрицы $L$ могут быть упрощены, если подвергнуть их линейному преобразованию $(x,y)\to$

$\to (\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)$ с $\alpha \delta -\beta \gamma =1$. Последнее условие гарантирует, что преобразование симплектично. Если положить
$$\begin{array}{c}V=\left(\begin{array}{ll}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right);C=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right),\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{ll}a& s\\ s& d\end{array}\right),\\ C=\mathrm{\Sigma }+r\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),\end{array}$$

то это преобразование меняет $C$ на
$$V^{T}CV=V^T\mathrm{\Sigma }V+r\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$$

Таким образом, $r$ является инвариантом, так же как ранг $\rho$ и определитель матрицы $\mathrm{\Sigma }$. Находим следующие нормальные формы:
(i) $\rho =2:\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{ll}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right),aeq0$
(ii) $\rho =1:\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$,
(iii) $\rho =0:\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.
Соответствующие матрицы $L$ имеют следующий вид:
(i) $L=A+(ax\otimes x+y\otimes y)+r(x\otimes y-y\otimes x),aeq0$,
(ii) $L=A+y\otimes y+r(x\otimes y-y\otimes x)$,
(iii) $L=A+r(x\otimes y-y\otimes x)$.
Как мы увидим в следующих разделах, все эти случаи встречаются в примерах из механики и геометрии. Случай (i) описывает движение частицы по эллипсоиду $⟨A^{-1}x,x⟩=1$ под действием центральной силы $ax$. Случай (ii) относится к геодезическому потоку на эллипсоиде, движению частицы по сфере $|x|=1$ под действием внешней силы $Ax$ и к цепочке Тоды в периодическом случае (см. ван Мербеке [22]), как недавно показали П. Дейфт и Е. Трубовиц. Случай (iіi) описывает особые орбиты геодезического потока на ортогональной группе $O(n)$ с левоинвариантной метрикой. В следующем разделе рассматривается связь с геодезическим потоком на эллипсоиде.

4. Формулы для следа. Дадим другое представление базисных функций (2.9), находящихся в инволюции при любом выборе диагональ-

ной матрицы $\beta$. С этой целью введем параметр $\epsilon$ и рассмотрим матрицу
$$L_{\epsilon }=A+\epsilon R+{\epsilon }^{2}S,$$

так что матрица
$$C=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

заменяется на
$$C={\epsilon }^2\left(\begin{array}{ll}a& s\\ s& d\end{array}\right)+\epsilon r\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$$

Положим
$$\begin{array}{rl}{\tilde{\mathrm{\Phi }}}_z=& a{Q}_z(x)+(b+c)Q_z(x,y)+d{Q}_z(y)-\\ & -r^2(Q_z(x)Q_z(y)-Q_z^2(x,y))\end{array}$$

и для любого полинома $g(z)$ с $g^{\prime }\left({\alpha }_j\right)={\beta }_j$ определим
$$\begin{array}{rl}2\tilde{H}=& \frac{1}{2\pi i}\int {\tilde{\mathrm{\Phi }}}_z{g}^{\prime }(z)dz=\\ =& a⟨\beta x,x⟩+(b+c)⟨\beta x,y⟩+d⟨\beta y,y⟩-\\ & -\frac{r^2}{2}\sum _{ieqj}\frac{{\beta }_i-{\beta }_j}{{\alpha }_i-{\alpha }_j}{(x_i{y}_j-x_j{y}_i)}^2.\end{array}$$

Функции ${\tilde{\mathrm{\Phi }}}_z,\tilde{H}$ получаются из ${\mathrm{\Phi }}_z,H$ (см. (2.7), (2.9)) заменой $\mathrm{\Delta }=$ $=ad-bc$ на $r^2$ в коэффициенте при последнем члене. Эта замена несущественна, так как этот коэффициент, если он не нулевой, всегда может быть нормирован на 1 . Следовательно, функции $\stackrel{2}{H}$ также находятся в инволюции при любом выборе диагональной матрицы $\beta$.

Следующая формула выведена М. Адлером. Для любого полинома $g(z)$ имеем
$$\mathrm{tr}g\left(L_{\epsilon }\right)=\mathrm{tr}g\left(L_0\right)+2{\epsilon }^2\tilde{H}+O\left({\epsilon }^3\right),$$

или
$${\frac{1}{4}{\left(\frac{d}{d\epsilon }\right)}^2\mathrm{tr}g\left(L_{\epsilon }\right)|}_{\epsilon =0}=\tilde{H}.$$

Для доказательства этого результата воспользуемся формулой
$$\mathrm{tr}{(z-L_{\epsilon })}^{-1}-\mathrm{tr}{(z-L_0)}^{-1}={\omega }^{-1}\frac{d\omega }{dz},$$

где
$$\omega (z)=\det (I-W_z).$$

Это следует из (2.2) и тождества
$$\log \det X=\mathrm{tr}\log X$$

для любой невырожденной матрицы $X$ с подходящим определением ветви (см. Като [7]). Следовательно,
$$\mathrm{tr}g\left(L_{\epsilon }\right)-\mathrm{tr}g\left(L_0\right)=\frac{1}{2\pi i}\int g(z){\omega }^{-1}\frac{d\omega }{dz}dz,$$

так как в нашем случае
$$\begin{array}{rl}\omega (z)=& \det (I-W_z)=\\ =& 1-{\epsilon }^2(a{Q}_z(x)+(b+c)Q_z(x,y)+d{Q}_z(y))+\\ & +({\epsilon }^2{r}^2+{\epsilon }^4(ad-s^2))(Q_z(x)Q_z(y)-Q_z^2(x,y))=\\ =& 1-{\epsilon }^2{\tilde{\mathrm{\Phi }}}_z+O\left({\epsilon }^4\right),\end{array}$$

имеем
$$\mathrm{tr}g\left(L_{\epsilon }\right)-\mathrm{tr}g\left(L_0\right)=-\frac{{\epsilon }^2}{2\pi i}\int g(z)\frac{d}{dz}{\tilde{\mathrm{\Phi }}}_{z}dz+O\left({\epsilon }^4\right)={\epsilon }^{2}2\tilde{H}+O\left({\epsilon }^4\right),$$

что и доюазывает формулу (2.14).