1. Изоспектральные многообразия. За отправную точку примем спектральную задачу о возмущении ранга 2 симметричного билинейного оператора. Пусть $V$ обозначает действительное (или комплексное) конечномерное векторное пространство, $\langle\cdot, \cdot\rangle$ – действительное скалярное произведение, и пусть $A$ – матрица, симметричная по отношению к скалярному произведению, то есть $\langle A v, w\rangle=\langle v, A w\rangle$. Кроме того, будем предполагать, что собственные значения $A$ различны.
Возмущение ранга $r$ определяется выражением
\[
L v=A v+\sum_{\rho=1}^{r} x_{\rho}\left\langle\xi_{\rho}, v\right\rangle,
\]

где $x_{1}, \ldots, x_{r}$ и $\xi_{1}, \ldots, \xi_{r}$ – два набора линейно независимых векторов в $V$. Запишем приведенную формулу через тензорное произведение $\otimes$ как
\[
L=A+\sum_{\rho=1}^{r} x_{\rho} \otimes \xi_{\rho} .
\]

Хорошо известно, что спектр $L$ определяется формулой
\[
\frac{\operatorname{det}(z-L)}{\operatorname{det}(z-A)}=\operatorname{det}\left(I-W_{z}\right)
\]

где $W_{z}-r \times r$ матрица, определяемая выражением
\[
W_{z}=\left\langle R_{z} x_{\rho}, \xi_{\sigma}\right\rangle, \quad \rho, \sigma=1, \ldots, r ; \quad R_{z}=(z I-A)^{-1} .
\]

Эта формула была распространена на бесконечномерные векторные пространства (см. Като [7]); правая часть называется определителем Вейнстейна-Аронжана.

Ограничимся рангом два и
\[
x_{1}=x, \quad x_{2}=y ; \quad \xi_{1}=a x+b y, \quad \xi_{2}=c x+d y,
\]

так что
\[
L=L(x, y)=A+a x \otimes x+b x \otimes y+c y \otimes x+d y \otimes y,
\]

где $a, b, c, d$ – константы с определителем $\Delta=a d-b c
eq 0$ и $x, y$ – линейно независимые векторы в $V$. Это определяет $2 n$-мерное семейство матриц, спектр которого мы рассмотрим. В частности, нас интересует $n$-мерное расслоение, задаваемое изоспектральными матрицами.

Главным результатом этого раздела является то наблюдение, что собственные значения таких матриц находятся «в инволюции» по отношению к симплектической структуре $\sum_{1}^{n} d y_{j} \wedge d x_{j}$, то есть естественной симплектической структуре на $T^{*} V={ }^{1} \times V \sim V \times V$. Для любых двух функций $F=F(x, y), G=G(x, y)$ из $C^{1}(V \times V)$ определим соответствующие скобки Пуассона
\[
\{F, G\}=\left\langle F_{x}, G_{y}\right\rangle-\left\langle F_{y}, G_{x}\right\rangle,
\]

где $F_{x}, F_{y}$ определены соотношением
\[
d F=\left\langle F_{x}, d x\right\rangle+\left\langle F_{y}, d y\right\rangle .
\]

Говорят, что $\mathfrak{F}$ семейство функций находятся «в инволюции», если для любых двух из них, $F, G \in \mathfrak{F}$,
\[
\{F, G\}=0 .
\]

Такое семейство может быть расширено при помощи композиций: если $\phi, \psi \in C^{1}\left(R^{2}, R\right)$, тогда
\[
\{\phi(F, G), \psi(F, G)\}=\frac{\partial(\phi, \psi)}{\partial(F, G)}\{F, G\},
\]

то есть, если $F, G$ находятся в инволюции, то $\phi(F, G), \psi(F, G)$ тоже инволютивны. Вместо доказательства инволютивности собственных значений, установим это для симметричных функций от собственных значений, рациональных по $x, y$.

Применяя формулы $(2.2),(2.3)$ к случаю (2.4), получим $2 \times 2$ матрицу
\[
W_{z}=\left(\begin{array}{cc}
Q_{z}(x) & Q_{z}(x, y) \\
Q_{z}(x, y) & Q_{z}(y)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
a & c \\
b & d
\end{array}\right)
\]

где
\[
Q_{z}(x, y)=\left\langle R_{z} x, y\right\rangle, \quad Q_{z}(x)=Q_{z}(x, x),
\]

и (2.2) принимает вид
\[
\frac{\operatorname{det}(z-L)}{\operatorname{det}(z-A)}=1-\operatorname{tr} W_{z}+\operatorname{det} W_{z}=1-\Phi_{z},
\]

где
\[
\begin{aligned}
\Phi_{z}(x, y)= & a Q_{z}(w)+(b+c) Q_{z}(x, y)+d Q_{z}(y)- \\
& -(a d-b c)\left(Q_{z}(x) Q_{z}(y)-Q_{z}^{2}(x, y)\right) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, собственные значения $L$ – это те значения $z$, при которых рациональная функция $\Phi_{z}$ принимает значение 1 . Если эти собственные значения $\lambda_{j}$ различны, то изоспектральное многообразие матриц (2.4) со спектром $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ определяется как
\[
\left\{x, y \mid \Phi_{\lambda_{j}}(x, y)=1 \text { при } j=1, \ldots, n\right\},
\]

и, следовательно, является алгебраическим многообразием.

2. Изоспектральные деформации.

Теорема 1. Для любых $z, z^{\prime}$ на резольвентном множестве $A$
\[
\left\{\Phi_{z}, \Phi_{z^{\prime}}\right\}=0,
\]

то есть функции $\Phi_{z}(x, y)$ находятся в инволюции.
Эта теорема может быть доказана прямыми, длинными вычислениями. Мы их не приводим, так как тот же результат будет являться следствием теоремы 2 . Очевидно, теорема остается в силе, если допускать кратные собственные значения $A$.

Расширим класс функций ( $\Phi_{z}$ ) путем построения для любого полинома $f(z)$
\[
H(x, y)=\frac{1}{4 \pi i} \int_{|z|=R} f(z) \Phi_{z}(x, y) d z,
\]

где окружность $|z|=R$ содержит спектр $A$. Выразим эту функцию в явном виде, вводя базис, в котором
\[
A=\operatorname{diag}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right),
\]

и полагая
\[
f\left(\alpha_{j}\right)=\beta_{j}, \quad \beta=\operatorname{diag}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right) .
\]

Затем находим
\[
\begin{aligned}
2 H= & a\langle\beta x, x\rangle+(b+c)\langle\beta x, y\rangle+d\langle\beta y, y\rangle- \\
& -\frac{a d-b c}{2} \sum_{i
eq j} \frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}\left(x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Например, при $\beta_{i}=\delta_{i k}$ это выражение принимает вид
\[
\begin{aligned}
G_{k}(x, y)= & a x_{k}^{2}+(b+c) x_{k} y_{k}+d y_{k}^{2}- \\
& -(a d-b c) \sum_{i}^{\prime} \frac{\left(x_{i} y_{k}-x_{k} y_{i}\right)^{2}}{\alpha_{k}-\alpha_{i}},
\end{aligned}
\]

где штрих означает, что $i
eq k$. Как следствие теоремы 1 , все эти функции находятся в инволюции, и $\Phi_{z}$ получается как
\[
\Phi_{z}(x, y)=\sum_{j=1}^{n} \frac{G_{j}(x, y)}{z-\alpha_{j}},
\]

и
\[
H(x, y)=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} f\left(\alpha_{j}\right) G_{j}(x, y) .
\]

Если $(a, b+c, d)
eq(0,0,0)$, то $d G_{j}$ линейно независимы на открытом плотном множестве, в то время как при $a=b+c=d=0$ имеем соотношение
\[
\sum_{j=1}^{n} G_{j}=0
\]

В этом случае существует $n-1$ независимых коммутирующих функций от $|x|^{2}$ : например, $G_{2}, G_{3}, \ldots, G_{n}$.

При любом выборе констант $f\left(\alpha_{j}\right)=\beta_{j}$ векторное поле
\[
\dot{x}=\frac{\partial}{\partial y} H, \quad \dot{y}=-\frac{\partial}{\partial x} H
\]

интегрируемо, поскольку $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}$ – интегралы в инволюции. Следовательно, спектр матрицы (2.4) фиксирован относительно действия любого из этих потоков; значит, в случае различных собственных значений существует невырожденнная матрица $U=U(t)$ такая, что матрица $U^{-1} L U$ постоянна. Инфинитеземальный вариант данного утверждения заключается в том, что дифференциальное уравнение (2.11) может быть записано в форме Лакса
\[
\frac{d}{d t} L=[B, L]
\]

с некоторой матрицей $B$. Это и есть содержание теоремы 2 .
Теорема 2. Векторное поле (2.11) с $H$ (2.9) определяет изоспектральную деформацию (2.12) матрицы (2.4), где
\[
B=\frac{1}{2}(b-c) \beta+(a d-b c)\left(\frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}\left(x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}\right)\right) .
\]

Диагональные элементы последней матрицы равны нулю.

Следствие 1. Если $H=H\left(G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}\right)$, то векторное поле $X_{H}$ соответствует изоспектральной деформации $\dot{L}=[B, L]$, где $B$ имеет вид (2.13) с $\beta_{j}=2 \partial H / \partial G_{j}$. Действительно,
\[
X_{H}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial G_{j}} X_{G_{j}}=\frac{1}{2} \sum \beta_{j} X_{G_{j}},
\]

где $\beta_{j}$ можно рассматривать как константы при фиксированных $G_{j}=c_{j}$. Для данного векторного поля теорема 2 дает утверждение следствия.

Покажем, что теорема 1 является следствием теоремы 2. Из вида (2.12) дифференциального уравнения (2.11) ясно, что собственные значения $L$, а следовательно, и любая функция от собственных значений постоянны вдоль орбит. Следовательно
\[
1-\Phi_{z}=\frac{\prod\left(z-\lambda_{j}\right)}{\prod\left(z-\alpha_{j}\right)}
\]

является интегралом движения для любого $z$, или
\[
\frac{d}{d t} \Phi_{z}=\left\{\Phi_{z}, H\right\}=0 .
\]

Выбирая $\beta_{j}=2 \delta_{j k}$, получаем $H=G_{k}$; поэтому,
\[
\left\{\Phi_{z}, G_{k}\right\}=0,
\]

и
\[
\left\{\Phi_{z}, \Phi_{z^{\prime}}\right\}=\sum\left(z^{\prime}-\alpha_{k}\right)^{-1}\left\{\Phi_{z}, G_{k}\right\}=0 .
\]

Доказательство теоремы 2 сводится к вычислениям, которые мы разобьем на несколько этапов. Полагая
\[
s=\frac{1}{2}(b+c), \quad r=\frac{1}{2}(b-c),
\]

выделим в $L$ симметричную и антисимметричную части:
\[
\begin{array}{l}
L=A+S+R, \\
S=a x \otimes x+s(x \otimes y+y \otimes x)+d y \otimes y, \\
R=r(x \otimes y-y \otimes x) .
\end{array}
\]

Введем
\[
B=r \beta+\Delta \Gamma, \quad \Gamma=\left(\frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}\left(x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}\right)\right)
\]

с определителем $\Delta=a d-b c=a d-s^{2}+r^{2}$, диагональные элементы $\Gamma$ равны нулю. Гамильтониан $H$ распадается на составляющие второй и четвертой степени:
\[
\begin{aligned}
H & =F-\Delta G, \\
F & =\frac{1}{2} a\langle\beta x, x\rangle+s\langle\beta x, y\rangle+\frac{1}{2} d\langle\beta y, y\rangle, \\
G & =\frac{1}{2} \sum_{i<j} \frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}\left(x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Векторное поле, порождаемое $H$, принято обозначать через $X_{H}$, так что $X_{H}=X_{F}-\Delta X_{G}$.

Дифференциальные уравнения для $X_{H}$ имеют вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
s & d \\
-a & -s
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\beta x \\
\beta y
\end{array}\right)+\Delta\left(\begin{array}{l}
\Gamma x \\
\Gamma y
\end{array}\right) .
\]

Отсюда легко получить следующие соотношения:
\[
X_{G} R=-[\Gamma, R], \quad X_{G} S=-[\Gamma, S] ;
\]

следовательно,
\[
X_{G} L=-[\Gamma, R+S]-[\Gamma, L]+[\Gamma, A] .
\]

Аналогично находим
\[
\begin{array}{l}
X_{F} R=r[\beta, S], \\
X_{F} S=-\left(a d-s^{2}\right)[\beta, x \otimes y-y \otimes x] ;
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\begin{aligned}
X_{H} L= & X_{H}(R+S)=X_{F}(R+S)-\Delta X_{G}(R+S)= \\
= & r[\beta, S]-\left(a d-s^{2}\right)[\beta, x \otimes y-y \otimes x]+ \\
& +\Delta[\Gamma, L]-\Delta[\Gamma, A] .
\end{aligned}
\]

Так как
\[
[\Gamma, A]=-[\beta, x \otimes y-y \otimes x],
\]

получаем
\[
\begin{aligned}
X_{H} L & =r[\beta, S]+\left(-\left(a d-s^{2}\right)+\Delta\right)[\beta, x \otimes y-y \otimes x]+\Delta[\Gamma, L]= \\
& =r[\beta, S]+r^{2}[\beta, x \otimes y-y \otimes x]+\Delta[\Gamma, L]= \\
& =[r \beta, S+R]+\Delta[\Gamma, L]= \\
& =[r \beta+\Delta \Gamma, L]=[B, L],
\end{aligned}
\]

где мы использовали, что $A$ и $\beta$ коммутируют. Это доказывает теорему 2 и, следовательно, теорему 1 .

3. Действие группы $G l(2, R)$. Матрицы $L$ могут быть упрощены, если подвергнуть их линейному преобразованию $(x, y) \rightarrow$

$\rightarrow(\alpha x+\beta y, \gamma x+\delta y)$ с $\alpha \delta-\beta \gamma=1$. Последнее условие гарантирует, что преобразование симплектично. Если положить
\[
\begin{array}{c}
V=\left(\begin{array}{ll}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}\right) ; \quad C=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right), \quad \Sigma=\left(\begin{array}{ll}
a & s \\
s & d
\end{array}\right), \\
C=\Sigma+r\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right),
\end{array}
\]

то это преобразование меняет $C$ на
\[
V^{T} C V=V^{T} \Sigma V+r\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Таким образом, $r$ является инвариантом, так же как ранг $\rho$ и определитель матрицы $\Sigma$. Находим следующие нормальные формы:
(i) $\quad \rho=2: \Sigma=\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), a
eq 0$
(ii) $\rho=1: \Sigma=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$,
(iii) $\rho=0: \Sigma=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$.
Соответствующие матрицы $L$ имеют следующий вид:
(i) $L=A+(a x \otimes x+y \otimes y)+r(x \otimes y-y \otimes x), a
eq 0$,
(ii) $L=A+y \otimes y+r(x \otimes y-y \otimes x)$,
(iii) $L=A+r(x \otimes y-y \otimes x)$.
Как мы увидим в следующих разделах, все эти случаи встречаются в примерах из механики и геометрии. Случай (i) описывает движение частицы по эллипсоиду $\left\langle A^{-1} x, x\right\rangle=1$ под действием центральной силы $a x$. Случай (ii) относится к геодезическому потоку на эллипсоиде, движению частицы по сфере $|x|=1$ под действием внешней силы $A x$ и к цепочке Тоды в периодическом случае (см. ван Мербеке [22]), как недавно показали П. Дейфт и Е. Трубовиц. Случай (iіi) описывает особые орбиты геодезического потока на ортогональной группе $O(n)$ с левоинвариантной метрикой. В следующем разделе рассматривается связь с геодезическим потоком на эллипсоиде.

4. Формулы для следа. Дадим другое представление базисных функций (2.9), находящихся в инволюции при любом выборе диагональ-

ной матрицы $\beta$. С этой целью введем параметр $\varepsilon$ и рассмотрим матрицу
\[
L_{\varepsilon}=A+\varepsilon R+\varepsilon^{2} S,
\]

так что матрица
\[
C=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)
\]

заменяется на
\[
C=\varepsilon^{2}\left(\begin{array}{ll}
a & s \\
s & d
\end{array}\right)+\varepsilon r\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Положим
\[
\begin{aligned}
\widetilde{\Phi}_{z}= & a Q_{z}(x)+(b+c) Q_{z}(x, y)+d Q_{z}(y)- \\
& -r^{2}\left(Q_{z}(x) Q_{z}(y)-Q_{z}^{2}(x, y)\right)
\end{aligned}
\]

и для любого полинома $g(z)$ с $g^{\prime}\left(\alpha_{j}\right)=\beta_{j}$ определим
\[
\begin{aligned}
2 \widetilde{H}= & \frac{1}{2 \pi i} \int \widetilde{\Phi}_{z} g^{\prime}(z) d z= \\
= & a\langle\beta x, x\rangle+(b+c)\langle\beta x, y\rangle+d\langle\beta y, y\rangle- \\
& -\frac{r^{2}}{2} \sum_{i
eq j} \frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}\left(x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Функции $\widetilde{\Phi}_{z}, \widetilde{H}$ получаются из $\Phi_{z}, H$ (см. (2.7), (2.9)) заменой $\Delta=$ $=a d-b c$ на $r^{2}$ в коэффициенте при последнем члене. Эта замена несущественна, так как этот коэффициент, если он не нулевой, всегда может быть нормирован на 1 . Следовательно, функции $\stackrel{2}{H}$ также находятся в инволюции при любом выборе диагональной матрицы $\beta$.

Следующая формула выведена М. Адлером. Для любого полинома $g(z)$ имеем
\[
\operatorname{tr} g\left(L_{\varepsilon}\right)=\operatorname{tr} g\left(L_{0}\right)+2 \varepsilon^{2} \widetilde{H}+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\]

или
\[
\left.\frac{1}{4}\left(\frac{d}{d \varepsilon}\right)^{2} \operatorname{tr} g\left(L_{\varepsilon}\right)\right|_{\varepsilon=0}=\tilde{H} .
\]

Для доказательства этого результата воспользуемся формулой
\[
\operatorname{tr}\left(z-L_{\varepsilon}\right)^{-1}-\operatorname{tr}\left(z-L_{0}\right)^{-1}=\omega^{-1} \frac{d \omega}{d z},
\]

где
\[
\omega(z)=\operatorname{det}\left(I-W_{z}\right) .
\]

Это следует из (2.2) и тождества
\[
\log \operatorname{det} X=\operatorname{tr} \log X
\]

для любой невырожденной матрицы $X$ с подходящим определением ветви (см. Като [7]). Следовательно,
\[
\operatorname{tr} g\left(L_{\varepsilon}\right)-\operatorname{tr} g\left(L_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi i} \int g(z) \omega^{-1} \frac{d \omega}{d z} d z,
\]

так как в нашем случае
\[
\begin{aligned}
\omega(z)= & \operatorname{det}\left(I-W_{z}\right)= \\
= & 1-\varepsilon^{2}\left(a Q_{z}(x)+(b+c) Q_{z}(x, y)+d Q_{z}(y)\right)+ \\
& +\left(\varepsilon^{2} r^{2}+\varepsilon^{4}\left(a d-s^{2}\right)\right)\left(Q_{z}(x) Q_{z}(y)-Q_{z}^{2}(x, y)\right)= \\
= & 1-\varepsilon^{2} \widetilde{\Phi}_{z}+O\left(\varepsilon^{4}\right),
\end{aligned}
\]

имеем
\[
\operatorname{tr} g\left(L_{\varepsilon}\right)-\operatorname{tr} g\left(L_{0}\right)=-\frac{\varepsilon^{2}}{2 \pi i} \int g(z) \frac{d}{d z} \widetilde{\Phi}_{z} d z+O\left(\varepsilon^{4}\right)=\varepsilon^{2} 2 \widetilde{H}+O\left(\varepsilon^{4}\right),
\]

что и доюазывает формулу (2.14).