При изучении задач из двух предыдущих разделов на окружности естественно воспользоваться тождеством
\[
\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(x-k \pi)^{-2}=\sin ^{-2} x
\]

как поводом для введения потенциала
\[
U(x)=\frac{1}{2} \sum_{k
eq l(n)} \alpha^{2} \sin ^{-2}\left(\alpha\left(x_{k}-x_{l}\right)\right) \quad(\alpha>0),
\]

где суммирование проводится по всем различным парам $k, l(\bmod n)$. Координаты частиц $x_{k}$ могут быть определены для любых $k$ следующим образом
\[
x_{k}=x_{l}(\bmod (\pi / \alpha)), \text { если и только если } k=l(\bmod n),
\]

поэтому достаточно рассмотреть $x_{k}$ при $k=1,2, \ldots, n$. Дифференциальные уравнения принимают вид
\[
\frac{d^{2} x_{k}}{d t^{2}}=-\frac{\partial U}{\partial x_{k}}=2 \alpha^{3} \sum_{j
eq k(n)} \operatorname{ctg} \alpha\left(x_{k}-x_{j}\right) \sin ^{-2}\left(\alpha\left(x_{k}-x_{j}\right)\right),
\]

что является классическим аналогом уравнения Сазерленда [14]. При $y_{k}=-\dot{x}_{k}$ гамильтониан имеет вид
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2} \sum_{k(\bmod n)} y_{k}^{2}+\frac{\alpha^{2}}{2} \sum_{k
eq l(n)} \sin ^{-2}\left(\alpha\left(x_{k}-x_{l}\right)\right),
\]

из которого видно, что на изоэнергетической поверхности $\mathscr{H}=$ const минимальное расстояние между частицами остается отличным от нуля, а скорости $\left|y_{k}\right|$ отличны от $\infty$. Таким образом, энергетическая поверхность компактна, и большинство решений (5.2) оказываются квазипериодичными. Это будет являться следствием хорошо известных фактов [1] относительно интегрируемых гамильтоновых систем, если показать, что (5.2) имеет $n$ независимых интегралов в инволюции.

Построение этих интегралов проводится аналогично разделу 3 . Положим
\[
\begin{array}{ll}
z_{k l}=\alpha \operatorname{ctg} \alpha\left(x_{k}-x_{l}\right), & \text { если } k
eq l(n) \\
z_{k l}=0, & \text { если } k=l(n)
\end{array}
\]

и перепишем систему (5.2) в виде
\[
\begin{array}{l}
\dot{y}_{k}=U_{x_{k}}=-2 \sum_{j
eq k(n)} z_{k j}\left(\alpha^{2}+z_{k j}^{2}\right), \\
\dot{z}_{k l}=\left(\alpha^{2}+z_{k l}^{2}\right)\left(y_{k}-y_{l}\right) \quad \text { при } \quad k
eq l(n) .
\end{array}
\]

Здесь последняя строка следует из дифференциального уравнения для $\operatorname{ctg} x$.

Чтобы привести эти дифференциальные уравнения к виду (3.5), введем матрицы размерности $n \times n$
\[
Z_{1}=\left(z_{k l}\right) ; \quad Z_{2}=\left(z_{k l}^{2}+\alpha^{2}\right),
\]

где $k, l=1,2, \ldots, n$. Пусть
\[
L=Y+i Z ; \quad B=i D_{2}-i Z_{2},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
D_{2}=\operatorname{diag}\left\{\sum_{j(\bmod n)}\left(z_{k j}^{2}+\alpha^{2}\right)\right\} ; \\
D_{3}=\operatorname{diag}\left\{\sum_{j(\bmod n)} z_{k j}\left(z_{k j}^{2}+\alpha^{2}\right)\right\} ; \\
Y=\operatorname{diag}\left\{y_{k}\right\} .
\end{array}
\]

Тогда непосредственное и тем не менее неожиданное вычисление приводит к тому, что (5.3) может быть записана в виде
\[
\frac{d L}{d t}=B L-L B \text {. }
\]

Действительно, при $\alpha \rightarrow 0$ тождества формально переходят в тождества раздела 3 , за исключением граничных условий.
Отсюда следует, что коэффициенты $I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}$,
\[
\operatorname{det}(\lambda I-L)=\lambda^{n}+I_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+I_{n} .
\]

являются независимыми интегралами движения. Мы не будем здесь проверять, что они находятся в инволюции ${ }^{1}$, однако, заметим, что они являются рациональными функциями от $y_{k}$ и $e^{i \alpha\left(x_{k}-x_{l}\right)}$.

Чтобы проверить (5.5), воспользуемся теоремой сложения для $\operatorname{ctg} x$, которая дает для $k, l, r$, различных по модулю $n$ :
\[
z_{k l}=\frac{z_{k r} z_{r l}-\alpha^{2}}{z_{k r}+z_{r l}}
\]

следовательно, при $k
eq l(\bmod n)$
\[
P_{k l, r}=z_{k r} z_{r l}-\alpha^{2}-\left(z_{k r}+z_{r l}\right) z_{k l}=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { если } r
eq k, l(n) \\
-z_{k l}^{2}-\alpha^{2}, & \text { если } r=k, l(n) .
\end{array}\right.
\]

Для
\[
Q_{k l, r}=\left(z_{k r}-z_{r l}\right) P_{k l, r}=-z_{k r}\left(z_{r l}^{2}+\alpha^{2}\right)+z_{r l}\left(z_{k r}^{2}+\alpha^{2}\right)-\left(z_{k r}^{2}-z_{r l}^{2}\right) z_{k l}
\]

это означает, что
\[
\sum_{r} Q_{k l, r}=\left\{\begin{array}{lll}
0, & \text { если } k
eq l & (\bmod n) \\
-2 \sum_{r}\left(z_{k r}^{2}+\alpha^{2}\right) z_{k r}, & \text { если } k=l & (\bmod n),
\end{array}\right.
\]

и матрица с элементами $\sum_{r} Q_{k l, r}$ совпадает с диагональной матри- цей $-2 D_{3}$. цей $-2 D_{3}$.
Теперь вычислим коммутатор
\[
\left[Z_{2}-D_{2}, Z_{1}\right]=\left(\sum_{r} Q_{k l, r}\right)=-2 D_{3},
\]

и, следовательно, из (5.4)
\[
[B, L]=i\left[Y, Z_{2}\right]-\left[D_{2}, Z_{1}\right]+\left[Z_{2}, Z_{1}\right]=i\left[Y, Z_{2}\right]-2 D_{3} .
\]

Из этого тождества находим, что (5.5) совпадает с уравнением (5.3). Это делает утверждение о том, что $I_{k}$ являются интегралами движения, очевидным.