1. Изоспектральное многообразие $\mathfrak{M}(\lambda)$. Исследуем многообразие $\mathfrak{M}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right)$ точек $x, y \in \mathbb{R}^{2 n}$, для которого матрицы $L=L(x, y)$ вида (2.4) имеют фиксированные собственные значения $\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right)$. Будем считать, что $2 n$ чисел $\lambda_{j}, \alpha_{k}$ различны. В этом разделе предположим, что все величины принимают комплексные значения, и не будем отдельно рассматривать действительный случай. Если векторные поля $X_{G_{j}}$ линейно независимы, то они порождают касательное пространство $\mathfrak{M}$. Кроме того, если считать $\mathfrak{M}$ вложенным в симплектическое пространство $\left(\mathbb{R}^{2 n}, \omega\right)$, где $\omega=\sum_{j=1}^{n} d y_{j} \wedge d x_{j}$, то $\mathfrak{M}$ будет лагранжевым многообразием, так как
\[
\omega\left(X_{G_{j}}, X_{G_{k}}\right)=-\left\{G_{j}, G_{k}\right\}=0 .
\]

Поскольку $\mathfrak{M}$ можно также охарактеризовать уравнениями
\[
G_{k}=c_{k}, \quad c_{k}=-\frac{l\left(\alpha_{k}\right)}{a^{\prime}\left(\alpha_{k}\right)},
\]

в соответствии с леммой Сарда, делаем вывод, что $\lambda_{j}$ могут быть выбраны так, что $d G_{j}$ и, следовательно, $X_{G_{j}}$ будут линейно независимыми на $\mathfrak{M}$, при условии $(a, b+c, d)
eq(0,0,0)$. Это накладывает определенные ограничения, так как на линейном пространстве $x_{k^{*}}=y_{k^{*}}=0$ имеем $d G_{k^{*}}=0$, и, таким образом, линейную зависимость $d G_{j}$. Мы требуем линейную независимость $d G_{j}$, чтобы многообразие $\mathfrak{M}$ не имело особенностей. Это алгебраическое многообразие. В этом разделе мы изучим

$\mathfrak{M}$ и его связь с многообразием Якоби гиперэллиптических кривых рода $n-1$.

Прежде всего заметим, что существуют две тривиальные симплектические группы, действующие на $\left(\mathbb{R}^{2 n}, \omega\right)$ и оставляющие $\mathfrak{M}$ инвариантным, по которым необходимо факторизовать.
Первая группа дискретна и генерируется $n$ отображениями
\[
\tau_{k}:(x, y) \rightarrow\left(T_{k} x, T_{k} y\right),
\]

где $T_{k}: x_{j} \rightarrow\left(1-2 \delta_{j k}\right) x_{j}$. Очевидно,
\[
L\left(T_{k} x, T_{k} y\right)=T_{k}^{-1} L(x, y) T_{k},
\]

и, следовательно, спектр $L(x, y)$ инвариантен под действием $\tau_{k}$, то есть $\mathfrak{M}$ инвариантно относительно действия $\tau_{k}$.

Вторая, группа действия $g^{t}$, одномерна и генерируется гамильтонианом
\[
G=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} G_{j}(x, y)=\frac{1}{2}(a\langle x, x\rangle+2 s\langle x, y\rangle+d\langle y, y\rangle) .
\]

Соответствующее векторное поле $X_{G}$ задается линейными дифференциальными уравнениями
\[
x^{\prime}=s x+d y, \quad y^{\prime}=-a x-s y
\]

с характеристическими показателями $\pm \sqrt{-\theta}$, где $\theta=a d-s^{2}$.
Пусть $\Gamma$ – абелева группа порождается $\tau_{k}(k=1,2, \ldots, n)$ и $g^{t}(t \in C)$. Рассмотрим множество Г-орбит $\mathfrak{M} / \Gamma$ на $\mathfrak{M}$. Если исключить точки на квадратичном конусе $K$, то получим многообразие. С этой целью построим сечение, которое трансверсально пересекается $G$-орбитами. При $\theta=a d-s^{2}
eq 0$, то есть в случае (i), находим квадратичную форму
\[
F=a^{\prime}\langle x, x\rangle+2 s^{\prime}\langle x, y\rangle+d^{\prime}\langle y, y\rangle
\]

такую, что
\[
X_{G} F=\{F, G\}=2 \sqrt{-\theta} F .
\]

Это очевидно, так как отображение $F \rightarrow\{F, G\}$ имеет собственные значения $0,2 \alpha,-2 \alpha$, где $\alpha=\sqrt{-\theta}$. Таким образом,
\[
F=\left.F\right|_{t=0} e^{2 \alpha t},
\]

и все орбиты, которые не лежат на конусе $F=0$, пересекают сечение $F=1$ трансверсально.

В случае (ii), где $\theta=0$, но ненулевых $a, s, d$, можно построить квадратичную функцию (4.1), удовлетворяющую
\[
X_{G} F=\{F, G\}=G,
\]

так что
\[
F=\left.F\right|_{t=0}+t G .
\]

Таким образом, для орбит снаружи конуса $G=0$ имеем такое сечение в $F=0$.

И наконец, в случае (iii), если $a=s=d=0$, выбираем $G=$ $=\frac{1}{2}\langle x, x\rangle$ и $F=\langle x, y\rangle$ и имеем сечение в $F=0$ для всех орбит снаружи конуса $G=0$.

Таким образом, если определить конус $K$ уравнением $F=0, G=0$, $\langle x, x\rangle=0$ в случаях (i), (ii), (iii) соответственно, то
\[
(\mathfrak{M}-\mathfrak{M} \cap K) / \Gamma=\mathfrak{M}^{\prime}
\]
– многообразие размерности $n$ – 1. Действительно, любая орбита $g^{t}(x, y)$ пересекает орбиту $\tau g^{t}(x, y)$ (где $\tau
eq \mathrm{id}$ – произведение некоторых $\tau_{1}, \tau_{2}, \ldots, \tau_{n}$ ) на линейном многообразии $x_{k^{*}}=y_{k^{*}}=0$, которое не пересекает $\mathfrak{M}$. Таким образом, $\mathfrak{M}-\mathfrak{M} \cap K$ – тривиальное расслоение над $\mathfrak{M}^{\prime}$ с комплексными прямыми в качестве слоев в случаях (ii) и (iii). Слоями в случае (i) являются цилиндры, то есть комплексные прямые, факторизованные по периоду $t=i \pi \alpha^{-1}$.

В случае (ii) можно выбрать собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ таким образом, что $2 G=\sum_{k=1}^{n} G_{k}=\sum_{k=1}^{n} c_{k}
eq 0$, так что $K \cap \mathfrak{M}=\varnothing$. В этом случае $\mathfrak{M}^{\prime}=\mathfrak{M} / \Gamma$.

Принимая во внимание группу, порождаемую $\tau_{j}$, будем использовать функции $u_{k}=x_{k}^{2}, v_{k}=x_{k} y_{k}, w_{k}=y_{k}^{2}$, которые инвариантны под действием этой группы, а также характеризуют классы эквивалентности. Кроме того, все функции $G_{j}(x, y)$ – квадратичные полиномы по $u_{k}, v_{k}, w_{k}$, в то время как $F$ и $G$ линейны. Так как имеется $n$ квадратичных соотношений $u_{k} w_{k}=v_{k}^{2}$, многообразие $\mathfrak{M}^{\prime}$ можно рассматривать как пересечение $2 n$ квадрик с гиперплоскостью $\mathbb{C}^{3 n-1}$, определяемой уравнением $F=$ const.
Цель этого раздела – доказать следующую теорему.

Теорема 4. Если $\Delta=a d-b c

eq 0$ и выполнены вышеуказанные предположения, то фактор $\mathfrak{M}^{\prime}=(\mathfrak{M}-K \cap \mathfrak{M}) / \Gamma$ является многообразием Якоби g гиперэллиптических кривых
\[
w^{2}=P(z)=a(z)\left(r^{2} a(z)-\Delta l(z)\right),
\]
$c l(z)=\operatorname{det}(z I-L), a(z)=\operatorname{det}(z I-A)$, рода $n-1$. Кроме того, если
\[
\sum_{k=2}^{n} \int^{\mu_{k}} \frac{z^{n-j} d z}{\sqrt{P(z)}}=s_{j}, \quad j=2,3, \ldots, n
\]

определяет отображение Якоби классов дивизоров $\left(p_{2}, \ldots, p_{n}\right), p_{j}=$ $=\left(\mu_{j}, \sqrt{P\left(\mu_{j}\right)}\right)$, на гиперэллиптической кривой в $\mathbb{C}^{n-1}$, то векторные поля $X_{G_{j}}$ определяются как
\[
\sum_{k=2}^{n} c_{j k} \frac{\partial}{\partial s_{k}} \quad\left(\bmod X_{G}\right)
\]

с постоянными коэффициентами $c_{j k}$; то есть, $G_{j}$-поток линеен по $s_{k}$.
И наконеи, $x_{k}^{2}, x_{k} y_{k}, y_{k}^{2}(k=1,2 \ldots, n)$, ограниченные на $\mathfrak{M}^{\prime}$, являются абелевыми функциями на $\mathfrak{g}$ и могут быть рационально выражены через $\theta$-функции на $\mathfrak{g}$.

Главным в этом результате является то, что линейная структура на $\mathfrak{g}$, определяемая $X_{G_{j}}$, согласована с линейной структурой, как это определяется теоремой Абеля. Решения для любого гамильтониана $\phi\left(G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}\right)=H$ могут быть выражены через $\theta$-функции Якоби плюс экспоненциальная $e^{ \pm \alpha t}$ или линейная функция от $t$, возникающие из тривиальной части $X_{G}$.
Альтернативная форма полинома $P(z)$ в (4.2) имеет вид
\[
P(z)=a(z)^{2} \Delta \operatorname{det}\left(\operatorname{sym}\left(C^{-1}\right)-Q\right),
\]

где $\operatorname{sym}($ ) обозначает симметричную часть матрицы и
\[
C=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right), \quad Q=\left(\begin{array}{cc}
Q_{z}(x) & Q_{z}(x, y) \\
Q_{z}(x, y) & Q_{z}(y)
\end{array}\right) .
\]

В разделе 2 мы докажем приведенное выше утверждение в трех случаях: (i) $\theta=a d-s^{2}
eq 0$, (ii) $\theta=0$, но $d
eq 0$ и (iii) $a=s=d=0$, но

$\Delta=r^{2}
eq 0$. Сначала подробно рассмотрим случай (i), а затем внесем необходимые поправки для других случаев.
2. Обратная спектральная задача. Будем считать, что $\theta=$ $=a d-s^{2}
eq 0$. Без потери общности можно взять $a=d=0$ и, следовательно, рассмотреть
\[
L(x, y)=A+b x \otimes y+c y \otimes x,
\]

где $b c=-\Delta
eq 0, b+c
eq 0$ при $\theta
eq 0$. В этом случае наша формула принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{l(z)}{a(z)}=\frac{\operatorname{det}(z I-L)}{\operatorname{det}(z I-A)}=1-\Phi_{z}(x, y) \\
\Phi_{z}(x, y)=(b+c) Q_{z}(x, y)+b c\left(Q_{z}(x) Q_{z}(y)-Q_{z}^{2}(x, y)\right) .
\end{array}
\]

Если $\lambda_{j}, \alpha_{j}$ – собственные значения $L$ и $A$ соответственно, то
\[
l(z)=\prod_{j=1}^{n}\left(z-\lambda_{j}\right), \quad a(z)=\prod_{j=1}^{n}\left(z-\alpha_{j}\right) .
\]

Для параметризации точек на $\mathfrak{M}$ будем использовать собственные значения другой матрицы, а именно
\[
M=M(y)=P_{y} A P_{y},
\]

где $P_{y}=I-\frac{y \otimes y}{\langle y, y\rangle}$ при $\langle y, y\rangle
eq 0$ – проекция на ортогональное дополнение $y$. Таким образом, $M(y)$ имеет собственное значение 0 с собственным вектором $y$ и $n-1$ других собственных значений $\mu_{2}, \mu_{3}, \ldots, \mu_{n}$. Если положить
\[
m(z)=\langle y\rangle^{2} \prod_{j=2}^{n}\left(z-\mu_{j}\right), \quad\langle y\rangle^{2}=\langle y, y\rangle=\sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2},
\]

то получим равенство
\[
\frac{m(z)}{a(z)}=\frac{\langle y\rangle^{2}}{z} \frac{\operatorname{det}(z I-M)}{\operatorname{det}(z I-A)}=Q_{z}(y)=\sum_{j=1}^{n} \frac{y_{j}^{2}}{z-\alpha_{j}},
\]

которое определяет $\mu_{2}, \mu_{3}, \ldots, \mu_{n}$ как нули $Q_{z}(y)$, при условии $\langle y\rangle^{2}
eq 0$.

Длина $\langle y\rangle$ вектора $y$ несущественна для $M(y)$, и мы положим
\[
\mu_{1}=\langle y\rangle^{2} .
\]

Рассмотрим следующую «обратную спектральную задачу»: по заданным $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}, \mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$ построить $L=L(x, y), M=M(y)$ так, чтобы $\lambda_{j}$ были собственными значениями $L$, а $\mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$ и 0 собственными значениями $M$, и при этом $\mu_{1}=\langle y\rangle^{2}$. Величины $\lambda_{j}, \mu_{j}$ представляют собой $2 n$ переменных, которых оказывается достаточно для определения $2 n$ переменных $x_{k}, y_{k}$, за исключением ветвлений и сингулярностей, которые мы не будем здесь изучать.

Для построения конструкции потребуются некоторые стандартные формулы для эллиптических координат. Так как $\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}$ зависят только от $y_{k}$, сначала определим последние. Из (4.9) следует, что
\[
y_{j}^{2}=\frac{m\left(\alpha_{j}\right)}{a^{\prime}\left(\alpha_{j}\right)} .
\]

В случае действительных значений, когда $\alpha_{1}<\mu_{2}<\alpha_{2}<\cdots<\mu_{n}<\alpha_{n}$ и $\mu_{1}>0$, правая часть (4.10) положительна и допускает $2^{n}$ действительных векторов $y$. При $\mu_{1}=\langle y\rangle^{2}=1$ переменные $\mu_{2}, \mu_{3}, \ldots, \mu_{n}$ могут рассматриваться как ортогональные координаты ${ }^{1}$ на сфере $S^{n-1}$. Далее мы выведем эти свойства, игнорируя условия вещественности.
С помощью логарифмической производной (4.10) находим
\[
\frac{\partial y}{\partial \mu_{k}}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{2 \mu_{1}} y & \text { при } k=1, \\
\frac{1}{2}\left(\mu_{k}-A\right)^{-1} y & \text { при } k \geqslant 2,
\end{array}\right.
\]

откуда следует, что
\[
\left\langle\frac{\partial y}{\partial \mu_{k}}, \frac{\partial y}{\partial \mu_{j}}\right\rangle=g_{j} \delta_{j k},
\]
c
\[
g_{j}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{4 \mu_{1}} & \text { при } j=1, \\
-\frac{m^{\prime}\left(\mu_{j}\right)}{4 a\left(\mu_{j}\right)} & \text { при } j \geqslant 2 .
\end{array}\right.
\]

Мы проверим (4.12) только для случая различных $\mu_{2}, \mu_{3}, \ldots, \mu_{n}$ и при $\mu_{1}
eq 0$, используя резольвентное тождество
\[
\left(\mu_{k}-A\right)^{-1}\left(\mu_{j}-A\right)^{-1}=\frac{-1}{\mu_{j}-\mu_{k}}\left(\left(\mu_{j}-A\right)^{-1}-\left(\mu_{k}-A\right)^{-1}\right) .
\]

Из (4.11) находим для $j
eq k, j, k \geqslant 2$,
\[
\left\langle\frac{\partial y}{\partial \mu_{k}}, \frac{\partial y}{\partial \mu_{j}}\right\rangle=\frac{-1}{4\left(\mu_{j}-\mu_{k}\right)}\left(Q_{\mu_{j}}(y)-Q_{\mu_{k}}(y)\right)=0,
\]

и для $j=k \geqslant 2$ вычисляем
\[
\left\langle\frac{\partial y}{\partial \mu_{j}}\right\rangle^{2}=\frac{1}{4}\left\langle\left(\mu_{j}-A\right)^{-2} y, y\right\rangle=-\left.\frac{1}{4} \frac{d}{d z} Q_{z}(y)\right|_{z=\mu_{j}},
\]

которое вместе с (4.9) дает искомый результат при $j \geqslant 2$. При $j \geqslant 2$ из (4.11) получаем
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\frac{\partial y}{\partial \mu_{1}}, \frac{\partial y}{\partial \mu_{j}}\right\rangle=-\frac{1}{4 \mu_{1}} Q_{\mu_{j}}(y)=0, \\
\left\langle\frac{\partial y}{\partial \mu_{1}}\right\rangle^{2}=\frac{1}{4 \mu_{1}^{2}}\langle y\rangle^{2}=\frac{1}{4 \mu_{1}},
\end{array}
\]

что доказывает (4.12). Таким образом, имеем
\[
\sum_{k=1}^{n} d y_{k}^{2}=\sum_{j=1}^{n} g_{j} d \mu_{j}^{2} .
\]

Определив $y$, обратимся к построению $x$, которое представим в ортогональной системе $\partial y / \partial \mu_{j}$ как
\[
x=\sum_{j=1}^{n} X_{j} \frac{\partial y}{\partial \mu_{j}} .
\]

Взяв скалярное произведение с $\partial y / \partial \mu_{k}$, находим для коэффициентов $X_{j}$, используя $(4.11),(4.12)$,
\[
g_{k} X_{k}=\left\langle x, \frac{\partial y}{\partial \mu_{k}}\right\rangle=\left\{\begin{array}{lc}
\frac{1}{2 \mu_{1}}\langle x, y\rangle & \text { при } k=1, \\
\frac{1}{2} Q_{\mu_{k}}(x, y) & \text { при } k \geqslant 2 .
\end{array}\right.
\]

Члены в правой части могут быть выражены через $\lambda, \mu$, определяя таким образом $x$ как функцию от $\lambda, \mu$. Чтобы показать это, сравним коэффициенты при $z^{-1}$, когда $z \rightarrow \infty$ в (4.6):
\[
\operatorname{tr}(L-A)=\sum_{j=1}^{n}\left(\lambda_{j}-\alpha_{j}\right)=(b+c)\langle x, y\rangle=2 s\langle x, y\rangle,
\]

так что
\[
\langle x, y\rangle=\frac{1}{2 s} \sum_{j=1}^{n}\left(\lambda_{j}-\alpha_{j}\right) .
\]

Для вычисления $Q_{\mu_{j}}(x, y)$ при $j \geqslant 2$ положим $z=\mu_{j}$ в (4.6), (4.5), используя $Q_{\mu_{j}}(y)=0$ :
\[
1-\frac{l(z)}{a(z)}=(b+c) Q_{z}(x, y)-b c Q_{z}^{2}(x, y)
\]

при $z=\mu_{2}, \mu_{3}, \ldots, \mu_{n}$. Это квадратное уравнение для $Q_{\mu_{j}}(x, y)$. Полагая $\Delta=-b c, 2 r=b-c$, получим при $z=\mu_{j}, j \geqslant 2$,
\[
\begin{array}{c}
Q_{z}(x, y)-\frac{b+c}{2 b c}=\frac{1}{a(z) \Delta} \sqrt{P(z)}, \\
P(z)=\left(a(z) r^{2}-l(z) \Delta\right) a(z) .
\end{array}
\]

Таким образом, из (4.13), (4.14), (4.15), (4.16) можно выразить $x, y$ через $\lambda, \mu$, решая обратную спектральную задачу.

Чтобы получить $(\mathfrak{M}-K \cap \mathfrak{M}) / \Gamma$, построим орбиты $G=\frac{1}{2} \sum_{j} G_{j}=$ $=s\langle x, y\rangle$ то есть
\[
x^{\prime}=s x, \quad y^{\prime}=-s y .
\]

Функцию $F$ (4.1) можно выбрать как $F=\langle y\rangle^{2}$ и
\[
F=\left.F\right|_{t=0} e^{-2 s t},
\]

и сечение определяется выражением
\[
F=\langle y\rangle^{2}=1, \quad \text { или } \mu_{1}=1 .
\]

Можно воспользоваться дискретной группой, генерируемой $\tau_{k}$, параметризуя $\mathfrak{M}^{\prime}$ с помощью $u_{j}=x_{j}^{2}, v_{j}=x_{j} y_{j}, w_{j}=y_{j}^{2}$. Заметим, что

эти $3 n$ функций являются рациональными симметричными функциями дивизора
\[
\left(p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{n}\right),
\]

где $p_{j}=\left(\mu_{j}, \sqrt{P\left(\mu_{j}\right)}\right)$ — точка на римановой поверхности (4.2). Действительно, из (4.10) $w_{j}=y_{j}^{2}$ является симметричным полиномом по $\mu_{2}, \mu_{3}, \ldots, \mu_{n}$. Согласно (4.11), (4.12), (4.13) и (4.14) имеем
\[
\begin{aligned}
v_{j} & =x_{j} y_{j}=\sum_{k=1}^{n} X_{k} \frac{\partial y_{j}}{\partial \mu_{k}} y_{j}= \\
& =\mu_{1}^{-1}\langle x, y\rangle y_{j}^{2}-\sum_{k=2}^{n} \frac{a\left(\mu_{k}\right)}{m^{\prime}\left(\mu_{k}\right)} Q_{\mu_{k}}(x, y)\left(\mu_{k}-\alpha_{j}\right)^{-1} y_{j}^{2} .
\end{aligned}
\]

Используя $\langle x, y\rangle=(1 / 2 s) \sum_{j=1}^{n}\left(\lambda_{j}-\alpha_{j}\right)$, (4.16) и (4.10), видим, что $v_{j}$ является рациональной симметричной функцией дивизора $p_{2}, \ldots, p_{n}$. И наконец, то же самое справедливо для $u_{j}=v_{j}^{2} w_{j}^{-1}$ и, следовательно, для любой рациональной функции от $u_{j}, v_{j}, w_{j}$.

Хорошо известно (см. Нейман [13], Зигель [18]), что все рациональные симметричные функции от $p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{n}$ и, следовательно, $u_{j}$, $v_{j}, w_{j}$ представимы в терминах $\theta$-функций на многообразии Якоби, что приводит к отображению $\mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{M}^{\prime}$. Для неспециальных дивизоров $\left(p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{n}\right)$ и фиксированных $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ это отображение определяется формулами (4.10), (4.13). Так как $u_{j}, v_{j}, w_{j}$ достаточно для параметризации точек на $\mathfrak{M}^{\prime}$, это отображение есть изоморфизм, показывающий, что $\mathfrak{M}^{\prime} \sim \mathfrak{g}$.

3. Симплектическая структура. Для доказательства теоремы 4 в случае (i) осталось показать, что векторные поля $X_{G_{j}}$ имеют постоянные коэффициенты в переменных $s_{j}$ в (4.3). Для этого выразим симплектическую форму $\omega=\sum_{j=1}^{n} d y_{j} \wedge d x_{j}$ через переменные $\lambda_{k}, \mu_{k}$. Поскольку $\lambda_{k}$, также как и $\mu_{k}$ – функции только от $y$, которые находятся в инволюции, отсюда следует, что $\omega$ имеет вид
\[
\omega=\sum_{k, j=1}^{n} a_{k j} d \lambda_{k} \wedge d \mu_{j}
\]

и так как $d \omega=0$, можно, по крайней мере локально, найти функцию $S=S(\lambda, \mu)$ такую, что
\[
a_{k j}=\frac{\partial^{2} S}{\partial \lambda_{k} \partial \mu_{j}}
\]

Следовательно, достаточно вычислить эту функцию $S$. Полагая $\partial_{\lambda} S=$ $=\sum_{k=1}^{n} S_{\lambda_{k}} d \lambda_{k}, \partial_{\mu} S=\sum_{j=1}^{n} S_{\mu_{j}} d \mu_{j}$, запишем кратко
\[
\omega=\partial_{\lambda} \partial_{\mu} S
\]

Для вычисления $S$ воспользуемся формулой (4.11), чтобы записать 1-форму $\langle x, d y\rangle=\sum_{1}^{n} x_{k} d y_{k}$ как
\[
\langle x, d y\rangle=\sum_{j}\left\langle x, \frac{\partial y}{\partial \mu_{j}}\right\rangle d \mu_{j}=\frac{1}{2}\langle x, y\rangle \frac{d \mu_{1}}{\mu_{1}}+\frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n} Q_{\mu_{j}}(x, y) d \mu_{j}
\]

или с учетом (4.15), (4.16) и $b+c=2 s$
\[
\langle x, d y\rangle=\frac{1}{4 s} \sum\left(\lambda_{k}-\alpha_{k}\right) \frac{d \mu_{1}}{\mu_{1}}+\frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n}\left(\frac{s}{b c}+\frac{\sqrt{P\left(\mu_{j}\right)}}{a\left(\mu_{j}\right) \Delta}\right) d \mu_{j} .
\]

Так как $\omega=-d\langle x, d y\rangle=\partial_{\lambda} \partial_{\mu} S$, находим, что
\[
-S=\frac{1}{4 s} \sum\left(\lambda_{k}-\alpha_{k}\right) \log \mu_{1}+\frac{1}{2 \Delta} \sum_{j=2}^{n} \int^{\mu_{j}} \frac{\sqrt{P(z)} d z}{a(z)},
\]

интегрирование проводится вдоль путей на римановой поверхности. Конечно, $S$ определена только с точностью до двух аддитивных функций от $\lambda_{k}$ и $\mu_{k}$.

Вместо $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ используем в качестве независимых переменных их симметричные функции $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{n}$, определяемые выражением
\[
l(z)=z^{n}+\sigma_{1} z^{n-1}+\sigma_{2} z^{n-2}+\cdots+\sigma_{n}
\]

так что
\[
\omega=\sum_{k, j} S_{\sigma_{k} \mu_{j}} d \sigma_{k} \wedge d \mu_{j}=\sum_{k=1}^{n} d \sigma_{k} \wedge d\left(S_{\sigma_{k}}\right)
\]

Таким образом, $S_{\sigma_{k}}$ канонически сопряжены с симметричными функциями $\sigma_{k}$. Для $S_{\sigma_{k}}$ находим
\[
-\frac{\partial S}{\partial \sigma_{k}}=\frac{\delta_{k 1}}{4 s} \log \mu_{1}-\frac{1}{4} \sum_{j=2}^{n} \int^{\mu_{j}} \frac{z^{n-k}}{\sqrt{P(z)}} d z,
\]

которое показывает, что $S_{\sigma_{k}}$ при $k=2,3, \ldots, n$ совпадает с точностью до коэффициента $\frac{1}{4}$ с абелевыми дифференциалами первого рода (4.3).

Осталось записать гамильтоновы векторные поля $X_{H}$ в этих переменных. Положим
\[
H=H(x, y)=\Psi(\sigma, \mu),
\]

тогда дифференциальное уравнение примет вид
\[
\left(\begin{array}{cc}
0 & -S_{\sigma \mu}^{T} \\
S_{\sigma \mu} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\dot{\mu} \\
\dot{\sigma}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
\Psi_{\mu} \\
\Psi_{\sigma}
\end{array}\right) .
\]

В частности, если гамильтониан $\Psi$ зависит только от $\sigma$, то есть $\Psi_{\mu}=0$ и $\operatorname{det} S_{\sigma \mu}
eq 0$, то система сводится к
\[
\dot{\sigma}=0, \quad \frac{d}{d t} S_{\sigma}=\Psi_{\sigma}
\]

с решениями
\[
\sigma=\left.\sigma\right|_{t=0}, \quad S_{\sigma}=\left.S_{\sigma}\right|_{t=0}+t \Psi_{\sigma} .
\]

Таким образом, $S_{\sigma_{k}}$ изменяются линейно на $\mathfrak{M}$. Следовательно, если положить $s_{k}=4 S_{\sigma_{k}}$ при $k=1,2, \ldots, n$, то векторное поле $X_{H}$ для гамильтониана $H(x, y)=\Psi(\sigma)$ примет вид
\[
X_{H}=4 \sum_{k=1}^{n} \Psi_{\sigma_{k}} \frac{\partial}{\partial s_{k}} .
\]

Поскольку из (4.15)
\[
G=s\langle x, y\rangle=-\frac{1}{2}\left(\sigma_{1}+\sum \alpha_{j}\right),
\]

имеем
\[
X_{G}=-2 \frac{\partial}{\partial s_{1}}
\]

так что
\[
X_{H}=4 \sum_{k=2}^{n} \Psi_{\sigma_{k}} \frac{\partial}{\partial s_{k}}+2 \Psi_{\sigma_{1}} X_{G} .
\]

Применим это к $H=G_{j}$, которые являются функциями только от $\sigma_{k}$, чтобы показать, что $X_{G_{j}}$ имеют по модулю $X_{G}$ постоянные коэффициенты по отношению к $\partial / \partial s_{k}$. Это доказывает теорему 4 в случае (i).

4. Случай вырождения. В случаях (ii) и (iii) рассмотрим нормальную форму из раздела 2 ,
\[
L=A+r(x \otimes y-y \otimes x)+d y \otimes y, \quad r
eq 0,
\]

где $d=1$ или $d=0$. Спектр $L$ определяется нулями $1-\Phi_{z}$, где
\[
\Phi_{z}=d Q_{z}(y)-r^{2}\left(Q_{z}(x) Q_{z}(y)-Q_{z}^{2}(x, y)\right) .
\]

Для описания $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{M}^{\prime}$ рассмотрим снова вспомогательную матрицу
\[
M=P_{y} A P_{y}
\]

со спектром $\left(0, \mu_{2}, \mu_{3}, \ldots, \mu_{n}\right)$ и положим $\mu_{1}=\langle x, y\rangle$. Функция $m(z)$ определяется выражением (4.8).

Как и прежде, покажем, что $x, y$ могут быть выражены через $\mu_{1}=\langle x, y\rangle$ и спектр $L, M$. Для этого мы просто должны преобразовать выражения в правых частях (4.13) и (4.14).

Взяв коэффициент при $z^{-1}$ в разложении при $z=\infty$, в случае $d
eq 0$ из (4.19) получим
\[
\operatorname{tr}(L-A)=\sum_{j=1}^{n}\left(\lambda_{j}-\alpha_{j}\right)=d\langle y\rangle^{2},
\]

так что $\langle y\rangle^{2}$ является функцией от $\lambda_{k}$, в то время как $\mu_{1}=\langle x, y\rangle-$ независимая переменная на $\mathfrak{M}$. Формулы (4.13), (4.14) и (4.16) следует заменить на
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{\langle x, y\rangle}{\langle y\rangle^{2}} y-\frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n} g_{j}^{-1} Q_{\mu_{j}}(x, y) \frac{\partial y}{\partial \mu_{j}} \\
Q_{z}(x, y)=\frac{1}{r a(z)} \sqrt{(a(z)-l(z)) a(z)}=\frac{1}{a(z) \Delta} \sqrt{P(z)}
\end{array}
\]

для $z=\mu_{2}, \mu_{3}, \ldots, \mu_{n}$. Последняя формула совпадает с (4.16), так как $\Delta=r^{2}$.

Эти уравнения вместе с (4.10) снова позволяют получить $x, y$ в терминах $\lambda, \mu$, решая обратную задачу для $d=1$. Отображение $\mathfrak{M}^{\prime}$ в многообразие Якоби кривой $w^{2}=P(z)$ такое же, как прежде.
Определим симплектическую структуру из уравнения
\[
\begin{aligned}
\langle x, d y\rangle & =\mu_{1} \frac{\langle y, d y\rangle}{\langle y\rangle^{2}}-\frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n} Q_{\mu_{j}}(x, y) d \mu_{j}= \\
& =d\left(\frac{\mu_{1}}{2} \log \langle y\rangle^{2}\right)-\frac{1}{2} \log \langle y\rangle^{2} d \mu_{1}-\frac{1}{2 \Delta} \sum_{j=2}^{n} a^{-1}\left(\mu_{j}\right) \sqrt{P\left(\mu_{j}\right)} d \mu_{j},
\end{aligned}
\]

что приводит к симплектической форме $\omega=\partial_{\lambda} \partial_{\mu} S$ с
\[
S=\frac{\mu_{1}}{2} \log \left(\sum\left(\lambda_{k}-\alpha_{k}\right)\right)+\frac{1}{2 \Delta} \sum_{j=2}^{n} \int^{\mu_{j}} \frac{\sqrt{P(z)} d z}{a(z)},
\]

где $P(z)=r^{2}(a-l) l$ – полином степени $2 n-1$, и род кривой $w^{2}=P(z)$ снова $n-1$. Одна точка ветвления соответствующей римановой поверхности находится на $\infty$, и $n$ из них являются собственными значениями $\lambda_{k}$ матрицы $L$.
Наконец, в случае (iii) при $d=0$ имеем
\[
\sum_{j=1}^{n}\left(\lambda_{j}-\alpha_{j}\right)=d\langle y\rangle^{2}=0,
\]

так что только $n-1$ из $\lambda_{j}$, например $\lambda_{2}, \lambda_{3}, \ldots, \lambda_{n}$, являются независимыми переменными. Аналогично, $M$ имеет только $n-1$ независимых собственных значений $\mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$, в то время как $\mu_{1}=0$. В качестве вспомогательных переменных можно использовать $\mu_{1}=G=\frac{1}{2}\langle x, x\rangle$ и $F=\langle x, y\rangle$ и действовать, как указано выше. Это согласуется с редукцией, приведенной в начале данного раздела. Заметим, что первый член в $S$ в (4.17) и (4.20) выражает экспоненциальное и линейное поведение $\mu_{1}$ от $t$.

5. Предельные случаи. Изоспектральное многообразие $L=$ $=L(x, y)$ определяется выражением
\[
\Phi_{\lambda_{j}}(x, y)=1, \quad j=1,2 \ldots, n .
\]

В разделе 3 мы рассматривали многообразие
\[
\Phi_{\lambda_{j}}(x, y)=0, \quad j=1,2 \ldots, n-1,
\]

которое представляет спектр $P_{y}(A-x \otimes x) P_{y}$. Это многообразие может быть получено как предельный случай первоначального, как было показано в разделе 3. Мы хотим показать, как можно определить гиперэллиптическую кривую в данном случае, по крайней мере при $a=0$, $b=-c=-d=1$.
В разделе 3 мы видели, что спектр
\[
L_{
u}=L(x,
u y)=A+
u(x \otimes y-y \otimes x)-
u^{2} y \otimes y
\]

определяется уравнением
\[
\Phi_{z}(x, y)=\frac{1}{
u^{2}}
\]

где $\Phi_{z}(x, y)$ – функция, принадлежащая $L_{1}$. Если $\lambda_{j}(
u)$ – собственные значения $L_{
u}$, тогда, полагая
\[
l_{
u}(z)=\prod_{j=1}^{n}\left(z-\lambda_{j}(
u)\right),
\]

получим гиперэллиптическую кривую
\[
w^{2}=P_{
u}(z)=\left(r^{2} a(z)-\Delta l_{
u}(z)\right) a(z) .
\]

Предположим снова, что $(a, b, c, d)=(0,1,-1,-1)$. В пределе $
u \rightarrow \infty$ один корень, например $\lambda_{1}=\lambda_{1}(
u)$, стремится к бесконечности, и $
u^{-2} l_{
u}(z)$ имеет предел, а именно полином степени $n-1$, с собственными значениями $P_{y}(A-x \otimes x) P_{y}$ в качестве корней. Пусть такие корни имеет $l^{(0)}(z)$, полином степени $n-1$ с коэффициентом 1 при старшем члене. Тогда
\[
\Phi_{z}(x, y)=\frac{1}{
u^{2}}\left(1-\frac{l_{
u}(z)}{a(z)}\right) \rightarrow k \frac{l^{(0)}(z)}{a(z)}
\]

с некоторым множителем $k$, не зависящим от $z$. Этот множитель определяется асимптотическим поведением $\Phi_{z}$ при больших $z$ как
\[
k=(a\langle x, x\rangle+2 s\langle x, y\rangle+d\langle y, y\rangle)=2 G(x, y) .
\]

Следовательно,
\[
\Phi_{z}(x, y)=2 G(x, y) \frac{l^{(0)}(z)}{a(z)},
\]

так что $z l^{(0)}(z)$ является характеристическим полиномом для $P_{y}(A-$ $-x \otimes x) P_{y}$.

Мы не будем повторять приведенную выше конструкцию для этого случая, однако заметим, что в качестве вспомогательных переменных можно использовать собственные значения
\[
M=P_{y} A P_{y}, \quad \text { или } \quad N=A-x \otimes x .
\]

Собственные значения последнего уравнения представляют собой эллиптические координаты $x$, в то время как собственные значения $M$ ортогональные координаты $y$ на сфере $|y|=1$, которые мы уже использовали выше. В любом случае, изоспектральное многообразие $\mathfrak{M}$ матрицы $P_{y}(A-x \otimes x) P_{y}$ приводит к многообразию Якоби гиперэллиптической кривой
\[
w^{2}=a(z) l^{(0)}(z)=z^{-1} \operatorname{det}(z-A) \operatorname{det}(z-L) .
\]

Этот случай особенно замечателен, так как точки ветвления этого полинома определяются собственными значениями матриц $A$ и $L$, где тривиальное нулевое собственное значение $L$ опущено.

В данном случае многообразию $\mathfrak{M}^{\prime}=(\mathfrak{M}-\mathfrak{M} \cap K) / \Gamma=\mathfrak{M} / \Gamma$ можно дать геометрическую интерпретацию. Это многообразие общих касательных к $n-1$ конфокальным квадрикам $\mathfrak{U}_{\lambda_{1}}, \mathfrak{U}_{\lambda_{2}}, \ldots, \mathfrak{U}_{\lambda_{n-1}}$, где $2^{n}$ этих касательных должны быть отождествлены, как переходящие друг в друга при отражении $x_{j} \rightarrow \pm x_{j}$. Таким образом, получаем, что общие касательные к $n-1$ конфокальным квадрикам образуют $2^{n}$-кратное накрытие многообразия Якоби (см. Штауде [20]).