1. Спектральная задача.
В этом разделе мы рассмотрим задачу о нахождении спектра оператора Шредингера
на действительной оси при условии, что — почти периодическая функция. В частном случае может быть периодической функцией . Известно, что для ограниченной
существует единственное самосопряженное продолжение оператора в — пространство дважды непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем, и именно это продолжение мы понимаем под . Спектр определенного таким образом оператора располагается на действительной оси. В частности, при периодическом потенциале в общем случае он состоит, как хорошо известно, из бесконечного числа интервалов, стремящихся к бесконечности — так называемый зонный спектр. Спектр непрерывен и не содержит точечных собственных значений. В почти периодическом случае спектр может быть значительно более сложным. Могут появиться точечные собственные значения, и можно указать примеры, когда спектр имеет вид нигде не плотного канторовского множества .
В периодическом случае спектр может быть определен с помощью теории Флоке, которая гарантирует существование нетривиального решения задачи на собственные значения
вида
где имеет тот же период , что и . Другими словами,
Назовем мультипликатором Флоке, а — решением Флоке. В почти периодическом случае решения такого типа с почти периодической функцией в общем случае не существует, и аналог теории Флоке отсутствует. Тем не менее, аналог мультипликатора Флоке существует и может быть использован для нахождения спектра . Наша цель определить величину и ее логарифм, который имеет определенное сходство со спектральным сдвигом фазы в теории рассеяния. Здесь мы опустим подробное доказательство существования и сошлемся на [12]. Начинаем с рассмотрения периодического случая, а затем по аналогии обобщим на почти периодический случай.
2. Периодический случай.
Если мы запишем уравнение (4.2) как систему первого порядка
то фундаментальное решение этой системы представляет из себя матричное решение , где . Для всех мы имеем , поэтому произведение собственных значений равно единице и их можно обозначить , и . Кроме того,
— целая функция от , называемая дискриминантом . Очевидно, по определению, , и — мультипликаторы Флоке. При функция голоморфна и может быть выбрана так, что
Существуют точки ветвления при тех , для которых случай двойного собственного значения матрицы
Для действительного число также является собственным значением и поэтому совпадает с или . Поэтому для действительного , или . Исключая точки ветвления, говорят о неустойчивом (или гиперболическом) случае, если , и устойчивом (или эллиптическим), если . Аналогично или в неустойчивом и устойчивом случае, соответственно. Множество
состоит из множества интервалов, стремящегося , которое совпадает со спектром матрицы . Таким образом, состоит из замыкания интервалов устойчивости — так называемых «зон».
Открытые интервалы, в которых , называются щелями; они принадлежат резольвентному множеству. Таким образом, спектр полностью определен через , или через . Так как не допускает обобщения на почти периодический случай, мы сосредоточимся на и дадим для этого другие описания.
Рассмотрим вместо функцию
которая является гармонической для и определяет с точностью до константы. Для определения ветви логарифма мы потребуем, чтобы при . В дальнейшем мы ограничимся
верхней полуплоскостью и выберем для решение (4.4) с условием .
В соответствии с этими обстоятельствами мы можем описать функцию (4.5) следующим образом.
Теорема 4.1. Если и если — комплексное решение (4.2), удовлетворяющее условию
Мы не будем приводить доказательства утверждения 4.1; это частный случай теоремы 5.1 в [12]. Укажем только, что вронскиан чисто мнимый и удовлетворяет уравнению
Следовательно, из (4.6) заключаем, что
поэтому при . Кроме того, так как
получим, что .
Из представления (4.7) очевидно, что является положительной гармонической функцией в с непрерывным продолжением на . Мы будем называть ее «числом вращения».
Так как любая положительная гармоническая функция в верхней полуплоскости определяется ее значениями на действительной оси, мы дадим альтернативное описание при действительных .
Теорема 4.2. Пусть — действительное число и пусть нетривиальное действительное решение (4.2). Если означает число нулей в , то
в частности, предел не зависит от выбора решения .
Эта формула показывает, что — монотонно возрастающая функция (не в строгом смысле). Спектр описывается как объединение замкнутых интервалов, в которых — строго возрастающая функция, а зоны можно описать как открытые интервалы постоянства функции. Это следует из соотношения
и того, что действительно в зонах. Поэтому мы имеем следующую теорему:
Теорема 4.3. В любой зоне величина
является неотрицательным целым числом.
Поэтому зоны могут быть помечены этим целым , которое означает количество нулей за период. Для мы имеем полуинтервал , где — граница спектра. Все другие зоны — ограниченные интервалы, которые могут, тем не менее, коллапсировать в точку. Например, если const, все промежутки с коллапсируют в точки.
Поэтому естественно перенумеровать зоны следующим образом:
Эти интервалы в общем случае не пересекаются, но в вырожденных случаях они могут иметь общие концы. Можно доказать (см. теорему 5.5) следующее утверждение,
Теорема 4.4. Внутри каждой зоны
где равенство выполняется только для const.
Интегрируя это неравенство по зоне , находим
где -длина . Так как
получаем неравенство
которое не зависит от потенциала .
Это неравенство было выведено в [24]; совершенно другой подход был найден Дж. Гарнеттом и Е. Трубовицем .
3. Почти периодические потенциалы.
Так как обратная спектральная задача приведет нас к почти периодическим функциям, обратимся сначала к определению почти периодических потенциалов. Мы определим просто как замыкание множества тригонометрических полиномов
в равномерной топологии .
Для определим среднее значение
и свяжем с ряды Фурье обычным образом, положив
Тогда только для счетной последовательности и формальные ряды Фурье определяются как
Назовем частотами , а наименьший модуль над , содержащий , частотным модулем полинома . Иначе говоря, состоит из всех конечных линейных комбинаций с целыми коэффициентами.
Этот модуль имеет принципиально важное значение для следующего. В случае, когда — периодическая функция с периодом , этот модуль порождается величиной , и, наоборот, если состоит из целых кратных , то — периодическая функция с периодом . Во всех других случаях плотен на действительной оси, что ведет к усложнению теории. Если модуль порождается конечным числом частот с целыми коэффициентами, то функция называется квазипериодической.
В дальнейшем мы фиксируем счетный частотный модуль и обозначаем через множество почти периодических функций с этим частотным модулем . Преимущество перед состоит в том, что оно достаточно мало, чтобы быть сепарабельным пространством, но достаточно велико, чтобы быть алгеброй. Следующая конструкция появится на этой фиксированной алгебре. Мы примем, что функция принимает действительные значения и .
4. Число вращения.
Как замечено выше, теория Флоке не имеет аналога для почти периодических потенциалов. Тем не менее, число вращения, определенное в теореме 4.1, имеет аналог для действительных потенциалов .
Теорема 4.5. Если и если — комплексное решение (4.2), удовлетворяющее неравенству
mo
существует и определяет непрерывную функцию в , которая является гармонической в .
Теорема 4.6. Пусть — действительное число, функция определяет нетривиальное решение уравнения (4.2) и — число нулей решения в интервале . Тогда
Число — снова монотонно возрастающая функция. В физической литературе называется «плотностью состояний». Если через обозначить число собственных значений (4.2) на отрезке с граничными условиями
то
Это следует сразу из теоремы 4.6 и осцилляционной теоремы Штурма. Наконец, аналогом теоремы 4.3 является следующая
Теорема 4.7. Если I — «зон» , т.е. если I открытый интервал в , то постоянна в и
Так как в случае периода этот частотный модуль состоит из , то это утверждение является непосредственным обобщением теоремы 4.3. Теперь предположим, что зоны является плотным счетным множеством — вместо множества целых чисел.
Согласно теореме — монотонно возрастающая функция на действительной оси, и поэтому может рассматриваться как мера. Мы приходим к следующей теореме.
Теорема 4.8. Спектр совпадает с носителем меры .
Это утверждение обобщает описание зон в периодическом случае.
5. Функция Грина и формула следа.
Число вращения и голоморфная функция с могут при быть связаны с функцией Грина для , которая определена как ядро резольвенты
Для представления этой функции Грина мы используем два нетривиальных решения , которые лежат в и соответственно. Еще Г. Вейлю было известно [30], что существуют и однозначно определены с точностью до множителя. Тогда функция Грина имеет вид
где обозначает вронскиан.
Кроме того, для имеются равенства
если . В частности, не имеют нулей.
Функции определены только с точностью до множителя, но их логарифмические производные
определены полностью.
Согласно Г.Шарфу [27], и — почти периодические и удовлетворяют условиям
Следовательно, средние значения этих функций существуют. Так как в силу (4.10) решение удовлетворяет предположению теоремы 4.5, мы видим, что
Это равенство может быть выражено через другие функции из (4.11)
— вследствие следующей теоремы.
Теорема 4.9. При имеем
Доказательство.
Из формулы (4.9) получим
следовательно,
С другой стороны,
Так как , функция ограничена; следовательно,
что доказывает утверждение.
Поэтому, если мы определим
то является голоморфной функцией в верхней полуплоскости, которая по теореме 4.9 и (4.12) удовлетворяет равенству
При этом величина является аналогом показателя Флоке, и соответствует мультипликатору Флоке.
Оказывается, что производная от может быть представлена в виде (см. [12])
и поэтому может быть интерпретирована как след резольвенты . Так как не компактна и обычный след не существует, мы заменим интегрирование по диагонали на взятие среднего значения и запишем
Интегрируя это соотношение, находим, что
или так же для действительных значений
где логарифм необходимо определить соответствующим образом.
Это выражение находится в тесной формальной связи с функцией спектрального сдвига теории рассеяния (см., например, Шрадер [28]). Тем не менее, в случае функции спектрального сдвига задействованы два оператора, и к такой аналогии не следует относиться слишком серьезно.
Голоморфная функция в , определенная в (4.13) или (4.14), удовлетворяет неравенствам
Первое неравенство показывает, что убывают до нуля экспоненциально при , соответственно. Кроме того, — число вращения из теоремы 4.5. Знание на действительной оси определяет в полуплоскости следующим образом
В приведенном нами анализе конечнозонных потенциалов функция определяет интересное отображение полуплоскости на область с разрезом.
6. Связь с уравнением КдФ.
Удивительно, что определенный выше «показатель Флоке» связан с интегрируемой гамильтоновой системой в бесконечномерном функциональном пространстве, а именно, с уравнением Кортевега-де Фриза (1.2), упомянутом в первом разделе. Сначала мы хотим показать, что (1.2) можно рассматривать как гамильтонову систему в пространстве функций , все производные которых почти периодические, скажем, в . В этом пространстве рассмотрим два функционала , которые обладают достаточной гладкостью. Oпределим градиент с помощью производной Фреше
Например, для функционала
можно вычислить
\[
abla F=-2 \alpha q_{x x}+3 b q^{2} .
\]
Теперь введем скобку Пуассона
которая является кососимметричной формой, удовлетворяющей тождеству Якоби. Для убывающих функций такая скобка Пуассона была впервые введена Гарднером [10].
В соответствии с этой скобкой Пуассона любой функционал, скажем , приводит к гамильтоновой системе
Например, гамильтониан
приводит к уравнению КдФ
Будем называть любую функцию интегралом гамильтониана , если
Введенный выше показатель Флоке , рассматриваемый как функционал от , является таким интегралом при любом выборе в . Кроме того, все эти интегралы коммутируют. Это следует из теоремы 4.10.
Теорема 4.10. Функционал , определенный посредством (4.13), удовлетворяет соотношению
\[
abla w=-G(x, x ; \lambda) \quad \text { npu } \quad \operatorname{Im} \lambda
eq 0
\]
Вычисления можно найти в [12].
Для того чтобы увидеть связь с уравнением КдФ, рассмотрим асимптотическое поведение при . Хорошо известно, что функция Грина допускает разложение в виде
где представимы как полиномы от и ее производных, например . Коэффициенты могут быть рекуррентно определены при сравнении коэффициентов в квадратичном дифференциальном уравнении
которому на диагонали всегда удовлетворяет функция Грина .
Действительно, полагая для краткости и нормируя так, что , получаем
Следовательно, уравнение (4.17) принимает вид
Из (4.16) получаем асимптотическое разложение для :
где
и — полиномы от и их производные. Функционалы такого типа называются «локальными функционалами». Из теоремы 4.10 получаем, что
Явные вычисления показывают, что
Таким образом, соответствует уравнению КдФ, при этом представляют бесконечное число законов сохранения этого уравнения.
В качестве другого следствия мы получаем, что сохраняется не только в уравнении д , соответствующего гамильтониану , но и во всех других уравнениях Кортевега-де Фриза более высокого порядка, соответствующих Например, инвариантность под действием потока соответствует тривиальной инвариантности под действием трансляции .