1. Спектральная задача.
В этом разделе мы рассмотрим задачу о нахождении спектра оператора Шредингера
\[
L=-\left(\frac{d}{d x}\right)^{2}+q(x)
\]

на действительной оси $-\infty<x<+\infty$ при условии, что $q(x)$ – почти периодическая функция. В частном случае $q(x)$ может быть периодической функцией $q(x)=q(x+l)$. Известно, что для ограниченной $q(x)$

существует единственное самосопряженное продолжение оператора в $C_{0}^{2}(R)$ – пространство дважды непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем, и именно это продолжение мы понимаем под $L$. Спектр определенного таким образом оператора располагается на действительной оси. В частности, при периодическом потенциале в общем случае он состоит, как хорошо известно, из бесконечного числа интервалов, стремящихся к бесконечности – так называемый зонный спектр. Спектр непрерывен и не содержит точечных собственных значений. В почти периодическом случае спектр может быть значительно более сложным. Могут появиться точечные собственные значения, и можно указать примеры, когда спектр имеет вид нигде не плотного канторовского множества $[12,24]$.

В периодическом случае спектр может быть определен с помощью теории Флоке, которая гарантирует существование нетривиального решения задачи на собственные значения
\[
(L-\lambda) \varphi=0, \quad \text { или } \quad \varphi^{\prime \prime}=(q-\lambda) \varphi,
\]

вида
\[
\varphi(x, \lambda)=\exp (w(\lambda) x) p(x, \lambda),
\]

где $p(x, \lambda)$ имеет тот же период $l$, что и $q$. Другими словами,
\[
\varphi(x+l, \lambda)=\mu(\lambda) \varphi(x, \lambda), \quad \mu=\exp (w(\lambda) l) .
\]

Назовем $\mu$ мультипликатором Флоке, а $\varphi$ – решением Флоке. В почти периодическом случае решения такого типа с почти периодической функцией $p(x, \lambda)$ в общем случае не существует, и аналог теории Флоке отсутствует. Тем не менее, аналог мультипликатора Флоке существует и может быть использован для нахождения спектра $L$. Наша цель определить величину $\mu(\lambda)$ и ее логарифм, который имеет определенное сходство со спектральным сдвигом фазы в теории рассеяния. Здесь мы опустим подробное доказательство существования и сошлемся на [12]. Начинаем с рассмотрения периодического случая, а затем по аналогии обобщим на почти периодический случай.

2. Периодический случай.
Если мы запишем уравнение (4.2) как систему первого порядка
\[
y^{\prime}=A(x) y, \quad A(x)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
q-\lambda & 0
\end{array}\right), \quad y=\left(\begin{array}{c}
\varphi \\
\varphi^{\prime}
\end{array}\right),
\]

то фундаментальное решение этой системы представляет из себя матричное решение $Y(x, \lambda)$, где $Y(0, \lambda)=I$. Для всех $x$ мы имеем $\operatorname{det} Y(x, \lambda)=1$, поэтому произведение собственных значений $Y(l, \lambda)$ равно единице и их можно обозначить $\mu$, и $\mu^{-1}$. Кроме того,
\[
\mu+\mu^{-1}=\operatorname{tr} Y(l, \lambda)
\]
– целая функция от $\lambda$, называемая дискриминантом $\Delta(\lambda)$. Очевидно, по определению, $\mu$, и $\mu^{-1}$ – мультипликаторы Флоке. При $\operatorname{Im} \lambda
eq 0$ функция $\mu(\lambda)$ голоморфна и может быть выбрана так, что
\[
|\mu(\lambda)|<1 \quad \text { при } \operatorname{Im} \lambda>0 .
\]

Существуют точки ветвления при тех $\lambda$, для которых $\mu(\lambda)= \pm 1$ случай двойного собственного значения матрицы $Y(l, \lambda)$

Для действительного $\lambda$ число $\bar{\mu}$ также является собственным значением и поэтому совпадает с $\mu$ или $\mu^{-1}$. Поэтому для действительного $\lambda: \mu=\bar{\mu}$, или $\mu \bar{\mu}=1$. Исключая точки ветвления, говорят о неустойчивом (или гиперболическом) случае, если $\mu=\bar{\mu}
eq \pm 1$, и устойчивом (или эллиптическим), если $\mu \bar{\mu}=1 ; \mu
eq \pm 1$. Аналогично $\pm \Delta(\lambda)>2$ или $-2<\Delta(\lambda)<+2$ в неустойчивом и устойчивом случае, соответственно. Множество
\[
\{\lambda \in \mathbb{R} \mid-2 \leqslant \Delta(\lambda) \leqslant 2\}
\]

состоит из множества интервалов, стремящегося $\kappa+\infty$, которое совпадает со спектром $\sigma(L)$ матрицы $L$. Таким образом, $\sigma(L)$ состоит из замыкания интервалов устойчивости – так называемых «зон».

Открытые интервалы, в которых $\pm \Delta(\lambda)>2$, называются щелями; они принадлежат резольвентному множеству. Таким образом, спектр полностью определен через $\Delta(\lambda)$, или через $\mu(\lambda)$. Так как $\Delta(\lambda)$ не допускает обобщения на почти периодический случай, мы сосредоточимся на $\mu=\mu(\lambda)$ и дадим для этого другие описания.
Рассмотрим вместо $\mu(\lambda)$ функцию
\[
\alpha(\lambda)=\operatorname{Im} w(\lambda)=\frac{1}{l} \operatorname{Im} \log \mu(\lambda),
\]

которая является гармонической для $\operatorname{Im} \lambda
eq 0$ и определяет $w$ с точностью до константы. Для определения ветви логарифма мы потребуем, чтобы $\alpha(\lambda) \rightarrow 0$ при $\operatorname{Re} \lambda \rightarrow-\infty$. В дальнейшем мы ограничимся

верхней полуплоскостью $\operatorname{Im} \lambda>0$ и выберем для $\mu$ решение (4.4) с условием $|\mu(\lambda)|<1$.

В соответствии с этими обстоятельствами мы можем описать функцию (4.5) следующим образом.
Теорема 4.1. Если $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ и если $\varphi=\varphi(x, \lambda)$ – комплексное решение (4.2), удовлетворяющее условию
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{Im}[\varphi, \tilde{\varphi}]=\operatorname{Im}\left(\varphi \tilde{\varphi}^{\prime}-\tilde{\varphi} \varphi^{\prime}\right)>0 \quad \text { npu } \quad x=0 \\
\operatorname{mo} \varphi(x, \lambda)
eq 0 \text { для } x \geqslant 0, u \\
\alpha(\lambda)=-\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \operatorname{Im} \frac{\varphi^{\prime}(t, \lambda)}{\varphi(t, \lambda)} d t>0 .
\end{array}
\]

Мы не будем приводить доказательства утверждения 4.1; это частный случай теоремы 5.1 в [12]. Укажем только, что вронскиан $[\varphi, \tilde{\varphi}]$ чисто мнимый и удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d}{d x}[\varphi, \tilde{\varphi}]=2 i \operatorname{Im} \lambda|\varphi|^{2} .
\]

Следовательно, из (4.6) заключаем, что
\[
\operatorname{Im}[\varphi, \tilde{\varphi}]>0 \quad \text { при } \quad x \geqslant 0
\]

поэтому $\varphi
eq 0$ при $x \geqslant 0$. Кроме того, так как
\[
-\operatorname{Im} \frac{\varphi^{\prime}}{\varphi}=\frac{\operatorname{Im}[\varphi, \tilde{\varphi}]}{|\varphi|^{2}}>0,
\]

получим, что $\alpha(\lambda) \geqslant 0$.
Из представления (4.7) очевидно, что $\alpha(\lambda)$ является положительной гармонической функцией в $\operatorname{Im} \lambda>0$ с непрерывным продолжением на $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$. Мы будем называть ее «числом вращения».

Так как любая положительная гармоническая функция в верхней полуплоскости определяется ее значениями на действительной оси, мы дадим альтернативное описание $\alpha(\lambda)$ при действительных $\lambda$.
Теорема 4.2. Пусть $\lambda$ – действительное число и пусть $\varphi=\varphi(x, \lambda)-$ нетривиальное действительное решение (4.2). Если $N(x, \lambda)$ означает число нулей $\varphi(t, \lambda)$ в $0 \leqslant t \leqslant x$, то
\[
\frac{\alpha(\lambda)}{\pi}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{N(x, \lambda)}{x} ;
\]

в частности, предел не зависит от выбора решения $\varphi(x, \lambda)$.

Эта формула показывает, что $\alpha(\lambda)$ – монотонно возрастающая функция (не в строгом смысле). Спектр $\sigma(L)$ описывается как объединение замкнутых интервалов, в которых $\alpha(\lambda)$ – строго возрастающая функция, а зоны можно описать как открытые интервалы постоянства функции. Это следует из соотношения
\[
\mu=|\mu| \exp (i \alpha l)
\]

и того, что $\mu$ действительно в зонах. Поэтому мы имеем следующую теорему:
Теорема 4.3. В любой зоне величина
\[
j=\frac{\alpha l}{\pi}
\]

является неотрицательным целым числом.
Поэтому зоны могут быть помечены этим целым $j$, которое означает количество нулей за период. Для $j=0$ мы имеем полуинтервал $\left(-\infty, \lambda_{0}\right)$, где $\lambda_{0}$ – граница спектра. Все другие зоны – ограниченные интервалы, которые могут, тем не менее, коллапсировать в точку. Например, если $q=$ const, все промежутки с $j=1,2, \ldots$ коллапсируют в точки.
Поэтому естественно перенумеровать зоны следующим образом:
\[
b_{j}=\left\{\lambda \in \mathbb{R} \left\lvert\, j<\frac{l \alpha(\lambda)}{\pi}<j+1\right.\right\} .
\]

Эти интервалы в общем случае не пересекаются, но в вырожденных случаях они могут иметь общие концы. Можно доказать (см. теорему 5.5) следующее утверждение,
Теорема 4.4. Внутри каждой зоны
\[
2 \alpha \frac{d \alpha}{d \lambda}=\frac{d\left(\alpha^{2}\right)}{d \lambda} \geqslant 1,
\]

где равенство выполняется только для $q=$ const.
Интегрируя это неравенство по зоне $b_{j}=\left[\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}\right]$, находим
\[
\alpha^{2}\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-a^{2}\left(\lambda^{\prime}\right) \geqslant \lambda^{\prime \prime}-\lambda^{\prime}=m\left(b_{j}\right)
\]

где $m\left(b_{j}\right)$-длина $b_{j}$. Так как
\[
\alpha\left(\lambda^{\prime \prime}\right)=\frac{\pi}{l}(j+1), \quad \alpha\left(\lambda^{\prime}\right)=\frac{\pi}{l} j,
\]

получаем неравенство
\[
m\left(b_{j}\right)<\frac{\pi^{2}}{l^{2}}(2 j+1)
\]

которое не зависит от потенциала $q(x)=q(x+l)$.
Это неравенство было выведено в [24]; совершенно другой подход был найден Дж. Гарнеттом и Е. Трубовицем ${ }^{1}$.
3. Почти периодические потенциалы.
Так как обратная спектральная задача приведет нас к почти периодическим функциям, обратимся сначала к определению почти периодических потенциалов. Мы определим $\mathscr{A}$ просто как замыкание множества тригонометрических полиномов
\[
f(x)=\sum_{
u} c_{
u} \exp \left(i \lambda_{
u} x\right)
\]

в равномерной топологии $\|f\|=\sup _{x \in \mathbb{R}}|f(x)|$.
Для $f \in \mathscr{A}$ определим среднее значение
\[
M(f)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t
\]

и свяжем с $f$ ряды Фурье обычным образом, положив
\[
c_{\lambda}=M(f \exp (-i \lambda x)) .
\]

Тогда $c_{\lambda}
eq 0$ только для счетной последовательности $\lambda=\lambda_{
u}$ и формальные ряды Фурье определяются как
\[
\sum_{
u} c_{\lambda_{
u}} \exp \left(i \lambda_{
u} x\right)
\]

Назовем $\lambda_{
u}$ частотами $f$, а наименьший модуль над $Z$, содержащий $\lambda_{
u}$, частотным модулем $\mathscr{M}(f)$ полинома $f$. Иначе говоря, $\mathscr{M}(f)$ состоит из всех конечных линейных комбинаций $\lambda_{
u}$ с целыми коэффициентами.

Этот модуль имеет принципиально важное значение для следующего. В случае, когда $f$ – периодическая функция с периодом $l$, этот модуль порождается величиной $2 \pi l^{-1}$, и, наоборот, если $\mathscr{M}(f)$ состоит из целых кратных $\omega>0$, то $f$ – периодическая функция с периодом $l=2 \pi \omega^{-1}$. Во всех других случаях $\mathscr{M}(f)$ плотен на действительной оси, что ведет к усложнению теории. Если модуль $\mathscr{M}=\mathscr{M}(f)$ порождается конечным числом частот $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{d}$ с целыми коэффициентами, то функция $f$ называется квазипериодической.

В дальнейшем мы фиксируем счетный частотный модуль $\mathscr{M}$ и обозначаем через $\mathscr{A}(\mathscr{M})$ множество почти периодических функций с этим частотным модулем $\mathscr{M}$. Преимущество $\mathscr{A}(\mathscr{M})$ перед $\mathscr{A}$ состоит в том, что оно достаточно мало, чтобы быть сепарабельным пространством, но достаточно велико, чтобы быть алгеброй. Следующая конструкция появится на этой фиксированной алгебре. Мы примем, что функция $q=q(x)$ принимает действительные значения и $q \in \mathscr{A}(\mathscr{M})$.
4. Число вращения.
Как замечено выше, теория Флоке не имеет аналога для почти периодических потенциалов. Тем не менее, число вращения, определенное в теореме 4.1, имеет аналог для действительных потенциалов $q \in \mathcal{A}$.
Теорема 4.5. Если $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ и если $\varphi=\varphi(x, \lambda)$ – комплексное решение (4.2), удовлетворяющее неравенству
\[
\operatorname{Im}[\varphi, \tilde{\varphi}]>0 \quad \text { при } \quad x=0,
\]
mo
\[
\alpha(\lambda)=-\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \operatorname{Im} \frac{\varphi^{\prime}(t, \lambda)}{\varphi(t, \lambda)} d t\right) \geqslant 0
\]

существует и определяет непрерывную функцию в $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$, которая является гармонической в $\operatorname{Im} \lambda>0$.
Теорема 4.6. Пусть $\lambda$ – действительное число, функция $\varphi=\varphi(x, \lambda)$ определяет нетривиальное решение уравнения (4.2) и $N(x, \lambda)$ – число нулей решения $\varphi$ в интервале $[0, x]$. Тогда
\[
\frac{\alpha(\lambda)}{\pi}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{N(x, \lambda)}{x} .
\]

Число $\alpha(\lambda)$ – снова монотонно возрастающая функция. В физической литературе $\alpha / \pi$ называется «плотностью состояний». Если через $
u=
u(\lambda, a, b)$ обозначить число собственных значений (4.2) на отрезке $[a, b]$ с граничными условиями
\[
\varphi(a)=0, \quad \varphi(b)=0,
\]

то
\[
\lim _{b-a \rightarrow \infty} \frac{
u(\lambda, a, b)}{b-a}=\frac{\alpha(\lambda)}{\pi} .
\]

Это следует сразу из теоремы 4.6 и осцилляционной теоремы Штурма. Наконец, аналогом теоремы 4.3 является следующая
Теорема 4.7. Если I – «зон» $L$, т.е. если I открытый интервал в $\sigma(L) \backslash \mathbb{R}$, то $\alpha(\lambda)$ постоянна в $I$ и
\[
2 \alpha(\lambda) \in \mathscr{M}(q) \quad \text { для } \quad \lambda \in I .
\]

Так как в случае периода $l$ этот частотный модуль состоит из $j(2 \pi / l)$, то это утверждение является непосредственным обобщением теоремы 4.3. Теперь предположим, что зоны является плотным счетным множеством – вместо множества целых чисел.

Согласно теореме $4.6, \alpha(\lambda)$ – монотонно возрастающая функция на действительной оси, и поэтому $d \alpha$ может рассматриваться как мера. Мы приходим к следующей теореме.
Теорема 4.8. Спектр $\sigma(L)$ совпадает с носителем меры $d \alpha(\lambda)$.
Это утверждение обобщает описание зон в периодическом случае.
5. Функция Грина и формула следа.
Число вращения $\alpha(\lambda)$ и голоморфная функция $w(\lambda)$ с $\operatorname{Im} w(\lambda)=$ $=\alpha(\lambda)$ могут при $\operatorname{Im} \lambda>0$ быть связаны с функцией Грина $G(x, y ; \lambda)$ для $L$, которая определена как ядро резольвенты
\[
R_{\lambda}=(L-\lambda)^{-1} .
\]

Для представления этой функции Грина мы используем два нетривиальных решения $\psi_{+}(x, \lambda), \psi_{-}(x, \lambda)(4.2)$, которые лежат в $L^{2}(0, \infty)$ и $L^{2}(-\infty, 0)$ соответственно. Еще Г. Вейлю было известно [30], что $\psi_{+}, \psi_{-}$ существуют и однозначно определены с точностью до множителя. Тогда функция Грина имеет вид
\[
G(x, y ; \lambda)=G(y, x ; \lambda)=\frac{\psi_{+}(x, \lambda) \psi_{-}(y, \lambda)}{\left[\psi_{+}, \psi_{-}\right]} \quad \text { для } \quad x>y,
\]

где $\left[\psi_{+}, \psi_{-}\right]$обозначает вронскиан.

Кроме того, для $\psi_{+}, \psi_{-}$имеются равенства
\[
\left\{\begin{array}{l}
{\left[\psi_{+}, \tilde{\psi}_{+}\right]=-2 i \operatorname{Im} \lambda \int_{x}^{\infty}\left|\psi_{+}\right|^{2} d x,} \\
{\left[\psi_{-}, \tilde{\psi}_{-}\right]=2 i \operatorname{Im} \lambda \int_{\infty}^{x}\left|\psi_{-}\right|^{2} d x,}
\end{array}\right.
\]

если $\operatorname{Im} \lambda
eq 0$. В частности, $\psi_{+}, \psi_{-}$не имеют нулей.
Функции $\psi_{+}, \psi_{-}$определены только с точностью до множителя, но их логарифмические производные
\[
m_{ \pm}(x, \lambda)=\frac{\psi_{ \pm}^{\prime}(x, \lambda)}{\psi_{ \pm}(x, \lambda)}
\]

определены полностью.
Согласно Г.Шарфу [27], $m_{+}, m_{-}$и $G(x, x ; \lambda)$ – почти периодические и удовлетворяют условиям
\[
m_{+}(x, \lambda), \quad m_{-}(x, \lambda), \quad G(x, x ; \lambda) \in \mathscr{A}(\mathscr{M}) .
\]

Следовательно, средние значения этих функций существуют. Так как в силу (4.10) решение $\varphi=\psi_{-}$удовлетворяет предположению теоремы 4.5, мы видим, что
\[
\alpha(\lambda)=-\operatorname{Im} M\left(m_{-}\right) .
\]

Это равенство может быть выражено через другие функции из (4.11)
– вследствие следующей теоремы.

Теорема 4.9. При $\operatorname{Im} \lambda>0$ имеем
\[
-M\left(m_{-}\right)=M\left(m_{+}\right)=M\left(\frac{1}{2 G(x, x ; \lambda)}\right) .
\]

Доказательство.
Из формулы (4.9) получим
\[
\frac{1}{G(x, x ; \lambda)}=m_{-}-m_{+},
\]

следовательно,
\[
M\left(\frac{1}{G(x, x ; \lambda)}\right)=M\left(m_{-}\right)-M\left(m_{+}\right) .
\]

С другой стороны,
\[
m_{-}+m_{+}=\frac{d}{d x} \log G(x, x ; \lambda) .
\]

Так как $\operatorname{Im} G(x, x ; \lambda)>0$, функция $\log G$ ограничена; следовательно,
\[
M\left(m_{-}\right)+M\left(m_{+}\right)=0,
\]

что доказывает утверждение.
Поэтому, если мы определим
\[
w(\lambda)=-\frac{1}{2} M\left(G^{-1}(x, x ; \lambda)\right) \text { для } \operatorname{Im} \lambda>0,
\]

то $w(\lambda)$ является голоморфной функцией в верхней полуплоскости, которая по теореме 4.9 и (4.12) удовлетворяет равенству
\[
\operatorname{Im} w(\lambda)=\alpha(\lambda) .
\]

При этом величина $w(\lambda)$ является аналогом показателя Флоке, и $\mu(\lambda)=\exp (w(\lambda))$ соответствует мультипликатору Флоке.

Оказывается, что производная от $w$ может быть представлена в виде (см. [12])
\[
\frac{d w}{d \lambda}=M(G(x, x ; \lambda)) \quad \text { при } \quad \operatorname{Im} \lambda>0
\]

и поэтому может быть интерпретирована как след резольвенты $R_{\lambda}$. Так как $R_{\lambda}$ не компактна и обычный след не существует, мы заменим интегрирование по диагонали на взятие среднего значения и запишем
\[
\frac{d w}{d \lambda}=\tau\left(R_{\lambda}\right)
\]

Интегрируя это соотношение, находим, что
\[
w(\lambda)-w\left(\lambda_{0}\right)=\tau\left(\log \left(R_{\lambda} R_{\lambda_{0}}^{-1}\right)\right)=\tau\left(\log \left(I+\left(\lambda-\lambda_{0}\right) R_{\lambda}\right)\right),
\]

или так же для действительных значений $\lambda, \lambda_{0}$
\[
\alpha(\lambda)-\alpha\left(\lambda_{0}\right)=\lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \tau\left(\operatorname{Im} \log \left(I+\left(\lambda-\lambda_{0}\right) R_{\lambda+i \varepsilon}\right)\right),
\]

где логарифм необходимо определить соответствующим образом.

Это выражение находится в тесной формальной связи с функцией спектрального сдвига теории рассеяния (см., например, Шрадер [28]). Тем не менее, в случае функции спектрального сдвига задействованы два оператора, и к такой аналогии не следует относиться слишком серьезно.

Голоморфная функция $w=w(\lambda)$ в $\operatorname{Im} \lambda>0$, определенная в (4.13) или (4.14), удовлетворяет неравенствам
\[
\operatorname{Re} w(\lambda)<0, \quad \frac{\operatorname{Im} w(\lambda)}{\operatorname{Im} \lambda}>0 \quad \text { при } \quad \operatorname{Im} \lambda
eq 0 .
\]

Первое неравенство показывает, что $\psi_{+}, \psi_{-}$убывают до нуля экспоненциально при $x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty$, соответственно. Кроме того, $\operatorname{Im} w(\lambda)=\alpha(\lambda)$ — число вращения из теоремы 4.5. Знание $\alpha(\lambda)$ на действительной оси определяет $w(\lambda)$ в полуплоскости следующим образом
\[
w\left(z_{1}\right)-w\left(z_{2}\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\alpha(\lambda) d \lambda}{\left(\lambda-z_{1}\right)\left(\lambda-z_{2}\right)} .
\]

В приведенном нами анализе конечнозонных потенциалов функция $w(\lambda)$ определяет интересное отображение полуплоскости на область с разрезом.
6. Связь с уравнением КдФ.
Удивительно, что определенный выше «показатель Флоке» $w(\lambda)$ связан с интегрируемой гамильтоновой системой в бесконечномерном функциональном пространстве, а именно, с уравнением Кортевега-де Фриза (1.2), упомянутом в первом разделе. Сначала мы хотим показать, что (1.2) можно рассматривать как гамильтонову систему в пространстве функций $q=q(x)$, все производные которых почти периодические, скажем, в $\mathscr{A}(\mathscr{M})$. В этом пространстве рассмотрим два функционала $F=F(q), G=G(q)$, которые обладают достаточной гладкостью. Oпределим градиент $
abla F$ с помощью производной Фреше
\[
\left.\frac{d}{d \varepsilon} F(q+\varepsilon p)\right|_{\varepsilon=0}=M(
abla F(q) p) .
\]

Например, для функционала
\[
F=M\left(a q_{x}^{2}+b q^{3}\right)
\]

можно вычислить
\[

abla F=-2 \alpha q_{x x}+3 b q^{2} .
\]

Теперь введем скобку Пуассона
\[
\{F, G\}=M\left(
abla F \frac{d}{d x}
abla G\right),
\]

которая является кососимметричной формой, удовлетворяющей тождеству Якоби. Для убывающих функций такая скобка Пуассона была впервые введена Гарднером [10].

В соответствии с этой скобкой Пуассона любой функционал, скажем $H=H(q)$, приводит к гамильтоновой системе
\[
\frac{\partial q}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}(
abla H(q))
\]

Например, гамильтониан
\[
H(q)=M\left(\frac{1}{2} q_{x}^{2}+q^{3}\right)
\]

приводит к уравнению КдФ
\[
q_{t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-q_{x x}+3 q^{2}\right)=-q_{x x x}+6 q q_{x} .
\]

Будем называть любую функцию $F=F(q)$ интегралом гамильтониана $H$, если
\[
\{F, H\}-0 .
\]

Введенный выше показатель Флоке $w=w(\lambda ; q)$, рассматриваемый как функционал от $q$, является таким интегралом при любом выборе $\lambda$ в $\operatorname{Im} \lambda
eq 0$. Кроме того, все эти интегралы коммутируют. Это следует из теоремы 4.10.
Теорема 4.10. Функционал $w=w(\lambda ; q)$, определенный посредством (4.13), удовлетворяет соотношению
\[

abla w=-G(x, x ; \lambda) \quad \text { npu } \quad \operatorname{Im} \lambda
eq 0
\]
$u$
\[
\left\{w\left(\lambda_{1} ; q\right), w\left(\lambda_{2} ; q\right)\right\}=0 \quad \text { пpu } \quad \operatorname{Im} \lambda_{1}
eq 0, \operatorname{Im} \lambda_{2}
eq 0 .
\]

Вычисления можно найти в [12].

Для того чтобы увидеть связь $w(\lambda ; q)$ с уравнением КдФ, рассмотрим асимптотическое поведение при $\lambda \rightarrow-\infty$. Хорошо известно, что функция Грина допускает разложение в виде
\[
G(x, x ; \lambda) \sim \frac{1}{2 \sqrt{-\lambda}}\left\{1+\lambda^{-1} G_{1}(x)+\lambda^{-2} G_{2}(x)+\ldots\right\},
\]

где $G_{j}$ представимы как полиномы от $q$ и ее производных, например $G_{1}=q / 2$. Коэффициенты $G_{j}$ могут быть рекуррентно определены при сравнении коэффициентов в квадратичном дифференциальном уравнении
\[
\left(G^{\prime \prime}-2(q-\lambda) G\right) G-\frac{1}{2}\left(G^{2}-1\right)=0,
\]

которому на диагонали всегда удовлетворяет функция Грина $G=$ $=G(x, x ; \lambda)$.

Действительно, полагая для краткости $\alpha=\psi_{+}(x, \lambda), \beta=\psi_{-}(x, \lambda)$ и нормируя так, что $[\alpha, \beta]=1$, получаем
\[
\begin{array}{l}
G(x, x ; \lambda)=\alpha \beta, \\
G^{\prime}=\alpha^{\prime} \beta+\alpha \beta^{\prime}, \\
G^{\prime \prime}-2(q-\lambda) G=\alpha^{\prime \prime} \beta+2 \alpha^{\prime} \beta^{\prime}+\alpha \beta^{\prime \prime}-2(q-\lambda) \alpha \beta=2 \alpha^{\prime} \beta^{\prime} .
\end{array}
\]

Следовательно, уравнение (4.17) принимает вид
\[
2 \alpha \beta \alpha^{\prime} \beta^{\prime}-\frac{1}{2}\left(\alpha^{\prime} \beta+\alpha \beta^{\prime}\right)^{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(-[\alpha, \beta]^{2}+1\right)=0 .
\]

Из (4.16) получаем асимптотическое разложение для $w(\lambda ; q)$ :
\[
w(\lambda ; q)=-\sqrt{-\lambda}\left\{1+\lambda^{-1} w_{1}(q)+\lambda^{-2} w_{2}(q)+\ldots\right\},
\]

где
\[
w_{j}=M\left(W_{j}(q)\right),
\]

и $W_{j}$ – полиномы от $q$ и их производные. Функционалы такого типа называются «локальными функционалами». Из теоремы 4.10 получаем, что
\[
\left\{w_{j}, w_{k}\right\}=0, \quad\left\{w_{j}, w(\lambda ; q)\right\}=0 .
\]

Явные вычисления показывают, что
\[
\begin{array}{l}
w_{1}=\frac{1}{2} M(q), \\
w_{2}=\frac{1}{8} M\left(q^{2}\right), \\
w_{3}=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{2} q_{x}^{2}+q^{2}\right), \\
\vdots
\end{array}
\]

Таким образом, $16 w_{3}=H$ соответствует уравнению КдФ, при этом $w_{j}$ представляют бесконечное число законов сохранения этого уравнения.

В качестве другого следствия мы получаем, что $w(\lambda ; q)$ сохраняется не только в уравнении $К$ д $Ф$, соответствующего гамильтониану $w_{3}$, но и во всех других уравнениях Кортевега-де Фриза более высокого порядка, соответствующих $w_{j}, j=1,2, \ldots$ Например, инвариантность под действием потока $w_{3}$ соответствует тривиальной инвариантности $w$ под действием трансляции $q(x) \rightarrow q(x+t)$.