Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Спектральная задача. на действительной оси $-\infty<x<+\infty$ при условии, что $q(x)$ — почти периодическая функция. В частном случае $q(x)$ может быть периодической функцией $q(x)=q(x+l)$. Известно, что для ограниченной $q(x)$ существует единственное самосопряженное продолжение оператора в $C_{0}^{2}(R)$ — пространство дважды непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем, и именно это продолжение мы понимаем под $L$. Спектр определенного таким образом оператора располагается на действительной оси. В частности, при периодическом потенциале в общем случае он состоит, как хорошо известно, из бесконечного числа интервалов, стремящихся к бесконечности — так называемый зонный спектр. Спектр непрерывен и не содержит точечных собственных значений. В почти периодическом случае спектр может быть значительно более сложным. Могут появиться точечные собственные значения, и можно указать примеры, когда спектр имеет вид нигде не плотного канторовского множества $[12,24]$. В периодическом случае спектр может быть определен с помощью теории Флоке, которая гарантирует существование нетривиального решения задачи на собственные значения вида где $p(x, \lambda)$ имеет тот же период $l$, что и $q$. Другими словами, Назовем $\mu$ мультипликатором Флоке, а $\varphi$ — решением Флоке. В почти периодическом случае решения такого типа с почти периодической функцией $p(x, \lambda)$ в общем случае не существует, и аналог теории Флоке отсутствует. Тем не менее, аналог мультипликатора Флоке существует и может быть использован для нахождения спектра $L$. Наша цель определить величину $\mu(\lambda)$ и ее логарифм, который имеет определенное сходство со спектральным сдвигом фазы в теории рассеяния. Здесь мы опустим подробное доказательство существования и сошлемся на [12]. Начинаем с рассмотрения периодического случая, а затем по аналогии обобщим на почти периодический случай. 2. Периодический случай. то фундаментальное решение этой системы представляет из себя матричное решение $Y(x, \lambda)$, где $Y(0, \lambda)=I$. Для всех $x$ мы имеем $\operatorname{det} Y(x, \lambda)=1$, поэтому произведение собственных значений $Y(l, \lambda)$ равно единице и их можно обозначить $\mu$, и $\mu^{-1}$. Кроме того, Существуют точки ветвления при тех $\lambda$, для которых $\mu(\lambda)= \pm 1$ случай двойного собственного значения матрицы $Y(l, \lambda)$ Для действительного $\lambda$ число $\bar{\mu}$ также является собственным значением и поэтому совпадает с $\mu$ или $\mu^{-1}$. Поэтому для действительного $\lambda: \mu=\bar{\mu}$, или $\mu \bar{\mu}=1$. Исключая точки ветвления, говорят о неустойчивом (или гиперболическом) случае, если $\mu=\bar{\mu} состоит из множества интервалов, стремящегося $\kappa+\infty$, которое совпадает со спектром $\sigma(L)$ матрицы $L$. Таким образом, $\sigma(L)$ состоит из замыкания интервалов устойчивости — так называемых «зон». Открытые интервалы, в которых $\pm \Delta(\lambda)>2$, называются щелями; они принадлежат резольвентному множеству. Таким образом, спектр полностью определен через $\Delta(\lambda)$, или через $\mu(\lambda)$. Так как $\Delta(\lambda)$ не допускает обобщения на почти периодический случай, мы сосредоточимся на $\mu=\mu(\lambda)$ и дадим для этого другие описания. которая является гармонической для $\operatorname{Im} \lambda верхней полуплоскостью $\operatorname{Im} \lambda>0$ и выберем для $\mu$ решение (4.4) с условием $|\mu(\lambda)|<1$. В соответствии с этими обстоятельствами мы можем описать функцию (4.5) следующим образом. Мы не будем приводить доказательства утверждения 4.1; это частный случай теоремы 5.1 в [12]. Укажем только, что вронскиан $[\varphi, \tilde{\varphi}]$ чисто мнимый и удовлетворяет уравнению Следовательно, из (4.6) заключаем, что поэтому $\varphi получим, что $\alpha(\lambda) \geqslant 0$. Так как любая положительная гармоническая функция в верхней полуплоскости определяется ее значениями на действительной оси, мы дадим альтернативное описание $\alpha(\lambda)$ при действительных $\lambda$. в частности, предел не зависит от выбора решения $\varphi(x, \lambda)$. Эта формула показывает, что $\alpha(\lambda)$ — монотонно возрастающая функция (не в строгом смысле). Спектр $\sigma(L)$ описывается как объединение замкнутых интервалов, в которых $\alpha(\lambda)$ — строго возрастающая функция, а зоны можно описать как открытые интервалы постоянства функции. Это следует из соотношения и того, что $\mu$ действительно в зонах. Поэтому мы имеем следующую теорему: является неотрицательным целым числом. Эти интервалы в общем случае не пересекаются, но в вырожденных случаях они могут иметь общие концы. Можно доказать (см. теорему 5.5) следующее утверждение, где равенство выполняется только для $q=$ const. где $m\left(b_{j}\right)$-длина $b_{j}$. Так как получаем неравенство которое не зависит от потенциала $q(x)=q(x+l)$. в равномерной топологии $\|f\|=\sup _{x \in \mathbb{R}}|f(x)|$. и свяжем с $f$ ряды Фурье обычным образом, положив Тогда $c_{\lambda} Назовем $\lambda_{ Этот модуль имеет принципиально важное значение для следующего. В случае, когда $f$ — периодическая функция с периодом $l$, этот модуль порождается величиной $2 \pi l^{-1}$, и, наоборот, если $\mathscr{M}(f)$ состоит из целых кратных $\omega>0$, то $f$ — периодическая функция с периодом $l=2 \pi \omega^{-1}$. Во всех других случаях $\mathscr{M}(f)$ плотен на действительной оси, что ведет к усложнению теории. Если модуль $\mathscr{M}=\mathscr{M}(f)$ порождается конечным числом частот $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{d}$ с целыми коэффициентами, то функция $f$ называется квазипериодической. В дальнейшем мы фиксируем счетный частотный модуль $\mathscr{M}$ и обозначаем через $\mathscr{A}(\mathscr{M})$ множество почти периодических функций с этим частотным модулем $\mathscr{M}$. Преимущество $\mathscr{A}(\mathscr{M})$ перед $\mathscr{A}$ состоит в том, что оно достаточно мало, чтобы быть сепарабельным пространством, но достаточно велико, чтобы быть алгеброй. Следующая конструкция появится на этой фиксированной алгебре. Мы примем, что функция $q=q(x)$ принимает действительные значения и $q \in \mathscr{A}(\mathscr{M})$. существует и определяет непрерывную функцию в $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$, которая является гармонической в $\operatorname{Im} \lambda>0$. Число $\alpha(\lambda)$ — снова монотонно возрастающая функция. В физической литературе $\alpha / \pi$ называется «плотностью состояний». Если через $ то Это следует сразу из теоремы 4.6 и осцилляционной теоремы Штурма. Наконец, аналогом теоремы 4.3 является следующая Так как в случае периода $l$ этот частотный модуль состоит из $j(2 \pi / l)$, то это утверждение является непосредственным обобщением теоремы 4.3. Теперь предположим, что зоны является плотным счетным множеством — вместо множества целых чисел. Согласно теореме $4.6, \alpha(\lambda)$ — монотонно возрастающая функция на действительной оси, и поэтому $d \alpha$ может рассматриваться как мера. Мы приходим к следующей теореме. Для представления этой функции Грина мы используем два нетривиальных решения $\psi_{+}(x, \lambda), \psi_{-}(x, \lambda)(4.2)$, которые лежат в $L^{2}(0, \infty)$ и $L^{2}(-\infty, 0)$ соответственно. Еще Г. Вейлю было известно [30], что $\psi_{+}, \psi_{-}$ существуют и однозначно определены с точностью до множителя. Тогда функция Грина имеет вид где $\left[\psi_{+}, \psi_{-}\right]$обозначает вронскиан. Кроме того, для $\psi_{+}, \psi_{-}$имеются равенства если $\operatorname{Im} \lambda определены полностью. Следовательно, средние значения этих функций существуют. Так как в силу (4.10) решение $\varphi=\psi_{-}$удовлетворяет предположению теоремы 4.5, мы видим, что Это равенство может быть выражено через другие функции из (4.11) Теорема 4.9. При $\operatorname{Im} \lambda>0$ имеем Доказательство. следовательно, С другой стороны, Так как $\operatorname{Im} G(x, x ; \lambda)>0$, функция $\log G$ ограничена; следовательно, что доказывает утверждение. то $w(\lambda)$ является голоморфной функцией в верхней полуплоскости, которая по теореме 4.9 и (4.12) удовлетворяет равенству При этом величина $w(\lambda)$ является аналогом показателя Флоке, и $\mu(\lambda)=\exp (w(\lambda))$ соответствует мультипликатору Флоке. Оказывается, что производная от $w$ может быть представлена в виде (см. [12]) и поэтому может быть интерпретирована как след резольвенты $R_{\lambda}$. Так как $R_{\lambda}$ не компактна и обычный след не существует, мы заменим интегрирование по диагонали на взятие среднего значения и запишем Интегрируя это соотношение, находим, что или так же для действительных значений $\lambda, \lambda_{0}$ где логарифм необходимо определить соответствующим образом. Это выражение находится в тесной формальной связи с функцией спектрального сдвига теории рассеяния (см., например, Шрадер [28]). Тем не менее, в случае функции спектрального сдвига задействованы два оператора, и к такой аналогии не следует относиться слишком серьезно. Голоморфная функция $w=w(\lambda)$ в $\operatorname{Im} \lambda>0$, определенная в (4.13) или (4.14), удовлетворяет неравенствам Первое неравенство показывает, что $\psi_{+}, \psi_{-}$убывают до нуля экспоненциально при $x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty$, соответственно. Кроме того, $\operatorname{Im} w(\lambda)=\alpha(\lambda)$ — число вращения из теоремы 4.5. Знание $\alpha(\lambda)$ на действительной оси определяет $w(\lambda)$ в полуплоскости следующим образом В приведенном нами анализе конечнозонных потенциалов функция $w(\lambda)$ определяет интересное отображение полуплоскости на область с разрезом. Например, для функционала можно вычислить abla F=-2 \alpha q_{x x}+3 b q^{2} . Теперь введем скобку Пуассона которая является кососимметричной формой, удовлетворяющей тождеству Якоби. Для убывающих функций такая скобка Пуассона была впервые введена Гарднером [10]. В соответствии с этой скобкой Пуассона любой функционал, скажем $H=H(q)$, приводит к гамильтоновой системе Например, гамильтониан приводит к уравнению КдФ Будем называть любую функцию $F=F(q)$ интегралом гамильтониана $H$, если Введенный выше показатель Флоке $w=w(\lambda ; q)$, рассматриваемый как функционал от $q$, является таким интегралом при любом выборе $\lambda$ в $\operatorname{Im} \lambda abla w=-G(x, x ; \lambda) \quad \text { npu } \quad \operatorname{Im} \lambda Вычисления можно найти в [12]. Для того чтобы увидеть связь $w(\lambda ; q)$ с уравнением КдФ, рассмотрим асимптотическое поведение при $\lambda \rightarrow-\infty$. Хорошо известно, что функция Грина допускает разложение в виде где $G_{j}$ представимы как полиномы от $q$ и ее производных, например $G_{1}=q / 2$. Коэффициенты $G_{j}$ могут быть рекуррентно определены при сравнении коэффициентов в квадратичном дифференциальном уравнении которому на диагонали всегда удовлетворяет функция Грина $G=$ $=G(x, x ; \lambda)$. Действительно, полагая для краткости $\alpha=\psi_{+}(x, \lambda), \beta=\psi_{-}(x, \lambda)$ и нормируя так, что $[\alpha, \beta]=1$, получаем Следовательно, уравнение (4.17) принимает вид Из (4.16) получаем асимптотическое разложение для $w(\lambda ; q)$ : где и $W_{j}$ — полиномы от $q$ и их производные. Функционалы такого типа называются «локальными функционалами». Из теоремы 4.10 получаем, что Явные вычисления показывают, что Таким образом, $16 w_{3}=H$ соответствует уравнению КдФ, при этом $w_{j}$ представляют бесконечное число законов сохранения этого уравнения. В качестве другого следствия мы получаем, что $w(\lambda ; q)$ сохраняется не только в уравнении $К$ д $Ф$, соответствующего гамильтониану $w_{3}$, но и во всех других уравнениях Кортевега-де Фриза более высокого порядка, соответствующих $w_{j}, j=1,2, \ldots$ Например, инвариантность под действием потока $w_{3}$ соответствует тривиальной инвариантности $w$ под действием трансляции $q(x) \rightarrow q(x+t)$.
|
1 |
Оглавление
|