Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Рассмотрим систему $n$ частиц на прямой с координатами $x_{1}$, $x_{2}, \ldots, x_{n}$, и определим в качестве их потенциала, так что уравнения движения задаются выражениями Замечателен тот факт, что эта система обладает $n$ интегралами движения, являющихся полиномами по $\dot{x}_{k}$ и $\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-2}$. Это снова может быть получено при рассмотрении изоспектральных деформаций другого класса матриц. Квантово-механический аналог (3.2) был изучен Калоджеро и Марчиоро в ряде статей $[2,3,11]$, также Калоджеро определил явные выражения для спектра в этой задаче. Основываясь на своей работе, он предположил, что классическая задача, как предел квантовой, должна быть интегрируемой. Для $n=3$ это уже доказано Марчиоро [11], но его подход не допускает обобщений. Чтобы ввести класс подходящих матриц в данной задаче, положим и построим матрицы Затем определим так что $L=L^{*}$ эрмитова, а $B$ косоэрмитова. для этого класса матриц можно преобразовать в уравнения движения (3.2). Из предыдущего раздела отсюда следует, что коэффициенты $I_{k}$ характеристического полинома являются интегралами дифференциальных уравнений. Более того, они являются рациональными функциями от координат и находятся в инволюции. Чтобы связать уравнения (3.2) и (3.5) друг с другом, заметим, что (3.5) зависит только от $n-1$ разностей $x_{k+1}-x_{k}$ $(k=1,2, \ldots, n-1)$, в то время как (3.2) содержат все $n$ координат $x_{k}$. Поэтому перепишем (3.2) через $z_{k l}$ и $y_{k}=-\dot{x}_{k}$ Конечно, эта система сильно избыточна, так как только $n-1$ переменных $z_{k, k+1}$ независимы, а остальные определяются соотношениями Однако незамедлительно получаем, что эти соотношения совместны с (3.6): если они выполняются при $t=0$, то выполняются и при всех $t$. Теперь отождествим (3.6) с деформационными уравнениями (3.5). Для этого необходимо вычислить где использовано (3.4). Элемент $\left[Z_{2}, Z_{1}\right]_{k l}$ в положении $(k, l)$ определяется выражением следовательно, соответствующий член в $\left[Z_{2}, Z_{1}\right]-\left[D_{2}, Z_{1}\right]$ имеет вид Для упрощения этого выражения используем тождества (3.7) следующим образом. Слагаемые в верхней сумме можно разложить на множители где Если все $k, l, r$ различны, то это выражение с учетом (3.7) принимает следующий вид При $k Следовательно, это означает, что $\left[Z_{2}, Z_{1}\right]-\left[D_{2}, Z_{1}\right]$ – диагональная матрица. Вычисляя диагональные элементы, находим в обозначениях (3.3) Таким образом, вместе с (3.8) уравнения (3.5) принимают вид и, следовательно, в компонентах что совпадает с (3.6).
|
1 |
Оглавление
|