Главная > ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ (Ю.Мозер)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Рассмотрим систему $n$ частиц на прямой с координатами $x_{1}$, $x_{2}, \ldots, x_{n}$, и определим
\[
U(x)=\sum_{k<l}\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-2}, \quad k, l=1,2, \ldots, n
\]

в качестве их потенциала, так что уравнения движения задаются выражениями
\[
\frac{d^{2} x_{k}}{d t^{2}}=-\frac{\partial U}{\partial x_{k}}=2 \sum_{j
eq k}\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-3}, \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]
${ }^{1}$ Как указал Г. Флашка, система (2.5) и ее связь с цепочкой Тода уже была упомянута М. Хеноном в письме от 28 августа 1973 г.

Замечателен тот факт, что эта система обладает $n$ интегралами движения, являющихся полиномами по $\dot{x}_{k}$ и $\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-2}$. Это снова может быть получено при рассмотрении изоспектральных деформаций другого класса матриц.

Квантово-механический аналог (3.2) был изучен Калоджеро и Марчиоро в ряде статей $[2,3,11]$, также Калоджеро определил явные выражения для спектра в этой задаче. Основываясь на своей работе, он предположил, что классическая задача, как предел квантовой, должна быть интегрируемой. Для $n=3$ это уже доказано Марчиоро [11], но его подход не допускает обобщений. Чтобы ввести класс подходящих матриц в данной задаче, положим
\[
z_{k l}=\left\{\begin{array}{ll}
\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-1}, & \text { при } k
eq l, \\
0, & \text { при } k=l
\end{array}\right.
\]

и построим матрицы
\[
\begin{array}{c}
Z_{\alpha}=\left(z_{k l}^{\alpha}\right) \quad \text { при } \quad \alpha=1,2, \\
Y=\operatorname{diag}\left\{y_{1}, \ldots, y_{n}\right\} \\
D_{\alpha}=\operatorname{diag}\left\{\sum_{j=1}^{n} z_{k j}^{\alpha}\right\} \quad \text { при } \quad \alpha=2,3 .
\end{array}
\]

Затем определим
\[
L=Y+i Z_{1} ; \quad B=i D_{2}-i Z_{2},
\]

так что $L=L^{*}$ эрмитова, а $B$ косоэрмитова.
Уравнение деформации
\[
\frac{d L}{d t}=B L-L B
\]

для этого класса матриц можно преобразовать в уравнения движения (3.2). Из предыдущего раздела отсюда следует, что коэффициенты $I_{k}$ характеристического полинома
\[
\operatorname{det}(\lambda I-L)=\lambda^{n}+I_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+I_{n}
\]

являются интегралами дифференциальных уравнений. Более того, они являются рациональными функциями от координат и находятся в инволюции.

Чтобы связать уравнения (3.2) и (3.5) друг с другом, заметим, что (3.5) зависит только от $n-1$ разностей $x_{k+1}-x_{k}$ $(k=1,2, \ldots, n-1)$, в то время как (3.2) содержат все $n$ координат $x_{k}$. Поэтому перепишем (3.2) через $z_{k l}$ и $y_{k}=-\dot{x}_{k}$
\[
\begin{array}{l}
\dot{y}_{k}=-\ddot{x}_{k}=-2 \sum_{j=1}^{n} z_{k j}^{3} \\
\dot{z}_{k l}=z_{k l}^{2}\left(y_{k}-y_{l}\right) .
\end{array}
\]

Конечно, эта система сильно избыточна, так как только $n-1$ переменных $z_{k, k+1}$ независимы, а остальные определяются соотношениями
\[
z_{k l}^{-1}=z_{k r}^{-1}+z_{r l}^{-1} \quad \text { если } k, l, r \text { различны, и } z_{k l}+z_{l k}=0 .
\]

Однако незамедлительно получаем, что эти соотношения совместны с (3.6): если они выполняются при $t=0$, то выполняются и при всех $t$.

Теперь отождествим (3.6) с деформационными уравнениями (3.5). Для этого необходимо вычислить
\[
[B, L]=i\left[Y, Z_{2}\right]-\left[D_{2}, Z_{1}\right]+\left[Z_{2}, Z_{1}\right],
\]

где использовано (3.4). Элемент $\left[Z_{2}, Z_{1}\right]_{k l}$ в положении $(k, l)$ определяется выражением
\[
\sum_{r}\left(z_{k r}^{2} z_{r l}-z_{r l}^{2} z_{k r}\right),
\]

следовательно, соответствующий член в $\left[Z_{2}, Z_{1}\right]-\left[D_{2}, Z_{1}\right]$ имеет вид
\[
\sum_{r}\left(z_{k r}^{2} z_{r l}-z_{r l}^{2} z_{k r}\right)-\sum_{r}\left(z_{k r}^{2}-z_{r l}^{2}\right) z_{k l} .
\]

Для упрощения этого выражения используем тождества (3.7) следующим образом. Слагаемые в верхней сумме можно разложить на множители
\[
Q_{k l, r}=z_{k r}^{2} z_{r l}-z_{r l}^{2} z_{k r}-\left(z_{k r}^{2}-z_{r l}^{2}\right) z_{k l}=\left(z_{k r}-z_{r l}\right) P_{k l, r},
\]

где
\[
P_{k l, r}=\left(z_{k r} z_{r l}-\left(z_{k r}+z_{r l}\right) z_{k l}\right) .
\]

Если все $k, l, r$ различны, то это выражение с учетом (3.7) принимает следующий вид
\[
P_{k l, r}=z_{k r} z_{r l} z_{k l}\left\{z_{k l}^{-1}-z_{r l}^{-1}-z_{k r}^{-1}\right\}=0 .
\]

При $k
eq l$, очевидно, получаем
\[
P_{k l, r}=-z_{k l}^{2}, \quad \text { если } r=k \text { или } \quad r=l .
\]

Следовательно,
\[
\sum_{r=1}^{n} Q_{k l, r}=0 \quad \text { при } \quad k
eq l,
\]

это означает, что $\left[Z_{2}, Z_{1}\right]-\left[D_{2}, Z_{1}\right]$ – диагональная матрица. Вычисляя диагональные элементы, находим в обозначениях (3.3)
\[
\left[Z_{2}, Z_{1}\right]-\left[D_{2}, Z_{1}\right]=-2 D_{3} .
\]

Таким образом, вместе с (3.8) уравнения (3.5) принимают вид
\[
\frac{d L}{d t}=i\left[Y, Z_{2}\right]-2 D_{3},
\]

и, следовательно, в компонентах
\[
\begin{array}{c}
\dot{y}_{k}=-2 \sum z_{k j}^{3}, \\
\dot{z}_{k l}=\left(y_{k}-y_{l}\right) z_{k l}^{2},
\end{array}
\]

что совпадает с (3.6).
Это доказывает существование интегралов, так же как и их рациональный характер. В разделе 4 , где изучается задача рассеяния для данной системы, мы найдем, не проводя дальнейших вычислений, что эти интегралы находятся в инволюции ${ }^{1}$.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru