Рассмотрим аналог цепочки Тоды [8], только с конечным числом материальных точек, которые могут свободно перемещаться на действительной оси. Обозначая координаты положения материальных точек через $x_{k}, k=1, \ldots, n$, запишем гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}+\sum_{k=1}^{n-1} e^{\left(x_{k}-x_{k+1}\right)}
\]

и дифференциальные уравнения
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{k}=H_{y_{k}}=y_{k}, \quad k=1,2, \ldots, n, \\
\dot{y}_{k}=-H_{x_{k}}=e^{x_{k-1}-x_{k}}-e^{x_{k}-x_{k+1}}, \quad k=2,3, \ldots, n-1, \\
\dot{y}_{1}=-H_{x_{1}}=-e^{x_{1}-x_{2}}, \\
\dot{y}_{n}=-H_{x_{n}}=e^{x_{n-1}-x_{n}} .
\end{array}
\]

Перепишем систему (1.2) в виде
\[
x_{k}=e^{x_{k-1}-x_{k}}-e^{x_{k}-x_{k+1}}, \quad k=1,2, \ldots, n .
\]

Если положить $e^{x_{0}-x_{1}}=0$ и $e^{x_{n}-x_{n+1}}=0$, то формальные граничные условия можно представить в форме
\[
x_{0}=-\infty, \quad x_{n+1}=+\infty .
\]

Наша цель – полностью исследовать поток, определенный этой системой дифференциальных уравнений, и установить связь решения с

существованием $n$ интегралов движения. Это фактически те же интегралы, которые, например, были обнаружены Хеноном [4] и Флашкой [1] в системе уравнений (1.2′), но с периодическими граничными условиями
\[
\begin{array}{l}
x_{k+n}=x_{k}+1, \quad k=0, \pm 1, \ldots \\
y_{k+n}=y_{k},
\end{array}
\]

Существенное различие между двумя этими задачами состоит в том, что граничное условие ( $\left.1.3^{\prime}\right)$ приводит к компактной изоэнергической поверхности и, как известно из теории интегрируемых гамильтоновых систем, решение является квазипериодической обмоткой тора. Если же вместо (1.3′) возьмем граничное условие (1.3), то изоэнергетическая поверхность будет не компактна, поскольку в этом случае частицы могут уходить на бесконечность. Покажем, что при любых начальных конфигурациях расстояния между частицами неограниченно возрастают, т.е. $x_{k-1}-x_{k} \rightarrow \infty$ при $k=2, \ldots, n$ и асимптотически ведут себя, подобно свободным частицам (линейно во времени), что интуитивно очевидно. Это приводит к следующей задаче рассеяния: определить соотношения между асимптотическими движениями в прошлом и в будущем. Эта задача может быть решена явно, и мы покажем, что $y_{n-k+1}(+\infty)=y_{k}(-\infty)$, таким образом, при $t=+\infty$ первая частица имеет скорость последней частицы при $t=-\infty$ и т.д., как и в известном эксперименте со столкновением стальных шаров. Кроме того, фазовое соотношение также может быть найдено в явном виде, и далее мы покажем, что
\[
x_{n-k+1}(t)-x_{k}(-t)-2 y_{k}^{-} t \rightarrow \sum_{j<k} \log \left(y_{j}^{-}-y_{k}^{-}\right)^{2}-\sum_{j>k} \log \left(y_{j}^{-}-y_{k}^{-}\right)^{2},
\]

где $y_{j}^{-}=y_{j}(-\infty)$ предполагаются упорядоченными по величине. Таким образом, частицы асимптотически ведут себя так, как если бы они взаимодействовали попарно! Это будет установлено в разделе 4.

В пределе $t \rightarrow+\infty$ величины $y_{k}, k=1,2, \ldots, n$ или их симметричные функции являются независимыми от времени интегралами движения, поэтому можно потребовать, чтобы интегралы рассматриваемой системы асимптотически совпадали с данными интегралами. Это действительно возможно, и на этой идее основано построение интегралов Хенона, хотя в периодическом случае это предположение неверно и является только руководящим принципом построения интегралов. Для некомпактного случая, т.е. в случае граничных условий (1.3), свободная

система действительно является предельным состоянием, поэтому этот подход кажется вполне естественным. С другой стороны, некомпактный случай является, конечно, значительно менее сложным, поскольку решения не обладают свойством возвращаемости, и поток обладает свойствами параллельного потока. Фактически мы покажем, что система (1.2) может быть приведена к следующей системе дифференциальных уравнений,
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \lambda_{k}}{d t}=0, \\
\frac{d r_{k}}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial r_{k}},
\end{array}
\]
\[
k=1, \ldots, n,
\]

где
\[
V=\frac{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} r_{k}^{2}}{2 \sum_{k=1}^{n} r_{k}^{2}},
\]

и переменные ограничены ( $2 n-1)$-мерной областью
\[
\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{n} ; \quad \sum_{k=1}^{n} r_{k}^{2}=1, \quad r_{k}>0 .
\]

Очевидно, что при изменении $t$ от – $\infty$ до $\infty$ решения изменяются в пределах, начиная от максимума $V$ при $r_{k}=\delta_{k n}$ до минимума $V r_{k}=\delta_{k 1}$, и $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ будут интегралами движения, а $r_{1}, \ldots, r_{n-1}$ можно рассматривать как координаты на поверхностях $\lambda_{k}=$ const. Отображение, переводящее переменные $x, y$ в переменные $\lambda_{k}, r_{k}$ в области (1.5), с точностью до трансляции $x_{k}$ взаимно однозначно и будет указано в явном виде. При этом обратное отображение будет иллюстрировать метод обратной задачи в спектральной теории.

Таким образом, эта задача не требует какой-либо новой идеи и может рассматриваться как пример модели, наиболее просто и со всей строгостью иллюстрирующей конструкцию интегралов и их связь с методом обратной задачи в спектральной теории. С другой стороны, при применении этого подхода к задаче с периодическими граничными условиями ( $1.3^{\prime}$ ), мы сталкиваемся с нерешенной проблемой. Хотя в этом случае интегралы $I_{k}$ для этой задачи хорошо известны, не

найдены параметры на поверхностях уровня $I_{k}=c_{k}$, которые бы однозначно определяли $x_{k}(\bmod 1)$ и $y_{k}$. Это обусловлено отсутствием решения для обратной спектральной задачи в случае уравнения Хилла $-u^{\prime \prime}+q(x) u=\lambda u, q(x+1)=q(x)$ с периодическими граничными условиями $u(x+1)=u(x)$, где проблема заключается в определении набора чисел, которые вместе с собственными значениями позволяют найти $q(x)$. Можно надеяться, что решение указанной выше конечномерной задачи позволит пролить свет и на эту проблему.